13.2.1 三角形的边 暑假自学练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年初中数学人教版（2024）八年级上学期13.2.1三角形的边暑假自学练。以“基础巩固-综合应用-拓展延伸”分层设计，通过梯度化题型构建三角形三边关系从概念理解到代数推理的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形三边关系、稳定性概念|单选题1-2直接考查三边范围，填空题7-8强化稳定性应用，培养几何直观| |中档|三边关系与整数取值综合|填空题9-10结合边长整数条件，解答题12-13融入奇数、偶数限制，发展运算能力| |提升|代数变形与多条件推理|解答题14-16结合完全平方公式、正整数条件，需构建不等式组解决，提升推理能力与模型意识|

13.2.1 三角形的边 暑假自学练 2026-2027学年初中数学人教版（2024）八年级上学期 一、单选题 1．在中，，，则的长不可能为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 2．三角形的三边分别为3、、5，则的取值范围是（    ） A． B．0 C． D． 3．已知两条线段a、b，其长度为和．另有长度分别为、、、、的5条线段，其中能与a、b一起组成三角形的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 5．椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 6．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．B．C． D． 二、填空题 7．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 8．如果三角形的三边长分别是，4，，那么的取值范围________． 9．在中，，，若的长为整数，则的长可能是______．（写出一个即可） 10．一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为______． 11．已知的三边长分别为，，，化简________． 三、解答题 12．已知三角形的三边长分别为6，10，，且为奇数，试求的值． 13．已知的边长a、b、c满足，且c是最长边，c是偶数，求的周长． 14．已知 、 是正整数，满足 ，且 、 、7是一个三角形的三边长，若 ， 也是一个三角形的三边长，求满足条件的 ． 15．已知a，b，c分别为的三边长，且满足，． (1)求c的取值范围． (2)若的周长为22，求a，b，c的值． 16．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A B D C B 1．A 本题考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再比较各个选项即可． 解：在中，，， ， 2不在此范围内， 故选A． 2．A 本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 直接根据三角形的三边关系确定a的取值范围． 解：∵三角形的三边分别为3、、5， ∴的取值范围是，即． 故选A． 3．B 本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关系． 根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，进而可得结果． 解：由题知  ，， ， 能与a、b一起组成三角形的第三边c满足， 可选、， 故选：B． 4．D 本题考查了构成三角形的条件，根据任意两边之和大于第三边即可判断求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 解：、∵， ∴不能围成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能围成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能围成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能围成三角形，该选项符合题意； 故选：． 5．C 本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 6．B 本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键 根据三角形具有稳定性判断． 解：A、平行四边形是四边形不具有稳定性，不符合题意； B、三角形具有稳定性，符合题意； C、五边形不具有稳定性，不符合题意； D、六边形不具有稳定性，不符合题意． 故选：B． 7．三角形具有稳定性 本题主要考查的知识点是三角形的稳定性．将四边形的上部固定为两个三角形，根据的原理就是三角形的稳定性． 解：钉上斜拉的木板条后，门框的结构中会形成三角形，而三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，这种特性就是三角形的稳定性，能有效防止门框变形． 故答案为：三角形具有稳定性． 8． 此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边；根据三角形的三边关系列式计算即可求解． 解：由三角形任意两边的和大于第三边以及三角形任意两边之差小于第三边可知： ，即：， 故答案为：． 9．3（答案不唯一） 本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出，由此即可得出答案． 解：∵在中，，， ∴， 即， ∴， ∵的长为整数， ∴，任意选其中一个即可， 故答案为：3（答案不唯一）． 10．8 本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系定理． 根据三角形三边关系定理列出不等式，求出第三边的取值范围，再根据边长为整数确定最大值． 解：设三角形的第三边长度是， 由三角形三边关系定理得到：， ∵三角形的三边长均为整数， ∴第三边长度的最大值为8． 故答案为：8． 11． 此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，整式的加减，正确得出的取值范围是解题关键．利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 解：因为的三边长分别为，，， 所以． 解得． ∴，， ∴． 故答案为：． 12．的值为或或 本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，进而确定的值即可． 解：∵三角形三边长分别为，且x为奇数， ∴，即：， 则的值为或或． 13．15或17 本题考查完全平方公式，平方的非负性，三角形的三边关系，根据三角形三边关系确定第三边的长度范围是关键． 首先利用完全平方公式将变形为，得到，，求出，然后分情况求解即可． 解：∵， ， 即， ∴，， ， 又∵是的三边， ， 又∵c是偶数，且c是最长边， ∴或8， 当时，周长为15， 当时，周长为17． 14． 本题考查三角形三边关系，考察推理能力与计算能力，属于中档题． 根据三角形三边关系可得 ， ， ， ，即可求出的值． 解： 、 、7是一个三角形的三边长，， 也是一个三角形的三边长， ， ， ， ， a、b是正整数且，从开始分析． 当时，，即，同时， 所以，a可能取值9、10、11、12、13、14． 对于、、是三角形三边，需满足． 当，时， ，，． ，； ，，满足三边关系． 当，时， ，，． ，，不满足三边关系． 随着a增大，会更大，更不满足． 是正整数， ． 15．(1) (2)，， 此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． （1）根据三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边列不等式组得出，求解即可； （2）的周长为22，根据题意得出列方程组求解得出答案即可． （1）解：∵， ∴， ∵a、b、c是的三边， ∴， ∴； （2）由题意得： 解得： 16．(1) (2) 本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案； （2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可． （1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，， ∴， ∴，即， ∵c为奇数， ∴； （2）解：的三边长分别为a，b，c， ∴， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $