1.3 用反比例函数解决问题(2) 教学设计 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦用反比例函数解决实际问题，通过视力矫正中度数与焦距的表格数据导入，引导学生猜想函数模型，衔接反比例函数概念与性质，搭建从理论到应用的学习支架。 资料特色在于精选生活实例，如文档录入、成本控制等，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过数据推导函数表达式发展推理能力，建立模型意识，帮助学生体会数学应用价值，为教师提供分层教学资源，提升课堂效率。

盐城市北蒋实验学校九年级数学导学活动单 九年级数学·上册· 第1章·反比例函数 1.3 用反比例函数解决问题(2) 【学习目标】 1、能充分运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题； 2、在解决实际问题的过程中，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型； 【学习重点】运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题. 【学习难点】运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题. 【学习过程】 一、情景引入： 反比例函数是刻画现实问题中数量关系的一种数学模型，我们可以利用反比例函数的有关性质解决生活、生产实际中的一些问题.请看下面的例子： （2025秋•莲池区期末）当前中小学生的视力状况，备受关注．在做视力矫正时，验光师测得近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的部分数据如表： 镜片焦距x（米） 0.2 0.25 0.4 1 … 近视眼镜的度数y（度） 500 400 250 100 … （1）根据上表数据，猜想函数模型，并求y关于x的函数表达式． （2）嘉琪同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.5米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜．验光师测得新镜片的焦距为0.4米，问嘉琪同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ （3）若配镜师需配制一副度数小于800度的近视眼镜，请求出焦距x的取值范围． 二、新课讲解： 1、（书本第19页例2）小丽要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑. (1)完成录入的时间t（min）与录入文字的速度v（字/min）有怎样的函数关系？ (2)小丽每分钟至少应录入多少个字，才能保证在3h内完成录入任务？ 2、（书本第20页例3）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本y（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求y（元/个）与x（个）的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 3、尝试练习：（书本第21页练习） (1)某污水处理厂计划建造一个4×104m3的长方体蓄水池. ①求蓄水池的底面积S(m2)关于其深度h(m)的函数表达式. ②如果蓄水池的深度设计为5m，那么它的底面积应为多少？ ③如果考虑绿化及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m，那么它的深度 至少应为多少(结果精确到0.01)？ (2)有一条长80m,，宽2.4m的路面，计划由两名工人用边长为40cm的正方形地砖来铺设.设每名工人平均每小时铺设n块，两人合作完成此项工作所需时间为th. ①求t(h)关于n(块)的函数表达式； ②如果这两名工人要在15h内完成此项工程，那么每名工人平均每小时至少要铺设多少块地砖？ 4、补讲例题：（2025秋•蒙城县月考）如图是某种商品日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的函数关系图象，前30天由于进行了大量的宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比；当宣传停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第30天的日销售量为120件． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）求第50天的日销售量； （3）宣传合同约定，当日销售量不低于100件，并且持续天数不少于11天时，宣传小组就可以得到销售宣传提成，请通过计算说明宣传小组能否拿到合同约定的提成． 5、尝试练习：（2025秋•周村区期中）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x≤10和10≤x≤20时，图象是线段：当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）分别求出当0≤x≤10与20≤x≤40时，注意力指标数y与时间x的函数表达式； （2）已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标应不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师最多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受？ 1.3 用反比例函数解决问题(2)（答案） 【学习目标】 1、能充分运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题； 2、在解决实际问题的过程中，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型； 【学习重点】运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题. 【学习难点】运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题. 【学习过程】 一、情景引入： 反比例函数是刻画现实问题中数量关系的一种数学模型，我们可以利用反比例函数的有关性质解决生活、生产实际中的一些问题.请看下面的例子： （2025秋•莲池区期末）当前中小学生的视力状况，备受关注．在做视力矫正时，验光师测得近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的部分数据如表： 镜片焦距x（米） 0.2 0.25 0.4 1 … 近视眼镜的度数y（度） 500 400 250 100 … （1）根据上表数据，猜想函数模型，并求y关于x的函数表达式． （2）嘉琪同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.5米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜．验光师测得新镜片的焦距为0.4米，问嘉琪同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ （3）若配镜师需配制一副度数小于800度的近视眼镜，请求出焦距x的取值范围． 解：（1）猜想函数为反比例函数．设函数解析式为y， ∵经过点（1，100），∴k＝100， ∴y关于x的函数表达式为：y（x＞0）； （2）当x＝0.5时，y＝200；当x＝0.4时，y＝250，250﹣200＝50（度）． 答：嘉琪同学的眼镜度数是上升了，上升了50度； （3）800，800x＞100，x＞0.125． 答：焦距x的取值范围为x＞0.125． 二、新课讲解： 1、（书本第19页例2）小丽要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑. (1)完成录入的时间t（min）与录入文字的速度v（字/min）有怎样的函数关系？ (2)小丽每分钟至少应录入多少个字，才能保证在3h内完成录入任务？ 解：（1）∵录入的时间＝录入总量÷录入速度，∴可得t， ∴函数关系式为t； （2）∵t，∴当t≤3小时＝180分时，180，解得v≥133， 故要在3h内完成录入任务，小明每分钟至少应录入134个字． 2、（书本第20页例3）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本y（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求y（元/个）与x（个）的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 解：（1）设每个双肩包的材料成本为a元，则y与x之间的函数关系式为， 由题意得：，∴， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）当y＝32时，，∴x＝5000． 经检验，x＝5000是原方程的根， ∴应生产5000个双肩包． 3、尝试练习：（书本第21页练习） (1)某污水处理厂计划建造一个4×104m3的长方体蓄水池. ①求蓄水池的底面积S(m2)关于其深度h(m)的函数表达式. ②如果蓄水池的深度设计为5m，那么它的底面积应为多少？ ③如果考虑绿化及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m，那么它的深度至少应为多少(结果精确到0.01)？ 解：（1）由sh=4×104=40000得，S； （2）当h＝5时，S8000（平方米）； （3）当S＝100×60＝6000（平方米）时，6000，解得：h， ∵k=40000＞0知，S随h的增大而减小， ∴蓄水池深度至少达到才能满足要求． (2)有一条长80m,，宽2.4m的路面，计划由两名工人用边长为40cm的正方形地砖来铺设.设每名工人平均每小时铺设n块，两人合作完成此项工作所需时间为th. ①求t(h)关于n(块)的函数表达式； ②如果这两名工人要在15h内完成此项工程，那么每名工人平均每小时至少要铺设多少块地砖？ 解：（1）根据题意得：t＝8000×240÷（2n×402），即t． （3）当t＝15时，，解得n＝40， 即如果要由2名工人在15h内完成上述工程，那么每名工人平均每小时至少要能铺40块地砖． 4、补讲例题：（2025秋•蒙城县月考）如图是某种商品日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的函数关系图象，前30天由于进行了大量的宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比；当宣传停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第30天的日销售量为120件． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）求第50天的日销售量； （3）宣传合同约定，当日销售量不低于100件，并且持续天数不少于11天时，宣传小组就可以得到销售宣传提成，请通过计算说明宣传小组能否拿到合同约定的提成． 解：（1）∵函数图象经过点（30，120），∴120＝30m， 当0≤x≤30时，设y＝mx，即m＝4； ∴y＝4x， 当x＞30时，设（k为常数，且k≠0）， 将坐标A（30，120）代入，得，解得，k＝3600，∴， ∴y与x之间的函数表达式为． （2）当x＝50时，（件）； （3）对于y＝4x，当y＝100时，100＝4x，解得，x＝25， 对于，当y＝100时，，解得，x＝36（天），∴36﹣25+1＝12， ∵12＞11，∴宣传小组能拿到合同约定的提成． 5、尝试练习：（2025秋•周村区期中）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x≤10和10≤x≤20时，图象是线段：当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）分别求出当0≤x≤10与20≤x≤40时，注意力指标数y与时间x的函数表达式； （2）已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标应不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师最多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受？ 解：（1）图象经过点（20，48），设y，则48，解得k＝960，∴y（20≤x≤40）， 当x＝40时，y24，∴D（40，24），∴A（0，24）， 当0≤x＜10时，图象是线段AB，则该段函数是一次函数，点B（10，48）， 设y＝mx+n，则，解得，∴y＝2.4x+24（0≤x＜10）； （2）当y＝30时，30＝2.4x+24，x＝2.5， 当y＝30时，30，x＝32， 注意力指标不低于30的时间为32﹣2.5＝29.5（分钟），∵29.5÷8＝3.6875， ∴这节课张老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受． 1 学科网（北京）股份有限公司 $