第28讲 正切函数的性质与图象（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第28讲 正切函数的性质与图象 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正切型函数的定义域 题型2 正切型函数的最值或值域 题型3 正切型函数的周期性 题型4 正切型函数的奇偶性 题型5 正切型函数的对称性 题型6 正切型函数的单调性 题型7 比较正切函数值的大小 题型8 利用正切函数解不等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正切函数 正切型函数 1. 探究性质：借助诱导公式与单位圆正切线探究正切函数性质，培养直观想象与数学抽象素养. 2. 掌握作图：掌握“三点两线法”画正切函数简图，提升数学运算素养. 3. 综合应用：能运用正切函数性质解决定义域、周期及单调区间等问题，培养逻辑推理素养. 4. 体会思想：领悟类比迁移、数形结合思想，完善三角函数认知体系. 学习重点：（1）性质归纳：准确掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性及单调性. 图象特征： （2）掌握正切曲线的渐近线特征及“三点两线”简图画法. 学习难点：（1）概念辨析：理解正切函数在每个开区间内单调递增，但在整个定义域上不单调. （2）综合应用：熟练运用换元法求解正切型函数（如 y=Atan(ωx+φ)的复合性质.） 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正切函数的图象与性质 1、定义域：， 2、值域：R 3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：正切函数是奇函数，即． 5、单调性：在开区间内，函数单调递增 6、正切函数图象如下： 知识点02 正切型函数 形如的函数叫做正切型函数. 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、最小正周期： 4、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 知识点03 解题技巧 1、求正切型函数的定义域注意事项 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如的不等式的步骤如下： （1）作图象：作在上的正切函数图象； （2）求界点：求在上使成立的值； （3）求范围：求上使成立的范围； （4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域. 2、求函数（都是常数）的单调区间的方法 （1）若，由于在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令，解得的范围即可； （2）若，可利用诱导公式先把转化为，即先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可. 题型1 正切型函数的定义域 【例1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件：令 ，解不等式即可， 另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线. 【变式1-1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型2 正切型函数的最值或值域 【例2】函数的值域为___________． 【方法总结】 处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解. 当定义域为指定区间D时，应该画出对应正切型函数的图象，然后根据图象来求最值（值域）. 【变式2-1】已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 题型3 正切型函数的周期性 【例3】函数的最小正周期为（    ） A． B． C．2 D．4 【方法总结】 类型一：标准正切型函，最小正周期公式为. 正负不影响周期，负号仅改变函数单调性，计算时直接取绝对值.解题先提取的系数，代入公式计算即可. 类型二：对于，先求内层基础周期；加绝对值后图像沿 x 轴翻折下半部分，周期减半. 【变式3-1】函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式3-2】函数的最小正周期是__________. 题型4 正切型函数的奇偶性 【例4】若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 类型一：为奇函数，需满足图像过原点，即时函数有意义且，代入得，推出.核心条件：取整数倍，保证在处正切值为 0，区分正弦余弦奇偶的条件，避免混淆. 类型二：形如，是奇函数（均为奇函数），满足，可. 【变式4-1】已知函数，若，则（    ） A．5 B．3 C．1 D．0 题型5 正切型函数的对称性 【例5】下列是函数的对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 对，令，解出x得对称中心横坐标；纵坐标恒为b. 【变式5-1】下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 题型6 正切型函数的单调性 【例6】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 单调递增，利用基础区间，令解；区间必须用开括号，渐近线处无定义.若先提负号反转单调性. 【变式6-1】已知函数在内是减函数，则的取值范围是__________． 题型7 比较正切函数值的大小 【例7】下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 利用正切周期，先化角到；在此区间单调递增，角大值更大. 两角不在同一单调区间，用诱导公式转化至同一区间再比； 负角度可借变形，最后依据区间内增减性判断数值大小. 【变式7-1】比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 题型8 利用正切函数解不等式 【例5】已知角为斜三角形的内角，，则的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 先化简不等式，求出或；利用在单调递增，写出基础解集，再加周期.若附带角度限制（如锐角三角形内角），取交集得到最终范围；注意，避开渐近线无定义点. 若是正切型函数，则先换元. 【变式5-1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ）． A． B． C． D． 3．与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．是的一个对称中心 D．当时，的最大值为1 9．已已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．的定义域是 C．在上单调递增 D．的最小正周期是 三、填空题 10．若，且满足，则的最小值为__________． 11．函数，的值域为___________. 12．设函数是定义在上的偶函数,且,当时,,则函数在上所有零点的个数为___________. 四、解答题 13．已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 14．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 正切函数的性质与图象 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正切型函数的定义域 题型2 正切型函数的最值或值域 题型3 正切型函数的周期性 题型4 正切型函数的奇偶性 题型5 正切型函数的对称性 题型6 正切型函数的单调性 题型7 比较正切函数值的大小 题型8 利用正切函数解不等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正切函数 正切型函数 1. 探究性质：借助诱导公式与单位圆正切线探究正切函数性质，培养直观想象与数学抽象素养. 2. 掌握作图：掌握“三点两线法”画正切函数简图，提升数学运算素养. 3. 综合应用：能运用正切函数性质解决定义域、周期及单调区间等问题，培养逻辑推理素养. 4. 体会思想：领悟类比迁移、数形结合思想，完善三角函数认知体系. 学习重点：（1）性质归纳：准确掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性及单调性. 图象特征： （2）掌握正切曲线的渐近线特征及“三点两线”简图画法. 学习难点：（1）概念辨析：理解正切函数在每个开区间内单调递增，但在整个定义域上不单调. （2）综合应用：熟练运用换元法求解正切型函数（如 y=Atan(ωx+φ)的复合性质.） 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正切函数的图象与性质 1、定义域：， 2、值域：R 3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：正切函数是奇函数，即． 5、单调性：在开区间内，函数单调递增 6、正切函数图象如下： 知识点02 正切型函数 形如的函数叫做正切型函数. 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、最小正周期： 4、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 知识点03 解题技巧 1、求正切型函数的定义域注意事项 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如的不等式的步骤如下： （1）作图象：作在上的正切函数图象； （2）求界点：求在上使成立的值； （3）求范围：求上使成立的范围； （4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域. 2、求函数（都是常数）的单调区间的方法 （1）若，由于在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令，解得的范围即可； （2）若，可利用诱导公式先把转化为，即先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可. 题型1 正切型函数的定义域 【例1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 则，解得. 【方法总结】 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件：令 ，解不等式即可， 另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线. 【变式1-1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得：，解得， 函数的定义域为. 题型2 正切型函数的最值或值域 【例2】函数的值域为___________． 【答案】 【详解】∵，∴， ， ∴时，，时，，∴所求值域为． 故答案为：． 【方法总结】 处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解. 当定义域为指定区间D时，应该画出对应正切型函数的图象，然后根据图象来求最值（值域）. 【变式2-1】已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，又 所以 所以， 所以 题型3 正切型函数的周期性 【例3】函数的最小正周期为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】易知，则其最小正周期为. 【方法总结】 类型一：标准正切型函，最小正周期公式为. 正负不影响周期，负号仅改变函数单调性，计算时直接取绝对值.解题先提取的系数，代入公式计算即可. 类型二：对于，先求内层基础周期；加绝对值后图像沿 x 轴翻折下半部分，周期减半. 【变式3-1】函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为（）的最小正周期为， 所以的最小正周期，解得. 【变式3-2】函数的最小正周期是__________. 【答案】 【详解】由正切函数的图象与性质知：与的最小周期均为， 与的图象如图所示， 所以函数与最小正周期也一样， 函数的最小正周期是， 的最小正周期也是． 题型4 正切型函数的奇偶性 【例4】若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若0在定义域内，由时，得，； 若0不在定义域内，由时，无意义，得． 综上，． 【方法总结】 类型一：为奇函数，需满足图像过原点，即时函数有意义且，代入得，推出.核心条件：取整数倍，保证在处正切值为 0，区分正弦余弦奇偶的条件，避免混淆. 类型二：形如，是奇函数（均为奇函数），满足，可. 【变式4-1】已知函数，若，则（    ） A．5 B．3 C．1 D．0 【答案】A 【详解】依题意，令，则是奇函数，， 于是得， 所以. 题型5 正切型函数的对称性 【例5】下列是函数的对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得， 故函数的对称中心为，故AB错误； 当时，，故对称中心为，D正确， ，C不满足要求． 【方法总结】 对，令，解出x得对称中心横坐标；纵坐标恒为b. 【变式5-1】下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，令 当时，，ABD均符合题意， 题型6 正切型函数的单调性 【例6】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为. 【方法总结】 单调递增，利用基础区间，令解；区间必须用开括号，渐近线处无定义.若先提负号反转单调性. 【变式6-1】已知函数在内是减函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵已知函数在内是减函数, ∴函数在内是单调增函数， ∴，解得，经检验，满足题意. ∴的取值范围是． 题型7 比较正切函数值的大小 【例7】下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，， , 因为，所以， 所以，故A错误； 对于B，，而， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为，而， 所以，所以，故D正确； 【方法总结】 利用正切周期，先化角到；在此区间单调递增，角大值更大. 两角不在同一单调区间，用诱导公式转化至同一区间再比； 负角度可借变形，最后依据区间内增减性判断数值大小. 【变式7-1】比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为函数在上单调递增，且， 所以，即. 题型8 利用正切函数解不等式 【例5】已知角为斜三角形的内角，，则的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】角为斜三角形的内角，则， ，即，故. 【方法总结】 先化简不等式，求出或；利用在单调递增，写出基础解集，再加周期.若附带角度限制（如锐角三角形内角），取交集得到最终范围；注意，避开渐近线无定义点. 若是正切型函数，则先换元. 【变式5-1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，得. 一、单选题 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为. 2．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于AC，函数，都是奇函数，A不是，C不是； 对于B，函数是偶函数，周期为，B不是； 对于D，函数是偶函数，周期为，D是. 3．与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，令，得， 令，得，令，得，令，得， 令，得，结合选项得函数的图象的一条渐近线为直线， 即直线与函数的图象不相交． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，得，解得， 所以不等式的解集为. 5．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，， 因为正切函数在上为增函数，且， 所以，即，A项错误； 对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且， 所以，B选项错误； 对于C选项，， 因为余弦函数在上为减函数，且， 所以，即，C选项正确； 对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且， 所以，D选项错误． 6．函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数 当时，可得， 所以， 此时函数为单调递减函数，且，可排除选项C、D； 当时，可得， 所以， 此时函数为单调递增函数，且，可排除选项A． 二、多选题 7．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，， 因为正切函数在上为增函数，且， 所以，即，A选项正确； 对于B，由于正切函数在上为增函数，且， 所以，B选项正确； 对于C，， 因为余弦函数在为减函数，， 所以，即，C选项正确； 对于D，由于正弦函数在上为增函数，且， 所以，D选项错误. 8．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．是的一个对称中心 D．当时，的最大值为1 【答案】AC 【详解】对于A：因为，所以最小正周期，故A正确； 对于B：令，解得， 令得，令，，故B错误； 对于C：令代入可得， 所以是的一个对称中心，故C正确； 对于D：当时，， 所以当时，最大值为1，所以的最大值为，故D错误. 9．已已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．的定义域是 C．在上单调递增 D．的最小正周期是 【答案】AD 【详解】因为函数，作出函数的大致图象， 对于B，令，得，可知的定义域为，故B错误； 对于A，定义域关于原点对称，且，故是偶函数，故A正确； 对于C，由图象可知函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，由的图象的可知函数最小正周期是，故D正确. 三、填空题 10．若，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】周期为，且在区间上为单调增函数， ，故，. 且，故的最小值为. 11．函数，的值域为___________. 【答案】 【详解】令，， 因为函数在上单调递增，当时，，即， 又因为函数在上单调递增， 当时，， 所以，函数，的值域为. 12．设函数是定义在上的偶函数,且,当时,,则函数在上所有零点的个数为___________. 【答案】10 【详解】解:由题知是由纵坐标不变,横坐标变为原来的倍, 再将轴下方的图象翻到轴上方即可得到, 又有是定义在上的偶函数, 且, 所以图象关于直线对称,且周期为2, 又因为时,, 在同一坐标系下,画出及在的图象如下所示: 由图象可知与交点个数为10个, 即在上所有零点的个数为10个. 四、解答题 13．已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为最小正周期．所以，解得． 因为， 所以，则． 解得． 由，得，从而. （2）因为，所以， 所以，即在上的值域． （3）由（1）知． 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以当时，的最小值为． 14．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $