1.3 用反比例函数解决问题-课时2 用反比例函数解决实际问题 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦“用反比例函数解决实际问题”，包含学习目标、温故知新、情境导入、例题解析、方法总结及基础与提升练习，构建从概念理解到实际应用的学习支架。 资料特色突出核心素养培养，通过录入报告、成本计算等真实情境引导学生用数学眼光观察世界，借助复合函数建模、方程组求解等过程发展数学思维，以冷却塔高度计算、注意力指标分析等问题提升数学语言表达能力。为教师提供系统教学资源，帮助学生提升实际问题转化与建模能力，适合九年级学生巩固反比例函数应用，应对升学考试中的实际问题考点。

第一章 反比例函数 1.3 用反比例函数解决问题 1.3.2 用反比例函数解决实际问题 学习目标 过程与方法 知识与技能 掌握教材中工程类、成本类反比例问题的标准解法 能解决 “固定成本 + 反比例变动成本” 的复合函数问题 能利用反比例函数性质求取值范围、解决简单方案决策问题 通过拆解复杂实际问题，提升转化与建模能力，体会函数的应用价值 02 01 课前自主·知识预习奠基 1. 反比例函数建模的核心：找到乘积为定值的两个量 2. 实际问题中，自变量 x 的取值范围通常是 x > 0 3. 当 k > 0时，在第一象限内 y 随 x 增大而减小 思考：如果总费用由两部分组成：一部分固定不变，另一部分与数量成反比，还是纯反比例函数吗？ 温故知新 情境导入 小丽要把一篇 24000 字的社会调查报告录入电脑。 (1) 完成录入的时间 与录入文字的平均速度 有怎样的函数关系？ (2) 小丽每分钟至少应录入多少个字，才能保证在 3 h 内完成录入任务？ 情境导入 【解析】( 1 ) 总字数 = 速度 × 时间，即 ，变形得： 完成录入的时间 t 是录入文字速度 v 的反比例函数。 ( 2 ) 单位换算： 将 代入 ： 反比例函数性质：t 随 v 的增大而减小，因此每分钟至少录入 134 字。 例题 1 某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本 由材料成本和加工成本两部分组成。其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量 成反比例函数关系。经测算，生产 1000 个双肩包，成本是 40 元/个；生产 2000 个双肩包，成本是 35 元/个。 (1) 求 关于 的函数表达式； (2) 若要把成本控制在 32 元/个，应生产多少个双肩包？ 例题 1 【解析】( 1 ) 设单个材料成本为 a 元，加工成本为 ，则函数形式： 代入两组已知条件列方程组： 解得： 函数表达式： (2) 将 代入解析式： 解得 ，经检验是原方程的解。 近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（m）成反比例。已知 400 度近视眼镜的镜片焦距为 0.25 m。 （1）求 y 关于 x 的函数表达式； （2）当镜片焦距为 0.2 m 时，眼镜的度数是多少？ 例题 2 解：（1）设 代入，得 ，解得 ∴ 函数表达式为 （2）当时， 方法总结：复合反比例函数 模型特征： 函数值 = 固定常数 + 反比例部分 形如： 通用解法： 代入两组已知值，列二元一次方程组求解两个参数 注意： 复合函数不是纯反比例函数，不要混淆概念 时间、数量、长度等单位要统一 实际问题的结果通常取正整数，注意 “至少 / 至多” 的取整方向 求取值范围时，要结合增减性判断不等号方向 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 总路程不变，行驶速度变为原来的 2 倍，行驶时间变为原来的（ ） A. 2 倍 B. C. 4 倍 D. 2. 总价 300 元的笔记本，单价 x 元 / 本与数量y本的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 3. 判断题：总价一定时，商品的单价与数量成反比例关系。（ ） B B √ 基础过关练 4. 某工厂要生产 6000 个零件，每天生产 x 个，需要 y 天完成，则 y 关于 x 的函数表达式为 . 5. 每个笔记本的成本由 2 元固定材料费和与数量成反比的印刷费组成。生产 100 本时，总成本为 3 元 / 本，则印刷费的比例系数为 . 6. 长方形面积为 120，长 x 与宽 y 成反比。若长 ≥ 15，则宽的取值范围是 . 100 课后测评·学业效果巩固 1. 小方尝试直播带货，上了1~4号四款商品的链接。图中的四个点分别描述了四款商品单件的利润率与成本(元)的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款商品中单件利润最高的是（ ） A. 4号 B. 3号 C. 2号 D. 1号 课后测评 A 【解析】单件商品利润 = 单件商品成本 × 利润率； 1号、3号在同一反比例函数图像上，反比例函数满足，因此1号、3号单件利润相等； 4号对应点在反比例曲线上方，横纵坐标乘积，利润大于1、3号； 2号对应点在反比例曲线下方，横纵坐标乘积，利润小于1、3号； 综上4号单件利润最高，选A。 课后测评 2. 火力发电厂双曲线型冷却塔，纵截面为轴对称图形，矩形，以为x轴、垂直平分线为y轴建系，为两段反比例函数图像。已知，上口宽，求冷却塔总高度。 课后测评 【解析】1. ，得点 C 横坐标 44，纵坐标 20，即；​ 2. 设右侧反比例，代入，解析式；​ 3. ，F 横坐标为 8，代入解析式：；冷却塔总高度为。 3. 王老师驾驶小汽车从 A 地行驶到 B 地，行驶里程为 480 千米，设小汽车的行驶时间为 t（单位：时），行驶的平均速度为 v（单位：千米/时），且全程速度不超过 120 千米/时。 (1) 求 v 关于 t 的函数表达式。 (2) 王老师上午 8 时驾驶小汽车从 A 地出发，需要在当天 13 时至 14 时（含 13 时和 14 时）之间到达 B 地，求小汽车行驶的平均速度 v 的范围。 课后测评 【解析】(1) ，且全程速度不超过 120 千米/时， 关于 t 的函数表达式为 。 (2) 8 时至 13 时的时间间隔为 5 小时，8 时至 14 时的时间间隔为 6 小时。 将 代入 ，得 ；将 代入 ，得 ， 小汽车行驶的平均速度 v 的范围为 。 4. 如图是 6 级台阶的示意图，每级台阶的高和宽分别是 1 和 2，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作（n 为 的整数），函数 的图象为 L。 (1) 若 L 过点 ，则 k = ； (2) 若 L 过 ，则 L 一定过另一点 ，m = ； (3) 若 L 使得 这些点分布在它的两侧，且一侧 5 个点，一侧 6 个点，请写出符合要求的 k 的所有整数值：________。 课后测评 【解析】(1) 每级台阶的高和宽分别是 1 和 2，。 函数 的图象经过 。故答案为 12。 (2) 由题意可知 。 过点 ，观察 的坐标，发现只有 的横、纵坐标的乘积为 。故答案为 9。 (3) 的横、纵坐标之积分别为， 将这 11 个点的横、纵坐标之积从小到大排序，为 。 第 5 个数与第 6 个数相等， 要使这 11 个点分布在 L 的两侧，且一侧 5 个点，一侧 6 个点，则 k 必须满足 可取的整数值为 17。 课后测评 5. [较难] 实验研究发现：学生在数学课上的听课注意力指标 y 随上课时间 x（分）的变化而变化，上课开始时，学生的注意力指标激增，中间一段时间，学生的注意力指标保持平稳状态，随后注意力开始分散。学生的注意力指标 y 随时间 x（分）变化的函数图象如图所示，当 和 时，图象是线段；当 时，图象是反比例函数图象的一部分。 (1) 求点 A 对应的指标值； (2) 张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要 15 分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 32？请说明理由。。 课后测评 课后测评 【解析】(1) 设当 时，反比例函数的表达式为 。将 代入得 ，解得 ， 反比例函数的表达式为 。当 时，，即 A 对应的指标值为 24。 (2) 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 32。理由如下：设当 时，AB 所在直线的表达式为 。将 代入得解得 所在直线的表达式为 。当 时，，解得 。由 (1) 得反比例函数的表达式为 ，当 时，，解得 ， 时，注意力指标都不低于 32，而 ， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 32。 第一章 反比例函数 1.3 用反比例函数解决问题 1.3.2 用反比例函数解决实际问题 $