第23讲 三角函数的概念（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第23讲 三角函数的概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 由终边上的点求三角函数值 题型2 由三角函数值求终边上点的参数 题型3 判断三角函数值的符号 题型4 由三角函数值的符号确定角所在的象限 题型5 诱导公式一的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三角函数 三角函数值 正弦值（正弦函数） 余弦值（余弦函数） 正切值（正切函数） 诱导公式 1. 理解概念：经历从锐角三角函数到任意角三角函数的推广过程，借助单位圆理解其定义，培养数学抽象素养. 2. 掌握求值：能根据定义，利用终边上点的坐标求任意角的三角函数值，提升数学运算素养. 3. 掌握三角函数值在各象限的符号规律，理解诱导公式一，并能利用诱导公式一化简求值. 4. 体会思想：在概念建构中体会数形结合、从特殊到一般的数学思想，为后续学习奠定基础. 学习重点：（1）三角函数定义：借助单位圆，准确理解正弦、余弦、正切函数的定义. （2）求值：能由角终边上点的坐标求三角函数值，能用诱导公式一化简求值. 学习难点：（1）概念建构：理解从“边长比值”到“坐标比值”的转变及其合理性. （2）理解三角函数是以实数为自变量的函数，及函数值与终边上点位置的无关性. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 任意角的三角函数的定义 1、利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点． 三角函数 定义 记作 符号表示 正弦函数 点的纵坐标 余弦函数 点的横坐标 正切函数 点的纵坐标 与横坐标的比值 我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 2、用角的终边上点的坐标表示三角函数 如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点到原点的距离为，则，，． 【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点的位置无关． 知识点02 三角函数的定义域和函数值的符号 1、三角函数的定义域 三角函数 定义域 【说明】单位圆上的取值范围是，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域． 2、三角函数值在各象限的符号 根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图． 由于原点到角的终边上任意一点的距离是正值，根据三角函数的定义，值 （1）正弦函数值的符号取决于纵坐标的符号； （2）余弦函数值的符号取决于横坐标的符号； （3）正切函数值的符号取决于由的符号共同决定，即同号为正，异号为负． 3、三角函数值的符号记忆 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正． 知识点03 终边相同的角的三角函数值 1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： 其中 注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值． （2公式一统一概括为f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号． 2、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 知识点04 三角函数定义的应用 1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解； 2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题； 3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值 方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论） 题型1 由终边上的点求三角函数值 【例1】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 在α的终边上任选一点，设P到原点的距离为（），则sin α＝，cos α＝. 【变式1-1】若角的终边经过点，则的值是______． 题型2 由三角函数值求终边上点的参数 【例2】已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论，然后根据三角函数值的计算公式列方程求解. 【变式2-1】若是第二象限角，为其终边上一点，，则值为（    ） A． B． C． D． 题型3 判断三角函数值的符号 【例3】（多选）给出的下列函数值中符号为负的是（    ） A．cos B． C．tan 2 D．sin 5 【方法总结】 三角函数值的符号规律是：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 【变式3-1】若角的终边过点，则（　　） A． B． C． D． 题型4 由三角函数值的符号确定角所在的象限 【例4】（1）已知，则点P所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2）若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【方法总结】 类型一：根据角α所在的象限确定三角函数值的符号，然后判断点的横坐标、纵坐标的符号，再根据横纵坐标的符号即可判断点所在的象限. 类型二：根据多个三角函数值的符号，判断角α所在的公共象限，即是角α所在的象限. 【变式4-1】已知是第二象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型5 诱导公式一的应用 【例5】（1）（   ） A． B． C． D． （2）（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 公式一的结构特征有两个： ①等号两边为同一种三角函数； ②公式左边的角α＋k·2π（k∈Z），右边的角为α，利用公式一可把绝对值较大的角化为0～2π内的角. 【变式5-1】求下列各式的值．(1)；(2). 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2．若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，且，则（    ） A．3 B． C．5 D． 4．若角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．点从出发，沿着单位圆顺时针运动到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A．， B．， C．， D．， 8．若角的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A．是第二象限角 B．是钝角 C． D．点在第二象限 9．下列结论正确的是（    ） A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C．若角的终边上有一点，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 三、填空题 10．__________ 11．已知函数（且）的图象过定点，且角的终边也过点，则___________． 12．若正数满足，则的最小值为______. 四、解答题 13．在平面直角坐标系的单位圆中，已知． (1)画出角； (2)求出角的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角的正弦函数值． 14．在平面直角坐标系中，单位圆与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A，B，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于x轴下方一点P． (1)如图，若，求点P的坐标； (2)若点P的横坐标为，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 三角函数的概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 由终边上的点求三角函数值 题型2 由三角函数值求终边上点的参数 题型3 判断三角函数值的符号 题型4 由三角函数值的符号确定角所在的象限 题型5 诱导公式一的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三角函数 三角函数值 正弦值（正弦函数） 余弦值（余弦函数） 正切值（正切函数） 诱导公式 1. 理解概念：经历从锐角三角函数到任意角三角函数的推广过程，借助单位圆理解其定义，培养数学抽象素养. 2. 掌握求值：能根据定义，利用终边上点的坐标求任意角的三角函数值，提升数学运算素养. 3. 掌握三角函数值在各象限的符号规律，理解诱导公式一，并能利用诱导公式一化简求值. 4. 体会思想：在概念建构中体会数形结合、从特殊到一般的数学思想，为后续学习奠定基础. 学习重点：（1）三角函数定义：借助单位圆，准确理解正弦、余弦、正切函数的定义. （2）求值：能由角终边上点的坐标求三角函数值，能用诱导公式一化简求值. 学习难点：（1）概念建构：理解从“边长比值”到“坐标比值”的转变及其合理性. （2）理解三角函数是以实数为自变量的函数，及函数值与终边上点位置的无关性. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 任意角的三角函数的定义 1、利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点． 三角函数 定义 记作 符号表示 正弦函数 点的纵坐标 余弦函数 点的横坐标 正切函数 点的纵坐标 与横坐标的比值 我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 2、用角的终边上点的坐标表示三角函数 如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点到原点的距离为，则，，． 【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点的位置无关． 知识点02 三角函数的定义域和函数值的符号 1、三角函数的定义域 三角函数 定义域 【说明】单位圆上的取值范围是，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域． 2、三角函数值在各象限的符号 根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图． 由于原点到角的终边上任意一点的距离是正值，根据三角函数的定义，值 （1）正弦函数值的符号取决于纵坐标的符号； （2）余弦函数值的符号取决于横坐标的符号； （3）正切函数值的符号取决于由的符号共同决定，即同号为正，异号为负． 3、三角函数值的符号记忆 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正． 知识点03 终边相同的角的三角函数值 1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： 其中 注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值． （2公式一统一概括为f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号． 2、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 知识点04 三角函数定义的应用 1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解； 2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题； 3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值 方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论） 题型1 由终边上的点求三角函数值 【例1】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】终边过点，故， 所以. 【方法总结】 在α的终边上任选一点，设P到原点的距离为（），则sin α＝，cos α＝. 【变式1-1】若角的终边经过点，则的值是______． 【答案】 【详解】因为角的终边经过点， 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，； 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，. 综上所述，. 题型2 由三角函数值求终边上点的参数 【例2】已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，可得. 【方法总结】 当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论，然后根据三角函数值的计算公式列方程求解. 【变式2-1】若是第二象限角，为其终边上一点，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由三角函数的定义，可得，解得，即， 则，所以. 题型3 判断三角函数值的符号 【例3】（多选）给出的下列函数值中符号为负的是（    ） A．cos B． C．tan 2 D．sin 5 【答案】ACD 【详解】A为负，，∴是第三象限角，∴； B为正，∵，∴是第一象限角，∴； C为负，∵，是第二象限角，∴； D为负，∵，5弧度是第四象限角，∴； 【方法总结】 三角函数值的符号规律是：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 【变式3-1】若角的终边过点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵角的终边过点，为第三象限角， ∴，，， ∴ 题型4 由三角函数值的符号确定角所在的象限 【例4】（1）已知，则点P所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角， 所以， 所以点P所在象限为第四象限. （2）若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】B 【详解】由，得， 所以角位于第二象限的角. 【方法总结】 类型一：根据角α所在的象限确定三角函数值的符号，然后判断点的横坐标、纵坐标的符号，再根据横纵坐标的符号即可判断点所在的象限. 类型二：根据多个三角函数值的符号，判断角α所在的公共象限，即是角α所在的象限. 【变式4-1】已知是第二象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为是第二象限角，所以， 所以在第三象限. 题型5 诱导公式一的应用 【例5】（1）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. （2）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 【方法总结】 公式一的结构特征有两个： ①等号两边为同一种三角函数； ②公式左边的角α＋k·2π（k∈Z），右边的角为α，利用公式一可把绝对值较大的角化为0～2π内的角. 【变式5-1】求下列各式的值．(1)；(2). 【答案】(1)；(2)1 【详解】（1）. （2）. 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 2．若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，因为角的终边过点， 所以. 3．已知角的终边经过点，且，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为已知角的终边经过点，且， 所以， 解得， 4．若角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由三角函数定义可得， 因为，所以， 解得， 易知，点A在第二象限，所以. 5．已知，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】，故； ，故. 故点在第二象限. 6．点从出发，沿着单位圆顺时针运动到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以不妨设点所对应的角为， 则，，， 所以点的坐标为即. 二、多选题 7．若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【详解】因为为第二象限角，则, 所以或或,所以B、C、D选项正确, 对于A选项 ，由于，所以该选项错误. 8．若角的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A．是第二象限角 B．是钝角 C． D．点在第二象限 【答案】ACD 【详解】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，A正确，B错误； ，C正确； 由，，则点在第二象限，D正确. 9．下列结论正确的是（    ） A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C．若角的终边上有一点，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 【答案】BC 【详解】解：对于A选项，因为且为第二象限角， 故是第二象限角，A错； 对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为，B对； 对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对； 对于D选项，角的终边在第二象限，即， 不妨取，则角不一定为钝角，D错． 三、填空题 10．__________ 【答案】 【详解】根据题意，. 11．已知函数（且）的图象过定点，且角的终边也过点，则___________． 【答案】 【详解】因为， 所以函数（且）的图象过定点， 所以． 12．若正数满足，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为， 所以， 又因为，为正数， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 四、解答题 13．在平面直角坐标系的单位圆中，已知． (1)画出角； (2)求出角的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角的正弦函数值． 【答案】(1)作图见解析；(2)；(3) 【详解】（1）因为， 所以角的终边与的终边相同． 以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角如图所示． （2）因为，所以点P在第二象限，由（1）知，过点P作轴于点M． 则在中，，，， 由直角三角形的边角关系，得，， 所以点P的坐标为． （3）根据正弦函数的定义有． 14．在平面直角坐标系中，单位圆与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A，B，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于x轴下方一点P． (1)如图，若，求点P的坐标； (2)若点P的横坐标为，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1） 过点作于点， 若，则， 又，则， 由题意点在第四象限，所以的坐标为. （2）由题意设， ∵点在单位圆上，且在x轴下方， ∴，且，解得， ∴. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $