暑假自测卷02 相似形-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

暑假自测卷02 相似形 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质设，代入计算即可得到答案． 【详解】解：， 设， ， 故选：A． 2．若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的性质求解即可．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义得，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入，，，得：， 解得：， 故选：D ． 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．由已知可得，再根据位似图形的性质，证，得到相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：B． 4．如图，直线，如，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练应用是关键；由平行线分线段成比例定理得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴； 故选：B． 5．如图，，垂足分别为B、D，和相交于点E，垂足为F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可． 【详解】解： ∴ ∴， ，故选项A错误，选项 B正确， ∵， ∴， ∴，故选项C正确； ∵， ∴， ，故选项D正确， 故选：A． 6．如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得， A、当时，不能推断，故本选项符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，，则，故本选项不符合题意； 故选：A． 7．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，延长交于点，则，，由题意得，则，于是可得，即，由此即可求出，进而可得小孔O到的距离． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ，， 由题意得：， ， ， ， ， ， 即：， ， 即小孔O到的距离为， 故选：． 8．如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，将矩形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为，那么线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握用勾股定理构造方程是解题的关键． 连接，过点作于点，证明四边形是矩形，则，，先求出四边形的面积，再证明和相似，得，设，，，则，在中，由勾股定理得，则，， ，四边形的面积， 进而得，由此解出解得，，进而即可得出线段的长． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， ，在矩形中，，， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， 四边形与四边形的面积比为， 四边形的面积为：， 由翻折的性质可得， ，， ， ， ， ， 设，，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得，， ， ， 四边形的面积， ， 由此解出解得或， 当时， ， 当时， ； 故选：D． 9．如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点E、F，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，取中点M，连接，取中点M，连接，，点E为的中点，由三角形中位线定理推出，判定，推出，得到，求出，即可得出结果． 【详解】解：取中点M，连接， ∵点G是的重心， ，点E为的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10．如图，梯形中，，，，交两腰于、．则下列结论： （1），． （2）． （3），． （4）． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行的判定与性质，平行分线段成比例，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，延长交于，先证明，得到，从而判定是的中位线，从而推出，从而知道②正确；接着利用平行分线段成比例，可知，，从而知道①正确，是的中位线，是的中位线，接着利用三角形中位线的性质，可得到③正确，最后利用得到④正确． 【详解】解：连接，延长交于，如图所示: ， ，， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ，故②正确； ， 是的中位线，是的中位线，，，故①正确； ， 同理可证，故③正确； ，， ，故④正确； 综上分析可知：正确的有4个． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11．在综合实践课上，孔明同学设计了如图测量河塘宽的方案：在河塘外选一点，连接，，测得，，延长，分别到，两点，使，，有测得，则河塘宽 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用；由题意得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， 即，且， ∴， ∴， ∴ 即河塘宽； 故答案为：． 12．如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ，， ， 解得：． 故答案为：． 13．在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 【答案】或6 【分析】此题考查相似三角形的性质，题目只说两个三角形相似并没有说明对应角，应该分两种情况讨论．根据题意可得或，或，然后利用比例的性质求出即可． 【详解】解：∵与相似， 而， 若， 则，即， 解得； 若， 则，即， 解得； 综上所述，的长为或6． 故答案为或6． 14．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 15．如图，四边形、都是正方形，点G在线段上，，连接、，和相交于点O．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定等知识，证明、、等是解题的关键．根据正方形的性质得到条件，利用即可证明，即可判断① ；延长交于点H，由，则，又由，得到，则，即可判断②；证明，则，即可判断③；证明，利用正方形的性质得到，利用相似三角形的性质即可得到，即可判断④． 【详解】解：①∵四边形、都是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ②延长交于点H， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ∴，故②正确； ③∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是错误的，故③错误； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∵是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上可知，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（共7小题，共70分） 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．以原点为位似中心，在第一象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】图见解析，， 【分析】本题考查了位似图形的性质以及作位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，延长至原来的2倍，找到点，顺次连接得到，根据坐标系即可得出点、的坐标． 【详解】解：如图所示，即为所求： 由图可得，，． 17．如图，，它们依次交直线于点和点，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，由，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵，即， 解得，， 18．如图，在中，过点作，使边交于点． (1)求证：． (2)若， ，求线段的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质的运用是关键． （1）根据两个角对应相等，两三角形相似即可求证； （2）根据相似三角形的性质得到，即，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 19．如图，中，，于，过点作，边上的中线延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）证明，可得，证明，可得，从而可得结论； （2）过作交于，连接，先证明，，根据相似三角形的性质，结合是中线得出，根据，得出是等腰三角形，根据“三线合一”的性质得出，结合，得出，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：， 是直角三角形． ， ∴， ∵， ， ∴， ． 是直角三角形，， 同理可得：， ∴， ， ； （2）解：过作交于，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中线， ∴， ∴， ∴是边中点， ∵， ． 又， ， 是等腰三角形， 是的中线，， 是中线， ∴， ， ，， ， ∴， ∴； ，即； 20．陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地．周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门口的雕像，他们想要配合测量该雕像的高度．已知爸爸的身高是（），小希的身高是（），小希在距离雕像的处（）看雕像的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得已知点，，在水平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，由题意，得，，，所以四边形是矩形，四边形是矩形，根据矩形的性质得，，，证明得，即，解出的值，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意，得，，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ，即， 解得， ， 答：雕像的高度为． 21．【发现问题】某学习小组发现：三角形一个角的平分线截第三边形成的两条线段的比等于这个三角形中对应的两边之比． 如图1，在中，平分，则． 【猜想验证】下面是“发现问题”的不完整的证明过程． 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，……请按照上面的证明思路，补全证明过程； 【拓展应用】如图3，已知中，，，平分，则_____． 【答案】【猜想验证】：见解析；【拓展应用】：． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 猜想验证：过点作，交的延长线于点，先证明，根据相似三角形对应线段成比例，可得，由 平分可得，进而得到，由，即可证明； 拓展应用：根据勾股定理可得出线段，由猜想验证可得，进而求得，由，即可得解． 【详解】解：猜想验证：，， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 拓展应用：在中，，， ， 平分， ， ， 即， 解得，， ， ， ， 故答案为：． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求点坐标及反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点的坐标代入之中，求出的值，即可得出反比例函数的表达式；联立方程组，解方程组，即可得出点的坐标； （2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，分别求出，，再根据反比例函数比例系数的几何意义得，由此即可得出的面积； （3）过点作轴交轴于点，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，得出，，结合勾股定理求出，得出，分为两种情况：①当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标；②当时，根据相似三角形的判断和性质得出，求出，得出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， 故将代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为：． ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， 联立，解得或， ∴另一个交点的坐标为． （2）解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∵点，点， ∴，，，， ∴，， ∴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， 又∵， ∴． （3）解：过点作轴交轴于点，如图： ∵点的坐标为， ∴，， 对于一次函数，当时，，当时，， 即点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵轴上存在一点，使与相似， ∴有以下两种情况， ①当时，如图： 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标是； ②当时，如图： 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标是； 综上所述：点P的坐标是或． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题，反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握求反比例函数与一次函交点坐标的方法，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 23．几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般，化动为静、类比等数学思想方法． 【问题情境】 在中，点是斜边上的动点（点与点，点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当时，写出与之间满足的位置关系和数量关系，并说明理由； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间满足的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）如图3，在（1）的条件下，点F与点C关于直线对称，连接．已知，设，四边形的面积为，求与的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】（1），，理由见解析；（2），，证明见解析；（3）18 【分析】（1）由，得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据垂直的定义得到； （2）根据相似三角形的判定定理得到，求得，，得到，根据垂直的定义得到； （3）连接交于O，由（1）知，，，求得，得到，根据勾股定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，推出四边形是正方形，根据正方形的面积公式即可得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接交于O， 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点F与点C关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴y与x的函数表达式为， ∵， ∴y的最小值为18． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．正确地作出辅助线是解题的关键． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假自测卷02 相似形 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 2．若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，直线，如，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，垂足分别为B、D，和相交于点E，垂足为F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 7．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，将矩形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为，那么线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 9．如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点E、F，则的值为（  ） A． B． C． D．2 10．如图，梯形中，，，，交两腰于、．则下列结论： （1），．（2）．（3），．（4）．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11．在综合实践课上，孔明同学设计了如图测量河塘宽的方案：在河塘外选一点，连接，，测得，，延长，分别到，两点，使，，有测得，则河塘宽 ． 12．如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ． 13．在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 14．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为 ． 15．如图，四边形、都是正方形，点G在线段上，，连接、，和相交于点O．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 三、解答题（共8小题，共70分） 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．以原点为位似中心，在第一象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 17．如图，，它们依次交直线于点和点，且，求的长． 18．如图，在中，过点作，使边交于点． (1)求证：． (2)若， ，求线段的长． 19．如图，中，，于，过点作，边上的中线延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 20．陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地．周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门口的雕像，他们想要配合测量该雕像的高度．已知爸爸的身高是（），小希的身高是（），小希在距离雕像的处（）看雕像的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得已知点，，在水平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度． 21．【发现问题】某学习小组发现：三角形一个角的平分线截第三边形成的两条线段的比等于这个三角形中对应的两边之比． 如图1，在中，平分，则． 【猜想验证】下面是“发现问题”的不完整的证明过程． 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，……请按照上面的证明思路，补全证明过程； 【拓展应用】如图3，已知中，，，平分，则_____． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求点坐标及反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 23．几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般，化动为静、类比等数学思想方法． 【问题情境】 在中，点是斜边上的动点（点与点，点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当时，写出与之间满足的位置关系和数量关系，并说明理由； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间满足的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）如图3，在（1）的条件下，点F与点C关于直线对称，连接．已知，设，四边形的面积为，求与的函数表达式，并求出的最小值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$