第06讲 等式性质与不等式性质（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第06讲 等式性质与不等式性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用不等式（组）表示不等关系 题型2 比较两个数(式)的大小 题型3 利用不等式性质判断命题的真假 题型4 利用不等式性质求代数式的取值范围 题型5 利用不等式的性质证明不等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等式性质 不等式性质 作差法 比较大小 1. 理解实数大小比较的基本事实，能够用数轴解释实数的大小关系. 2. 掌握等式的性质和不等式的基本性质，能够运用性质进行简单的等式或不等式变形和证明. 3. 掌握常见的比较两个数（式）大小的方法. 4. 能够将实际问题中的不等关系抽象为数学不等式，并运用不等式性质解决简单应用问题. 学习重点：不等式的基本性质及其应用. 学习难点：不等式性质的推导与证明；准确运用不等式性质解决问题（尤其是涉及乘法、乘方、开方性质的应用）. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 不等关系与不等式 1、不等式的概念 （1）用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式； 用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 不等式符号语言 3、用不等式组表示不等式关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系． 即时即练 （多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 【方法总结】 熟悉《常见文字语言与不等式符号语言之间的对应关系》，然后理解题意，选择对应的不等式符号，逐一表示即可. 知识点02 等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 如果a＝b，那么b＝a； 可逆 2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 同向 3 可加、减性 如果a＝b，那么a±c＝b±c； 可逆 4 可乘性 如果a＝b，那么ac＝bc； 同向 5 可除性 如果a＝b，c≠0，那么＝ 同向 知识点03 不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 即时即练 设，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 熟悉不等式性质以及性质成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质，结合性质逐一判断. 知识点04 比较大小的方法 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 3、平方法：对两式先平方，再比较大小． 即时即练 设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．与x有关 【方法总结】 比较两个数（式）的大小，常用作差法，做差后如果是关于未知数的二次函数，可以配方判断差的正负. 题型1 利用不等式（组）表示不等关系 【例1】某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 利用不等式（组）表示不等关系的方法步骤 （1）审题与设元：通读题目，准确分清已知量和待求量，并合理设出待求量（未知数）； （2）挖掘不等关系：深入分析题意，建立已知量与待求量之间的不等关系，同时注意挖掘题目中隐含的约束条件（如实际意义限制等）； （3）列不等式（组）：将梳理出的不等关系用相应的数学符号准确表示。若存在多个不等关系，需使用不等式组进行综合表达. 【变式 1-1】用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 题型2 比较两个数(式)的大小 【例2】（1）若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．随的值变化而变化 （2）设，比较与的大小. 【方法总结】 比较两个数（式）的大小的技巧： （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零； （2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止； （3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质． 【变式 2-1】已知非零实数用作差法比较讨论：的大小关系. 【变式 2-2】已知，试比较和的大小. 题型3 利用不等式性质判断命题的真假 【例3】已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 运用不等式的性质判断命题真假的技巧： (1) 要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质． (2) 解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【变式 3-1】下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 题型4 利用不等式性质求代数式的范围 【例4】已知，，求，，的范围． 【方法总结】 利用不等式性质求代数式的范围的策略： (1) 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2) 同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 易错提醒：求解这种范围问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 【变式 4-1】已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 题型5 利用不等式的性质证明不等式 【例5】若，，求证：. 【方法总结】 利用不等式的性质证明不等式的注意事项： (1) 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2) 应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【变式 5-1】已知，求证： 一、单选题 1．已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知都是正数,不等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 5．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，则 D．若，则 三、填空题 10．已知，，则与的大小关系为__________. 11．若均为实数，使不等式和都成立的一组值是______（只要举出适合条件的一组值即可）． 12．能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 四、解答题 13．（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 14．（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等式性质与不等式性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用不等式（组）表示不等关系 题型2 比较两个数(式)的大小 题型3 利用不等式性质判断命题的真假 题型4 利用不等式性质求代数式的取值范围 题型5 利用不等式的性质证明不等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等式性质 不等式性质 作差法 比较大小 1. 理解实数大小比较的基本事实，能够用数轴解释实数的大小关系. 2. 掌握等式的性质和不等式的基本性质，能够运用性质进行简单的等式或不等式变形和证明. 3. 掌握常见的比较两个数（式）大小的方法. 4. 能够将实际问题中的不等关系抽象为数学不等式，并运用不等式性质解决简单应用问题. 学习重点：不等式的基本性质及其应用. 学习难点：不等式性质的推导与证明；准确运用不等式性质解决问题（尤其是涉及乘法、乘方、开方性质的应用）. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 不等关系与不等式 1、不等式的概念 （1）用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式； 用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 不等式符号语言 3、用不等式组表示不等式关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系． 即时即练 （多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 【答案】CD 【详解】某人的月收入不高于2000元可表示为“ “，错误； 小明的身高，小华的身高，则小明比小华矮表示为“”， 错误； 某变量至少是可表示为“”， 正确； 某变量不超过可表示为“”， 正确． 【方法总结】 熟悉《常见文字语言与不等式符号语言之间的对应关系》，然后理解题意，选择对应的不等式符号，逐一表示即可. 知识点02 等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 如果a＝b，那么b＝a； 可逆 2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 同向 3 可加、减性 如果a＝b，那么a±c＝b±c； 可逆 4 可乘性 如果a＝b，那么ac＝bc； 同向 5 可除性 如果a＝b，c≠0，那么＝ 同向 知识点03 不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 即时即练 设，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，时，显然不成立，故A错误； 当时，显然不成立，故B错误； 因为，所以成立，故C正确； 因为，由已知可知，但不能确定的符号，故D错误. 【方法总结】 熟悉不等式性质以及性质成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质，结合性质逐一判断. 知识点04 比较大小的方法 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 3、平方法：对两式先平方，再比较大小． 即时即练 设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．与x有关 【答案】A 【详解】因为，． 【方法总结】 比较两个数（式）的大小，常用作差法，做差后如果是关于未知数的二次函数，可以配方判断差的正负. 题型1 利用不等式（组）表示不等关系 【例1】某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时，即． 【方法总结】 利用不等式（组）表示不等关系的方法步骤 （1）审题与设元：通读题目，准确分清已知量和待求量，并合理设出待求量（未知数）； （2）挖掘不等关系：深入分析题意，建立已知量与待求量之间的不等关系，同时注意挖掘题目中隐含的约束条件（如实际意义限制等）； （3）列不等式（组）：将梳理出的不等关系用相应的数学符号准确表示。若存在多个不等关系，需使用不等式组进行综合表达. 【变式 1-1】用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 题型2 比较两个数(式)的大小 【例2】（1）若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．随的值变化而变化 【答案】B 【详解】已知，， 则， 即对任意恒成立，因此恒成立，故B正确. （2）设，比较与的大小. 【答案】 【详解】由，得，，， 因此， 所以. 【方法总结】 比较两个数（式）的大小的技巧： （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零； （2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止； （3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质． 【变式 2-1】已知非零实数用作差法比较讨论：的大小关系. 【答案】答案见解析 【详解】 当时，，所以，即; 当时，，所以，即; 当时，，所以，即. 【变式 2-2】已知，试比较和的大小. 【答案】 【详解】因为，所以. 所以. 因为，所以，即； 题型3 利用不等式性质判断命题的真假 【例3】已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 【方法总结】 运用不等式的性质判断命题真假的技巧： (1) 要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质． (2) 解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【变式 3-1】下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 题型4 利用不等式性质求代数式的范围 【例4】已知，，求，，的范围． 【答案】，， 【详解】 ，， ，， ，； ，， ， ． 【方法总结】 利用不等式性质求代数式的范围的策略： (1) 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2) 同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 易错提醒：求解这种范围问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 【变式 4-1】已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 题型5 利用不等式的性质证明不等式 【例5】若，，求证：. 【答案】证明见解析； 【详解】证明：因为，所以，利用同向可加性得， 所以，则， 又，所以； 【方法总结】 利用不等式的性质证明不等式的注意事项： (1) 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2) 应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【变式 5-1】已知，求证： 【证明】　方法一：因为，所以， 因为，所以，所以，即， 因为，所以，. 所以. 方法二：因为， 所以，所以，即， 又因为，所以. 一、单选题 1．已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，因为，故，故成立，故A正确； 对B，当，时，，均不成立，故BCD错误； 2．“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当且时，根据不等式的性质，可得； 当时，不能推出且，比如取，. 所以“且”是“”的充分不必要条件. 3．已知都是正数,不等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】,因为都是正数,所以要想使不等式成立,只需. 4．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【详解】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 5．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取，，，利用排除法即可得正确选项. 【详解】令，，，则，，， 故排除A、B、D、 6．设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，由不等式的基本性质可得， 即“”“”； 若，不妨取，，，则， 但，所以“”“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 二、多选题 7．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，若，则，故，正确； 对于B，由知，所以，即，故正确； 对于C，令，满足，，故错误； 对于D，由知， 所以，即，故正确. 8．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题知， 所以， 对于A选项，由于在上单调递减， 所以当时，可以得到，故A正确， 对于B选项，因为，不等式两边同乘负数得， 故B正确， 对于C选项，因为，所以， 故C错误， 对于D选项，由于在上单调递增， 所以当时，可以得到，故D正确， 9．下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A，通过作差法得，，， 又的正负无法确定，当时，，即； 当时，，即.故A错误. 对于B，当时，可以推出， 当时，不一定有，例如：时，但不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件，故B正确. 对于C，，， 对和作差，， ，，.故C错误. 对于D，，， 根据分子相同，分母越大，分数越小的原则，可得，故D正确. 三、填空题 10．已知，，则与的大小关系为__________. 【答案】 【详解】， 因为，， 所以，， 所以， 所以. 故答案为： 11．若均为实数，使不等式和都成立的一组值是______（只要举出适合条件的一组值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由知，同号，同号，且． 因为，所以． 所以在取时只需满足以下条件即可：①同号，同号，异号；②． 令，不妨取， 则，取，则满足要求． 12．能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 【答案】（答案不唯一） 【详解】若，当时，； 当时，； 当时，； “设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为， 四、解答题 13．（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）证明：因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 14．（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【详解】（1）因为，， 所以，，，， 所以，， 所以. 故，，． （2）设， 则，解得， 故， 由得， 由得， 所以. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $