第28讲 三角函数的应用-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019）

第28讲 三角函数的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1、简谐运动的振幅就是A. 2、简谐运动的周期T＝. 3、简谐运动的频率f＝＝. 4、ωx＋φ称为相位． 5、x＝0时的相位φ称为初相． 知识点2 三角函数模型的简单应用 1、三角函数模型：三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 2、运用三角函数模型解决问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 知识点3三角函数模型的建立 1、建立三角函数模型的步骤 2、建立三角函数拟合模型的注意事项 （1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． （2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． （3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 教材习题01 某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温y（单位：℃）与时间t（单位：月）的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间．（答案不唯一）    解题方法 不妨设，由图象可知时，，当时，， 结合图象可知，，， 又当时，， 不妨令， 故，周期为14，振幅为6，1月取得最小值15，8月取得最大值27. 【答案】答案见解析 教材习题02 如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止的位置）的高度为h（单位：cm），由下列关系式决定：，以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题    (1)小球开始振动时的位置在哪里？ (2)小球位于最高、最低位置时h的值是多少？ (3)经过多长时间小球振动一次（即周期是多少）？ (4)小球每1s能往复振动多少次（即频率是多少）？ 解题方法 （1）作出函数在一个周期的闭区间上的图象如图，    当时，，即小球在开始振动（即）时的位置在处，即平衡位置上方处； （2）的最大值为2，最小值为， 则小球的最高、最低位置时的分别为2，； （3）由于，故经过小球振动一次； （4）每秒钟小球能往复振动次. 【答案】(1)位置在处，即平衡位置上方处； (2)最高、最低位置时的分别为2，； (3) (4)每秒钟小球能往复振动次. 教材习题03 一个单摆如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为，α与摆动时间t（单位：s）之间的函数解析式为．求： (1)最初时α的值； (2)单摆摆动的频率； (3)经过多长时间单摆完成5次完整摆动？ 解题方法 （1）代入得； （2）由解析式可知其周期； （3）由（2）知该函数的周期为，故完成5次完整摆动需要s. 【答案】(1) (2) (3)s. 考点一 三角函数的应用 1．古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一．如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60s．经过后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当时，（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】由已知，经过45s后，即旋转了个周期，因此，如图，所以． 2．时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为，气温上升到约开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时~16时的气温随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时~16时中，赏花的最佳时段大致为（   ） A．7.3时~11.3时 B．8.7时~11.3时 C．7.3时~12.7时 D．8.7时~12.7时 【答案】B 【详解】当时，，由，得，所以（时）．由，得，所以（时）．故在6时~16时中，观花的最佳时段约为8.7时~11.3时． 11．声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 【答案】 【分析】由，得到，求得，得到或，又由时，求得，此时是函数的一个周期，不符合图象，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得， 所以，可得， 所以，即， 又由函数的图象过点，可得， 即，可得，即，即， 因为，所以为的倍数，所以或， 当时，可得， 则， 此时是函数的一个周期，不符合图象； 当时，可得， 则 此时是函数的一个周期，符合函数的图象，所以. 故答案为：. 3．已知某地一天从4时时的温度变化曲线近似满足函数，则该地区这一段时间内的温差为 ；若有一种细菌在到可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存 小时． 【答案】 【详解】由题易知当时函数取最大值，此时最高温度为；当时函数取最小值，此时最低温度为，所以温差为．因为，所以，令，则，故，解得，故该细菌的存活时间为（小时）． 4．如图，弹簧挂着一个小球做上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度由如下关系式确定：，则小球振动过程中最大的高度差为 ． 【答案】4 【详解】因为，所以振幅为2，则小球振动过程中相对于平衡位置的高度最大为，相对于平衡位置的高度最小为，故最大的高度差为． 5．如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．    (1)求S关于的函数表达式； (2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析． 【分析】（1）过作，垂足为，得，，应用矩形面积公式即可得关系式； （2）由题设，令，进而得到，结合二次函数的性质求最值，且可得值. 【详解】（1）过作，垂足为，由题意得：，， 故，，    所以矩形的面积，． （2）由（1）及题设知， 故， 令，，所以，且， ， 在区间上严格减，在区间上严格增，且， 当，即时，取得最小值， 此时，则，故， 当，即时，取得最大值， 此时，则，故或． 考点二 几何中的三角函数模型 1．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【详解】如图所示： ． 连接，设，作，，垂足分别为， 由四边形是平行四边形，可知为矩形，又，则，，， 于是，． 因此四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，而，则当时，， 所以. 故选：D 2．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ） A．点第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 【答案】B 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，，，解得, ，则. 当时，，则， 又，则. 综上，，故D正确； 令，则， 若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，米，故C正确. 故选：B. 3．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 【答案】 【分析】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【详解】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． 所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中． 所以当即时，． 故答案为：． 4．如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】当时，求出的长，利用三角形的面积公式可判断①；利用函数的单调性可判断②；推导出，可判断③. 【详解】设交正方形于点，如图所示： 对于①，当时，因为，则， ,故①正确； 对于②，不妨设， 则由题意可知，从到，阴影部分面积不断扩大，即， 所以，， 因为即，所以，，故②错误； 对于③，根据题意可知，当时，表示射线未经过正方形的面积， 所以，表示正方形的面积，即， 故当时，则，，且， 所以，成立，故③正确. 故答案为：①③. 5．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，求点P的横坐标； (2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出一秒钟后的大小，利用三角函数知识可解决问题； （2）由（1）分析可表示出t秒钟后，点P的横坐标，然后可得答案. 【详解】（1）因运动速度为2秒一周，则每秒钟运动角度为. 初始位置为，与x轴正方向夹角为，则一秒后对应角度为. 则此时P的坐标为：，则横坐标为. （2）由（1）分析可得：t秒钟后，点P的横坐标为. 则t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式为：. 考点三 三角函数在生活中的应用 1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过个周期后，乙点的位置将处于图中的（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】与乙点的位置相差周期的点为丁点． 2．如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大风车旋转的周期求出角速度，再通过大风车的半径、最低点离地面的高度等条件确定函数中的参数、、，进而得到与的函数关系. 【详解】已知大风车每旋转一周，根据周期的定义可知其周期. 由角速度与周期的关系，将代入可得：. 设. 因为大风车的半径为8m，最低点离地面2m，所以当翼片端点在最高点时，离地面的距离为；当翼片端点在最低点时，离地面的距离为2m. 当在最高点时，，此时取得最大值，即； 当在最低点时，，此时取得最小值，即. 联立方程组，将两式相加消去可得：，解得. 把代入，可得，解得. 所以此时函数为. 因为的初始位置在最低点，当时，，将，代入中，得到.即. 因为，且，所以，，取，则. 将代入中，可得. 则. 该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是. 故选：D. 3．如图，，且与的距离为1，与的距离为2.若在上，分别在，上，，，.则四边形的面积为 .    【答案】/ 【分析】设，则，根据条件得到，从而得到，则有，，过分别作的垂线，交于，利用几何关系求出及，即可求出结果. 【详解】如图，设，，则 因为与的距离为1，与的距离为2，所以， 因为，所以，得到， 由图易知，，所以，得到， 所以，， 过分别作的垂线，交于，在中，，， 所以， 因为，所以， 在中，，所以，得到， 所以四边形的面积为，    故答案为：. 4．声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由，两种不同的声波合成得到的，，的数学模型分别记为和，满足．已知，两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．    ①；②；③；④． 则，两种声波的数学模型分别是 ．（填写序号） 【答案】②③ 【分析】由4个函数的周期和的周期之间的关系，结合函数图象并应用特值法排除，即可得. 【详解】由、、、的最小正周期依次为， 由图知的最小正周期为2，则或， 对于，有，与图象不符， 综上，，即为②③的组合. 故答案为：②③ 5．“跟我去都匀城市品牌助推桥城文化出圈，用满满的匀城心意诉说着“山水桥城，光影茶都”的魅，青山绿水中的绿博园里的摩天轮（如图）正是一座俯瞰景色的绝佳设施，该摩天轮最高点距离地面转盘直径开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要，则游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始转动后距离地面的高度为 m 【答案】38.5 【分析】根据给定条件，求出开始转动tmin后距离地面的高度为Hm的函数关系，再求出目标值. 【详解】令开始转动tmin后距离地面的高度为Hm， 依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘直径为46m，得， 由最高点距离地面高度为50m，得，解得， 由转一周大约需要15min，得，解得， 又当时，，即，而，解得， 因此，当时，， 所以游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始转动后距离地面的高度为. 故答案为：38.5 6． 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值），下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第30天测得的当地正午太阳高度角数据. 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 (1)请根据数据完成上面的表格；（结果精确到0.0001） (2)定义从某年春分正午到次年春分正午所经历的时间为一个回归年.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4393，试估计一个回归年对应的天数；（结果精确到0.0001，参考数据：） (3)利用（2）的结果，估计A观测站正午太阳高度角约为61.5649度的两次出现间隔天数至少为多少天；（结果精确到1） (4)已知一个回归年的实际天数为365.2422，结合现行格里高利历的闰年规则（每4年一闰，世纪年需被400整除才闰），试分析为什么要设置闰年，并计算现行格里高利历下年平均天数的误差. 【答案】(1)答案见解析 (2)365.2434 (3)123天 (4)答案见解析 【分析】（1）由表格中数据，利用公式计算得解. （2）利用函数图象过点求出，再利用周期公式求解. （3）求出函数图象的对称轴方程，借助对称求解. （3）利用回归年的天数不是整数，为减少误差说明. 【详解】（1）由，，得， 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5700 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 11.5667 （2）在中，，且过点，， ，又，即， 则，解得， 一个周期即一个回归年，故一个回归年对应的天数约为365.2434， （3）由（2）知的周期，则为图象的对称轴， A观测站正午太阳高度角为61.5649度时，即， 则与图象的一个交点为， 与的交点离点最近的点与点关于直线对称， 于是，即， 而，所以两次出现间隔天数至少为123天. （4）由于一个回归年的实际天数为365.2422，不为整数， 若每年设为365天，则每百年会少24天，若每年设为366天，则每百年会多76天， 设置闰年可以让年平均天数尽可能接近回归年的天数，减少年平均天数的误差， 现行格里高利历下的年平均天数为， 与一个回归年实际天数的误差为天. 考点四 三角函数在物理学上的应用 1．已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴做垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形面积的变化趋势可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数表达四边形的面积，然后利用三角函数变换公式化简，进而根据三角函数的单调性做出判定.. 【详解】当点由向左运动到原点的过程中，设,从到变化. 作于点，于. 则, 所以， ， , 所以 ,其中. ∵， 所以当时随着的增大而增大；当时随着的增大而减小. 因此当点由向左运动到原点的过程中，从到变化，四边形面积的变化趋势是先增大，后减小， 结合图象，只有C正确. 故选：C. 2．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即可. 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 故选：A. 3．如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【分析】根据题意，可求得在第分钟距离地面的竖直高度为，逐项判断即可求解. 【详解】转轮与转轮分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，可得最小正周期，，所以，， 又的半径为10米，的圆心距离地面竖直高度为20米， 所以第分钟，点距离地面的高度为：， 第分钟，距离地面的竖直高度为：， 化简得， 所以，故①正确； 当，即时，得最大值，为，故②错误； 若到的距离等于15米，则点Q在线段PM上，则需, 所以不存在，使得时到的距离等于15米．故④错误； 因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，所以可得点在圆周上的速度为，同理可得点在圆周上的速度为，所以点在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确. 故答案为：①③. 4．电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为 . 【答案】 【分析】将自变量代入解析式求值即可. 【详解】由时，. 故答案为： 5．点是半径的圆周上的点它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点的纵坐标关于时间的函数关系式为： 【答案】，. 【分析】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，求出的值，时，射线可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式. 【详解】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为， 由题意可得，， 时，射线可视角的终边，则,. 故答案为：，. 6．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点 P，则小球的运动可视为点 P在AB之间的上下运动．它在 ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时， ）（单位: cm） 由关系式 确定． (1)点P 在开始运动（即）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次? (2)在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)当点P 开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA 的中点，在时点 P 恰好被这束光第3次照到， 求的值． 【答案】(1)点P位于平衡位置上方处，次． (2)答案见解析 (3)5 【分析】（1）根据题意代入可得，即可得点P的位置，结合周期性可知秒钟点P能往复运动次数； （2）根据五点法列表，根据表格即可得图象； （3）根据题意令，根据正弦函数求，即可得第3次照到的值. 【详解】（1）因为，此时P点的坐标为， 即点P位于平衡位置上方处； 又因为，所以每秒钟点P往复运动次． （2）取值列表如下： t 0 4 h 2 0 0 图象如图所示： （3）当点P被光束恰好第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标． 由，即， 则或，得或 将根从小到大排列得：，所以. 考点五 三角函数新定义 1．如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形相似，即可求解. 【详解】由图象可知，， 则，即， 所以. 故选：D 2．我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用扇形面积公式，根据面度数定义，求角. 【详解】由面度数的定义可知，即， . 故选：B 3．如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为 s． 【答案】4 【分析】根据题意有被动轮和主动轮同时转动，转动时间相同，据此可以得到周期，由此可得两点再次同时回到初始位置的时间. 【详解】设主动轮、被动轮的周期分别为，则， 故，所以，故需要经过4s，同时回到起点． 故答案为： 4．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为：；余弦相似度为：；余弦距离为．若，则A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离和为 ；已知，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据公式直接计算即可得空一；根据公式得到，，计算即可得空二. 【详解】， ， 故余弦距离等于， 即A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离和为； ， ， 故，，则. 故答案为：；. 5．已知定义在R上的函数不是常数函数，写出一个同时具有下列三个性质的一个函数 . ①；②；③. 【答案】（形式不唯一） 【分析】由联想得到，可设，由周期性确定，猜想的值代入检验可确定. 【详解】解:由， 得， 联想到， 可推测. 由， 得， 则， 设， 则，所以满足题意. 故答案为：.（不唯一） 6．在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.在上，下列函数中，为一阶格点函数的是 .(选填序号)①；②；③；④ 【答案】①②③ 【分析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断． 【详解】当时，函数，的图象只经过一个格点，符合题意； 函数的图象只经过一个格点，符合题意；函数的图象经过七个格点，，不符合题意． 故答案为：①②③． 30．定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 【答案】(1)不具有性质，具有性质. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据性质的定义，结合两个函数的解析式，即可判断； （2）（ⅰ）结合性质的定义，根据特殊值，即可判断，再根据定义得到，，并推导出，并求的值，（ⅱ） 【详解】（1）， ， 所以，所以不具有性质， ， ， 所以，所以具有性质. （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得，，， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为，所以， 则，，则， 验证：当时，， 则对任意，， ， 所以等式成立， 故存在，使得具有性质. （ⅱ），所以， ，， 由，得 即， 即， 即， 即， 因为对任意的，当时，恒成立， 所以对任意的，当时，，恒成立， ，，不妨设， 则问题转化为在区间上单调递减， 所以，解得： 知识导图记忆 知识目标复核 1．三角函数在几何中的应用 2．三角函数在物理中的应用 3．三角函数在生活中的应用 一、单选题 1．房价问题是关系民生的重要问题．为了更好地调控房地产市场，政府要对房价进行统计与预测，某城市通过对当年月份的房价统计发现：第x个月的平均单价y（每平方米的价格，单位：元）与月份x之间近似满足．已知3月和5月的平均单价如下表所示，则预测该城市7月份房价的平均单价大约是（   ） x 3 5 7 y 8500 8000 ? A．8500元 B．8000元 C．7500元 D．7000元 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角函数在生活中的应用 【详解】解法1  由题意可得即所以，所以．因为，取，则，取，所以，则． 解法2  显然是函数图象的一个对称中心，由对称性可得，当时，． 2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，其中．已知6月份的月平均气温最高，为，12月份的月平均气温最低，为，则10月份的月平均气温为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角函数在生活中的应用 【详解】由题意得，所以所以，则当时，． 3．钟山区小韭菜坪，位于贵州省六盘水市钟山区大湾镇，素有“贵州屋脊”之称．登上山顶放眼四周，乌蒙磅礴的气势尽收眼底，景区内的野韭菜、高山洞穴、天坑等地质奇观及自然景观极具观赏价值和科考价值，是贵州久负盛名的露营基地．某旅游爱好者为了测量小韭菜坪的海拔，操控无人机飞到海拔3000米的点A处，此时测得无人机观测小韭菜坪的最高点P的俯角为45°，在点A的高度的基础上，再操控无人机垂直提升200米的高度，使其到达点B处，此时测得无人机观测点P的俯角为71.57°，与地平面垂直，则小韭菜坪的海拔为（    ）（参考数据：取） A．2800米 B．2900米 C．2880米 D．2920米 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】高度测量问题 【分析】作出示意图，利用锐角的三角形的意义可求解. 【详解】由题意作出示意图如图所示，过向所在直线作垂线，垂足为， 由题意，，又因为外的俯角为，所以， 又，所以，所以， 又因为，所以，所以， 而，故， 所以点的海拔高度为，所以小韭菜坪的海拔为米. 故选：B. 4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（   ） （参考数据，，，，．） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据给定条件，列式计算出，再由计算即可. 【详解】由，且天顶距，晷影长，得， 当晷影长度时，，所以. 故选：B 二、多选题 5．如图，一个水轮的半径为，水轮轴心O距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时为起始（图中点）开始计时，记为点P距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【详解】如图，以水轮所在面为坐标平面，水轮的轴心O为坐标原点，x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系．依题意得转动一圈的时间，即周期为，在内所转过的角度为，则，则点P的纵坐标为，点P距离水面的高度关于时间的函数，选项A正确；，选项B错误；，选项C正确；由得，解得，选项D错误． 6．电流强度随时间变化的函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．最大电流为 B．电流由最大值到最小值的最短时间为 C．当时，电流强度 D．当时，电流强度 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在物理学中的应用 【详解】由函数图象得，故A正确，B错误；由，得，又根据五点作图法知，，所以，故，当时，电流强度，故C错误，D正确． 7．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有若干个座舱，转一周需要．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，后距离地面的高度为（单位：），下述结论正确的是（   ） A． B．甲进舱10分钟后距离地面的高度是 C．若在，时刻游客距离地面的高度相等，则的最小值为30 D．在运行一周的过程中，的时间超过 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】cosx（型）函数对称性的其他应用、三角函数在生活中的应用、解余弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据题意设，利用相关信息可求，A正确；计算出，B错误；C选项，由余弦函数的对称性得；D选项，令，解不等式，求出在运行一周的过程中，的时间为. 【详解】A选项，根据题意，设， 转盘直径为，，最高点距离地面高度为，，转一周需要，， ，又游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱， 即过，，故，又，所以， 所以，故A正确； B选项，，故进舱10分钟后距离地面的高度是，故B错误； C选项，，即， 即， 由余弦函数的对称性得，即， 所以则的最小值为30，故C正确； D选项，令， 即， 因为，所以， 故，解得， 在运行一周的过程中，的时间为， 所以的时间超过，故D正确； 故选：ACD. 8．某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、三角函数在物理学中的应用 【分析】根据正弦函数的性质，分别对周期、初相、振子离开平衡位置的最大距离以及振子第一次到达平衡位置的时间进行分析求解. 【详解】在函数中，，则周期，所以A选项正确. 在函数中，初相，所以B选项错误. 对于正弦函数，表示振子离开平衡位置的最大距离. 在函数中，，则振子离开平衡位置的最大距离是，所以C选项正确. 振子到达平衡位置时，，即，则（）. 解这个方程可得： ， 因为，当时，，所以当时，振子第一次到达平衡位置，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：．若要求实验室温度不高于，则实验室需要降温时间段，即t的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用正弦型函数的单调性求函数值或值域、辅助角公式、三角函数在生活中的应用 【详解】．依题意，当时，实验室需要降温，所以，即，所以，又，所以，故在10时至18时内实验室需要降温，即t的取值范围是． 10．一只钟表的时针与分针的长度分别为1和2，设午夜零时为0时刻，则的面积关于时间（），单位：小时）的函数解析式为 ，一昼夜内（即时），取得最大值的次数为 . 【答案】 （且，） 44 【难度】0.4 【知识点】三角函数在生活中的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】根据钟表的时针、分针的运行规律，求出或，，利用三角形面积公式求出的表示式，再根据的周期及每个周期出现的最大值次数即可求得. 【详解】因旋转的角速度为，旋转的角速度为， 则或，， 故， 而当，时不能构成三角形， 所以（且，）； 显然函数的周期为且每个周期仅出现一次最大值， 而，所以取得最大值的次数为44. 故答案为：（且，）；44. 四、解答题 11．已知函数． (1)当时，的最小值为1，求的值； (2)在（1）的条件下，求满足且的的取值集合； (3)函数在区间和上均单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数的值域求定义域、根据函数的最值求参数 【分析】（1）由x的取值范围，进而求出的取值范围，利用余弦函数的单调性即可求得结果. （2）令，得到，表示出解集的通式，再分别令k等于不同的整数，即可求出结果. （3）先求出函数的单调递增区间，再让区间和分别是单调增区间的子区间即可求得结果. 【详解】（1）因为， ，在上单调递减， 在，上单调递增，，，． （2）由（1）知，，， ，，解得，或，， 因为，当 时；当时，或；当时，． 故的取值集合为． （3）由，得， 即函数的单调递增区间为． 当 时，函数的单调递增区间为， 当时，函数的单调递增区间为． 又函数在区间 和 上均单调递增， ，解得． 的取值范围为． 12．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如表所示. 驾驶行为类别 阈值 饮酒驾车 醉酒驾车 经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”如图所示，且图中所示的酒精含量（单位：）随时间（单位：h）变化的函数模型可表示为，根据上述条件： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计；参考数据：，） 【答案】(1)1.5小时，最大值是53毫克/百毫升. (2)6小时 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、分段函数模型的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）分别求出两段函数的最值，再进行比较即可求出的最大值； （2）解不等式即可. 【详解】（1）当时，，故当时，即时，； 当时，在上单调递减， 故. 综上，， 所以，喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值是53毫克/百毫升. （2）当时可以驾车，且， 因，故， 令，得，即，得 因，则的最小值为6， 故喝1瓶啤酒后6小时才可以驾车. 13．奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值. (1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值； (2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释. 【答案】(1)4 (2)，合理解释见解析 【难度】0.65 【知识点】解正弦不等式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）首先利用代入法求函数的最大值和最小值，再根据条件列不等式，即可求解；（2）根据题意求解不等式的解集，并根据三角函数的图象变换和性质进行解释. 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以的最大值为4. （2）因为，所以. ①当时，令，即， 所以，解得，， 又，所以，所以. ②当时，，即， 所以，解得，， 又，所以，所以，所以. 解释：函数， 可以由向左平移12个单位得到.从实际意义来看， 可以把前一天中午12点到第二天中午12点看成一天，故需降温时长不变. 14．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】(1) (2)该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，所以卸货最多只能用4小时时间. 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）画出散点图，根据图象可求出，，，进而可求得； （2）依题意，其中，解不等式即可. 【详解】（1）根据表中数据可画出如图所示的散点图， 由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （2）由题意可得，化简得， 所以，解得，， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 15．如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 【答案】(1)， (2) (3)， 【难度】0.65 【知识点】解正弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，以及以为终边的角、角速度，由此可得出关于的函数解析式； （2）当时，解不等式，求出的取值范围，即可得解； （3）经过后，甲距离地面的高度为关于的表达式，乙距离地面的高度为关于的表达式，即可得出的表达式，再结合和差化积公式以及正弦型函数的有界性可求得结果. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点， 以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）在运行一周的过程中，由，则， 令，可得， 解得或者． 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度不超过的时长为． （3）由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点、表示， 不妨设点相对于始终落后，则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后，此时距离地面的高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得， 当或，即或， 所以 ， 则将参考数据，代入， 得， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 16．如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米． (1)当时： ①直接写出关于的函数表达式； ②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 【答案】(1)①，；②或. (2). 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）①由题意可得，；②根据题意，得，解方程即可. （2）由题意得，当时，恒成立，解不等式即可求解. 【详解】（1）①由题意得， ②由题意，， 即，化简得， 则或， 解得或 又由于，所以或. （2）由（1）得，， 由题意得，当时，恒成立， 即，化简得， 故，解得， 所以，即，解得 由于，则，因此. 17．大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设． (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)，； (2)． (3)当米时，照明装置费用最低，最低费用为元． 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、辅助角公式、三角函数在生活中的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用直角三角形边角关系列式求出函数关系及定义域. （2）由（1）的结论，利用正余弦齐次式法计算得解. （3）确定费用最低的条件，并设，利用辅助角公式及和和角的正弦公式求出的范围，再借助函数单调性求出最小值. 【详解】（1）在中，由，得，， 又中，由勾股定理得， 因此， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. （2）由（1）知， 因此， 于是. （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得， 设，则，， ，由，得， ，于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元． 18．如图所示，摩天轮直径为110m，最高点距离地面120m，相当于40层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了48个透明座舱，每个座舱最多可坐8人，整个摩天轮可同时供380余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30min． (1)某游客自最低点处登上摩天轮，请问5min后他距离地面的高度是多少？ (2)若甲、乙两游客分别坐在A，B两个座舱里，且他们之间间隔15个座舱，求A，B两个座舱的直线距离； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据题意，确定游客的高度与时间的关系，再把代入求函数值即可. （2）先求弧所对圆心角的大小，再解三角形求弦长即可. 【详解】（1）设游客高度为，所用时间为，依题意：（,,）. 由；由. 由；由，所以. 所以. 当时，. 所以游客自最低点处登上摩天轮，5min后他距离地面的高度是. （2）因为之间间隔15个座舱，所以. 在中，. 所以A，B两个座舱的直线距离为. 19．汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为.设该汽车左右轮距为米，前后轴距为米. (1)试用、和表示； (2)如图2，有一直角弯道，为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米，测得左右轮距米，前后轴距米.试依据如下假设，回答问题，并说明理由. 假设：①转向过程中，左前轮转向角固定，为； ②设转向中心到路边的距离为. （2-1）（a）请你用文字描述：“汽车通过弯道”的限制条件； （b）以下条件中选择两个，使得汽车能够通过这一弯道：①，②，③，④.你的选择是______. （2-2）基于你在第（2-1）的选择，建立合适的坐标系，确立转向中心的位置，使得汽车能够顺利通过弯道. 【答案】(1) (2)（2-1）（a）答案见解析      （b）②③ （2-2）答案见解析 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）利用正切函数的定义，通过已知的轮距、轴距和左前轮转向角来表示右前轮转向角的正切值. （2）以和分别为轴和轴建立平面直角坐标系，通过坐标来表示点的位置，进而分析汽车在弯道中的位置关系，求解不等式来确定汽车可以通过弯道时转向中心的纵坐标的取值范围. 【详解】（1）（1）由已知，，    所以，， 进而. （2）（2-1）（a）右前轮与左后轮同时能够顺利过弯（不碰到边界）； 车子能够在不碰到边界的前提下，顺利过弯. （b）根据汽车通过弯道的限制条件，右前轮与左后轮同时不碰到边界，所以选择②③. （2-2）以和分别为轴和轴建立坐标系，如图所示. 则.，，    设，，， ，    由，得，进而， 由，得，                         所以当时，且，此时汽车可以通过弯道. 即当转向中心距路边为6.642米，距路边为6.766~6.917时，汽车可以通过弯道. 20．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2) (3)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简，根据化简结果结合三角函数的最值求解出. 【详解】（1）， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，； （2）由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. （3）由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 21．如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； (2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.4 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、解余弦不等式、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据题意可得，即可求解，，，再根据题中可知，求出的值即可求解函数解析式； （2）结合题意可得从高度为到达最高点，再经过最高点下降至的过程中可以看到全貌，只需令，解不等式得到的范围即可求解. 【详解】（1）由题意知，，解得. 又，，即. 又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即， ，即，∴. 又，, ，. （2）由（1）知，. 从高度为到达最高点，再经过最高点下降至的过程中可以看到全貌， ∴令，得，即， 解得，即， 又， 游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌. 【点睛】本题考查模型在实际问题中的应用，考查数学建模，数学运算的核心素养. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第28讲 三角函数的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1、简谐运动的振幅就是A. 2、简谐运动的周期T＝. 3、简谐运动的频率f＝＝. 4、ωx＋φ称为相位． 5、x＝0时的相位φ称为初相． 知识点2 三角函数模型的简单应用 1、三角函数模型：三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 2、运用三角函数模型解决问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 知识点3三角函数模型的建立 1、建立三角函数模型的步骤 2、建立三角函数拟合模型的注意事项 （1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． （2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． （3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 教材习题01 某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温y（单位：℃）与时间t（单位：月）的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间．（答案不唯一）    解题方法 不妨设，由图象可知时，，当时，， 结合图象可知，，， 又当时，， 不妨令， 故，周期为14，振幅为6，1月取得最小值15，8月取得最大值27. 【答案】答案见解析 教材习题02 如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止的位置）的高度为h（单位：cm），由下列关系式决定：，以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题    (1)小球开始振动时的位置在哪里？ (2)小球位于最高、最低位置时h的值是多少？ (3)经过多长时间小球振动一次（即周期是多少）？ (4)小球每1s能往复振动多少次（即频率是多少）？ 解题方法 （1）作出函数在一个周期的闭区间上的图象如图，    当时，，即小球在开始振动（即）时的位置在处，即平衡位置上方处； （2）的最大值为2，最小值为， 则小球的最高、最低位置时的分别为2，； （3）由于，故经过小球振动一次； （4）每秒钟小球能往复振动次. 【答案】(1)位置在处，即平衡位置上方处； (2)最高、最低位置时的分别为2，； (3) (4)每秒钟小球能往复振动次. 教材习题03 一个单摆如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为，α与摆动时间t（单位：s）之间的函数解析式为．求： (1)最初时α的值； (2)单摆摆动的频率； (3)经过多长时间单摆完成5次完整摆动？ 解题方法 （1）代入得； （2）由解析式可知其周期； （3）由（2）知该函数的周期为，故完成5次完整摆动需要s. 【答案】(1) (2) (3)s. 考点一 三角函数的应用 1．古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一．如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60s．经过后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当时，（   ） A． B． C． D．4 2．时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为，气温上升到约开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时~16时的气温随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时~16时中，赏花的最佳时段大致为（   ） A．7.3时~11.3时 B．8.7时~11.3时 C．7.3时~12.7时 D．8.7时~12.7时 11．声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 3．已知某地一天从4时时的温度变化曲线近似满足函数，则该地区这一段时间内的温差为 ；若有一种细菌在到可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存 小时． 4．如图，弹簧挂着一个小球做上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度由如下关系式确定：，则小球振动过程中最大的高度差为 ． 5．如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．    (1)求S关于的函数表达式； (2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值． 考点二 几何中的三角函数模型 1．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ） A．点第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 3．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 4．如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是 . 5．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，求点P的横坐标； (2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式. 考点三 三角函数在生活中的应用 1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过个周期后，乙点的位置将处于图中的（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，且与的距离为1，与的距离为2.若在上，分别在，上，，，.则四边形的面积为 .    4．声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由，两种不同的声波合成得到的，，的数学模型分别记为和，满足．已知，两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．    ①；②；③；④． 则，两种声波的数学模型分别是 ．（填写序号） 5．“跟我去都匀城市品牌助推桥城文化出圈，用满满的匀城心意诉说着“山水桥城，光影茶都”的魅，青山绿水中的绿博园里的摩天轮（如图）正是一座俯瞰景色的绝佳设施，该摩天轮最高点距离地面转盘直径开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要，则游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始转动后距离地面的高度为 m 6． 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值），下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第30天测得的当地正午太阳高度角数据. 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 (1)请根据数据完成上面的表格；（结果精确到0.0001） (2)定义从某年春分正午到次年春分正午所经历的时间为一个回归年.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4393，试估计一个回归年对应的天数；（结果精确到0.0001，参考数据：） (3)利用（2）的结果，估计A观测站正午太阳高度角约为61.5649度的两次出现间隔天数至少为多少天；（结果精确到1） (4)已知一个回归年的实际天数为365.2422，结合现行格里高利历的闰年规则（每4年一闰，世纪年需被400整除才闰），试分析为什么要设置闰年，并计算现行格里高利历下年平均天数的误差. 考点四 三角函数在物理学上的应用 1．已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴做垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形面积的变化趋势可能为（    ） A． B． C． D． 2．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 3．如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为 ． 4．电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为 . 5．点是半径的圆周上的点它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点的纵坐标关于时间的函数关系式为： 6．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点 P，则小球的运动可视为点 P在AB之间的上下运动．它在 ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时， ）（单位: cm） 由关系式 确定． (1)点P 在开始运动（即）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次? (2)在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)当点P 开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA 的中点，在时点 P 恰好被这束光第3次照到， 求的值． 考点五 三角函数新定义 1．如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为 s． 4．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为：；余弦相似度为：；余弦距离为．若，则A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离和为 ；已知，若，则的值为 ． 5．已知定义在R上的函数不是常数函数，写出一个同时具有下列三个性质的一个函数 . ①；②；③. 6．在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.在上，下列函数中，为一阶格点函数的是 .(选填序号)①；②；③；④ 30．定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 知识导图记忆 知识目标复核 1．三角函数在几何中的应用 2．三角函数在物理中的应用 3．三角函数在生活中的应用 一、单选题 1．房价问题是关系民生的重要问题．为了更好地调控房地产市场，政府要对房价进行统计与预测，某城市通过对当年月份的房价统计发现：第x个月的平均单价y（每平方米的价格，单位：元）与月份x之间近似满足．已知3月和5月的平均单价如下表所示，则预测该城市7月份房价的平均单价大约是（   ） x 3 5 7 y 8500 8000 ? A．8500元 B．8000元 C．7500元 D．7000元 2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，其中．已知6月份的月平均气温最高，为，12月份的月平均气温最低，为，则10月份的月平均气温为（   ） A． B． C． D． 3．钟山区小韭菜坪，位于贵州省六盘水市钟山区大湾镇，素有“贵州屋脊”之称．登上山顶放眼四周，乌蒙磅礴的气势尽收眼底，景区内的野韭菜、高山洞穴、天坑等地质奇观及自然景观极具观赏价值和科考价值，是贵州久负盛名的露营基地．某旅游爱好者为了测量小韭菜坪的海拔，操控无人机飞到海拔3000米的点A处，此时测得无人机观测小韭菜坪的最高点P的俯角为45°，在点A的高度的基础上，再操控无人机垂直提升200米的高度，使其到达点B处，此时测得无人机观测点P的俯角为71.57°，与地平面垂直，则小韭菜坪的海拔为（    ）（参考数据：取） A．2800米 B．2900米 C．2880米 D．2920米 4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（   ） （参考数据，，，，．） A． B． C． D． 二、多选题 5．如图，一个水轮的半径为，水轮轴心O距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时为起始（图中点）开始计时，记为点P距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 6．电流强度随时间变化的函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．最大电流为 B．电流由最大值到最小值的最短时间为 C．当时，电流强度 D．当时，电流强度 7．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有若干个座舱，转一周需要．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，后距离地面的高度为（单位：），下述结论正确的是（   ） A． B．甲进舱10分钟后距离地面的高度是 C．若在，时刻游客距离地面的高度相等，则的最小值为30 D．在运行一周的过程中，的时间超过 8．某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 三、填空题 9．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：．若要求实验室温度不高于，则实验室需要降温时间段，即t的取值范围是 ． 10．一只钟表的时针与分针的长度分别为1和2，设午夜零时为0时刻，则的面积关于时间（），单位：小时）的函数解析式为 ，一昼夜内（即时），取得最大值的次数为 . 四、解答题 11．已知函数． (1)当时，的最小值为1，求的值； (2)在（1）的条件下，求满足且的的取值集合； (3)函数在区间和上均单调递增，求实数的取值范围． 12．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如表所示. 驾驶行为类别 阈值 饮酒驾车 醉酒驾车 经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”如图所示，且图中所示的酒精含量（单位：）随时间（单位：h）变化的函数模型可表示为，根据上述条件： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计；参考数据：，） 13．奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值. (1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值； (2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释. 14．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 15．如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 16．如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米． (1)当时： ①直接写出关于的函数表达式； ②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 17．大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设． (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用． 18．如图所示，摩天轮直径为110m，最高点距离地面120m，相当于40层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了48个透明座舱，每个座舱最多可坐8人，整个摩天轮可同时供380余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30min． (1)某游客自最低点处登上摩天轮，请问5min后他距离地面的高度是多少？ (2)若甲、乙两游客分别坐在A，B两个座舱里，且他们之间间隔15个座舱，求A，B两个座舱的直线距离； 19．汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为.设该汽车左右轮距为米，前后轴距为米. (1)试用、和表示； (2)如图2，有一直角弯道，为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米，测得左右轮距米，前后轴距米.试依据如下假设，回答问题，并说明理由. 假设：①转向过程中，左前轮转向角固定，为； ②设转向中心到路边的距离为. （2-1）（a）请你用文字描述：“汽车通过弯道”的限制条件； （b）以下条件中选择两个，使得汽车能够通过这一弯道：①，②，③，④.你的选择是______. （2-2）基于你在第（2-1）的选择，建立合适的坐标系，确立转向中心的位置，使得汽车能够顺利通过弯道. 20．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 21．如图，某欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数的解析式； (2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$