函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质【6个题型】讲义-2025年暑假新高一数学常考题型归纳

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质】 总览 题型梳理 一．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象（共6小题） 二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共5小题） 三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共7小题） 四．y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义（共5小题） 五．复合三角函数的单调性（共6小题） 六．三角函数的最值（共9小题） 【知识点清单】 1．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 【知识点的认识】 1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为： （1）先确定周期T，在一个周期内作出图象； （2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下： x ωx+φ 0 π 2π y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 ﹣A 0 由此可得五个关键点； （3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图． 2．振幅、周期、相位、初相 当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则 A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相． 函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为． 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标． 2．两个区别 （1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A． （2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 3．三点提醒 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； （3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|． 2．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 【知识点的认识】 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的． 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标． 2．两个区别 （1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A． （2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 3．三点提醒 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； （3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|． 3．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【知识点的认识】 根据图象确定解析式的方法： 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定． 4．y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义 【知识点的认识】 函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的物理意义 当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈[0，+∞））表示一个简谐振动时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，x＝0时的相位φ叫做初相． 5．复合三角函数的单调性 【知识点的认识】 所谓复合三角函数就是含有两个或两个以上的三角函数，包括其中一个或多个三角函数为另外三角函数的自变量的函数．这样的函数我们要对每一个函数进行一一讨论，是函数比较复杂的一种情况． 6．三角函数的最值 【知识点的认识】 三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象（共6小题） （多选）1．某同学用“五点法”作函数在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据（见下表），则下列说法正确的是（　　） ωx+φ 0 π 2π x Asin（ωx+φ） 0 0 ﹣2 A． B．∀x∈R，都有 C．设方程f（x）＝m（m∈R）在上有两个不等实数根x1，x2，则 D．若函数f（mx）在上单调，则m的最大值为 2．函数的一个对称中心是． （1）求函数f（x）的最值及x为何值时取到； （2）用“五点法”画出函数f（x）在[0，π]上的简图． 3．已知函数f（x）＝sinx﹣2|sinx|． （Ⅰ）先补充下列表格，然后用五点法画出函数y＝f（x）在区间[0，2π]上的图象； x 0 π 2π sinx f（x）＝sinx﹣2|sinx| （Ⅱ）结合图象，写出函数的递减区间． 4．已知两点，是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B图象上相邻的最高点和最低点． （1）求函数f（x）的解析式； （2）用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的简图； （3）将函数f（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位长度后关于y轴对称，求a的最小值． 5．已知函数： （1）补全下列表格，用“五点法”画出f（x）在区间[0，π]的大致图象； 0 π 2π x f（x） （2）若f（x）≥1，求x的取值范围． 6．已知函数． （1）补全下列表格，用“五点法”画出f（x）在区间[0，π]的大致图象； 0 π 2π x f（x） （2）将f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间和对称中心的坐标． 二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共5小题） 7．已知f（x）＝sin（2x+φ）（其中，将f（x）图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，若f（x）与g（x）的图象关于原点对称，则φ＝（　　） A． B． C． D． 8．对于函数y＝f（x），f（x）＝3cos2x的图像（　　）得到． A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 9．要得到函数ycosx的图象，只需将函数ycos（2x）的图象上所有的点（　　） A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 10．将函数的图像向右平移个单位，得到函数g（x）的图像，则（　　） A．g（x）＝﹣cos2x B．g（x）＝cos2x C． D． 11．把函数y＝cosx图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象，则f（x）＝（　　） A． B． C． D．． 三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共7小题） 12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，若A，B，C是直线y＝m与函数f（x）图象的从左至右相邻的三个交点，且AB＝2BC，则实数m＝（　　） A． B． C． D．±1 13．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　） A． B．f（x）在上单调递增 C．为偶函数 D． 14．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中）的部分图象如图所示，点M，N是函数图象与x轴的交点，点P是函数图象的最高点，且△PMN是边长为2的正三角形，ON＝3OM，则f（x）＝Asin（ωx+φ）的解析式可以是（　　） A． B． C． D． （多选）15．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则（　　） A．当|φ|最小时， B．y＝f（x）的图象关于直线对称 C．不等式的解集为 D．若f（x）在[0，θ）上有三个零点，则 （多选）16．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．是函数y＝f（x）的图象的一个对称中心 B．函数y＝f（x）在上单调递减 C．函数是奇函数 D．若，且， （多选）17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，把函数f（x）的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则（　　） A． B．函数g（x）的图像关于直线对称 C．若函数y＝f（2x）在区间[0，m]上恰有4个不同的零点，则m的取值范围为 D．函数y＝f（2x）g（x）的图像关于点对称 （多选）18．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图像如图所示，则（　　） A．ω＝2 B． C．直线是函数f（x）图象的一条对称轴 D．f（x）在的值域为[﹣1，2] 四．y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义（共5小题） 19．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数．如音叉发出的纯音振动可表示为y＝Asinωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），A表示纯音振动的振幅（对应音强），已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（　　） A． B． C． D． 20．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（　　） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 21．如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为P0，OP0与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度2rad/min沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1所需的时间（单位：min），则（　　） A． B． C． D． 22．如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为 　 　 ． 23．如图，一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车轴心O距水面的高度为1米，设筒车上某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，φ）． （1）求d与时间t（单位：分钟）之间的关系式； （2）某时刻t0（单位：分钟）时，盛水桶P在过O点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶P到水面的距离． 五．复合三角函数的单调性（共6小题） 24．已知函数在上单调递减，则正数ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 25．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0且φ∈R）在上单调，且，若f（x）在上恰有2个零点，则ω的取值最准确的范围是（　　） A． B． C． D． 26．函数，x∈（0，π）的增区间是（　　） A． B． C． D． 27．已知函数，则下列说法错误的是（　　） A．是函数f（x）的周期 B．函数f（x）在区间上单调递增 C．函数f（x）的图象可由函数y＝|sin2x|向左平移个单位长度得到 D．函数f（x）的对称轴方程为 28．已知函数（其中ω＞0）在上单调递增，在上单调递减，则ω的取值范围为（　　） A．（0，1] B．（0，2] C．[1，2] D．（1，2） 29．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），若，且f（x）在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则 　 　 ． 六．三角函数的最值（共9小题） 30．已知函数f（x）＝sin（x+2θ）+cos（x+4θ），是偶函数，则g（x）＝sinx•cos（x+4θ）的最大值为（　　） A． B． C． D． 31．已知函数f（x）＝3sinx+4cosx，当f（x）取最大值时sinx＝（　　） A． B． C． D． 32．已知函数f（x）＝sinx+acosx的图象关于点对称，则f（x）的最大值为（　　） A．1 B．2 C． D． 33．对于x∈R，f（x）＝sin2x+sinx﹣1的最小值为（　　） A． B．﹣1 C．0 D．﹣2 34．已知函数在区间[0，m]上的值域为，则实数m的最大值为（　　） A． B． C． D． 35．设函数，若当x＝θ时，函数取得最大值，则tanθ＝（　　） A． B． C． D． 36．当x＝θ时，函数f（x）＝5sinx﹣12cosx取得最小值，则cosθ＝（　　） A． B． C． D． 37．函数f（x）＝sinxcosx+cos2x的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 38．已知f（x）＝sin4x+cos4x+sinxcosx，则f（x）的最小值为（　　） A．0 B． C．1 D． 课后针对训练 一、单选题 1．为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 2．已知函数的最小正周期为，且过点，若将图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，再向左平移个单位长度得到，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（    ） A． B．3 C．4 D．2 4．已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 5．已知函数图象的一条对称轴为直线，函数，则（   ） A．将的图象向左平移个单位长度得到的图象 B．方程的相邻两个实数根之差的绝对值为 C．函数在区间上单调递增 D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 三、填空题 7．已知函数的部分图象如图，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则 .    8．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 9．函数在区间上有两个零点，则 10．如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 四、解答题 11．已知函数． (1)求函数的最小正周期及其图象的对称轴； (2)已知函数的图象经过先平移后伸缩得到的图象，试写出其变换过程． 12．要得到函数的图象，需要将函数的图象作怎样的变换？ 13．函数的部分图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最值． 14．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 15．已知函数的部分图象如图所示．该图象与y轴交于点，与x轴交于B，C两点，D为图象的最高点，且的面积为． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，求的值． 16．已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 17．已知函数的最大值为2. (1)求函数图象的对称中心； (2)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象． ①若，解不等式； ②若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 18．如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点处（点与摩天轮中心高度相同）时开始计时.    (1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质】 总览 题型梳理 一．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象（共6小题） 二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共5小题） 三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共7小题） 四．y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义（共5小题） 五．复合三角函数的单调性（共6小题） 六．三角函数的最值（共9小题） 【知识点清单】 1．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 【知识点的认识】 1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为： （1）先确定周期T，在一个周期内作出图象； （2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下： x ωx+φ 0 π 2π y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 ﹣A 0 由此可得五个关键点； （3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图． 2．振幅、周期、相位、初相 当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则 A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相． 函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为． 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标． 2．两个区别 （1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A． （2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 3．三点提醒 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； （3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|． 2．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 【知识点的认识】 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的． 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标． 2．两个区别 （1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A． （2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 3．三点提醒 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； （3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|． 3．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【知识点的认识】 根据图象确定解析式的方法： 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定． 4．y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义 【知识点的认识】 函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的物理意义 当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈[0，+∞））表示一个简谐振动时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，x＝0时的相位φ叫做初相． 5．复合三角函数的单调性 【知识点的认识】 所谓复合三角函数就是含有两个或两个以上的三角函数，包括其中一个或多个三角函数为另外三角函数的自变量的函数．这样的函数我们要对每一个函数进行一一讨论，是函数比较复杂的一种情况． 6．三角函数的最值 【知识点的认识】 三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象（共6小题） （多选）1．某同学用“五点法”作函数在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据（见下表），则下列说法正确的是（　　） ωx+φ 0 π 2π x Asin（ωx+φ） 0 0 ﹣2 A． B．∀x∈R，都有 C．设方程f（x）＝m（m∈R）在上有两个不等实数根x1，x2，则 D．若函数f（mx）在上单调，则m的最大值为 【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系．版权所有 【分析】由表格中的数据求出函数f（x）的解析式，然后逐项分析判断即可． 【解答】解：对于A，由表格中的数据可知，解得， 可得，可得A＝2， 所以，故A正确； 对于B， ＝0，故B正确； 对于C，由，可得， 可得f（x）与y＝m在上有两个交点， 可得， 可得， 可得，故C错误； 对于D，在上单调， 由，可得， 可得， 可得， 可得m的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查了五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象，由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及函数的零点与方程根的关系，考查了函数思想，属于中档题． 2．函数的一个对称中心是． （1）求函数f（x）的最值及x为何值时取到； （2）用“五点法”画出函数f（x）在[0，π]上的简图． 【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．版权所有 【分析】（1）根据已知得，结合φ的范围，求得，结合正弦型函数性质求最值及取最值时x的值； （2）应用五点法画出f（x）在[0，π]上的图象即可． 【解答】解：（1）由题意得， 则，解得， 因为，所以k＝1时，， 所以，其最大值为2，最小值为﹣2， 当，即时，函数f（x）取得最大值2； 当，即时，函数f（x）取得最小值﹣2． （2）列表如下： π 2π x 0 π y 2 0 ﹣2 0 函数f（x）在[0，π]上的简图如下， 【点评】本题考查三角函数的图象与性质，是基础题． 3．已知函数f（x）＝sinx﹣2|sinx|． （Ⅰ）先补充下列表格，然后用五点法画出函数y＝f（x）在区间[0，2π]上的图象； x 0 π 2π sinx f（x）＝sinx﹣2|sinx| （Ⅱ）结合图象，写出函数的递减区间． 【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象．版权所有 【分析】（Ⅰ）完善表格，在坐标平面内描出点，进而作出函数图象； （Ⅱ）观察图象，列出对应的不等式，解不等式得单调递减区间． 【解答】解：（Ⅰ）由题意函数f（x）＝sinx﹣2|sinx|， 列表如下： x 0 π 2π sinx 0 1 0 ﹣1 0 f（x）＝sinx﹣2|sinx| 0 ﹣1 0 ﹣3 0 描点，连线，可得函数图象如下： （Ⅱ）由（Ⅰ）中f（x）的图象知和， 解得和， 可得f（x）的递减区间为和． 【点评】本题考查了五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象以及正弦函数的单调性，属于中档题． 4．已知两点，是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B图象上相邻的最高点和最低点． （1）求函数f（x）的解析式； （2）用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的简图； （3）将函数f（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位长度后关于y轴对称，求a的最小值． 【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】（1）由题意，且，可得A，B，ω的值，又点是函数图象上的最高点，结合，可得，即可得解函数解析式； （2）用“五点法”即可画函数在一个周期内的简图； （3）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换可得，其图象关于y轴对称，可得，进而即可求解． 【解答】解：（1）由已知有，且， 可得A＝2，B＝1，，ω＝2， 由于点是函数图象上的最高点， 则， 可得， 又， 所以， 所以； （2）用“五点法”画函数在一个周期内的简图， 令，则，列表如下： X 0 π 2π x y 1 3 1 ﹣1 1 描点作图如图所示： （3）将函数f（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位长度所得函数为，其图象关于y轴对称， 则， ， 又a＞0， 所以． 【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象以及三角函数的性质，考查了函数思想，属于中档题． 5．已知函数： （1）补全下列表格，用“五点法”画出f（x）在区间[0，π]的大致图象； 0 π 2π x f（x） （2）若f（x）≥1，求x的取值范围． 【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象．版权所有 【分析】（1）根据五点作图法求解即可； （2）结合正弦函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）补全表格如下： 0 π 2π x f（x） 0 2 0 ﹣2 0 描点连线，可得函数图象如下： （2）因为f（x）≥1， 所以， 可得，k∈Z， 所以，k∈Z， 可得不等式f（x）≥1的解集为． 【点评】本题考查了五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象以及正弦函数的性质，属于基础题． 6．已知函数． （1）补全下列表格，用“五点法”画出f（x）在区间[0，π]的大致图象； 0 π 2π x f（x） （2）将f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间和对称中心的坐标． 【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】（1）填写表格，再利用五点法进行作图即可； （2）根据三角函数图象平移变换求出g（x）的解析式，利用正弦函数单调性和对称性进行求解即可． 【解答】解：（1）根据题意填表如下： 0 π 2π x f（x） 0 2 0 ﹣2 0 利用描点、连线，画出函数图象，如图所示： （2）由题意知，g（x）＝f（x）＝2sin（2x）， 令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z； 所以g（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z； 令2xkπ，解得x，k∈Z， 所以g（x）对称中心的坐标为（，0），k∈Z． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题． 二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共5小题） 7．已知f（x）＝sin（2x+φ）（其中，将f（x）图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，若f（x）与g（x）的图象关于原点对称，则φ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】先由平移得g（x），再利用原点对称性质g（x）＝﹣f（﹣x）建立等式，结合正弦函数相位关系求解φ． 【解答】解：f（x）＝sin（2x+φ），向左平移个单位，得． 因f（x）与g（x）关于原点对称，故g（x）＝﹣f（﹣x）． f（﹣x）＝sin[2（﹣x）+φ]＝sin（﹣2x+φ），则﹣f（﹣x）＝﹣sin（﹣2x+φ）＝sin（2x﹣φ）． 因此对任意x成立． 正弦函数相等需相位差为2kπ（），即：， 消去2x，整理得，即． 由，取k＝0，得． 故选：D． 【点评】本题主要考查三角函数图像平移、对称性及正弦函数性质，属于中档题． 8．对于函数y＝f（x），f（x）＝3cos2x的图像（　　）得到． A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】根据题意利用平移规则可知向右平移即可满足题意． 【解答】解：将f（x）＝3cos2x向右平移个单位可得函数f（x）＝3cos（2x）的图象． 故选：A． 【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 9．要得到函数ycosx的图象，只需将函数ycos（2x）的图象上所有的点（　　） A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】先把函数ycos（2x）的图象进行伸缩变换得ycos（x），再进行平移变换得ycosx的图象． 【解答】解：把函数ycos（2x）的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到图象所对应的函数解析式为ycos（x），再把该图象向右平行移动个单位长度得到函数ycosx的图象． 故选：D． 【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是基础题． 10．将函数的图像向右平移个单位，得到函数g（x）的图像，则（　　） A．g（x）＝﹣cos2x B．g（x）＝cos2x C． D． 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】根据三角函数图像的平移变换，结合诱导公式进行求解，可得答案． 【解答】解：将函数f（x）的图像向右平移个单位，可得g（x）图像，所以g（x）＝f（x）， 结合，可得g（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x）＝﹣cos2x． 故选：A． 【点评】本题主要考查函数图像的平移变换、三角函数的诱导公式等知识，属于基础题． 11．把函数y＝cosx图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象，则f（x）＝（　　） A． B． C． D．． 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】求出把函数y＝cosx图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数． 【解答】解：把函数y＝cosx图象上所有点的横坐标变为原来的倍可得y＝cos2x， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角函数的伸缩变换及平移变换，属于基础题． 三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共7小题） 12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，若A，B，C是直线y＝m与函数f（x）图象的从左至右相邻的三个交点，且AB＝2BC，则实数m＝（　　） A． B． C． D．±1 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．版权所有 【分析】根据图象求出φ，ω，得，分类讨论m＜0、m＞0，结合图形和三角函数的对称性求出xA，根据m＝f（xA）计算即可． 【解答】解：由f（x）的部分图象知，T，解得T＝π， 所以ω2，又2φ2kπ，解得φ2kπ，k∈Z， 因为|φ|，所以φ，所以f（x）＝2sin（2x）． 若m＜0，不妨设A，B，C的位置如图1所示， 则AC＝xC﹣xA＝π， 又AB＝2BC，所以ABACxB﹣xA，又xB+xA＝2， 所以xA，m＝f（xA）＝f（）＝2sin（﹣2）＝﹣1； 同理m＞0时，如图2，ABACxB﹣xA， 令f（x）＝2sin（2x）＝0，解得x，k∈Z， 所以点（，0）是f（x）的图象与x轴的一个交点，即A，B关于直线x对称， 得xB+xA＝2，解得xA， 所以． 综上，m＝±1． 故选：D． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是中档题． 13．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　） A． B．f（x）在上单调递增 C．为偶函数 D． 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦函数的单调性；余弦函数的对称性．版权所有 【分析】由f（x）的最值求得A，根据三角函数的周期公式算出ω，结合当x时函数取得最大值，求出，然后取A＞0，ω＞0，可得，根据诱导公式、余弦函数的单调性与奇偶性，依次判断各项的正误，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据f（x）的最大值为2，可知|A|＝2， 函数的周期T满足，解得T＝π，则|ω|2， 不妨设A＝2，ω＝2，即f（x）＝2cos（2x+φ）， 因为x时函数取得最大值， 所以，取k＝0得，可得， 根据，可知A错误； 当时，2x∈（，）， 结合余弦函数的性质，可知f（x）存在f（）＝2cos0＝2，达最大值， 所以f（x）在上先增后减，故B错误； 根据，定义域为R， 结合余弦函数为偶函数，可得为偶函数，故C正确； 对于D， ，故D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、三角函数的诱导公式、余弦函数的图象与性质等知识，属于中档题． 14．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中）的部分图象如图所示，点M，N是函数图象与x轴的交点，点P是函数图象的最高点，且△PMN是边长为2的正三角形，ON＝3OM，则f（x）＝Asin（ωx+φ）的解析式可以是（　　） A． B． C． D． 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．版权所有 【分析】利用已知条件求出点M、N、P的坐标，进而可求得函数的周期T与最大值A，然后根据P点坐标列式算出φ的值，即可得到本题的答案． 【解答】解：过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则Q为MN的中点， ∵△PMN是边长为2的正三角形，ON＝3OM， ∴，，，可得，， ∵f（x）的周期T＝2MN＝4， ∴，解得，， ∵当x时，f（x）有最大值， ∴，结合，解得，． 故选：A． 【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题． （多选）15．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则（　　） A．当|φ|最小时， B．y＝f（x）的图象关于直线对称 C．不等式的解集为 D．若f（x）在[0，θ）上有三个零点，则 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的奇偶性和对称性．版权所有 【分析】根据所给图象求出f（x）的周期，从而求出ω，然后将代入解析式，求得求得φ的表达式，可判断出A项的正误，同时求出f（x）的解析式；令，求得f（x）的对称轴，然后对直线x进行验证，可判断出B项的正误；根据正弦函数的图象与性质解不等式，即可判断出C项的正误；根据正弦函数的性质解方程f（x）＝0，可得f（x）零点的表达式，结合题意建立关于θ的不等式，解出θ的取值范围，可判断出D项的正误． 【解答】解：由图象可知f（x）的周期T满足，可得T＝π， 根据三角函数的周期公式，可得π，结合ω＞0，可得ω＝2， 因为x是f（x）在减区间上的零点，所以， 可得，当|φ|最小时，，可知A选项错误； 根据，可得f（x）图象的对称轴方程满足， 即，当k＝0时，， 所以y＝f（x）的图象关于直线对称，可知B选项正确； 由， 结合正弦函数的图象，可得， 解得， 所以不等式的解集为，可知C选项正确； 令，可得，解得， 因此f（x）在[0，+∞）的零点依次为，，，， 若f（x）在[0，θ）上有三个零点，则这三个零点为，，， 所以θ，即，可知D选项正确． 故选：BCD． 【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题． （多选）16．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．是函数y＝f（x）的图象的一个对称中心 B．函数y＝f（x）在上单调递减 C．函数是奇函数 D．若，且， 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的奇偶性和对称性．版权所有 【分析】根据题意及图象得到，对于A，代入检验，即可求解； 对于B，根据条件得到，利用y＝sinx的性质，即可求解； 对于C，根据条件得到，利用y＝cosx的性质，即可求解； 对于D，根据条件求得，再构角，再利用余弦的差角公式，即可求解． 【解答】解：由图象得：A＝2，， 则T2π，所以， 故f（x）＝2sin（x+φ）， 又， 则，解得， 又，所以k＝0，，故， 对于A：因为， 所以是函数y＝f（x）的图象的一个对称中心，故A正确； 对于B：当时，， 由y＝sinx的性质知，函数y＝f（x）在上单调递减，故B正确； 对于C：因为函数2sin（x）＝2sin（x）＝2cosx， 且y＝cosx是偶函数，所以函数是偶函数，故C错误； 对于D：因为，则，得到， 又，则， 所以， 则， 故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查三角函数的图象与性质，根据三角函数的部分图象求出解析式是解题关键，是中档题． （多选）17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，把函数f（x）的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则（　　） A． B．函数g（x）的图像关于直线对称 C．若函数y＝f（2x）在区间[0，m]上恰有4个不同的零点，则m的取值范围为 D．函数y＝f（2x）g（x）的图像关于点对称 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；由函数零点所在区间求解函数或参数；正弦函数的定义域和值域．版权所有 【分析】对于A：由图像可知，求出ω＝1，再代点即可求解； 对于B：先求出变换后的图像，再利用对称轴公式即可判断； 对于C：有4个交点结合正弦函数图像得到：即可求解； 对于D：利用二倍角公式及差角的正弦化简得到：y＝f（2x）g（x），利用对称中心公式即可求解． 【解答】解：对于A：由图像得， 则ω＝1，f（x）＝sin（x+φ）， 又f（）＝sin（）＝1， 所以2kπ，k∈Z， 又，则，故A错误； 对于B：函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像， 再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin[2（x）]＝sin2x的图像， 令，k∈Z，则函数g（x）图像关于直线（k∈Z）对称， k＝0时，对称轴为，故B正确； 对于C：要使函数在区间[0，m]上恰有4个不同的零点， 由于，则的取值范围为，故C正确； 对于D： ， 令，得， 所以函数y＝f（2x）g（x）的图像关于点对称，故D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查三角函数的图像与性质，是中档题． （多选）18．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图像如图所示，则（　　） A．ω＝2 B． C．直线是函数f（x）图象的一条对称轴 D．f（x）在的值域为[﹣1，2] 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的奇偶性和对称性．版权所有 【分析】根据函数图象可确定A，ω的值，利用特殊点代入函数解析式确定φ，即可得到函数解析式，判断A，B；将代入验证，可判断C；利用正弦函数的值域可判断D． 【解答】解：由图象知A＝2，，解得ω＝2，故A正确； 由题意，f（），则， 又0＜φ＜π，可得，可得，故B错误； 又由于f（）2，可得是f（x）图象的一条对称轴，故C正确； 由于，可得， 可得，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质的应用，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题． 四．y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义（共5小题） 19．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数．如音叉发出的纯音振动可表示为y＝Asinωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），A表示纯音振动的振幅（对应音强），已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（　　） A． B． C． D． 【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．版权所有 【分析】根据三角函数的解析式直接求频率即可． 【解答】解：因为，所以， 即该纯音振动的频率为． 故选：C． 【点评】本题考查了根据函数解析式求频率的问题，是基础题． 20．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（　　） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．版权所有 【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即可． 【解答】解：由y＝20sin（t），t∈[0，+∞）可得该弹簧振子振动的最小正周期． 故选：A． 【点评】本题考函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的周期问题，为基础题． 21．如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为P0，OP0与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度2rad/min沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点P1所需的时间（单位：min），则（　　） A． B． C． D． 【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．版权所有 【分析】根据题意求出盛水桶到水面的距离d与时间t的函数关系式，令d＝0，得到，结合题目条件和三角恒等变形即可求解． 【解答】解：由题意，设盛水桶在转动过程中到水面的距离为d，时间为t， 则旋转角度为， 如图，先建立坐标系，令转轮中心为坐标原点，水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向， 由题意可得，d是关于t的周期函数，盛水桶到水面的距离d与时间t的函数关系为：， 令d＝0，解得，即盛水筒第一次到达入水点所需的时间满足，且， 则，，故A、C错误； 可得，故D正确； 又由于 ， 又由于cos2t＝1﹣2sin2t， 可得，故B错误． 故选：D． 【点评】本题考查了y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义以及三角函数恒等变换的应用，属于中档题． 22．如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为 　　 ． 【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．版权所有 【分析】根据题意，求出t时刻点M所在射线OM为终边的角，三角函数的定义求解，可得答案． 【解答】解：根据，可得以射线OM0为终边的角， 点M从M0开始，按逆时针方向匀速转动，角速度为， 可得t时刻点M所在射线OM为终边的角为， 结合三角函数定义，可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角函数的定义、y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义等知识，属于基础题． 23．如图，一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车轴心O距水面的高度为1米，设筒车上某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，φ）． （1）求d与时间t（单位：分钟）之间的关系式； （2）某时刻t0（单位：分钟）时，盛水桶P在过O点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶P到水面的距离． 【考点】y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．版权所有 【分析】（1）根据三角函数的周期公式算出ω，由筒车所在圆的半径与轴心O到水面的距离算出A与K，然后根据f（0）＝0确定出φ的值，即可得到d与时间t之间的关系式； （2）则f（t0），算出，结合同角三角函数的关系算出．然后根据两角和与差的三角函数公式算出f（t0）的值，即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）由题意可知，结合ω＞0可得ω＝2． 因为筒车所在圆的半径为2米，筒车的轴心O距水面的高度为1米，所以A＝2且K＝1． 当t＝0时，d＝0，代入d＝2sin（2t+φ）+1，可得2sinφ+1＝0， 即sinφ，结合，解得，所以； （2）由题意得，解得，其中，k∈Z． 由，解得． 所以， 可得d＝sin[（t0）]+1米． 答：再经过分钟后，盛水桶P到水面的距离为米． 【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式的求法、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题． 五．复合三角函数的单调性（共6小题） 24．已知函数在上单调递减，则正数ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】复合三角函数的单调性．版权所有 【分析】结合正弦函数图象的变换及正弦函数的单调性即可求解． 【解答】解：令kπ+π，k∈Z， 解得，，k∈Z， 又，则0＜ω≤1， 则，解得． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角函数图象变换及正弦函数单调性的应用，属于中档题． 25．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0且φ∈R）在上单调，且，若f（x）在上恰有2个零点，则ω的取值最准确的范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】复合三角函数的单调性；由函数零点所在区间求解函数或参数；正弦函数的图象．版权所有 【分析】由结合函数单调性，即可确定f（x）的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得求出再结合函数零点个数，列出不等式求得综合，即可求得ω的取值范围． 【解答】解：因为函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在区间上单调， 且满足，而，， 即f（x）的一个对称中心为，故； 而，故f（x）在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则， ， 函数f（x）在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点，相邻两个零点之间相距半个周期， 故， 即，解得，结合， 可得ω的取值范围为． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，函数的单调性的应用，是中档题． 26．函数，x∈（0，π）的增区间是（　　） A． B． C． D． 【考点】复合三角函数的单调性；正弦函数的单调性．版权所有 【分析】根据三角函数单调性的求法求得正确答案． 【解答】解：，，，k∈Z， 令k＝0可得的递增区间为． 故选：C． 【点评】本题考查正弦函数的单调性的应用，是中档题． 27．已知函数，则下列说法错误的是（　　） A．是函数f（x）的周期 B．函数f（x）在区间上单调递增 C．函数f（x）的图象可由函数y＝|sin2x|向左平移个单位长度得到 D．函数f（x）的对称轴方程为 【考点】复合三角函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性．版权所有 【分析】利用正弦函数的图象与性质逐一判断选项即可． 【解答】解：A：由题意可得，故A正确； B：由题意，可求， 又y＝|sinu|＝sinu在上不单调，故B错误； C：由题意，y＝|sin2x|的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故C正确； D：令，得，故D正确． 故选：B． 【点评】本题考查了正弦函数的图象和性质的应用，解答选项A的思路为验证；选项BD为整体代换法的应用；选项C为函数图象的平移变换，属于中档题． 28．已知函数（其中ω＞0）在上单调递增，在上单调递减，则ω的取值范围为（　　） A．（0，1] B．（0，2] C．[1，2] D．（1，2） 【考点】复合三角函数的单调性．版权所有 【分析】根据ω＞0，分别在时与的情况下，计算出的取值范围，根据正弦函数的性质建立关于ω的不等式，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：当时，， 所以，解得ω≤2． 当时，， 因为ω≤2，所以，可得，解得ω≥1． 综上所述，1≤ω≤2，即ω的取值范围为[1，2]． 故选：C． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数的单调性及其应用，属于中档题． 29．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），若，且f（x）在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则 　　 ． 【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的最值．版权所有 【分析】分析可知最小正周期T＝π，进而可得ω＝2，代入即可得函数值． 【解答】解：因为f（x）＝sinωx，，且f（x）在区间上恰有一个最大值和一个最小值， 可知函数f（x）＝sinωx的最小正周期， 则ω＝2，f（x）＝sin2x， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正弦函数最值取得条件的应用，属于中档题． 六．三角函数的最值（共9小题） 30．已知函数f（x）＝sin（x+2θ）+cos（x+4θ），是偶函数，则g（x）＝sinx•cos（x+4θ）的最大值为（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的最值；两角和与差的三角函数．版权所有 【分析】利用偶函数定义化简解出θ的值，将θ的值代入g（x），通过三角恒等变换化简，利用正弦函数的有界性求出最大值． 【解答】解：函数f（x）＝sin（x+2θ）+cos（x+4θ），是偶函数， 得sin（x+2θ）+cos（x+4θ）＝sin（﹣x+2θ）+cos（﹣x+4θ）， 展开整理得cos2θ＝sin4θ，所以cos2θ＝2sin2θcos2θ， 又，cos2θ≠0，得，解得， 所以 ． 当时，g（x）取得最大值． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 31．已知函数f（x）＝3sinx+4cosx，当f（x）取最大值时sinx＝（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】根据三角函数的辅助角公式及性质，即可求解． 【解答】解：因为f（x）＝3sinx+4cosx＝5sin（x+φ），其中cosφ，sinφ， 所以当x+φ（k∈Z）时，f（x）取得最大值5， 所以x，k∈Z， 所以此时sinx＝sin（） ＝sin（φ）＝cosφ． 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的性质，属基础题． 32．已知函数f（x）＝sinx+acosx的图象关于点对称，则f（x）的最大值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】利用已知条件，取特殊值，代入得到关于a的方程，解出a．然后将a代入函数化简，同样根据正弦函数性质求最大值． 【解答】解：由题意，得，解得， 所以， 故当，即时，f（x）取得最大值． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 33．对于x∈R，f（x）＝sin2x+sinx﹣1的最小值为（　　） A． B．﹣1 C．0 D．﹣2 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】令sinx＝t，从而将f（x）转化成关于t的函数，求y＝t2+t﹣1在区间[﹣1，1]上的最小值，利用二次函数的性质算出答案． 【解答】解：令sinx＝t，则f（x）＝t2+t﹣1＝g（t），其中t∈[﹣1，1]， 由二次函数的性质，可知g（t）在[﹣1，]上为减函数，在[，1]上为增函数， 当时，g（t）＝t2+t﹣1取到最小值，最小值为（）2+（）﹣1， 所以f（x）＝sin2x+sinx﹣1的最小值为． 故选：A． 【点评】本题主要考查正弦函数的性质、二次函数的单调性与最值等知识，属于基础题． 34．已知函数在区间[0，m]上的值域为，则实数m的最大值为（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】先求出当x＝0时函数f（x），然后利用函数的值域以及正弦函数的性质求出最大求解，即可求出m的最大值． 【解答】解：因为2x为单调递增函数，当x＝0时，2x， 则2sin（）＝﹣2sin， 又因为函数f（x）的值域为[，2]， 由正弦函数的性质可得当2x时，区间[0，m]为最大的区间， 所以2x，即x， 故选：D． 【点评】本题考查了三角函数的单调性，考查了正弦函数的性质，属于基础题． 35．设函数，若当x＝θ时，函数取得最大值，则tanθ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】利用辅助角公式及诱导公式计算可得． 【解答】解：因为，其中， 又当x＝θ时，函数f（x）取得最大值，所以， 所以， 则，k∈Z． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 36．当x＝θ时，函数f（x）＝5sinx﹣12cosx取得最小值，则cosθ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】首先把函数的关系式进行变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果． 【解答】解：由题意，f（x）＝5sinx﹣12cosx＝13（sinxcosx）＝13sin（x+α），其中sinα，cosα， 当x+α＝2kπ，k∈Z时，函数取最小值﹣13， 即：θ+α＝2kπ，k∈Z， 所以cosθ＝cos（2kπα）＝﹣sinα． 故选：C． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 37．函数f（x）＝sinxcosx+cos2x的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．版权所有 【分析】根据题意，利用二倍角公式、辅助角公式，将函数变形为，结合正弦函数的性质求出f（x）的最大值，可得答案． 【解答】解： ， 结合正弦函数的最大值为1，可得． 故选：A． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式与二倍角公式、正弦函数的性质等知识，属于基础题． 38．已知f（x）＝sin4x+cos4x+sinxcosx，则f（x）的最小值为（　　） A．0 B． C．1 D． 【考点】三角函数的最值．版权所有 【分析】由正弦二倍角公式，即换元得到，即可求解． 【解答】解：f（x）＝sin4x+cos4x+sinxcosx＝（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x+sinxcosx， 令t＝sin2x∈[﹣1，1]， 整理得，故g（t）的对称轴方程为：， 所以当t＝﹣1时，取到最小值0， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 课后针对训练 一、单选题 1．为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 2．已知函数的最小正周期为，且过点，若将图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，再向左平移个单位长度得到，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（    ） A． B．3 C．4 D．2 4．已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 5．已知函数图象的一条对称轴为直线，函数，则（   ） A．将的图象向左平移个单位长度得到的图象 B．方程的相邻两个实数根之差的绝对值为 C．函数在区间上单调递增 D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 三、填空题 7．已知函数的部分图象如图，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则 .    8．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 9．函数在区间上有两个零点，则 10．如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 四、解答题 11．已知函数． (1)求函数的最小正周期及其图象的对称轴； (2)已知函数的图象经过先平移后伸缩得到的图象，试写出其变换过程． 12．要得到函数的图象，需要将函数的图象作怎样的变换？ 13．函数的部分图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最值． 14．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 15．已知函数的部分图象如图所示．该图象与y轴交于点，与x轴交于B，C两点，D为图象的最高点，且的面积为． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，求的值． 16．已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 17．已知函数的最大值为2. (1)求函数图象的对称中心； (2)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象． ①若，解不等式； ②若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 18．如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点处（点与摩天轮中心高度相同）时开始计时.    (1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C D A BD BC 1．C 【分析】根据三角函数平移伸缩转换即可判断. 【详解】将向左平移个单位得到，然后纵坐标伸长为原来的2倍得到. 故选：C 2．C 【分析】根据题设描述的函数性质求参数值，得，再由图象平移写出的解析式即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，则，故， 又函数过点，故， 即，，解得，， 由得，故． 将图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得， 再向左平移个单位长度得. 故选：C 3．D 【分析】根据题设得到，，再将代入，即可求解. 【详解】由图知，点在的增区间内，点在的减区间内，又，， 设的最小正周期为，则，解得，所以， 因为将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称， 又，所以， 则，又，所以， 故，将代入可得，所以． 故选：D. 【点睛】方法点睛：有关三角函数奇偶性问题的解题思路： 1.要使为奇函数，则． 2.要使为偶函数，则． 3.要使为奇函数，则． 4.要使为偶函数，则． 4．A 【分析】根据函数图象的平移可得，即可由对称性求解． 【详解】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，所以． 因为与的图象关于原点对称，函数的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为 所以， 即， 所以， 所以， 又，所以． 故选：A 5．BD 【分析】根据对称轴得到解析式.根据图像平移判断A选项，利用两角和的正余弦公式及特殊角的三角函数值，得到B选项，利用整体代入的方法，结合正弦函数图像对CD两个选项进行判断. 【详解】因为函数图象的一条对称轴为直线，所以，得，因为，所以，从而. 选项A：将的图象向左平移个单位长度得到 而，所以平移后得不到函数的图象，故A错误. 选项B：令，即，所以，故B正确. 选项C：由，令，根据正弦函数单调性知在上单调递增，在定义域上单调递减，根据复合函数单调性，在上单调递减，故C错误. 选项D：由得，区间长度为. 根据正弦函数图象和性质，当区间关于对称轴对称时，最大值与最小值的差取得最小值，为; 当区间关于对称中心对称时，最大值与最小值的差取得最大值，为， 所以最大值与最小值之差的取值范围为，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：整体代入解决三角函数问题：将看成一个整体，根据的范围得到的范围，结合正余弦函数值域、单调性、对称性等性质可以得到正余弦型函数的性质. 6．BC 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 7． 【分析】先根据图象求出函数的解析式，然后根据平移法则求出解析式即可. 【详解】由已知，函数的部分图象如图所示，    由图可知, 则函数周期，所以， 因为，由图可知，解得， 所以，函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象如图所示，    根据平移法则，得. 故答案为：. 8．. 【分析】利用三角函数的平移可得新函数，再结合正弦函数的图像性质，可求得函数的对称轴方程为，，通过对取值进行比较，从而可得平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程. 【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度， 可得， 由正弦函数的图像性质可知，函数的对称轴方程为，， 解得，， 当时，；当时，， 所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是. 故答案为：. 9． 【分析】利用换元法简化三角函数解析式然后根据余弦函数对称性得到，最后根据同角三角函数基本关系和诱导公式即可. 【详解】令，则函数在区间上有两个零点等价于： 函数在区间上有两个零点， 所以，所以由余弦函数图象情况可知， 且，， 所以， 所以， 故答案为：. 10．， 【分析】由题意，周期为2，秒钟后，旋转角为，求出点的横坐标，从而求出点到直线的距离. 【详解】设， 由题意得，所以，由起始位置得， 故点到直线的距离，. 故答案为：，. 11．(1)最小正周期为，对称轴为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，进而结合正弦函数的性质求解即可； （2）根据平移、伸缩变化的知识求解即可. 【详解】（1） ， 因此函数的最小正周期． 令，得， 因此函数图象的对称轴是直线． （2）， 先将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 接着把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象， 最后把图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象． 【点睛】求解三角函数性质问题的思想方法： （1）转化思想：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式． （2）整体思想：类比的性质，只需将中的“”看成中的“”，采用整体代入求解． ①令，可求得函数图象的对称轴方程． ②令，可求得函数图象的对称中心的横坐标． ③将看作整体，可求得的单调区间，注意的符号． 12．答案见解析 【分析】利用诱导公式和三角函数的平移变换易得. 【详解】因， 而，因. 故要将函数的图象左移个单位长度即得函数的图象． 13．(1)； (2)； (3)最大值为3，最小值为0. 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图方法求出解析式. （2）利用正弦函数的性质求出单调递增区间. （3）利用三角函数图象变换求出，再利用正弦函数性质求出指定区间上的最值. 【详解】（1）观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以函数的解析式是. （2）由（1）知，， 由，得， 所以函数的单调递增区间为. （3）依题意，， 当时，，则当，即时，； 当或，即或时，. 所以在区间上的最大值为3，最小值为0. 14．(1) (2)12 【分析】（1）根据图象上的最值、周期和点的坐标，结合正弦函数的图象和性质求解即可； （2）先根据三角函数图象的伸缩变换得到，再求出在上的值域，将原问题转化为即可求解. 【详解】（1）根据图象可得，，则， 因为，所以， 将代入的解析式，得， 结合图象知，解得， 因为，所以， 所以． （2）由（1）知， 将的图象向左平移个单位长度得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍得的图象， 因为，所以，则， 所以， 故在上的值域为， 对任意的，，则只需即可， 所以，即实数的最小值为12． 15．(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形的面积得最小正周期，进而求出，根据图象经过点A求出，即可得出的解析式； （2）求出函数的表达式，得出，即可求出的值. 【详解】（1）由题意， 的高为2，面积为， 即，可得，则， ∴，解得． ∵图象与y轴交于点， ∴，即， 又因为，所以． ∴． （2）由题意及（1）得， 将向右平移个单位长度， 得到的图象， 再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象， ∴． 由可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．(1)表格及作图见解析 (2) 【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图； （2）先通过图象变换得到，然后结合图像代入得到解集． 【详解】（1）（1），补全列表如下： 0 x 0 1 0 0 画出在上的图象如图： （2）的图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象， 再向左平移个单位长度，得的图象． 令，则， 解得， 即的解集为． 17．(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据两角和差的正弦公式化简函数，根据最大值求得，结合整体换元计算得到对称中心； （2）先根据平移变换得到函数，①根据三角函数的性质求解即可；②由题意，得的范围，结合对称性得，求的值，化简得，即可得答案； 【详解】（1）因为 ， 所以，解得，所以． 令，得， 即图象的对称中心为． （2）由题意可得． ①由可得， 解得，即． 又因为，所以或， 故不等式的解集为或. ②因为，所以， 由，可得，所以． 由正弦函数图象的对称性可知， 所以，且． ． 所以 ． 18．(1) (2)8.72秒 【分析】（1）求出摩天轮的转速，利用半径和直角三角形的角的正弦值，求出摩天轮上一点处的纵坐标关于时间的表达式，进而求得此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式； （2）根据题意列出不等式，解出不等式即可. 【详解】（1）依题意，此摩天轮的转速为， 设摩天轮上某人在处，则在秒内转过的角为， 所以秒时，点的纵坐标为， 故在秒时此人相对于地面的高度为（米）. （2）令，则，， 且，解得， 故约有秒的时间此人相对于地面的高度不超过10米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$