第22章 相似形（暑假单元自测）新九年级数学新教材沪科版

**基本信息** 沪科版新教材“相似形”单元自测卷，120分钟150分，覆盖比例性质、位似、相似判定与性质，结合纸扇黄金分割、旗杆测量等真实情境，突出几何直观与模型意识，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/40|比例式判断、位似比计算、相似判定|基础题梯度呈现，如位似图形比例计算| |填空|4/20|黄金分割、中点连线、折叠综合|文化素材（纸扇黄金分割）与几何推理结合| |解答|9/90|位似作图、相似证明、实际测量（镜子/标杆）|现实应用（旗杆测量）与跨学科（反比例函数与重心），培养推理能力与应用意识|

第22章 相似形 单元自测卷 【新教材，沪科版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题，满分150分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（4分）若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（4分）如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（4分）如图，在中，D为的中点，点E、F分别在上，且．若，，则下列说法正确的是（     ） A．， B．，与不平行 C．， D．，与不平行 4．（4分）如图，在中，，，且边在轴上，点的横坐标是6，如果反比例函数的图像经过的重心，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（4分）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 6．（4分）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（4分）如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 8．（4分）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 9．（4分）如图，在矩形中，，以为边在矩形外侧作，且，连接为上一点，连接并延长，交于点．若为的三等分点，则的长为（     ） A．3 B．4 C． D． 10．（4分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，在矩形中，，点，，则矩形的内部（不含边界）整点的个数为（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（5分）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 12．（5分）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接．若，，，，则的长为__________． 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，、点分别为边、上的点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点在边的中点处，点的对应点在反比例函数的图象上，则________． 14．（5分）如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上，下列结论：①四边形是正方形；②的周长为；③；④的长为．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（共90分） 15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． (1)请以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出一个，使它与的相似比为；点的对应点的坐标为______； (2)若内部任意一点的坐标为，求出经过（1）的变化后点的对应点的坐标为；（用含，的代数式表示）． 16．（8分）如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 17．（8分）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 18．（8分）如图，在正方形中，点为对角线、的交点，平分交于点，交于点 ． (1)判断的形状； (2)若，求的长． 19．（10分）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，反比例函数（为常数，且）的图像与一次函数的图像交于点，且点的横坐标为1．过点作轴，垂足为点，且的面积为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)是一次函数图像上一点（与点不重合），是平面内的一点，以点为位似中心，把按相似比为放大得到，即与的相似比为，求点的坐标． 20．（10分）探究角度与线段比例之间的关系 如图，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． (1)【图形认识】求证：． (2)【引元关联】设，求关于的函数表达式． 21．（12分）【课本再现】 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)【定理证明】 为了证明该定理，小明同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：如图，在中，对角线和相交于点，．求证：是菱形． (2)【知识应用】 如图，在中，对角线与相交于点，延长至点，使，连接交于点，若，，，求的值． 22．（12分），两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接测量，间的距离，小明利用学过的知识，设计了如下两种测量方法，如图①②所示图中，，表示长度． (1)请你写出小明设计的两种测量方法中的长度：图①中 ，图②中 ． (2)请你再设计一种不同于以上两种的测量方法，画出示意图不要求写画法，用字母标注需测量的边或角，并写出的长度． 23．（14分）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是对角线上的一个动点，过点作于点，于点，若，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长与的周长之差为，且，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 相似形 单元自测卷 【新教材，沪科版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题，满分150分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（4分）若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比例式可根据性质转化为等积式，将各选项转化为等积式后和已知 对比，即可找出不正确的选项． 【详解】解：选项A：， 交叉相乘得，与已知不相等，不符合条件，故A错误，符合题意； 选项B：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故B正确．不符合题意； 选项C：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故C正确．不符合题意； 选项D：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故D正确．不符合题意； 2．（4分）如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由题意可得，且相似比为，结合相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为点O，， ∴，且相似比为， ∴； 3．（4分）如图，在中，D为的中点，点E、F分别在上，且．若，，则下列说法正确的是（     ） A．， B．，与不平行 C．， D．，与不平行 【答案】D 【分析】先由得出，结合为中点求出与的数量关系；再通过计算与的比值，判断与是否平行． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， 若， 则， 但， ∴与不平行． 4．（4分）如图，在中，，，且边在轴上，点的横坐标是6，如果反比例函数的图像经过的重心，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】连接并延长交x轴于点C，根据题意得出，，确定，再由重心的性质得出，确定，代入解析式即可求解 【详解】解：连接并延长交x轴于点C，如图所示： ∵，，反比例函数的图像经过的重心， ∴，， ∵点的横坐标是6， ∴， ∴， ∵重心， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过的重心， ∴ 5．（4分）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 6．（4分）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作交BF于点G，证明，则．进一步得到．证明，即可得到． 【详解】解：过点E作交BF于点G， ∴ ∴ ∵E是的中点， ∴． ∵F是的中点， ∴ 在平行四边形中， ∴． ∴ ∴， ∴． 7．（4分）如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质证明，根据相似比求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 8．（4分）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵正方形的边在上， ， ． ， ∴ ， ， ， ∴这个正方形零件的边长为． 9．（4分）如图，在矩形中，，以为边在矩形外侧作，且，连接为上一点，连接并延长，交于点．若为的三等分点，则的长为（     ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，由等腰三角形的性质求出的长，由，得，从而求出的长，进而求出的长，再由得到的长，最后由勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∴， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 为的三等分点， ， 10， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 10．（4分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，在矩形中，，点，，则矩形的内部（不含边界）整点的个数为（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】作于点H，证明，求出，进而求出，然后用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后分别把代入两个函数解析式，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． ∵，， ∴直线的解析式为． 当时，，，此时整点有：； 当时，，，此时整点有：； 当时，，，此时整点有：； 当时，，，此时整点有：； 综上可知，点的个数为：个． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（5分）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 12．（5分）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接．若，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点、、分别作于，于，于，可得，，由及三角形两锐角互余的性质得出，即可证明，得出，设，则，，利用勾股定理求出，即可得出，，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点、、分别作于，于，于， ∵， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，、点分别为边、上的点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点在边的中点处，点的对应点在反比例函数的图象上，则________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，设，利用勾股定理求出，，再证明，利用相似三角形对应边成比例，得出点的坐标，进而求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点，是矩形的顶点， ，，， 由折叠的性质可知，，，， 点的对应点在边的中点处， ， 设，则， 在中，， ， ，即， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 点的对应点在反比例函数的图象上， ． 14．（5分）如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上，下列结论：①四边形是正方形；②的周长为；③；④的长为．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】过点G作，分别交、于点M、N，可知四边形为正方形，可判断①，且和为等腰三角形，设，则，利用折叠的性质可得到，在中，利用勾股定理可求得x，再利用，可求得、和，则可求得，容易判断②③④，可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故①正确； 如图，过点G作，分别交、于点M、N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴和为等腰直角三角形，且， 设，则， 又由折叠的可知， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故④正确； 又和为等腰直角三角形，且， ∴， ∴的周长， ∴，故②不正确；③正确； 综上可知正确的为①③④． 三、解答题（共90分） 15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． (1)请以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出一个，使它与的相似比为；点的对应点的坐标为______； (2)若内部任意一点的坐标为，求出经过（1）的变化后点的对应点的坐标为；（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据要求画出图形即可，再根据作图后的写出点的对应点即可； （2）利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点． （2）解：∵与关于原点异侧位似，相似比为，点， ∴点． 16．（8分）如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解： ， ∴， 即， 解得． 17．（8分）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【答案】(1)7.5米 (2)11.5米 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出的值． （2）证明，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出的值，最后由线段的和差关系即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为7.5米． （2）解：∵，，均垂直于地面，与水平面平行， ∴，米． ∵， ∴． ∴． ∵（米），米，（米）， ∴． ∴． ∴（米）． 答：旗杆的高度为11.5米． 18．（8分）如图，在正方形中，点为对角线、的交点，平分交于点，交于点 ． (1)判断的形状； (2)若，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，再由角平分线确定，利用三角形内角和及外角的定义得出，再由等腰三角形的定义判断即可； （2）根据正方形的性质得出，再由相似三角形的判定和性质得出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形． 理由：四边形是正方形， ，， 平分， ， ，，， ， 是等腰三角形． （2）四边形是正方形， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 19．（10分）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，反比例函数（为常数，且）的图像与一次函数的图像交于点，且点的横坐标为1．过点作轴，垂足为点，且的面积为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)是一次函数图像上一点（与点不重合），是平面内的一点，以点为位似中心，把按相似比为放大得到，即与的相似比为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由的面积求出点的坐标，分别代入一次函数、反比例函数解析式即可． （2）根据位似图形的性质，由相似比求出的长，和与的面积比，从而求出的面积，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：， ， 点的坐标为， 把点的坐标为分别代入，中得， 一次函数的表达式为，反比例函数表达式为； （2） 与的相似比为，点为位似中心， ，， ， ， 或， 把，分别代入中得，， 点的坐标为或． 20．（10分）探究角度与线段比例之间的关系 如图，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． (1)【图形认识】求证：． (2)【引元关联】设，求关于的函数表达式． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据，得出，根据相似三角形的性质，结合已知条件即可得证； （2）根据，得出，根据相似三角形的性质得出比例式，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴ ∴． 21．（12分）【课本再现】 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)【定理证明】 为了证明该定理，小明同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：如图，在中，对角线和相交于点，．求证：是菱形． (2)【知识应用】 如图，在中，对角线与相交于点，延长至点，使，连接交于点，若，，，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）通过证明是的垂直平分线，得证，继而证明结论． （2）取的中点，连接，根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，根据勾股定理证明四边形是菱形，继而得到，通过证明为的中位线，得到，，通过证明，得到对应线段成比例，继而得到． 【详解】（1）略； （2）解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 22．（12分），两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接测量，间的距离，小明利用学过的知识，设计了如下两种测量方法，如图①②所示图中，，表示长度． (1)请你写出小明设计的两种测量方法中的长度：图①中 ，图②中 ． (2)请你再设计一种不同于以上两种的测量方法，画出示意图不要求写画法，用字母标注需测量的边或角，并写出的长度． 【答案】(1)， (2)见解析， 【分析】（1）图①中，证明，根据相似三角形性质即可求解；图2中，根据矩形的性质，即可求解； （2）作出图形，使得，，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①，， ， ， ； ②， 四边形是矩形， ； 故答案为：，； （2）如图： ，，， ， ． 23．（14分）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是对角线上的一个动点，过点作于点，于点，若，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长与的周长之差为，且，求的值． 【答案】(1)证明：令与的交点为G． ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． (2) 【分析】（1）令与的交点为G．由，得到，从而可推出，又，得到，因此，再由可证得，得到，根据等腰三角形的“三线合一”得到，，即可得证结论； （2）根据得到，因此，从而，根据勾股定理有，因此，即可求出菱形的面积，进而得到的面积，连接，根据结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 连接， ∵ ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $