1.4整式除法（小模块.微专题.大压轴）（十四大题型）2025－2026学年北师大版数学七年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《 1.4整式除法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1单项式除以单项式 模块8整式混合运算下的化简求值 模块2 多项式除以单项式 微专题1整式除法背景下程序框图问题 模块3 整式除法背景下的科学记数法 微专题2整式除法与几何图形的应用 模块4 整式除法混合运算 微专题3将错就错问题 模块5 利用整式的除法化简求值 微专题4整式除法背景下整体思想 模块6利用整式除法解决实际问题 压轴1 整式除法背景下新定义问题 模块7整式的混合运算 压轴2 整式除法背景下规律探索 模块通关·举一反三 【模块一】单项式除以单项式 【方法点拨】一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)； (6)； (7)． (8) (9)； (10)； (11)； (12)（结果用科学记数法表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．据此进行逐一计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． （5）解：； （6）； （7）； （8） （9）解：原式． （10）解：． （11）解：原式 ． （12）解：原式． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用同底数幂的除法运算，底数不变指数相减，进而得出即可； （2）利用同底数幂的除法运算，底数不变指数相减，进而得出即可； （3）利用同底数幂的除法运算，底数不变指数相减，进而得出即可； （4）利用同底数幂的除法运算，底数不变指数相减，进而得出即可； （5）利用同底数幂的除法运算，底数不变指数相减，进而得出即可； （6）利用同底数幂的乘除法运算法则，进而得出即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； 【点睛】本题主要考查了整式除法运算，涉及单项式除以单项式、多项式除以单项式、同底数幂的乘除运算等，熟练掌握运算法则是解题关键． 【变式1-2】已知，求单项式A． 【答案】． 【分析】由乘法的意义可得，再利用积的乘方运算的逆运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是单项式的乘法与单项式的除法运算，积的乘方运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键． 【变式1-3】计算：． 【答案】 【分析】先计算积的乘方和单项式的乘除，再合并同类项． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了整式的运算，涉及积的乘方和单项式的乘除，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【变式1-4】计算：． 【答案】 【分析】利用积的乘方及单项式的乘除法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了单项式乘除的混合运算，另外还考查了积的乘方，熟练掌握这些运算法则并正确计算是解题的关键， 【变式1-5】计算． (1) ； (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先算乘方，再运用单项式的除法法则进行计算即可； （2）先算乘方，再根据单项式除单项式的法则进行计算即可； （3）根据单项式乘单项式的法则和单项式除单项式的法则进行计算即可； （4）先算乘方，再根据单项式除单项式的法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了整式的乘除法，掌握整式的乘除法的运算法则是解题的关键，有乘方的先算乘方，再算乘除，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【变式1-6】若是正整数，且，则 ． 【答案】48 【分析】根据积的乘方运算，单项式的除法运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵，n是正整数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方运算，单项式的除法运算，正确的计算是解题的关键． 【模块二】多项式除以单项式 【方法点拨】一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)． (6) (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：解：原式． （6）解：； （7）解： ， （8）解： ， 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是牢记多项式除以单项式的法则，即把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【变式2-1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】利用多项式除以单项式运算法则分别进行解答即可，多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【点睛】本题考查多项式除以单项式运算，多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加，掌握以上运算法则是解题关键． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】各小题直接利用多项式除以单项式运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关的运算法则是解题的关键． 【变式2-3】化简： ． 【答案】 【分析】先计算积的乘方，再根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方和多项式除以单项式，熟知运算法则、正确计算是解题的关键． 【变式2-4】已知：与一个整式的积是，求这个整式． 【答案】这个整式是 【分析】直接根据多项式除以单项式的计算法则进行求解即可． 【详解】解： ， ∴这个整式是． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，正确计算是解题的关键． 【变式2-5】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下： (1)求所捂的二次三项式； (2)若，求所捂二次三项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式除以单项式可进行求解； （2）由（1）可代值进行求解即可． 【详解】（1）解：设多项式为A，则： ； （2）解：把代入得，原式． 【点睛】本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式是解题的关键． 【变式2-6】数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 【答案】 【分析】利用多项式除以单项式法则计算即可得出“■”中的项，然后利用单项式乘多项式的法则进行计算验证即可． 【详解】解：∵ 即 ， ∴“■”中的一项是2y． 故答案为：2y． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【模块三】整式除法背景下的科学记数法 【例3】（2025·广东汕头·一模）中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法、单项式除法，先把14亿用科学记数法表示，再根据总面积除以总人口计算即可． 【详解】解：14亿 故选：B 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的 倍（结果保留整数）． 【答案】391 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 【变式3-2】如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用各选项的数分别除以，根据商结合数轴上AO、OB间的距离进行判断即可. 【详解】A. （）÷（）=2，观察数轴，可知A选项不符合题意； B. ÷（）=4，观察数轴，可知B选项不符合题意； C. ÷（）=20，观察数轴，可知C选项不符合题意； D. ÷（）=40，从数轴看比较接近，可知D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了数轴，用科学记数法表示的数的除法，正确进行运算，结合数轴恰当地进行估算是解题的关键． 【变式3-3】地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是(　　) A．7.1×10-6 B．7.1×10-7 C．1.4×106 D．1.4×107 【答案】B 【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案． 【详解】解：∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米， ∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷1.4×1018≈7.1×10﹣7． 故选：B 【点睛】本题考查整式的除法． 【变式3-4】月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需__________小时．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据时间路程速度，即可求解． 【详解】解：由题意得： 飞机飞行时间为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式除法的应用，掌握相关运算法则是解题关键． 【变式3-5】（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写__________次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 【变式3-6】细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【答案】后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍 【知识点】用科学记数法表示数的除法、乘方的应用 【分析】先求出，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂次后，数量变为个，用细菌的数量乘以，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果． 【详解】解：次， ∴后，盘子里有细菌：（个）； （次）， ∴后，盘子里有个细菌； ， 答：后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍． 【点睛】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． 【模块四】整式除法混合运算 【例4】计算： (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． (3)解： ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【变式4-1】下面是一道三项式除以单项式的计算题： ，其中的“”“”处被老师擦掉了，求出“”“ ”处被擦掉的内容． 【答案】“□”处被擦掉的是，“△”处被擦掉的是 【分析】根据多项式除以单项式法则分别求出第一项和第三项除以的结果判断，进而根据单项式乘以单项式法则得出． 【详解】∵， ∴，， ∴， 可知， ∴处被擦掉的内容是，处被擦掉的内容是． 【点睛】本题主要考查了整式的运算，理解多项式除以单项式法则是解题的关键． 【变式4-2】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）如图是一个圆柱形容器与一个长方体容器，现把圆柱形容器中盛满了水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满，则长方体容器的宽为 ．（每个容器的厚度均忽略不计） 【答案】 【分析】本题考查圆柱体和长方体的体积，整式运算的实际应用，根据圆柱体和长方体的体积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，长方体容器的宽为． 故答案为： 【变式4-3】（25-26七年级下·河北邢台·月考）下面是小亮的作业，他一共做对了（　　） 填空： ①． ②一张纸的厚度为，100张纸的厚度为． ③． ④已知长方形的面积为，长为，则宽为． A．0道题 B．1道题 C．2道题 D．3道题 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，负整数指数幂，零指数幂，多项式的除法．逐一检查每道题，第一题指数运算错误，第二题科学记数法计算错误，第三题和第四题正确． 【详解】解：∵① ，∴错误； ∵② ，∴错误； ∵③ ，，，∴正确； ∵④ 宽 = ，∴正确； ∴共做对2道题． 故选：C． 【变式4-4】有下列四个算式：①③．其中不正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据整式的除法法则分别计算各个式子，再判断即可． 【详解】解：①，正确，故不符合题意； ②，错误，故符合题意； ③，错误，故符合题意； ④，错误，故符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的除法运算，比较简单．用到的知识点：单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 【变式4-5】下面是一道例题及其解答过程，其中是关于的多项式． 例：先去括号，再合并同类项：． 解： 则多项式为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，再去括号，合并同类项进行计算得到，再两边都除以m即可． 【详解】解：∵， ∴ ； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是减法的意义，乘法的意义，整式的加减运算，多项式除以单项式，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 【变式4-6】．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，收到密文后解密还原明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，求出解密后明文的值． 【答案】 【分析】先化简，再将，，代入计算求出、的值，即可得到答案． 【详解】解： 将，代入： ， ， ， 【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是求出、的值． 【模块五】利用整式的除法化简求值 【例5】先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中，. (3)，其中，； (4)，其中，． 【答案】(1)，5 (2)， (3)， (4)， 【分析】原式中括号里利用多项式乘多项式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】(1)解：原式 ， 当，时，原式． (2)解：原式， 当，时， 原式． （3）解：原式， 将，代入得原式； （4）解：原式， 将，代入得原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握整式运算法则是解本题的关键． 【变式5-1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】先根据平方差公式与完全平方公式计算，多项式除以单项式，再根据去括号、合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键． 【变式5-2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式与单项式乘多项式运算法则去掉括号，然后再合并同列项计算，最后代入x，y计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 【变式5-3】（24-25八年级上·青海海北·期末）已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式法则可得，进而得到，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故选：D． 【变式5-4】若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 【答案】 【分析】利用可求出，进一步可得：，，，进一步可求出，，，相加即可求出． 【详解】解：由题意可知： ， ∴， ∴，，， 解之得：，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式系数中的字母求值，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，找出，令其系数对应相等即可解答． 【变式5-5】若被除后余3，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据被除后余3，判断出为的一个因式，再根据特殊值法求得的值． 【详解】解：∵被除后余3， ∴可被整除， ∴为的一个因式， ∴当，即时，， 即， 解得． 故答案为：． 【变式5-6】观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据规律得到，进而得到，得到，再代入即可求解． 【详解】解：根据规律得， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了探索规律，平方差公式，多项式乘多项式，多项式除以单项式并求值，解题的关键是得到． 【模块六】利用整式除法解决实际问题 【例6】某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ． 【答案】 【分析】设青黄瓜的亩产量为x，则白黄瓜的亩产量为，白黄瓜的种植面积为，青黄瓜的种植面积为，水果黄瓜的种植面积为，据此求出水果黄瓜的产量是，进而得到水果黄瓜的亩产量为，再根据种植面积的比值即可得到答案． 【详解】解：设青黄瓜的亩产量为x，则白黄瓜的亩产量为，白黄瓜的种植面积为，青黄瓜的种植面积为，水果黄瓜的种植面积为， ∴青黄瓜的产量为，白黄瓜的产量为， ∴水果黄瓜的产量是， ∴水果黄瓜的亩产量为， ∴当种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，单项式除以单项式，正确根据题意求出水果黄瓜的亩产量为是解题的关键． 【变式6-1】如图，一块直径为2a+2b的圆形钢板，从中挖去直径分别为2a与2b的两个圆，已知剩下钢板的面积与一个长为a的长方形面积相等，则这个长方形的宽为（　　） A．2πb B．2b C．2π D．πb 【答案】A 【分析】先用圆的总面积减去两个小圆的面积求出剩下钢板面积，再除以长方形的长a即可． 【详解】解：圆形钢板的面积＝＝π（a+b）2； 两个小圆的面积＝＝πa2+πb2； ∴剩下钢板的面积＝π（a+b）2﹣（πa2+πb2）＝2πab； ∴长方形的宽＝； 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方式的展开与运用，解题的关键在于正确表示出剩下钢板的面积． 【变式6-2】已知球的半径为时，它的体积为． A．如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则一个球的体积与整个盒子容积之比为 ． B．如图所示，个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则这个球的体积之和与整个盒子容积之比为 ． 【答案】 【分析】（1）先求解一个球的体积为，圆柱体盒子容积为，再利用单项式除以单项式即可得到答案； （2）先求解个球的体积之和为，圆柱体盒子容积为，再利用单项式除以单项式即可得到答案. 【详解】（1）设球的半径为， 根据题意得：一个球的体积， 圆柱体盒子容积， 所以三个球的体积与整个盒子容积之比为， 故答案为：； （2）设球的半径为， 根据题意得：个球的体积之和， 圆柱体盒子容积， 所以这个球的体积之和与整个盒子容积之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是列代数式，单项式除以单项式的应用，熟记单项式除以单项式的运算法则是解本题的关键. 【变式6-3】如图1中的瓶子盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么一共需要 个这样的杯子（瓶子和杯子的厚度忽略不计）． 【答案】28 【分析】计算出图1几何体的容积是图2几何体的容积的几倍即可． 【详解】解：图1几何体的容积为：π×（）2×h+π×a2×； 图2几何体的容积为：π×（）2×h=， 则需要杯子的个数：（个）， 所以需要这样的杯子28个． 故答案为：28. 【点睛】考查圆柱体容积的计算方法，掌握圆柱体容积的计算公式是正确计算的前提． 【变式6-4】某居民小区响应党的号召，开展全民健身活动．该小区准备修建一座健身馆，其设计方案如图所示，A区为成年人活动场所，B区为未成年人活动场所，其余地方均种花草．（π取3） (1)活动场所S成年人、S未成年和S花草的面积各是多少； (2)整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 【答案】(1)，，； (2)整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的5倍． 【分析】（1）根据长方形和圆形的面积公式列式，利用整式的相关运算法则进行计算； （2）根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：＝，＝，整座健身馆的面积为：， ∴＝； （2）由题意得：， 答：整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的5倍． 【点睛】此题考查了整式运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式6-5】在边长为的正方形纸片中前下一个边长为的正方形，将剩余部分剪拼成一个长方形，尺寸如图所示，则“？”表示的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形可知，后来剪拼成的长方形的长为，设宽为，根据面积相等列式计算即可． 【详解】解：后来剪拼成的长方形的长为，设宽为， 则 整理得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式与图形的面积，多项式除以单项式，整式的混合运算，解题的关键是根据面积相等进行列式． 【变式6-6】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为2的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的一条边长是a，另一条边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出剩余部分的面积为：，再由面积相等，即可求解． 【详解】解：∵边长为的正方形的面积为，边长为的正方形的面积为， ∴减去正方形后剩余部分的面积为：， ∵长方形的宽为， ∴长方形的长为：． 故选：A． 【点睛】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，多项式除以单项式．能够通过所给正方形和长方形的面积关系进行求解是解题的关键． 【模块七】整式的混合运算 【方法点拨】有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 【例7】计算： (1)； (2) (3)； (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2)5 (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【点睛】本题考查了负指数幂，零指数幂，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，积的乘方，乘法公式，熟练掌握幂的运算与整式的乘法法则是解题的关键． 【变式7-1】计算： (1) (2) (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)10 (4) (5) 【详解】（1）                                ； （2） ． （3） ． （4）． （5 【变式7-2】下列计算中，正确的个数有（    ）    （2） （3）     （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据整式的混合运算法则，逐个进行计算，即可得出结论． 【详解】解：（1），故（1）正确，符合题意； （2），故（2）不正确，不符合题意； （3），故（3）不正确，不符合题意； （4），故（4）不正确，不符合题意； 综上：正确的有（1），共1个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握单项式乘以（除以）单项式，多项式乘以多项式，多项式除以单项式的运算法则． 【变式7-3】计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用单项式乘以多项式的运算法则运算即可； （2）利用同底数幂的乘法公式、积的乘方公式、单项式除以单项式的运算法则运算并合并即可； （3）运算乘法交换律和结合律，以及同底数幂的乘法公式计算即可； （4）运用平方差公式和完全平方公式运算即可； （5）运用有理数的乘方，负整数指数幂公式，零指数幂公式，化简绝对值方法计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 【点睛】本题考查整式的乘除法，幂的运算，负整数指数幂公式，零指数幂公式等知识，掌握相关法则、运算律和公式是解题的关键． 【变式7-4】计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】（1）首先计算有理数的乘方和除法，零指数幂，绝对值和负整数指数幂，然后计算加减； （2）根据整式的混合运算法则求解即可； （3）首先计算完全平方公式和多项式乘多项式，然后计算加减； （4）首先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘方和除法，零指数幂，绝对值和负整数指数幂，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 【变式7-5】已知多项式除以时，所得的余数是1，除以时所得的余数是3，那么多项式除以时，所得的余式是（    ） A． B． C． D． 【分析】先设，除以时所得的余式为，商式为，再分别令、即可求出m、n的值，代入余式，即可求解． 【详解】解：设，除以时所得的余式为，商式为， 当时，， 当时，， ∴，， ∴多项式除以时，所得的余式为， 故选：A． 【点睛】本题考查带余数的除法，解题的关键是设出原式除以时所得的余式为，商式为，再用取特殊值法求解即可． 【变式7-6】（25-26七年级下·河南南阳·月考）计算与化简： (1)已知，求的值． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，整式的混合运算： （1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）根据乘法公式和多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ； （2）解： ． 【模块八】 整式混合运算下的化简求值 【例8】先化简，再求值： （1），其中，． （2），其中． （3），其中，． （4），其中 （5），其中， （6），其中，． （7），其中． （8），其中a、b满足 【答案】（1） （2）2a+2，1 （3）4ab﹣5b2+2，﹣5 （4）， （5）， （6），0 （7），8 （8）， 【详解】（1）原式       当，时，原式． （2） ； 将代入可得， 原式． （3） ＝4a2﹣b2﹣a2+4ab﹣4b2﹣3a2+2 ＝4ab﹣5b2+2， 当a，b＝﹣1时，原式＝﹣2﹣5+2＝﹣5． （4）解： 当 时，原式 （5）解： ， 当，时，原式 （6）解：原式， ， 当，时，原式． （7）解：原式 ， 当时， 原式． （8）解：原式 ， ∵， ∴，， ∴，， 当，时，原式． 【变式8-1】已知 (1)求，的值． (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解，即可得到答案； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行化简，再代入求值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了实数的非负性，整式的化简求值，熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题关键． 【变式8-2】先化简，再求值： （1），其中 (2)先化简，再求值：，其中 【答案】（1）， (2)； 【详解】（1） ， 当时，原式． （2） 当时，原式 【变式8-3】先化简，再求值： (1)，其中， (2)．已知． (3)．其中． 【答案】(1)，． (2) (3) 【详解】(1)解： ， 当，时，原式． （2）原式， 当时，原式； （3） ， 当时，原式 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键． 【变式8-4】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则a，b的值分别为（   ） A．2，1 B．1，2 C．2，3 D．3，2 【答案】C 【分析】本题考查整式混合运算，解二元一次方程组，正确建立a，b的方程组是解题的关键． 先化简得，再根据输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是，得，解之即可求解． 【详解】解： 由题意，得， 解得：， ∴a，b的值分别为2，3． 故选：C． 【变式8-5】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，均为整式，小马在计算时，误把“”抄成了“”这样，他计算的正确结果为． (1)求的正确结果； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握平方差公式、合并同类项法则、多项式除以单项式法则． （1）先根据平方差公式和合并同类项法则求出，再根据，求出，最后再列出算式，利用多项式除以单项式法则和同底数幂相除法则求出即可； （2）把代入（1）中所求的，进行计算即可． 【详解】（1）解： , ∵， ， ∴, ∴ ； （2）当时， ． 【变式8-6】已知，，都是正整数，其中，且，设，则（    ） A．3 B．69 C．3或69 D．2或46 【答案】C 【分析】本题考查整式化简求值，因式分解的应用． 先化简，再根据得，求得或，从而求得或，再代入计算即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵ ∴或， ∴当时，原式， 当时，原式， ∴或69． 故选：C． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】整式除法背景下程序框图问题 【例9】如图，任意输入一个非零数，则输出数是 ． 【答案】2 【分析】根据图形可得式子，利用乘法公式和整式的除法法则计算即可得． 【详解】解：由题意得： ， 则任意输入一个非零数，输出数是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了乘法公式和整式的除法，读懂图形，正确列出式子是解题关键． 【变式9-1】任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是_________．（最简结果） 【答案】 【分析】先平方，再减，所得到的差除以即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了程序流程图与整式的混合运算，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 【变式9-2】如图，输入x，按如图所示的程序进行计算后，请用含x的代数式表示输出的结果． 【答案】 【分析】根据程序图直接进行求解即可． 【详解】解：由题意得，输出结果为． 【点睛】本题主要考查单项式乘多项式、多项式除以单项式，熟练掌握各个运算是解题的关键． 【变式9-3】信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，收到密文后解密还原明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，求出解密后明文的值． 【答案】 【分析】先化简，再将，，代入计算求出、的值，即可得到答案． 【详解】解： 将，代入： ， ， ， 【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是求出、的值． 【变式9-4】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则a，b的值分别为（   ） A．2，1 B．1，2 C．2，3 D．3，2 【答案】C 【分析】本题考查整式混合运算，解二元一次方程组，正确建立a，b的方程组是解题的关键． 先化简得，再根据输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是，得，解之即可求解． 【详解】解： 由题意，得， 解得：， ∴a，b的值分别为2，3． 故选：C． 【变式9-5】（25-26七年级下·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案，掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 【变式9-6】请按下列程序计算，把答案写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这样的规律？    (1)填写表格内的空格： 输入 3 2 1 …… 输出答案 …… (2)你发现的规律是： ． (3)请用符号语言论证你的发现． 【答案】(1)3，2，1 (2)无论输入什么数，输出的结果和原数相等 (3)见解析 【分析】（1）根据程序流程图代值计算即可； （2）根据（1）所求可以发现无论输入什么数，输出的结果和原数相等； （3）设输入的数字为n，只需要证明即可． 【详解】（1）解：当时，输出的结果为： ； 当时，输出的结果为： ； 当时，输出的结果为： ； 填表如下： 输入 3 2 1 …… 输出答案 3 2 1 …… （2）解：由（1）可知，无论输入什么数，输出的结果和原数相等， 故答案为：无论输入什么数，输出的结果和原数相等； （3）解：设输入的数字为n， 由程序计算得：． ∴无论输入什么数，输出的结果和原数相等． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，整式的四则混合计算，正确理解题意是解题的关键． 【微专题二】 整式除法与几何图形的应用 【例10】如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是先求出纸盒底部长方形的宽. 根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可. 【详解】解：根据题意，得该纸盒的容积为， ∴纸盒底部长方形的宽为， ∴纸盒底部长方形的周长为， 故答案为：. 【变式10-1】（2025·陕西西安·一模）如图，长方形被分成四块面积相等的部分，其中A、B为长方形，其中长方形B的长和宽的比为．求长方形A的长和宽的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了单项式乘法和除法、整式加减的应用，设长方形的B的长为，则宽为，进一步表示出长方形A的长和宽，即可求出答案． 【详解】解：设长方形的B的长为，则宽为， 由B、D的面积相等可得D的较短边长为，较长边为， ∴长方形A的较长边为， 由A、B面积相等可知长方形A较短边 ， ∴长方形A的长宽之比为． 故选：D 【变式10-2】如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，单项式除以单项式等知识．熟练掌握多项式乘多项式的应用，单项式除以单项式是解题的关键． 由题意知，大长方形的面积为，根据大长方形的面积为A、B、C类卡片面积的和求解作答即可． 【详解】解：由题意知，大长方形的面积为， ∵， ∴需要C类卡片张数为张， 故答案为：． 【变式10-3】如图，窗框由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框形状设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为 _________． 【答案】 【分析】先根据长方形与圆形的面积公式求出原图形的面积，然后根据长方形的面积公式即可求出答案． 【详解】设新长方形的高度为x． 原面积为： 根据题意“新的长方形的面积保持不变”，得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的除法，解题的关键是求出原图形的面积． 【变式10-4】如图，在边长为的正方形纸片中剪下一个边长为的正方形，剩余部分（即阴影部分）可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剪拼前后面积相等即可求解； 【详解】解：根据剪拼前后面积相等可得：； ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查整式乘除的应用，根据题图正确列出算式是解题的关键． 【变式10-5】如图1，在一张长方形纸板的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周折起，制成一个高为的长方体无盖纸盒（如图2）．已知纸盒的体积为，底面长方形的宽为． (1)求原来长方形纸板的长； (2)现要给这个长方体无盖纸盒的外表面贴一层包装纸，一共需要多少平方厘米的包装纸？ 【答案】(1)厘米 (2)平方厘米 【分析】（1）根据长方体的体积公式进行计算即可； （2）根据长方体的表面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 厘米， 厘米， 答：这张长方形纸板的长为厘米； （2）解： （平方厘米）， 答：一个这样的纸盒需要用平方厘米的红色包装纸． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，认识立体图形，熟练掌握长方体的体积公式和表面积公式是解题的关键． 【变式10-6】我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．    (1)的商是_________． (2)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图），用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中竖式求解； （2）根据题意列出方程求解； （3）根据题意列出代数式并化简． 【详解】（1）解：由题中竖式得：， 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：； （3）由题意得： ． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握新运算的意义是解题的关键． 【微专题三】 将错就错问题 【例11】已知，是一个多项式，小明在计算时，错将“”抄成了“÷”，运算结果得，那么，原来算式的计算结果应为 ． 【答案】 【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 【变式11-1】(1)先化简，再求值：，其中． (2)某同学在计算一个多项式除以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么原题正确的计算结果是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)先用完全平方公式，平方差公式等去括号，再合并同类项，化简后代入求值； (2)先求出被除式，再求出原题的正确结果． 【详解】（1） 当时，原式 （2）被除式为： 原题正确的计算结果是： 【点睛】本题主要考查多项式的乘除，熟练运用乘法公式，正确理解题意是解题的关键． 【变式11-2】已知：，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得：，你能帮他计算出正确的的答案吗？（写出计算过程） 【答案】 【分析】先根据，的结果是，求出，再求出的值即可． 【详解】解：∵，的结果是， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 【变式11-3】已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 【变式11-4】已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出的值为 ． 【来源】浙教版七年级下册第三章整式的乘除单元测试数学试题 【答案】 【分析】根据题意得出，即可求出多项式，进而求出． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的乘除以及多项式加减运算，解题的关键是得出多项式． 【变式11-5】（1）若的结果中不含和项，求的值； （2）已知单项式，B是多项式，小虎计算时，看成了，结果得，求正确的结果． 【答案】（1）14；（2） 【分析】（1）利用多项式乘多项式法则展开，根据结果不含和项，求出m，n值，代入计算即可； （2）根据求出，再代入中计算即可． 【详解】解：（1） ∵结果中不含和项， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式的加减，解题的关键是理解题干意思，列出正确的算式计算． 【变式11-6】已知A、B均为整式，，小马在计算时，误把“÷”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． (1)将整式A化为最简形式； (2)求整式B； (3)求的正确结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简即可； （2）根据题意可得，则，根据整式混合运算顺序和运算法则进行计算即可； （3）根据（2）中求出B的值，列出式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ， （2）解：根据题意可得：， ∴， ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 【微专题四】整式除法背景下整体思想 【例12】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘以多项式、积的乘方、整式的除法的运算法则去括号，再合并同类项得到最简结果，由题意可得，代入计算即可． 【详解】解： ∴原式． 【变式12-1】先化简，再求值： (1)，其中； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式进行计算，合并同类项，最后根据已知得出，整体代入化简结果，即可求解； （2）先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式进行计算，再进行多项式除以单项式，最后将，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴， ∴原式 （2）解： ∵ ∴ ∴原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，熟练掌握整式的混合运算的运算法则以及乘法公式是解题的关键． 【变式12-2】先化简，再求值：，其中．[提示：可以将看做一个整体] 【答案】，． 【分析】把底数化为，再按照单项式的乘法与除法运算进行计算即可． 【详解】解： 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法与除法运算，积的乘方运算，单项式的乘法与除法运算，熟记运算法则是解本题的关键． 【变式12-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】；6 【分析】根据完全平方公式，平方差公式先计算括号内的式子，再根据多项式除以单项式计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 压轴突破·素养提升 【压轴一】 整式除法背景下新定义问题 【例13】若定义 表示， 表示，则运算÷的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可． 【详解】解：由题意可得： ==． 故选A． 【点睛】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键． 【变式13-1】定义新运算符号⊕：，求________． 【答案】 【分析】根据新运算得出原式，再根据整式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的除法和有理数的混合运算，能正确根据整式的除法法则进行计算是解此题的关键． 【变式13-1】对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按规定请写出的结果； (3)当a取的相反数时，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3)264 【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则及整式的混合运算法则计算即可； （3）将代入（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：的相反数是2， 当时， ． 【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义的运算法则并正确计算是解题的关键． 【变式13-2】若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为 ． 【答案】m 【分析】本题考查了新定义运算，单项式除以单项式及积的乘方，根据新定义得，即可求解；理解新定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，表示， ， 故答案为：m． 【变式13-3】请阅读下面的材料，根据学习到的知识解答问题：两个图形的重合度＝重合面积÷（两个图形的面积和－重合面积），例如：图中小圆的面积是，大圆面积是，重合部分面积是，则图中大小两个圆的重合度是． 根据以上描述，解答下面问题（取3）：一个正方形和一个圆摆放在一起，有很多种摆法，小丽摆出了下面的三种： (1)正方形的边长是，计算图1中正方形和圆的重合度是多少？ (2)在图1，图2，图3中，正方形和圆的重合度最大是图 （直接填序号） (3)有两个圆，半径分别为和，这两个圆的重合度最大是多少？ 【答案】(1) (2)图2 (3) 【分析】（1）先求出圆的半价，再分别求出正方形和圆的面积，然后根据“正方形和圆的重合度=半圆面积÷（正方形的面积+圆的面积-半圆的面积）”列式计算即可； （2）分别根据图1、图2、图3分别求出重合度，然后比较即可解答； （3）当小圆在大圆之内时，两个图形的重合度最大，然后根据重合度的定义计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 答：正方形和圆的重合度是． （2）解：设正方形的边长为，则圆的半径为 由图1可得：圆的面积为，重合面积为，正方形面积为 图1的重合度为； 由图2可得：圆的面积为，重合面积为，正方形面积为 图2的重合度为； 由图2可得：圆的面积为，重合面积为，正方形面积为 图2的重合度为 ∵ ∴正方形和圆的重合度最大是图2． 故答案为图2． （3）解：当小圆在大圆之内时，两个图形的重合度最大， 大圆面积为，小圆面积为：，重合面积为： ，． 【点睛】本题主要考查了有理数的运算、阅读理解等知识点，正确理解重合度计算公式是解答本题的关键． 【变式13-4】爱思考的小郭同学发现教科书中介绍了多项式除以单项式的方法，并没有介绍多项式除以多项式的方法，通过查阅资料小郭同学发现了多项式除以多项式的一种方法叫“综合除法”，综合除法主要用于一元多项式，除以一次多项式的演算，以便获得商式和余式，具体方法如下： ①写出分离系数竖式： ②进行相关计算： 将落下得到，计算并置于下方，计算得到；计算并置于下方，计算得到……计算并置于下方，计算得到． ③写出计算结果：除以得到商式 和余式． 解决问题：利用综合除法求除以的商式和余式． 由此可知，除以的商式是 ，余式是 ． 【答案】 ； 2． 【分析】根据题中“综合除法”的运算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ∴商式为，余式为2， 故答案为：①，②2． 【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确理解“综合除法”的运算方法是解题的关键 【压轴二】 整式除法背景下规律探索 【例14】一般到特殊的思想方法 【思想解读】 数学中的规律性问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题．规律性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出，而常常是给出了一列数、一列等式、一列图形的前几个，要求通过阅读、观察、分析、综合、归纳、概括、判断等一系列探索活动逐步确立需求的结论或条件．它表达了从特殊到一般的数学思想方法． 【问题解决】 观察下列各式： ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得________； (2)根据上面各式的规律可得_________； (3)用（2）的结论求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）被除式和除式都是二项式，除式都是，商的次数比被除式的次数小1，项数与被除式的次数相等，按进行降幂排列，各项系数为1，根据规律直接写出答案即可； （2）根据规律写出答案即可； （3）构造（2）中的公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：被除式和除式都是二项式，除式都是，商的次数比被除式的次数小1，项数与被除式的次数相等，按进行降幂排列，各项系数为1， ， 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了整式的除法，探索规律，解题的关键是发现规律，构造规律的形式，运用规律解决问题． 【变式14-1】按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ （1）填写表内空格： 输入 3 2 －2 … 输出答案 0 … （2）你发现的规律是____________． （3）用简要过程说明你发现的规律的正确性． 【答案】（1）0，0，0；（2）输入任何数的结果都为0；（3）理由见解析 【详解】（1）利用计算程序：x→平方→+x→÷2→-x2→-x→答案，即可求出结果． （2）由前几项都为0可得出规律：输入任何数的结果都为0． （3）根据程序可写出关于x的方程式，此方程式的值为0，所以无论x取任何值，结果都为0． 解：（1）当x=2时，（x2+x）÷2-x2-x=（4+2）÷2-2-1=0， 当x=-2时，（x2+x）÷2-x2-x=（4-2）÷2-2+1=0， 当x=时，（x2+x）÷2-x2-x=（+）÷2--=0， 故答案为：0，0，0； （2）输入任何数的结果都为0； （3）因为， 所以无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 【变式14-2】（阅读题）阅读下列材料： 因为，所以，这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为0． (1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式、多项式能被整除之间存在着一种什么样的关系呢？ (2)探求规律：如果一个关于字母x的多项式M，当时，M的值为0，那么M与式子之间有何种关系？ (3)应用：利用上面的结果求解．已知能被整除，求k的值． 【答案】(1)若多项式有因式，则此多项式能被整除．另外，当时，此多项式的值为0 (2)M能被整除 (3) 【分析】（1）根据题意和多项式有因式，说明多项式能被整除，当时，多项式的值为0； （2）根据（1）得出的关系，能直接写出当时，M的值为0，M与代数式之间的关系； （3）根据上面得出的结论，当时，，再求出k的值即可． 【详解】（1）若多项式有因式，则此多项式能被整除．另外，当时，此多项式的值为0． （2）根据（1）可得，M能被整除． （3）因为能整除， 所以当时，， 即，解得． 【点睛】本题考查了整式的除法，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键． 【变式14-3】观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据规律得到，进而得到，得到，再代入即可求解． 【详解】解：根据规律得， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了探索规律，平方差公式，多项式乘多项式，多项式除以单项式并求值，解题的关键是得到． 【变式14-4】（22-23七年级下·安徽宿州·月考）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 【详解】解：由题意，得 ． 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为6，所以的末位数字为5， 即的计算结果的末位数字为5． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，主要考查学生阅读理解能力，题目比较好，但有一定的难度. 【变式14-5】观察下列等式： ①； ②； ③． (1)第④个等式为______； (2)写出第ⓝ个等式，并验证其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由前面式子的规律即可得到答案； （2）由等式的数字规律，即可总结出一般结论，再进行证明． 【详解】（1）解：第④个等式为． 故答案为：． （2）第ⓝ个等式：， 证明：， ， ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，关键是由特殊情况总结出一般规律． 【变式14-6】阅读理解，完成任务： 三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为： 发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…； (1)第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为___________． (2)第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：___________+___________=___________，请补全等式并说明它的正确性． 【答案】(1) (2)，，，证明见解析 【分析】（1）根据“三角形数”的定义进行求解即可； （2）由题意得到等式，根据整式的混合运算进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为：， 故答案为： （2）第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：， 证明： 右边． ∴等式成立． 故答案为：，， 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《 1.4整式除法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1单项式除以单项式 模块8整式混合运算下的化简求值 模块2 多项式除以单项式 微专题1整式除法背景下程序框图问题 模块3 整式除法背景下的科学记数法 微专题2整式除法与几何图形的应用 模块4 整式除法混合运算 微专题3将错就错问题 模块5 利用整式的除法化简求值 微专题4整式除法背景下整体思想 模块6利用整式除法解决实际问题 压轴1 整式除法背景下新定义问题 模块7整式的混合运算 压轴2 整式除法背景下规律探索 模块通关·举一反三 【模块一】单项式除以单项式 【方法点拨】一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)； (6)； (7)． (8) (9)； (10)； (11)； (12)（结果用科学记数法表示）． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【变式1-2】已知，求单项式A． 【变式1-3】计算：． 【变式1-4】计算：． 【变式1-5】计算． (1) ； (2) (3) (4)． 【变式1-6】若是正整数，且，则 ． 【模块二】多项式除以单项式 【方法点拨】一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)． (6) (7)； (8)． 【变式2-1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】化简： ． 【变式2-4】已知：与一个整式的积是，求这个整式． 【变式2-5】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下： (1)求所捂的二次三项式； (2)若，求所捂二次三项式的值． 【变式2-6】数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 【模块三】整式除法背景下的科学记数法 【例3】（2025·广东汕头·一模）中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的 倍（结果保留整数）． 【变式3-2】如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是(　　) A．7.1×10-6 B．7.1×10-7 C．1.4×106 D．1.4×107 【变式3-4】月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需__________小时．（结果用科学记数法表示） 【变式3-5】（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写__________次（科学记数法表示）． 【变式3-6】细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【模块四】整式除法混合运算 【例4】计算： (1)； (2)． (3) 【变式4-1】下面是一道三项式除以单项式的计算题： ，其中的“”“”处被老师擦掉了，求出“”“ ”处被擦掉的内容． 【变式4-2】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）如图是一个圆柱形容器与一个长方体容器，现把圆柱形容器中盛满了水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满，则长方体容器的宽为 ．（每个容器的厚度均忽略不计） 【变式4-3】（25-26七年级下·河北邢台·月考）下面是小亮的作业，他一共做对了（　　） 填空： ①． ②一张纸的厚度为，100张纸的厚度为． ③． ④已知长方形的面积为，长为，则宽为． A．0道题 B．1道题 C．2道题 D．3道题 【变式4-4】有下列四个算式：①③．其中不正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-5】下面是一道例题及其解答过程，其中是关于的多项式． 例：先去括号，再合并同类项：． 解： 则多项式为 ． 【变式4-6】．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，收到密文后解密还原明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，求出解密后明文的值． 【模块五】利用整式的除法化简求值 【例5】先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中，. (3)，其中，； (4)，其中，． 【变式5-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式5-2】先化简，再求值：，其中，． 【变式5-3】（24-25八年级上·青海海北·期末）已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-4】若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 【变式5-5】若被除后余3，则的值为 ． 【变式5-6】观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【模块六】利用整式除法解决实际问题 【例6】某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ． 【变式6-1】如图，一块直径为2a+2b的圆形钢板，从中挖去直径分别为2a与2b的两个圆，已知剩下钢板的面积与一个长为a的长方形面积相等，则这个长方形的宽为（　　） A．2πb B．2b C．2π D．πb 【变式6-2】已知球的半径为时，它的体积为． A．如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则一个球的体积与整个盒子容积之比为 ． B．如图所示，个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则这个球的体积之和与整个盒子容积之比为 ． 【变式6-3】如图1中的瓶子盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么一共需要 个这样的杯子（瓶子和杯子的厚度忽略不计）． 【变式6-4】某居民小区响应党的号召，开展全民健身活动．该小区准备修建一座健身馆，其设计方案如图所示，A区为成年人活动场所，B区为未成年人活动场所，其余地方均种花草．（π取3） (1)活动场所S成年人、S未成年和S花草的面积各是多少； (2)整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 【变式6-5】在边长为的正方形纸片中前下一个边长为的正方形，将剩余部分剪拼成一个长方形，尺寸如图所示，则“？”表示的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-6】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为2的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的一条边长是a，另一条边长是（    ） A． B． C． D． 【模块七】整式的混合运算 【方法点拨】有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 【例7】计算： (1)； (2) (3)； (4) (5) (6) (7) (8) 【变式7-1】计算： (1) (2) (3)； (4)； (5)． 【变式7-2】下列计算中，正确的个数有（    ）    （2） （3）     （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-3】计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式7-4】计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【变式7-5】已知多项式除以时，所得的余数是1，除以时所得的余数是3，那么多项式除以时，所得的余式是（    ） A． B． C． D． 【变式7-6】（25-26七年级下·河南南阳·月考）计算与化简： (1)已知，求的值． (2)化简：． 【模块八】 整式混合运算下的化简求值 【例8】先化简，再求值： （1），其中，． （2），其中． （3），其中，． （4），其中 （5），其中， （6），其中，． （7），其中． （8），其中a、b满足 【变式8-1】已知 (1)求，的值． (2)先化简，再求值：． 【变式8-2】先化简，再求值： （1），其中 (2)先化简，再求值：，其中 【变式8-3】先化简，再求值： (1)，其中， (2)．已知． (3)．其中． 【变式8-4】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则a，b的值分别为（   ） A．2，1 B．1，2 C．2，3 D．3，2 【变式8-5】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，均为整式，小马在计算时，误把“”抄成了“”这样，他计算的正确结果为． (1)求的正确结果； (2)当时，求的值． 【变式8-6】已知，，都是正整数，其中，且，设，则（    ） A．3 B．69 C．3或69 D．2或46 专题攻坚·多题归一 【微专题一】整式除法背景下程序框图问题 【例9】如图，任意输入一个非零数，则输出数是 ． 【变式9-1】任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是_________．（最简结果） 【变式9-2】如图，输入x，按如图所示的程序进行计算后，请用含x的代数式表示输出的结果． 【变式9-3】信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，收到密文后解密还原明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，求出解密后明文的值． 【变式9-4】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则a，b的值分别为（   ） A．2，1 B．1，2 C．2，3 D．3，2 【变式9-5】（25-26七年级下·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为 ． 【变式9-6】请按下列程序计算，把答案写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这样的规律？    (1)填写表格内的空格： 输入 3 2 1 …… 输出答案 …… (2)你发现的规律是： ． (3)请用符号语言论证你的发现． 【微专题二】 整式除法与几何图形的应用 【例10】如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为__________． 【变式10-1】（2025·陕西西安·一模）如图，长方形被分成四块面积相等的部分，其中A、B为长方形，其中长方形B的长和宽的比为．求长方形A的长和宽的比为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为 ． 【变式10-3】如图，窗框由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框形状设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为 _________． 【变式10-4】如图，在边长为的正方形纸片中剪下一个边长为的正方形，剩余部分（即阴影部分）可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为（  ） A． B． C． D． 【变式10-5】如图1，在一张长方形纸板的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周折起，制成一个高为的长方体无盖纸盒（如图2）．已知纸盒的体积为，底面长方形的宽为． (1)求原来长方形纸板的长； (2)现要给这个长方体无盖纸盒的外表面贴一层包装纸，一共需要多少平方厘米的包装纸？ 【变式10-6】我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．    (1)的商是_________． (2)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图），用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长． 【微专题三】 将错就错问题 【例11】已知，是一个多项式，小明在计算时，错将“”抄成了“÷”，运算结果得，那么，原来算式的计算结果应为 ． 【变式11-1】(1)先化简，再求值：，其中． (2)某同学在计算一个多项式除以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么原题正确的计算结果是多少？ 【变式11-2】已知：，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得：，你能帮他计算出正确的的答案吗？（写出计算过程） 【变式11-3】已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式11-4】已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出的值为 ． 【来源】浙教版七年级下册第三章整式的乘除单元测试数学试题 【变式11-5】（1）若的结果中不含和项，求的值； （2）已知单项式，B是多项式，小虎计算时，看成了，结果得，求正确的结果． 【变式11-6】已知A、B均为整式，，小马在计算时，误把“÷”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． (1)将整式A化为最简形式； (2)求整式B； (3)求的正确结果． 【微专题四】整式除法背景下整体思想 【例12】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式12-1】先化简，再求值： (1)，其中； (2)已知，求的值． 【变式12-2】先化简，再求值：，其中．[提示：可以将看做一个整体] 【变式12-3】先化简，再求值：，其中． 压轴突破·素养提升 【压轴一】 整式除法背景下新定义问题 【例13】若定义 表示， 表示，则运算÷的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式13-1】定义新运算符号⊕：，求________． 【变式13-1】对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按规定请写出的结果； (3)当a取的相反数时，请计算的值． 【变式13-2】若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为 ． 【变式13-3】请阅读下面的材料，根据学习到的知识解答问题：两个图形的重合度＝重合面积÷（两个图形的面积和－重合面积），例如：图中小圆的面积是，大圆面积是，重合部分面积是，则图中大小两个圆的重合度是． 根据以上描述，解答下面问题（取3）：一个正方形和一个圆摆放在一起，有很多种摆法，小丽摆出了下面的三种： (1)正方形的边长是，计算图1中正方形和圆的重合度是多少？ (2)在图1，图2，图3中，正方形和圆的重合度最大是图 （直接填序号） (3)有两个圆，半径分别为和，这两个圆的重合度最大是多少？ 【变式13-4】爱思考的小郭同学发现教科书中介绍了多项式除以单项式的方法，并没有介绍多项式除以多项式的方法，通过查阅资料小郭同学发现了多项式除以多项式的一种方法叫“综合除法”，综合除法主要用于一元多项式，除以一次多项式的演算，以便获得商式和余式，具体方法如下： ①写出分离系数竖式： ②进行相关计算： 将落下得到，计算并置于下方，计算得到；计算并置于下方，计算得到……计算并置于下方，计算得到． ③写出计算结果：除以得到商式 和余式． 解决问题：利用综合除法求除以的商式和余式． 由此可知，除以的商式是 ，余式是 ． 【压轴二】 整式除法背景下规律探索 【例14】一般到特殊的思想方法 【思想解读】 数学中的规律性问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题．规律性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出，而常常是给出了一列数、一列等式、一列图形的前几个，要求通过阅读、观察、分析、综合、归纳、概括、判断等一系列探索活动逐步确立需求的结论或条件．它表达了从特殊到一般的数学思想方法． 【问题解决】 观察下列各式： ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得________； (2)根据上面各式的规律可得_________； (3)用（2）的结论求的值． 【变式14-1】按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ （1）填写表内空格： 输入 3 2 －2 … 输出答案 0 … （2）你发现的规律是____________． （3）用简要过程说明你发现的规律的正确性． 【变式14-2】（阅读题）阅读下列材料： 因为，所以，这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为0． (1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式、多项式能被整除之间存在着一种什么样的关系呢？ (2)探求规律：如果一个关于字母x的多项式M，当时，M的值为0，那么M与式子之间有何种关系？ (3)应用：利用上面的结果求解．已知能被整除，求k的值． 【变式14-3】观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【变式14-4】（22-23七年级下·安徽宿州·月考）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式14-5】观察下列等式： ①； ②； ③． (1)第④个等式为______； (2)写出第ⓝ个等式，并验证其正确性． 【变式14-6】阅读理解，完成任务： 三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为： 发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…； (1)第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为___________． (2)第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：___________+___________=___________，请补全等式并说明它的正确性． 2 / 55 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