1.3乘法公式（一）平方差公式（九大题型）（小模块.微专题.大压轴）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《1.3乘法公式（一）平方差公式》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 平方差公式识别 微专题2利用平方差公式解决实际问题 模块2 运用平方差公式计算 压轴1 平方差公式的几何意义 模块3 利用平方差公式简便计算 压轴2 平方差公式背景下的规律探索 模块4 利用平方差公式化简求值 压轴3 平方差公式背景下的新定义问题 微专题1平方差公式的逆用 模块通关·举一反三 【模块一】平方差公式识别 【例1】下列不能用平方差公式直接计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中不能用平方差公式进行计算的是（　 　） A． B． C． D． 【变式1-2】在下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【模块二】运用平方差公式计算 【例2】计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式2-2】计算下列各题： （1）（2x+y）（2x﹣y）； （2）（5y）（5y）； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）； （4）（x）（x2）（x）． 【变式2-3】计算． （1）（2x2+3y）（2x2﹣3y）； （2）（2x﹣y）（﹣2x﹣y）； （3）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）； （4）（a﹣3）（a+3）（a2+9）． 【变式2-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-5】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【模块三】利用平方差公式简便计算 【例3】简便运算：2025×2023﹣20242＝___________． 【变式3-1】．用简便方法计算5002﹣499×501的结果是　　 ． 【变式3-2】．已知a＝2015×2017，b＝2014×2018，c＝2016×2016，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＝c＞b D．c＞a＞b 【变式3-3】利用平方差公式简便运算： (1)； (2)． 【变式3-4】计算： (1)； (2)． 【变式3-5】计算的值为 ． 【变式3-6】计算：的值为 ． 【模块四】利用平方差公式化简求值 【例4】已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式4-1】．若且，则 ． 【变式4-2】．已知.则 ． 【变式4-3】代数式（2+1）（22+1）（24+1）⋯（22n+1）的值是（　　） A．2n﹣1 B．22n﹣1 C．42n﹣1 D． 【变式4-4】 _________． 【变式4-5】已知，求的值． 【变式4-6】已知． (1)___________； (2)求的值； (3)求结果的个位数字． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】平方差公式的逆用 【例5】由计算下题：． 【变式5-1】．已知a2﹣b2＝27，a﹣b＝3，则a+b的值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．15 【变式5-2】若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即（其中a、b、x为正整数），则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（    ） A．2022 B．2021 C．2020 D．2019 【变式5-3】若3x﹣2y＝3，则9x2﹣4y2﹣12y的值为（　　） A．9 B．6 C．3 D．﹣3 【变式5-4】计算 【变式5-5】计算的结果是 ． 【变式5-6】如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差那么称该正整数为“和谐数”，如，，则8和16称为“和谐数”，在不超过100的正整数中所有的“和谐数”之和为（    ） A．625 B．624 C．623 D．622 【微专题二】利用平方差公式解决实际问题 【例6】【发现】：两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】：求192﹣172的结果是8的几倍？ 【证明】：证明两个连续奇数2n+1与2n﹣1（n为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍． 【变式6-1】如图，在边长为的正方形纸片的4个角各剪去一个边长为的正方形，则余下纸片的面积为 ．    【变式6-2】如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成一个新长方形．    (1)用含m，n的代数式表示拼成的长方形的周长； (2)若，，求拼成的长方形的面积（纸板的厚度忽略不计） 【变式6-3】某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．增加 【变式6-4】如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 【变式6-5】重庆市某腊梅种植基地现已开放、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，其边长为米．且园区全部种植种腊梅，园区全部种植种腊梅．、两种腊梅投入的费用与吸引游客的收益如下表： 投入（元/平方米） 33 26 收益（元/平方米） 38 36 (1)请用代数式表示、两园区的面积之和并化简； (2)为方便游客观赏，当地政府根据实际对园区进行整改升级，长减少米，宽增加米．整改后、两园区种植面积相同，且整改后两园区周长之和为1200米，求整改后、两园区旅游的净收益之和．（净收益收益投入） 【变式6-6】发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数； 验证：（1）的结果是4的倍数！ （2）设三个连续的整数中间的一个为，计算最大数与最小数这两个数的平方差，并说明它是4的倍数； 延伸：说明任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是8的倍数． 压轴突破·素养提升 【压轴一】平方差公式的几何意义 【例7】【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 【变式7-1】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形队（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是________． (2)应用你得到的等式完成下列题： ①若，，求的值； ②计算． 【变式7-2】将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．      图1           图2 (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含a、b式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【变式7-3】如图，在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形纸片，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．    (1)通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式______（填选项前面的字母）； A． B． C． D． (2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图，大正方形ABCD的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积；    ②计算：． 【变式7-4】如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．    (1)请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：________________（用式子表达）． (2)应用公式计算： (3)应用公式计算： 【变式7-5】如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为 ； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为 ； (3)比较(2)、(1)的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式 ． (4)【问题解决】 利用(3)的公式解决问题: ①已知，，则的值为 ． ②观察下列计算结果： ，… 用你发现的规律并结合(3)的公式，直接写出下面这个算式(用乘方的形式表示结果)并说出这个结果的个位数字． _________．其个位数字是：_________． ③计算直接写出下面算式的结果： ____________ ． 【变式7-6】如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的选项）： A．         B． C．         D． (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①根据以上等式简便计算：． ②已知，，计算的值； ③计算：． 【压轴二】平方差公式背景下的规律探索 【例8】观察下列算式： ①； ②； ③； ④； … (1)请按照以上规律写出第⑤个算式：________________； (2)按这个规律写出第n个等式：________________，并说明这个等式成立． 【变式8-1】观察下列等式： ①；②；③；④． (1)请按以上规律写出第⑥个等式：___________； (2)猜想并写出第n个等式：___________；并证明猜想的正确性． (3)利用上述规律，直接写出下列算式的结果：___________． 【变式8-2】对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题． (1)【简单问题】化简______； (2)______； (3)______； (4)【复杂问题】化简 ______； (5)【总结规律】 观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请你用含有字母的式子表示上述规律． (6)【方法应用】 观察下列等式：计算，并求出该结果个位上的数字． 【变式8-3】观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)请直接写出第5个等式______； (2)根据上述规律猜想第n个等式（用含n的等式表示），并运用所学知识试说明其成立． 【变式8-4】观察以下平方数：，，，，，，，，，…我们发现在附近的两个平方数存在以下规律：①；②；③：④，… (1)请利用以上规律，写出一个具体等式：　 　． (2)请用含的等式表示以上规律：　 　． (3)请用所学知识证明(2)中等式成立． 【变式8-5】观察下列各式： ； ； ． (1)请你按照以上各式的运算规律，填空． ①　　； ②　　； ③　　． (2)应用规律计算： ． 【变式8-6】观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，…… 解决下列问题： (1)按照以上规律，写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的式子表示），并证明； (3)利用上述规律，直接写出结果：＝_______ ． 【压轴三】平方差公式背景下的新定义问题 【例9】如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，我们新定义这个正整数为“神秘数”．例如：，，，因此8，16，24这三个数都是“神秘数”． (1)48是“神秘数”吗？若是，请写出是哪两个连续奇数的平方差，若不是，请说明理由； (2)猜想“神秘数”有何特征，并说明理由； (3)若长方形相邻两边长为两个连续奇数，试说明其周长一定为“神秘数”． 【变式9-1】对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：．根据这一规定，计算 ． 【变式9-2】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是________． 【变式9-3】一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“隐等数”，将这个“隐等数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记． (1)请任意写出一个“隐等数”n，并计算的值． (2)若某个“隐等数”n的千位与十位上的数字之和为6，为正数，且能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”n． 【变式9-4】如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”． (1)请你再写出两个“和谐数”（8，16，24除外）； (2)小云通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为和（其中n取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否正确 【变式9-5】已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记． 例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”； 此时． 又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”． (1)判断7425是否是“平方差数”?8765是否是“平方差数”?并说明理由； (2)若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M． 【变式9-6】材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为连续平方差数，若，则96是连续平方差数； 材料二：对于一个三位自然数M，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称M是一个关于9的对称数，若，则称545是关于9的对称数． (1)请判断56是否是连续平方差数，如果是请找出差为56的连续的两个奇数； (2)证明任何一个连续平方差数一定是8的倍数； (3)已知一个三位数既是连续平方差数，又是关于9的对称数，求满足条件的所有三位数． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《1.3乘法公式（一）平方差公式》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 平方差公式识别 微专题2利用平方差公式解决实际问题 模块2 运用平方差公式计算 压轴1 平方差公式的几何意义 模块3 利用平方差公式简便计算 压轴2 平方差公式背景下的规律探索 模块4 利用平方差公式化简求值 压轴3 平方差公式背景下的新定义问题 微专题1平方差公式的逆用 模块通关·举一反三 【模块一】平方差公式识别 【例1】下列不能用平方差公式直接计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式直接计算，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计算，故此选符合题意； B、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意； C、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意； D、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解此题的关键． 【变式1-1】下列各式中不能用平方差公式进行计算的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式逐项判断即可得． 【详解】A、，能用平方差公式，此项不符题意； B、，能用完全平方公式，此项符合题意； C、，能用平方差公式，此项不符题意； D、，能用平方差公式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟记并灵活运用公式是解题关键． 【变式1-2】在下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个数的和乘以这两个数的差，得这两个数的平方的差，能用平方差公式计算的整式的特点是：两个数的和乘以这两个数的差，据此解答即可． 【详解】解：、，能用平方差公式计算，不符合题意； 、，能用平方差公式计算，不符合题意； 、，不能用平方差公式计算，符合题意； 、，能用平方差公式计算，不符合题意． 故选：． 【点睛】此题考查整式乘法的平方差计算公式的特点，熟记平方差计算公式是解题的关键． 【变式1-3】下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】安徽省阜阳市部分学校2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试卷 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式中代数式的特征是解题的关键． 平方差公式的形式为，即两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数，检查各选项变形后是否符合此形式即可． 【详解】选项A：，符合形式，能运用平方差公式，符合题意要求； 选项B：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项C：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项D：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 故选A． 【模块二】运用平方差公式计算 【例2】计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握是解题的关键． （1）用平方差公式解答： （2）用平方差公式解答： （3）用平方差公式解答： （4）用平方差公式解答： （5）用平方差公式解答： （6）用平方差公式解答． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）； 故答案为：； （5）； 故答案为：； （6） 故答案为： 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算； （1）直接利用平方差公式计算即可； （2）直接利用平方差公式计算即可； （3）直接利用平方差公式计算即可； （4）先利用平方差公式计算，再合并同类项即可； （5）先利用平方差公式和单项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ． 【变式2-2】计算下列各题： （1）（2x+y）（2x﹣y）； （2）（5y）（5y）； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）； （4）（x）（x2）（x）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2x+y）（2x﹣y） ＝（2x）2﹣y2 ＝4x2﹣y2； （2）（x+5y）（x﹣5y） ＝（x）2﹣（5y）2 x2﹣25y2； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9） ＝（x2﹣9）（x2+9） ＝x4﹣81； （4）（x）（x2）（x） ＝（x2）（x2） ＝x4． 【变式2-3】计算． （1）（2x2+3y）（2x2﹣3y）； （2）（2x﹣y）（﹣2x﹣y）； （3）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）； （4）（a﹣3）（a+3）（a2+9）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2x2+3y）（2x2﹣3y）＝4x4﹣9y2； （2）（2x﹣y）（﹣2x﹣y）＝（﹣y）2﹣（2x）2＝y2﹣4x2； （3）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）＝x2﹣y2+4x2﹣y2＝5x2﹣2y2； （4）（a﹣3）（a+3）（a2+9）＝（a2﹣9）（a2+9）＝a4﹣81． 【变式2-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接根据平方差公式计算即可； （2）直接根据平方差公式计算即可； （3）直接根据平方差公式计算即可； （4）直接根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式，积的乘方，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-5】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）先利用平方差公式进行计算，再利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握公式的结构特点是解题的关键． 【变式2-6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式利用平方差公式计算即可得到结果； （3）原式利用平方差公式计算即可得到结果； （4）原式利用平方差公式计算即可得到结果；． 【详解】（1） ； （2） （3） ； （4） ． 【点睛】此题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【模块三】利用平方差公式简便计算 【例3】简便运算：2025×2023﹣20242＝___________． 【答案】﹣1． 【解答】解：原式＝（2024+1）×（2024﹣1）﹣20242 ＝20242﹣1﹣20242 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式3-1】．用简便方法计算5002﹣499×501的结果是　　 ． 【答案】1． 【解答】解：依题意，5002﹣499×501＝5002﹣（500﹣1）×（500+1）＝5002﹣5002+1＝1， 故答案为：1． 【变式3-2】．已知a＝2015×2017，b＝2014×2018，c＝2016×2016，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＝c＞b D．c＞a＞b 【答案】D 【解答】解：设 n＝2016，利用平方差公式可得： a＝（n﹣1）（n+1）＝n2﹣1，b＝（n﹣2）（n+2）＝n2﹣4，c＝n2， ∵n2﹣4＜n2﹣1＜n2， ∴c＞a＞b； 故选：D． 【变式3-3】利用平方差公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可； （2）先将变形为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3-4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的特征是解题的关键． 【变式3-5】计算的值为 ． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【变式3-6】计算：的值为 ． 【答案】5050 【分析】先分别计算相邻的两个数的平方差，化简，再计算有理数的加法． 【详解】解： 故答案为：5050． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，平方差公式的应用，正确理解式子的构成特点掌握平方差公式是解题的关键． 【模块四】利用平方差公式化简求值 【例4】已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【解答】解：∵x﹣y＝5， ∴x2﹣y2﹣10y ＝（x2﹣y2）﹣10y ＝（x+y）（x﹣y）﹣10y ＝5（x+y）﹣10y ＝5x+5y﹣10y ＝5x﹣5y ＝5（x﹣y） ＝5×5 ＝25． 故选：D． 【变式4-1】．若且，则 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了平方差公式的应用能力，解题的关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算， 运用平方差公式进行计算、求解． 【详解】解：， ， 故答案为：2． 【变式4-2】．已知.则 ． 【答案】9 【分析】根据题意可得，运用平方差公式解因式再整体代入即可 【详解】解： ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是会运用整体思想代入． 【变式4-3】代数式（2+1）（22+1）（24+1）⋯（22n+1）的值是（　　） A．2n﹣1 B．22n﹣1 C．42n﹣1 D． 【答案】C 【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）⋯（22n+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）⋯（22n+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（22n+1） ＝（24﹣1）（24+1）...（22n+1） ＝（28﹣1）...（22n﹣1）（22n+1） ＝24n﹣1 ＝（22）2n﹣1 ＝42n﹣1， 故选：C． 【变式4-4】 _________． 【答案】 【分析】根据平方差公式得，，然后计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式4-5】已知，求的值． 【答案】4 【分析】根据平方差公式，单项式乘多项式化解，然后合并同类项，然后将变形为代入求解即可． 【详解】∵ ∴，即 ∴ ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算以及代数求值，熟练的正确运算是解决问题的关键． 【变式4-6】已知． (1)___________； (2)求的值； (3)求结果的个位数字． 【答案】(1)15 (2) (3)0 【分析】（1）根据平方差公式求出即可； （2）添加上，重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案； （3）根据（2）的规律，多次利用平方差公式即可得出答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：15； （2）解： ； （3）解： ； 可知的个位数呈3、9、7、循环， ， 的个位数是1， 的个位数是0． 即结果的个位数字是0． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律，题目比较好，有一定的难度． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】平方差公式的逆用 【例5】由计算下题：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，利用平方差公式将原式变形为，计算即可得解，熟练掌握平方差公式，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式5-1】．已知a2﹣b2＝27，a﹣b＝3，则a+b的值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝27， 又∵a﹣b＝3， ∴a+b＝9． 故选：A． 【变式5-2】若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即（其中a、b、x为正整数），则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（    ） A．2022 B．2021 C．2020 D．2019 【答案】A 【分析】设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是完美数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是完美数，即可得答案． 【详解】解：设k是正整数， ∵， ∴除1外，所有的奇数都是完美数， ∴B，D选项都是完美数，不符合题意； ∵， ∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是完美数， 所以C选项是完美数，不符合题意， A选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是完美数，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记）是解题的关键． 【变式5-3】若3x﹣2y＝3，则9x2﹣4y2﹣12y的值为（　　） A．9 B．6 C．3 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：原式＝（3x+2y）（3x﹣2y）﹣12y ＝3（3x+2y）﹣12y ＝9x+6y﹣12y ＝9x﹣6y ＝3（3x﹣2y） ＝3×3 ＝9． 故选：A． 【变式5-4】计算 【答案】 【分析】利用平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了平方差公式，解题关键在于掌握平方差公式的结构特征． 【变式5-5】计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 根据平方差公式展开整理，再约分可得答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式5-6】如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差那么称该正整数为“和谐数”，如，，则8和16称为“和谐数”，在不超过100的正整数中所有的“和谐数”之和为（    ） A．625 B．624 C．623 D．622 【答案】B 【分析】根据定义将不超过100的正整数中所有的“和谐数”表示出来，相加化简． 【详解】解：由题意，设“和谐数”为（n为自然数）， ，得， ∴n的最大值为12，，最大的“和谐数”可表示为， ∵不超过100的正整数中所有的“和谐数”之和为 ； 故选： B 【点睛】本题考查平方差公式，有理数运算；根据题意运用平方差公式确定满足题意的最大的和谐数是解题的关键． 【微专题二】利用平方差公式解决实际问题 【例6】【发现】：两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】：求192﹣172的结果是8的几倍？ 【证明】：证明两个连续奇数2n+1与2n﹣1（n为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍． 【答案】【验证】192﹣172是8的9倍； 【证明】详见解答． 【解答】解：【验证】由平方差公式可得192﹣172＝（19+17）×（19﹣17） ＝36×2 ＝72 ＝8×9， 所以192﹣172是8的9倍； 【证明】由于（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1） ＝4n×2 ＝8n，而n为整数， 所以两个连续奇数2n+1，2n﹣1的平方差是8的整数倍； 又因为这两个奇数的和为2n+1+2n﹣1＝4n，而8n÷4n＝2， 所以两个连续奇数2n+1，2n﹣1的平方差等于这两个数的和的2倍． 【变式6-1】如图，在边长为的正方形纸片的4个角各剪去一个边长为的正方形，则余下纸片的面积为 ．    【答案】256 【分析】根据正方形的面积公式得出大正方形的面积和小正方形的面积，再相减用平方差公式求解即可． 【详解】解：余下纸片的面积为 ． 故答案为：256． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握． 【变式6-2】如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成一个新长方形．    (1)用含m，n的代数式表示拼成的长方形的周长； (2)若，，求拼成的长方形的面积（纸板的厚度忽略不计） 【答案】(1) (2)39 【分析】（1）根据题意和长方形的周长公式列出代数式解答即可． （2）根据题意列出长方形的面积，然后把，代入进行计算即可求得． 【详解】（1）解：长方形的长为：， 长方形的宽为：， 长方形的周长为：； （2）解：长方形的面积为， 当，时，． 【点睛】本题主要考查了长方形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答． 【变式6-3】某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】B 【详解】解：设原正方形的边长为， 因此面积为， 改造后的图形是长为，宽为的长方形， 因此面积为， 所以改造前后的面积差为， 因此改造以后的图形面积与原来的面积相比减少了． 故选：B． 【变式6-4】如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴AB＝BC＝a，BE＝BD＝b， ∵大正方形与小正方形的面积之差是48， ∴a2﹣b2＝48， 根据图示可得，AE＝a﹣b， ∴，， ∴阴影部分的面积＝S△AEC+S△AED ＝24， 故选：C． 【变式6-5】重庆市某腊梅种植基地现已开放、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，其边长为米．且园区全部种植种腊梅，园区全部种植种腊梅．、两种腊梅投入的费用与吸引游客的收益如下表： 投入（元/平方米） 33 26 收益（元/平方米） 38 36 (1)请用代数式表示、两园区的面积之和并化简； (2)为方便游客观赏，当地政府根据实际对园区进行整改升级，长减少米，宽增加米．整改后、两园区种植面积相同，且整改后两园区周长之和为1200米，求整改后、两园区旅游的净收益之和．（净收益收益投入） 【答案】(1)平方米 (2)元 【知识点】整式加减的应用、平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了整式加减的意义，平方差公式和完全平方公式在几何图形中的应用，熟知乘法公式是解题的关键． （1）根据长方形和正方形面积计算公式分别求出A、B的面积，二者求和即可得到答案； （2）根据长方形和正方形周长计算公式推出，进而可求出A、B面积，再根据净收入计算公式代值计算即可． 【详解】（1）解： 平方米， ∴、两园区的面积之和为平方米； （2）解：∵整改后两园区周长之和为1200米， ∴， ∴， ∴正方形面积为平方米， ∴长方形面积为平方米， 元． 【变式6-6】发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数； 验证：（1）的结果是4的倍数！ （2）设三个连续的整数中间的一个为，计算最大数与最小数这两个数的平方差，并说明它是4的倍数； 延伸：说明任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是8的倍数． 【答案】验证：（1）见解析；（2）见解析；延伸：见解析 【分析】验证：（1）通过计算即可求倍数； （2）设三个连续的整数中间的一个为，则最大的数为，最小的数为，通过平方差公式得出，即可得到答案； 延伸：设中间一个奇数为，则最大的奇数为，最小的奇数为，通过平方差公式计算得出，即可得到答案． 【详解】验证：（1）解：， 即的结果是4的倍； （2）证明：设三个连续的整数中间的一个为，则最大的数为，最小的数为， 则 ， 是整数， 任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数； 延伸：证明：设中间一个奇数为，则最大的奇数为，最小的奇数为， 则 ， 是整数， 任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是8的倍数． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 压轴突破·素养提升 【压轴一】平方差公式的几何意义 【例7】【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 【答案】（1）；；；（2） 【难度】0.65 【来源】河南省驻马店市上蔡县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】平方差公式与几何图形、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是分别表示出图①和图②中阴影部分的面积． （1）分别计算图①、图②阴影面积，根据面积相等得出恒等式． （2）分别算出原几何体（正方体挖去小长方体）和新长方体的体积，根据体积相等得恒等式． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积可表示为， 图②中阴影部分的面积可表示为， 恒等式， 故答案为：，，； （2）根据题意，得新长方体的长为，宽为x，高为， 新长方体体积为， 正方体挖去一个小长方体后的体积为， 根据变化前后几何体的体积相等， 可得， 代数恒等式为； 【变式7-1】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形队（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是________． (2)应用你得到的等式完成下列题： ①若，，求的值； ②计算． 【答案】(1) (2)①3，② 【分析】（1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解；②添项，配成两数和乘以两数差形式，运用平方差公式求解． 【详解】（1）解：由图1，阴影部分面积为，由图2，阴影部分的面积为， ∴． 故答案为： （2）解：①， ∴； ② ． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． 【变式7-2】将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．      图1           图2 (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含a、b式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)①4；②1． 【分析】（1）根据图像利用长方形与正方形的面积公式进行列式即可； （2）根据和的面积相等可以验证平方差公式； （3）利用平方差公式进行变形，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得： ，； （2）解：以上结果可以验证的乘法公式是； （3）解：①∵，，， ∴， ② 【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 【变式7-3】如图，在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形纸片，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．    (1)通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式______（填选项前面的字母）； A． B． C． D． (2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图，大正方形ABCD的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积；    ②计算：． 【答案】(1)C (2)①；② 【分析】（1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，再根据两幅图阴影部分面积相等即可得到结论； （2）①设正方形的边长为a，正方形的面积为b，则，再根据进行求解即可；②利用平方差公式进行裂项求解即可． 【详解】（1）解：第一幅图阴影部分面积为，第二幅图的阴影部分面积为， ∵两幅图表示的阴影部分面积相等， ∴， 故选：C； （2）解：①设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ，， 又，即， ， ； ②原式 ， =， =． 【点睛】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用、用平方差公式进行计算等知识点，熟知平方差公式以及数形结合思想是解题的关键． 【变式7-4】如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．    (1)请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：________________（用式子表达）． (2)应用公式计算： (3)应用公式计算： 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）由大正方形的面积减去小正方形的面积可得，由长方形的面积可得，由等面积法可得公式； （2）逆用公式把原式每一项写成乘积的形式，可化为，从而可得答案； （3）在运算式前面乘以，再逐步使用公式进行计算即可． 【详解】（1）解：，， 可得公式：； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的是两数和乘以这两数差的公式的几何推导，以及利用公式进行计算与因式分解，灵活使用公式进行运算是解本题的关键． 【变式7-5】如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为 ； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为 ； (3)比较(2)、(1)的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式 ． (4)【问题解决】 利用(3)的公式解决问题: ①已知，，则的值为 ． ②观察下列计算结果： ，… 用你发现的规律并结合(3)的公式，直接写出下面这个算式(用乘方的形式表示结果)并说出这个结果的个位数字． _________．其个位数字是：_________． ③计算直接写出下面算式的结果： ____________ ． 【答案】(1) (2) (3) (4)①；②，；③ 【分析】（1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于． （2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，得长方形面积为． （3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故． （4）①根据平方差公式，进行计算即可求解． ②连续使用平方差公式，进而即可求解； ③连续使用平方差公式，进而即可求解． 【详解】（1） （2）经分析，拼接后的长方形长为、宽为． ∴ （3）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变， ∴． （4）解：①∵，， ∴ ∴， 故答案为：3． ② 又∵（为正整数）的个位数字依次是、、、、、、、以、、、为一个循环，， ∴的个位数字是． 故答案为：，． ③ 故答案为：． 【点睛】此题考查了平法差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键． 【变式7-6】如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的选项）： A．         B． C．         D． (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①根据以上等式简便计算：． ②已知，，计算的值； ③计算：． 【答案】(1)D (2)①800；②9；③ 【分析】（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，可表示其面积，由两种方法所求的面积相等可得答案； （2）①根据平方差公式将计算即可；②根据平方差公式得到，由得到，即可计算的值； ③利用平方差公式将原式化为，进而得出即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图1、图2的面积相等得，， 故选：D； （2）解：① ； ②∵，， ∴，即， ∴； ③原式 ． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 【压轴二】平方差公式背景下的规律探索 【例8】观察下列算式： ①； ②； ③； ④； … (1)请按照以上规律写出第⑤个算式：________________； (2)按这个规律写出第n个等式：________________，并说明这个等式成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平方差公式的运用，读懂题目信息，写出奇数列的两种不同表示是解题的关键． （1）根据题干中的规律即可写出答案； （2）左边是相邻奇数的平方差，右边是8的倍数，根据奇数的不同表示写出算式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 可知第⑤个算式为：， 故答案为： （2）解：由题意可知，左边是从3开始的奇数列的平方减去从1开始的奇数列的平方，右边是8的倍数，即第n个等式为：， 证明如下： ， 故答案为：． 【变式8-1】观察下列等式： ①；②；③；④． (1)请按以上规律写出第⑥个等式：___________； (2)猜想并写出第n个等式：___________；并证明猜想的正确性． (3)利用上述规律，直接写出下列算式的结果：___________． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)4850 【分析】（1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案； （2）根据发现的规律写出第个等式并计算可进行验证； （3）根据，，可得原式，进而可得答案． 【详解】（1）解：第⑥个式子为：； 故答案为：； （2）猜想第个等式为：， 证明：左边右边， 故答案为：； （3）原式 ． 故答案为：4850． 【点睛】本题考查对规律型问题的理解和有理数的运算能力，找到规律是解题关键． 【变式8-2】对于一些较为复杂的问题，可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，再解决复杂问题． (1)【简单问题】化简______； (2)______； (3)______； (4)【复杂问题】化简 ______； (5)【总结规律】 观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请你用含有字母的式子表示上述规律． (6)【方法应用】 观察下列等式：计算，并求出该结果个位上的数字． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)的个位上的数字为5 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可； （2）（3）根据多项式乘以多项式进行计算即可； （4）根据（1）（2）（3）得出规律进行解答即可； （5）结合以上规律进行解答即可； （6）观察式子得出其个位数字的规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）由前三个式子可以推出： ， 故答案为：； （5）综上所述，乘以则等于， 即； （6） 因为， 所以的个位上的数字为6，所以的个位上的数字为5． 【点睛】本题考查了平方差公式以及平方差公式的延伸，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及算式的变化规律是解本题的关键． 【变式8-3】观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)请直接写出第5个等式______； (2)根据上述规律猜想第n个等式（用含n的等式表示），并运用所学知识试说明其成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据规律可得第5个等式； （2）根据前几个等式可得规律，进而可得第个等式，再按照等式的运算得出结果． 【详解】（1）解：第5个等式：； （2）解：第n个等式：； 证明：左边， 左边＝右边， 所以等式成立． 【点睛】本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 【变式8-4】观察以下平方数：，，，，，，，，，…我们发现在附近的两个平方数存在以下规律：①；②；③：④，… (1)请利用以上规律，写出一个具体等式：　 　． (2)请用含的等式表示以上规律：　 　． (3)请用所学知识证明(2)中等式成立． 【答案】(1)(答案不唯一) (2) (3)见解析 【分析】（1）由题意可写出一个具体的等式； （2）由题意可归纳出用含n的等式来表示的以上规律； （3）运用平方差公式进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意和平方差公式可得， (答案不唯一)， 故答案为： (答案不唯一)； （2）根据题意可归纳结论为，（且为正整数）， 故答案为：（为正整数）； （3）证明，∵ ， ∴． 【点睛】此题考查了平方差公式，算式规律的归纳能力，关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 【变式8-5】观察下列各式： ； ； ． (1)请你按照以上各式的运算规律，填空． ①　　； ②　　； ③　　． (2)应用规律计算： ． 【答案】(1)①；②；③； (2) 【分析】（1）根据材料中的规律可得结论； （2）先将分解为，再分别与后两项组合为立方和，立方差公式，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）①； ②； ③． 故答案为：①；②；③； （2） ． 【点睛】本题考查了平方差公式及整式的混合运算，能根据求出的算式得出规律是解此题的关键． 【变式8-6】观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，…… 解决下列问题： (1)按照以上规律，写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的式子表示），并证明； (3)利用上述规律，直接写出结果：＝_______ ． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)4850 【分析】（1）根据所给的等式，即可直接写出第6个等式； （2）通过观察所给的等式，猜想第n个等式，并证明即可； （3）利用（2）的结论，将所求的式子化为，再计算即可． 【详解】（1）第6个等式为， 故答案为：； （2）第n个等式为， 证明：左边， ∴左边=右边， ∴等式成立． 故答案为：； （3） ． 故答案为：4850． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行运算是解题的关键． 【压轴三】平方差公式背景下的新定义问题 【例9】如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，我们新定义这个正整数为“神秘数”．例如：，，，因此8，16，24这三个数都是“神秘数”． (1)48是“神秘数”吗？若是，请写出是哪两个连续奇数的平方差，若不是，请说明理由； (2)猜想“神秘数”有何特征，并说明理由； (3)若长方形相邻两边长为两个连续奇数，试说明其周长一定为“神秘数”． 【答案】(1)48是“神秘数”， (2)猜想“神秘数”都是8的倍数，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）将48写成两个连续奇数的平方差即可，根据列举出的“神秘数”的规律得出结论； （2）根据“神秘数”可以表示为两个连续奇数的平方差的特征和都是8的倍数； （3）设出长方形的边长，求出周长，再根据“神秘数”的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：48是“神秘数”， ， 是“神秘数”； （2）解：猜想“神秘数”都是8的倍数；理由如下： 由于；；； 所以“神秘数”都是8的倍数，即； （3）解：设长方形的两条相邻的边分别为，， 所以周长为：，而是神秘数，即周长为神秘数． 【点睛】本题考查平方差公式，理解“神秘数”的定义是正确解答的前提． 【变式9-1】对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：．根据这一规定，计算 ． 【答案】 【分析】按照规定的运算方法把化为，利用平方差公式计算整理即可． 【详解】解：根据题意得： ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，立意较新颖，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键． 【变式9-2】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是________． 【答案】2693 【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2-n2=（m+n）（m-n），因为m，n是正整数，因而m+n和m-n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2-k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”． 对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2-（k-1）2（k=2，3，…）． 即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”． 对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2-y2=（x+y）（x-y），其中x，y为正整数， 当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除； 当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x-y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾． 所以不存在自然数x，y使得x2-y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”． 因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”． 因为2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692， 所以2693是第2018个“智慧数”， 故答案为2693． 【点睛】本题考查平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握． 【变式9-3】一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“隐等数”，将这个“隐等数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记． (1)请任意写出一个“隐等数”n，并计算的值． (2)若某个“隐等数”n的千位与十位上的数字之和为6，为正数，且能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”n． 【答案】(1)；； (2)或； 【分析】（1）根据“隐等数”的定义求解即可； （2）设“隐等数”n的千位数、百位数分别为，可得，再根据能够表示为两个连续偶数的平方差，确定出的值即可解答． 【详解】（1）解：设，由“隐等数”的定义可得为“隐等数” 则 ； （2）设“隐等数”n的千位数、百位数分别为 由千位与十位上的数字之和为6可得十位数为，个位数为 则， ， 则 ∵为正数，且能表示为两个连续偶数的平方差 可设（为自然数）， ∴，即为4的奇数倍， ∵n的千位和十位上的数字之和为6 ∴， ∴ ∴，即 ∴，或， 或． 【点睛】此题考查了整式运算的应用，平方差公式，解题的关键是理清思路，理解题意以及熟练掌握平方差公式． 【变式9-4】如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”． (1)请你再写出两个“和谐数”（8，16，24除外）； (2)小云通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为和（其中n取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否正确 【答案】(1)32，40是和谐数； (2)正确，验证见解析 【分析】（1）根据题意，可以判断32，40这两个数是和谐数； （2）根据题意，列出代数式进行计算可以证明结论成立，本题得以解决． 【详解】（1）解：∵，， ∴32，40是和谐数；（答案不唯一） （2）证明：∵ ， ∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的知识解答． 【变式9-5】已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记． 例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”； 此时． 又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”． (1)判断7425是否是“平方差数”?8765是否是“平方差数”?并说明理由； (2)若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M． 【答案】(1)7425是“平方差数”；8765不是“平方差数”，理由见解析 (2)或 【分析】（1）根据“平方差数”的定义计算即可； （2）由是“平方差数”，得，由比M的个位数字的9倍大30，得，进而得，结合分解分数的方法分解并分情况讨论即可． 【详解】（1）7425是“平方差数”．理由如下： ∵， ∴7425是“平方差数”． 8765不是“平方差数”．理由如下： ∵， ∴8765不是“平方差数”． （2）∵是“平方差数”， ∴，， ∵比M的个位数字的9倍大30， ∴，即， ∴， 即． ∵，且均为30的正因数， ∴将30分解为或或． ①， 解得， ∵， ∴； ②， 解得， ∵， ∴（舍去）； ③， 解得或， ∵，， ∴（舍去）或． ∴或． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解“平方差数”，明确条件与所求的关系． 【变式9-6】材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为连续平方差数，若，则96是连续平方差数； 材料二：对于一个三位自然数M，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称M是一个关于9的对称数，若，则称545是关于9的对称数． (1)请判断56是否是连续平方差数，如果是请找出差为56的连续的两个奇数； (2)证明任何一个连续平方差数一定是8的倍数； (3)已知一个三位数既是连续平方差数，又是关于9的对称数，求满足条件的所有三位数． 【答案】(1)是连续平方差数 (2)见解析 (3)424，616，656，848，920，960． 【分析】（1）根据连续平方差数的定义即可判断； （2）设连续的两个奇数分别为，利用平方差公式展开，即可得出结论； （3）设这个三位数为（均为小于10的自然数，且），根据两个新定义及（2）的结论，运用数的整除性得出满足条件的字母值，从而得到满足条件的所有三位数． 【详解】（1）解：56是连续平方差数，理由如下： ， 故56是连续平方差数； （2）证明：设连续的两个奇数分别为， 则， ∴任何一个连续平方差数一定是8的倍数； （3）解：设这个三位数为（均为小于10的自然数，且）， 则是整数，且是整数，a＞b， ∴满足条件的 有： ，此时三位数为424； 或 5，此时三位数为616或656； ，此时三位数为848； ,此时三位数为960； ，此时三位数为920． 综上所述，满足条件的所有三位数有424，616，656，848,920，960． 【点睛】此题考查了约数与倍数，因式分解和平方差公式的内容，根据连续平方差数的特点是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $