第29讲 三角恒等变换（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第29讲 三角恒等变换 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两角和与差的余弦公式 题型2 两角和与差的正弦公式 题型3 两角和与差的正切公式 题型4 二倍角公式及应用 题型5 辅助角公式的应用 题型6 给值求值问题 题型7 给值求角问题 题型8 三角形中的三角恒等变换 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 两角和差公式 倍角公式 辅助角公式 1. 理解推导：借助单位圆旋转对称性推导两角差余弦公式，并由此推导出和差角、二倍角及辅助角公式，培养逻辑推理素养. 2. 掌握变换：熟练运用公式进行三角函数式的化简、求值与证明，提升数学运算素养. 3. 体会思想：在探究中领悟换元、化归及从一般到特殊的数学思想，完善三角函数知识体系. 学习重点：（1）公式体系：准确掌握两角和与差、二倍角公式及其内在联系. （2）恒等变换：熟练运用公式进行“变角、变名、变式”的三角恒等变换. 学习难点：（1）公式推导：理解单位圆旋转对称性与两角差余弦公式的内在联系. （2）灵活应用：在复杂问题中准确分析角的关系，灵活选择并逆向使用公式. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦： : : 2、两角和与差的余弦： : : 3、两角和与差的正切： :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②公式的变形：． 知识点02 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角公式： （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、二倍角公式的变形及应用 （1）倍角公式的逆用： ；；． ：；；． （2）降幂（扩角）公式：；； ；． 知识点03 辅助角公式 1、辅助角公式：（其中） 实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，通常利用辅助角公式化为正弦型． 2、辅助角公式的推导 = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角终边所在的象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定． 3、常见辅助角结论 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点04 解题技巧 1、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 2、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 题型1 两角和与差的余弦公式 【例1】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以 . 【方法总结】 公式：. 拆角型：已知单角一个三角函数，结合角范围用平方关系求另一函数，把目标角拆成已知角 ± 特殊角，代入公式化简计算. 逆用公式型：式子匹配结构，角度不同先用诱导公式统一角度，再逆用公式合并为，转化特殊角直接求值. 【变式1-1】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 题型2 两角和与差的正弦公式 【例2】已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，， 所以，， 所以. 【方法总结】 核心公式：，分两类题型： 题型一：正向套用：已知两角范围与一组三角函数，由角范围判断符号，用同角平方关系补齐代入和差公式计算. 题型二：逆用化简：式子匹配结构，先用诱导公式统一角度，再逆公式合并为单角正弦，转化特殊角直接求值.牢记公式符号，和加差减. 【变式2-1】的值为___________. 【答案】 【详解】因为， 所以. 题型3 两角和与差的正切公式 【例3】已知是第三象限角且，，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于是第三象限角且，则, 所以, 由于，则, 所以 【方法总结】 核心公式：，分两类题型： 题型一：正向代入型：已知单角三角函数与角范围，先算出，直接代入公式计算，注意分子分母符号相反. 题型二：变形逆用型：出现结构，利用变形，凑特殊角化简，无需单独求两角正切值，快速算出结果. 【变式3-1】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故. 题型4 二倍角公式及应用 【例4】下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 【方法总结】 核心三组二倍角公式：有三形式， 化简匹配型：观察式子结构，直接逆用公式合并为二倍角，代入特殊角求值. 综合计算型：已知单角函数与象限，先求配套三角函数，先用二倍角，再结合诱导、和差公式分步运算，由角范围判断符号. 【变式4-1】已知角为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角为第二象限角且， 所以， . 题型5 辅助角公式的应用 【例5】（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：. 【方法总结】 核心公式：，分两类题型： 题型一：化简求值型：式子为形式，提取系数和开根号，转化单角正弦，代入特殊角直接计算. 题型二：最值求解型：形如，振幅即为最大值，为最小值；取最值时可结合同角关系求出对应. 【变式5-1】函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 【答案】 / 【详解】由，，， 又，所以函数的最大值是， 此时，则，， 即，， 所以取最大值时，． 题型6 给值求值问题 【例6】设，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为， ，且， 又，得. 因为，则， 又，所以， ，. 【方法总结】 给值求值问题核心思路：角的拆分转化，把目标角拆成已知角的和差，再配合公式分步计算. （1）定角范围：根据已知角区间，判断各三角函数正负，开平方时准确取舍符号. （2）补齐函数：用同角平方关系、半角公式，求出所需的正弦、余弦、正切. （3）拆角代公式：目标角写成等形式，套用和差公式展开化简求值. 全程优先把控角的范围，避免符号出错. 【变式6-1】已知角为锐角，角为钝角，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为锐角，，所以， 因为为钝角，所以. 若， 则，不符合题意， 所以，而， 又，所以，所以. 题型7 给值求角问题 【例7】已知，均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， ， ， 所以. 【方法总结】 给值求角问题解题方法总结：解题分三步，核心是先限定角范围，再求三角函数，最后匹配特殊角. （1）缩小区间：根据已知三角函数符号，结合题干给出的角范围，精确锁定目标角所在小区间，避免多解. （2）构造角并求值：把目标角拆成已知角的和差，套用和差公式，求出目标角的正弦、余弦或正切值. （3）确定角度：根据三角函数值与缩小后的唯一区间，直接写出对应特殊角，杜绝增根. 【变式7-1】已知且 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由且 可知为锐角，为钝角， 故， ， ， ， . 题型8 三角形中的三角恒等变换 【例8】若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 【方法总结】 三角形中核心隐含条件：. （1）恒等化简：利用和差、二倍角、平方差公式展开变形，消去三角函数. （2）判断关系：化简得到则（等腰）；得到则（直角）；同时满足即为等腰直角三角形. （3）全程注意三角形内角范围，舍去不合理解. 【变式8-1】在中，角，，的对边分别为，，，，则下列选项一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以，， 由得， 所以或（舍去） 所以，即， 由于，所以, 则， 所以一定成立的是：，； 一、单选题 1．=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 2．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】A 【详解】∵α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－， ∴sin α＝，sin(α＋β)＝， ∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝. 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 4．在中，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】因为，整理得到， 即， 又，得到，所以，即， 故选：A. 5．函数的最小正周期是（    ） A．π B． C．2π D． 【答案】A 【详解】由， 故函数的最小正周期为. 6．已知角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角，由得， 则，又因为在上单调递增，则， 而， 同理有， 所以， 且，得. 二、多选题 7．下列三角式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，，A满足条件； 对于B选项，，B满足条件； 对于C选项，，C不满足条件； 对于D选项，，D满足条件. 8． 化简的结果可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】. 故选：BD 9．下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A， ，故A正确. 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB 三、填空题 10．已知角的终边与单位圆交于点，则___________ 【答案】 【详解】因为角的终边与单位圆交于点， 所以， 所以. 11．已知函数．若在区间上的最大值为，则___________． 【答案】 【分析】先通过三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再结合正弦函数的单调性与最值特征，根据给定区间的最大值条件求解参数。 【详解】因为， 所以， 当时，， 若在区间上的最大值为， 则，， 则，即得. 12．已知，且，则______，______． 【答案】 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以 . ． 因为， 所以 ． 四、解答题 13．12．已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调增区间： (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)，， (2). 【详解】（1）. 所以. 令，，得，， 单调增区间为，, （2），则，， ，所以的值域为. 14．已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【详解】（1） ， 由，解得， 又，所以的单调递减区间为． （2）因为，所以，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． （3）由，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29讲 三角恒等变换 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两角和与差的余弦公式 题型2 两角和与差的正弦公式 题型3 两角和与差的正切公式 题型4 二倍角公式及应用 题型5 辅助角公式的应用 题型6 给值求值问题 题型7 给值求角问题 题型8 三角形中的三角恒等变换 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 两角和差公式 倍角公式 辅助角公式 1. 理解推导：借助单位圆旋转对称性推导两角差余弦公式，并由此推导出和差角、二倍角及辅助角公式，培养逻辑推理素养. 2. 掌握变换：熟练运用公式进行三角函数式的化简、求值与证明，提升数学运算素养. 3. 体会思想：在探究中领悟换元、化归及从一般到特殊的数学思想，完善三角函数知识体系. 学习重点：（1）公式体系：准确掌握两角和与差、二倍角公式及其内在联系. （2）恒等变换：熟练运用公式进行“变角、变名、变式”的三角恒等变换. 学习难点：（1）公式推导：理解单位圆旋转对称性与两角差余弦公式的内在联系. （2）灵活应用：在复杂问题中准确分析角的关系，灵活选择并逆向使用公式. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦： : : 2、两角和与差的余弦： : : 3、两角和与差的正切： :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②公式的变形：． 知识点02 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角公式： （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、二倍角公式的变形及应用 （1）倍角公式的逆用： ；；． ：；；． （2）降幂（扩角）公式：；； ；． 知识点03 辅助角公式 1、辅助角公式：（其中） 实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，通常利用辅助角公式化为正弦型． 2、辅助角公式的推导 = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角终边所在的象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定． 3、常见辅助角结论 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点04 解题技巧 1、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 2、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 题型1 两角和与差的余弦公式 【例1】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 公式：. 拆角型：已知单角一个三角函数，结合角范围用平方关系求另一函数，把目标角拆成已知角 ± 特殊角，代入公式化简计算. 逆用公式型：式子匹配结构，角度不同先用诱导公式统一角度，再逆用公式合并为，转化特殊角直接求值. 【变式1-1】（    ） A． B． C． D． 题型2 两角和与差的正弦公式 【例2】已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 核心公式：，分两类题型： 题型一：正向套用：已知两角范围与一组三角函数，由角范围判断符号，用同角平方关系补齐代入和差公式计算. 题型二：逆用化简：式子匹配结构，先用诱导公式统一角度，再逆公式合并为单角正弦，转化特殊角直接求值.牢记公式符号，和加差减. 【变式2-1】的值为___________. 题型3 两角和与差的正切公式 【例3】已知是第三象限角且，，则值为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 核心公式：，分两类题型： 题型一：正向代入型：已知单角三角函数与角范围，先算出，直接代入公式计算，注意分子分母符号相反. 题型二：变形逆用型：出现结构，利用变形，凑特殊角化简，无需单独求两角正切值，快速算出结果. 【变式3-1】（    ） A． B． C． D． 题型4 二倍角公式及应用 【例4】下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 核心三组二倍角公式：有三形式， 化简匹配型：观察式子结构，直接逆用公式合并为二倍角，代入特殊角求值. 综合计算型：已知单角函数与象限，先求配套三角函数，先用二倍角，再结合诱导、和差公式分步运算，由角范围判断符号. 【变式4-1】已知角为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 题型5 辅助角公式的应用 【例5】（ ） A． B． C． D． 【方法总结】 核心公式：，分两类题型： 题型一：化简求值型：式子为形式，提取系数和开根号，转化单角正弦，代入特殊角直接计算. 题型二：最值求解型：形如，振幅即为最大值，为最小值；取最值时可结合同角关系求出对应. 【变式5-1】函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 题型6 给值求值问题 【例6】设，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 给值求值问题核心思路：角的拆分转化，把目标角拆成已知角的和差，再配合公式分步计算. （1）定角范围：根据已知角区间，判断各三角函数正负，开平方时准确取舍符号. （2）补齐函数：用同角平方关系、半角公式，求出所需的正弦、余弦、正切. （3）拆角代公式：目标角写成等形式，套用和差公式展开化简求值. 全程优先把控角的范围，避免符号出错. 【变式6-1】已知角为锐角，角为钝角，且，，则（   ） A． B． C． D． 题型7 给值求角问题 【例7】已知，均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 给值求角问题解题方法总结：解题分三步，核心是先限定角范围，再求三角函数，最后匹配特殊角. （1）缩小区间：根据已知三角函数符号，结合题干给出的角范围，精确锁定目标角所在小区间，避免多解. （2）构造角并求值：把目标角拆成已知角的和差，套用和差公式，求出目标角的正弦、余弦或正切值. （3）确定角度：根据三角函数值与缩小后的唯一区间，直接写出对应特殊角，杜绝增根. 【变式7-1】已知且 ，则（   ） A． B． C． D． 题型8 三角形中的三角恒等变换 【例8】若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【方法总结】 三角形中核心隐含条件：. （1）恒等化简：利用和差、二倍角、平方差公式展开变形，消去三角函数. （2）判断关系：化简得到则（等腰）；得到则（直角）；同时满足即为等腰直角三角形. （3）全程注意三角形内角范围，舍去不合理解. 【变式8-1】在中，角，，的对边分别为，，，，则下列选项一定成立的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．=（    ） A． B． C． D． 2．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为（    ） A． B．－ C． D．－ 3．（    ） A． B． C． D． 4．在中，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．函数的最小正周期是（    ） A．π B． C．2π D． 6．已知角，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列三角式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 8． 化简的结果可以是（    ） A． B． C． D． 9．下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知角的终边与单位圆交于点，则___________ 11．已知函数．若在区间上的最大值为，则___________． 12．已知，且，则______，______． 四、解答题 13．12．已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调增区间： (2)求函数在区间上的值域. 14．已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $