2.3-2.4 实数与近似数(讲义，4大知识14大题型+刷好题)数学新教材苏科版八年级上册

本初中数学讲义聚焦“实数与近似数”核心内容，从无理数的识别入手，系统构建实数的分类体系，衔接实数与数轴的一一对应关系，延伸至实数的运算及近似数的精确度应用，形成完整的知识支架。 资料通过易错提醒、典例精析与变式巩固，助力学生辨析无理数、掌握实数运算，培养抽象能力与推理意识。分层练习题兼顾基础与创新，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升数学应用能力。

第二章 实数 2.3-2.4 实数与近似数 课标要点 1.结合开方运算认识无理数，掌握实数概念，能区分有理数、无理数，建立实数完整分类逻辑。 2.理解实数与数轴上点一一对应，会求实数的相反数、绝对值、倒数，能比较实数大小、简单实数运算。 3.理解近似数、准确数概念，分清精确度、有效数字，会按要求取近似值，结合实际场景选用合理近似精度。 学习重难点 重点： 1.无理数识别、实数的分类，实数相反数、绝对值基础计算。 2.实数与数轴的对应关系，简单实数大小比较与混合运算。 3.区分准确数与近似数，按指定精确度、有效数字改写数字。 难点： 1.带根号、含 π、无限不循环小数的无理数辨析，区分易混淆的循环小数。 2.含根号实数化简、估算无理数取值范围，实数化简计算。 3.大数、小数取近似值，科学记数法下确定有效数字与精确度；结合实际问题选择合适近似标准。 知识点一 无理数 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 常见的无理数： 1）开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）π以及一些含π的数，如5π，3+π，等； 3）具有特点结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 易错提醒 要判断一个数是有理数还是无理数，首先看该数是有限小数还是无限小数，再看是循环小数还是不循环小数.分数和整数是有理数，无限不循环小数是无理数.区分有理数和无理数既是一个重要的知识点，也是易错的问题. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）若，则实数可以取到的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）估计在哪两个相邻整数之间（　　） A． B． C． D． 知识点二 实数的分类及其性质 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 实数与数轴上点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的. 实数的性质： 1）相反数：实数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负实数的绝对值是它的相反数，即设a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a的倒数是（a≠0），若a与b互为倒数，则ab=1；若ab=1，则a与b互为倒数. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在数，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），，这6个数中，有理数有______个． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 7．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）比较大小：_______（用“>”、“=”、“<”连接）． 知识点三 实数的运算 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 特别提醒 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）计算：___________． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）计算：_____________． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则____． 知识点四 近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.例如3班共52人，男生29人，女生23人，数字“52”，“29”和“23”就是准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.例如π取3.14，小红体重约45kg，数字 “3.14”和“45”就是近似数. 精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）关于近似值，下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．精确到百位 C．精确到千位 D．精确到个位 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）圆周率经过“四舍五入”后得到，其精确到（   ） A．千分位 B．百分位 C．十分位 D．个位 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）2025年江苏省城市足球联赛十分火爆，常规赛阶段累计现场观赛人数约为2118900人．“苏超”场均观赛人数2118900用四舍五入法精确到万位所得到的近似数为（　　） A． B． C． D． 题型01 无理数的识别 典｜例｜精｜析 例1（25-26八年级上·江苏泰州·期末）下列实数、、、中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列实数：（每两个6之间依次多1个1），其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在下列各数：，，，，，，（两个1之间依次多一个0），中，无理数有_____个． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）在，，，0，（相邻两个5之间依次多一个4），，中，无理数有______个 题型02 无理数大小的估算 解题贴士 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算的大小 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）估计的值应在（   ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）整数a满足，则a的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知是正整数，并且，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型03 求无理数整数部分的有关计算 解题贴士 确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·甘肃·期末）的整数部分为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变｜式｜巩｜固 1．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知是的整数部分，是的整数部分，则________． 3．（2025八年级上·北京·专题练习）已知是的整数部分，是的小数部分，则的值是______． 4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）已知的立方根是1，b是的整数部分． (1)_____，_____； (2)求的平方根． 题型04 理解实数的概念 典｜例｜精｜析 例4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 2．（20-21七年级下·湖北武汉·阶段检测）下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 题型05 实数的分类 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列判断正确的是（　　） A．是整数，是有理数 B．是无限小数，是无理数 C．是分数，是有理数 D．3.1415926是小数，是无理数 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 3．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 4．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）把下列各数填入相应的集合里： 0.4，，，，，…（两个1之间依次增加一个0）． 正数集合：{                               …}； 负数集合：{                               …}； 有理数集合：{                               …}； 无理数集合：{                               …}． 题型06 实数与数轴 典｜例｜精｜析 例6（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则S的值可能为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 题型07 比较实数的大小 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·四川成都·期中）比较大小：________（填“”“”“”）． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）写出比大且比小的整数______ （只需要写一个）． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）若，，则___________（填“”、“”或“”）． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若，用<号连接、、、四个数的大小，不用说明理由． 题型08 实数的性质 典｜例｜精｜析 例8（24-25七年级下·广东阳江·期中）化简：___________． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·四川巴中·阶段检测）的相反数是__________． 2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）的倒数是______；的相反数是______，绝对值是______． 3．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）的相反数是______；的倒数是______；的值为______． 题型09 实数的混合运算 解题贴士 1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 典｜例｜精｜析 例9（22-23七年级下·北京西城·期中）计算： 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）用计算器计算下面各题： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到十分位）． 题型10 程序涉及与实数运算 典｜例｜精｜析 例10（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（    ） A． B． C．2 D．8 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是________． 题型11 实数运算的实际应用 典｜例｜精｜析 例11（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 2．（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    3．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 题型12 与实数运算有关的新定义问题 典｜例｜精｜析 例12（25-26八年级上·江苏连云港·期中）定义新运算“☆”：若，则______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）我们规定运算符号的意义：当时，；当时，，其他运算符号意义不变按上述规定，计算的结果为__________． 2．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段检测）定义新运算“☆”：若，则______． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）我们已经学习了平方根、算术平方根以及立方根的概念，类似的我们可以定义次方根．例如，类比平方根，可以定义四次方根：若一个数的四次方等于，则叫做的四次方根，记作，其中叫作的算术四次方根． (1)类比立方根，可以定义五次方根：若一个数的五次方等于，则叫做的五次方根，记作__________． (2)的七次方根记作__________，结果是__________；64的六次方根记作__________，结果是__________； (3)解方程：① ② 题型13 与实数运算有关的规律探究问题 典｜例｜精｜析 例13（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为________． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22八年级下·湖北黄冈·期中）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则_______． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 3．（24-25七年级下·全国·暑假作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 题型14 求近似数的精确度 解题贴士 根据精确度求近似值时，只需对紧挨着要精确到的那一位后的一个数字进行四舍五入，再后面的数字不需考虑. 对绝对值较大的数取近似值时，为了清楚地表明其精确度，结果一般用科学记数法表示. 典｜例｜精｜析 例14（25-26七年级上·河南安阳·期末）田畴吐绿，气象万千，2025年上半年，甘肃省第一产业增加值达到410.05亿元，同比增长，延续了稳健增长态势410.05亿这个数精确到________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）下列说法错误的有______． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)（精确到千分位）． 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）由四舍五入法得到的近似数精确到（   ） A．百分位 B．个位 C．十位 D．百位 2．（23-24七年级上·重庆江津·期中）下列说法正确的是（    ） A．近似数万精确到十分位 B．近似数精确到百分位 C．近似数精确到百分位 D．近似数5000精确到千位 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）实数，，，，，,,其中无理数的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． ∴， 5．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 6．（25-26八年级上·河北保定·期末）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 8．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：_____2（填“”、“”或“”号）． 9．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）计算___________． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种新的运算：，则＝_________． 素养提升 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）等腰三角形的两边、满足，那么这个三角形的周长是______． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）我国古代数学著作《周髀算经》中有“圆径一而周三”，将圆周率取值为3；我国东汉数学家张衡将圆周率取值为．比较大小：______3（填“”或“”）． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简________． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数和n之间，则n的值是__________． 5．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简______． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是时，输出的值是_____． （2）分析发现，当实数取_____时，该程序无法输出值．（写出所有的情况） 7．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）要做一个面积为的正方形，它的边长的整数部分是__________，十分位是__________，百分位是__________，千分位是__________． 8．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得， ． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，哪位同学的结果精确度更高，请说明理由． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 2.3-2.4 实数与近似数 课标要点 1.结合开方运算认识无理数，掌握实数概念，能区分有理数、无理数，建立实数完整分类逻辑。 2.理解实数与数轴上点一一对应，会求实数的相反数、绝对值、倒数，能比较实数大小、简单实数运算。 3.理解近似数、准确数概念，分清精确度、有效数字，会按要求取近似值，结合实际场景选用合理近似精度。 学习重难点 重点： 1.无理数识别、实数的分类，实数相反数、绝对值基础计算。 2.实数与数轴的对应关系，简单实数大小比较与混合运算。 3.区分准确数与近似数，按指定精确度、有效数字改写数字。 难点： 1.带根号、含 π、无限不循环小数的无理数辨析，区分易混淆的循环小数。 2.含根号实数化简、估算无理数取值范围，实数化简计算。 3.大数、小数取近似值，科学记数法下确定有效数字与精确度；结合实际问题选择合适近似标准。 知识点一 无理数 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 常见的无理数： 1）开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）π以及一些含π的数，如5π，3+π，等； 3）具有特点结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 易错提醒 要判断一个数是有理数还是无理数，首先看该数是有限小数还是无限小数，再看是循环小数还是不循环小数.分数和整数是有理数，无限不循环小数是无理数.区分有理数和无理数既是一个重要的知识点，也是易错的问题. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，需依据无理数（无限不循环小数）的概念，逐一判断所给数的类型，统计无理数的个数，即可作答． 【详解】解：−3是整数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数， ，是有限小数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， ∴无理数共有2个． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）若，则实数可以取到的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算和的取值范围，再判断选项中的数是否在该范围内即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， 可以取到的值为. 故选：B． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）估计在哪两个相邻整数之间（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是找出与15相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的单调性确定范围． 找出小于15和大于15的最接近的完全平方数，分别求出它们的算术平方根，即可确定所在的相邻整数区间． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， 故选：C． 知识点二 实数的分类及其性质 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 实数与数轴上点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的. 实数的性质： 1）相反数：实数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负实数的绝对值是它的相反数，即设a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a的倒数是（a≠0），若a与b互为倒数，则ab=1；若ab=1，则a与b互为倒数. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在数，，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），，这6个数中，有理数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．根据有理数的定义解答即可． 【详解】解：根据有理数的定义， ，3.14，是有理数，共3个， 故答案为：3． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据无理数的取值范围判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示实数的点可能是点B． 7．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）比较大小：_______（用“>”、“=”、“<”连接）． 【答案】< 【分析】本题考查了实数的估算，实数的大小比较，通过估算得出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ 故． 故答案为：<． 知识点三 实数的运算 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 特别提醒 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算， 先计算平方运算，再求算术平方根，最后进行有理数加法． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）计算：_____________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先分别计算绝对值、平方和乘法运算，再计算加减即可．． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查无理数的估算及实数的运算，熟练掌握无理数的估算及实数的运算是解题的关键；根据无理数的估算，得出的整数部分和小数部分，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， 则； 故答案为：． 知识点四 近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.例如3班共52人，男生29人，女生23人，数字“52”，“29”和“23”就是准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.例如π取3.14，小红体重约45kg，数字 “3.14”和“45”就是近似数. 精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）关于近似值，下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．精确到百位 C．精确到千位 D．精确到个位 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法与近似数的精确度判断，熟练掌握将科学记数法还原为原数并确定有效数字所在数位的方法是解题的关键．先将科学记数法表示的数还原为原数，再确定最后一位有效数字在原数中的数位，从而判断其精确度． 【详解】解：∵， ∴3.06中最后一位有效数字6，在30600中位于百位， ∴精确到百位， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）圆周率经过“四舍五入”后得到，其精确到（   ） A．千分位 B．百分位 C．十分位 D．个位 【答案】A 【分析】本题考查近似数的精确度． 精确度由最后一位数字所在的位置确定，一般来说，近似数四舍五入到哪一位，就精确到哪一位． 【详解】解：∵圆周率“π”由四舍五入得到的近似数，中的2在千分位， ∴精确到千分位， 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）2025年江苏省城市足球联赛十分火爆，常规赛阶段累计现场观赛人数约为2118900人．“苏超”场均观赛人数2118900用四舍五入法精确到万位所得到的近似数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数和科学记数法，熟练掌握科学记数法的方法是解题的关键． 将2118900四舍五入到万位，需看千位数字8，由于，向万位进位，得到2120000，再用科学记数法表示为即可． 【详解】解：数2118900的千位是8，由于，向万位进位，万位1变为2，得到2120000， 用科学记数法表示为：． 故选：C． 题型01 无理数的识别 典｜例｜精｜析 例1（25-26八年级上·江苏泰州·期末）下列实数、、、中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表达方式有三种：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如，相邻的两个之间依次增加一个. 【详解】解：是分数，是有理数， ，是整数，是有理数， 是无限不循环小数，是无理数， 中是无限不循环小数，是无理数， 无理数共有个． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列实数：（每两个6之间依次多1个1），其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如． 根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 含有无理数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 开方开不尽，属于无理数； （每两个6之间依次多1个1）是无限不循环小数，属于无理数； 则无理数有3个， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在下列各数：，，，，，，（两个1之间依次多一个0），中，无理数有_____个． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次多1个1）．根据无理数的定义，逐一判断各数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 中是无理数，减去有理数1后仍为无理数； （两个1之间依次多一个0）是特殊结构的无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数． 综上，无理数有、、、，共4个． 故答案为：4． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）在，，，0，（相邻两个5之间依次多一个4），，中，无理数有______个 【答案】 【分析】本题考查无理数的判断，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：无理数为，0.454454445……（相邻两个5之间依次多一个4），，，共有个， 故答案为：． 题型02 无理数大小的估算 解题贴士 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算的大小 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）估计的值应在（   ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算．熟悉利用已知平方数估算无理数的范围是解题的关键． 通过比较平方数的大小，确定的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴ ，即， ∴在和之间． 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，估计无理数的大小，利用算术平方根估计出，再结合数轴即可得解． 【详解】解： ∵， ∴ ， ∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）整数a满足，则a的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键． 根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：∵ 即 ∴整数． 故选：B． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知是正整数，并且，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是能够确定的范围． 根据实数的大小关系比较，通过比较与相邻整数的平方，得到，从而得到n的值． 【详解】解：∵，即， 又∵，是正整数， ∴． 故选：B． 题型03 求无理数整数部分的有关计算 解题贴士 确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·甘肃·期末）的整数部分为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了估算，通过估算的范围，确定 的整数部分. 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ； ∴ ，因此整数部分为6， 故选：D. 变｜式｜巩｜固 1．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出，再化简绝对值即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知是的整数部分，是的整数部分，则________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的整数部分估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过比较无理数与相邻整数的平方，确定其整数部分，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分； ∵， ∴， ∴的整数部分； ∴． 故答案为：． 3．（2025八年级上·北京·专题练习）已知是的整数部分，是的小数部分，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值． 先求出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴ ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）已知的立方根是1，b是的整数部分． (1)_____，_____； (2)求的平方根． 【答案】(1)3，6 (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，求平方根． （1）由题意，的立方根是1，可得，即可求出a的值；再利用“夹逼法”估算的范围，求出b的值即可； （2）先求出的值，然后再根据平方根定义计算即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是1， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴的整数部分是6， ∵b是的整数部分， ∴． 故答案为：3，6； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的平方根为：． 题型04 理解实数的概念 典｜例｜精｜析 例4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（20-21七年级下·湖北武汉·阶段检测）下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 题型05 实数的分类 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 【答案】D 【分析】本题考查了圆周率的基本性质、有理数与实数的定义、数轴与实数的对应关系以及实数的大小比较，解题的关键是熟记无理数、实数的概念及数轴的性质，通过逐一验证每个选项的正确性得出答案． 先明确圆周率是无限不循环小数，属于无理数；再根据有理数、实数的定义判断选项A和D；依据“实数与数轴上的点一一对应”判断选项B；通过计算的近似值（约）与的近似值（约）比较，判断选项C． 【详解】解：A、∵是无限不循环小数，属于无理数，而有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，   ∴此选项不符合题意；   B、∵实数与数轴上的点一一对应，是实数，   ∴能在数轴上表示出来，此选项不符合题意；   C、∵，，且，   ∴，此选项不符合题意；   D、∵实数包括有理数和无理数，是无理数，   ∴是实数，此选项符合题意；   故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列判断正确的是（　　） A．是整数，是有理数 B．是无限小数，是无理数 C．是分数，是有理数 D．3.1415926是小数，是无理数 【答案】A 【分析】本题考查有理数与无理数的定义，根据定义逐一判断每个选项的正误即可得到答案． 【详解】解：A选项，∵，2是整数，整数属于有理数， ∴该判断正确． B选项，∵是分数，分数属于有理数， ∴该判断错误． C选项，∵是无理数， ∴仍是无理数，不是有理数， ∴该判断错误． D选项，∵3.1415926是有限小数，有限小数属于有理数， ∴该判断错误． 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 3．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦ (4)④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． 4．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）把下列各数填入相应的集合里： 0.4，，，，，…（两个1之间依次增加一个0）． 正数集合：{                               …}； 负数集合：{                               …}； 有理数集合：{                               …}； 无理数集合：{                               …}． 【答案】0.4，，，；，…（两个1之间依次增加一个0）；0.4，，，；，…（两个1之间依次增加一个0） 【分析】此题考查了实数的分类，根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：， 正数集合：{0.4，，，，…}； 负数集合：{，…（两个1之间依次增加一个0）…}； 有理数集合：{0.4，，，，…}； 无理数集合：{，…（两个1之间依次增加一个0）…}． 故答案为：0.4，，，；，…（两个1之间依次增加一个0）；0.4，，，；，…（两个1之间依次增加一个0） 题型06 实数与数轴 典｜例｜精｜析 例6（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则S的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，结合数轴，点应在3~4之间（E靠近4），即可得出，据此确定S的取值范围． 【详解】解：正方形面积，，点E在数轴上A右侧（A表示1），则E表示． 结合数轴，点应在3~4之间（E靠近4）， ∴， ∴， ∴， 选项B中符合条件，其余选项不符合， 故选B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度，即可得出结果． 【详解】解：点表示的数为，点表示的数为， ， ，， ， 点表示的数为， 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格，解题的关键在于能够根据题意求出的长． 先利用勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据实数与数轴的关系求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵点A表示的数为， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 【答案】(1)； (2)见解析 (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴于点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． 【详解】（1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是， ∵，即 ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）解：点表示的数即为； （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． 题型07 比较实数的大小 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查算术平方根的性质（被开方数越大，算术平方根越大）．解题关键是将有理数转化为算术平方根形式，统一比较标准；易错点是忽略“将有理数化为相同形式”的步骤，直接凭直觉比较． 把转化为算术平方根形式（），结合、，比较被开方数：因为，根据算术平方根的性质，得，即． 【详解】解：∵，，，且， ∴，即． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·四川成都·期中）比较大小：________（填“”“”“”）． 【答案】 【分析】两个正分数分母相同，只需比较分子的大小，先估算的取值范围，推导分子的范围，即可比较两个数的大小． 【详解】解：两个分数分母均为，且均为正数，因此只需比较分子大小. ， ， ． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）写出比大且比小的整数______ （只需要写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数比较大小，掌握夹逼法比较无理数大小是解决问题的关键． 通过比较平方数的大小关系，确定介于和之间的整数． 【详解】解：， ， 则比大且比小的整数为， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）若，，则___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数大小比较，解答本题的关键是明确实数的意义，会比较实数的大小． 估算的大小，即可解答． 【详解】解：， ， ，即， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若，用<号连接、、、四个数的大小，不用说明理由． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了二次根式、无理数的大小比较、平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据作差法进行解题即可； （2）结合作差法和作商法解题即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，即， ，即， ∵， ∴的立方根一定大于的算术平方根，即； 综上，． 题型08 实数的性质 典｜例｜精｜析 例8（24-25七年级下·广东阳江·期中）化简：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值表示数到原点的距离，总是非负的．负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：根据绝对值的定义，一个数的绝对值总是非负的．是负数，其绝对值为它的相反数，即． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·四川巴中·阶段检测）的相反数是__________． 【答案】 【分析】该题主要考查实数的相反数，解答的关键是掌握数a的相反数是． 根据无理数求解相反数的方法求解即可； 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）的倒数是______；的相反数是______，绝对值是______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了分母有理化，求一个数的相反数，倒数和绝对值，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，据此逐一求解即可． 【详解】解：的倒数为． 的相反数为． ∵， ∴的绝对值为， 故答案为：；；． 3．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）的相反数是______；的倒数是______；的值为______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查相反数、倒数及二次根式的性质，分母有理化，熟练掌握各个知识点是解题的关键．根据相反数、倒数的定义及二次根式的性质，分母有理化进行求解即可． 【详解】解：的相反数是；的倒数是；的值为 故答案为：，，． 题型09 实数的混合运算 解题贴士 1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 典｜例｜精｜析 例9（22-23七年级下·北京西城·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： （2）解： 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）用计算器计算下面各题： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到十分位）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了计算器的使用，解题关键是准确掌握对计算器的使用方法． （1）借助计算器分别计算需要的数据，并保留到要求精确的位数即可； （2）借助计算器分别计算需要的数据，并保留到要求精确的位数即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10 程序涉及与实数运算 典｜例｜精｜析 例10（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据程序图计算即可． 【详解】解：取算术平方根得，是有理数， 取立方根得，是有理数， 取算术平方根得，是无理数，输出， 即输出的y值是． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 2．（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是________． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 题型11 实数运算的实际应用 典｜例｜精｜析 例11（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 2．（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 3．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 题型12 与实数运算有关的新定义问题 典｜例｜精｜析 例12（25-26八年级上·江苏连云港·期中）定义新运算“☆”：若，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了新定义运算，根据新运算的定义，将和代入公式中计算即可，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：9． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）我们规定运算符号的意义：当时，；当时，，其他运算符号意义不变按上述规定，计算的结果为__________． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据规定的运算规则，分别计算两个部分：比较大小后选择加法或减法，然后合并同类项简化表达式． 【详解】对于，由于 ，故 ； 对于 ，由于 ，故； ∴原式． 2．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段检测）定义新运算“☆”：若，则______． 【答案】7 【分析】本题考查了定义新运算，算术平方根，理解题意是解题的关键．先计算，其答案为6，再计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：7． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 【答案】 【分析】本题考查实数的新定义运算，先根据非负数的性质得到x，y的值，再根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∵， ∴ 即的值为． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）我们已经学习了平方根、算术平方根以及立方根的概念，类似的我们可以定义次方根．例如，类比平方根，可以定义四次方根：若一个数的四次方等于，则叫做的四次方根，记作，其中叫作的算术四次方根． (1)类比立方根，可以定义五次方根：若一个数的五次方等于，则叫做的五次方根，记作__________． (2)的七次方根记作__________，结果是__________；64的六次方根记作__________，结果是__________； (3)解方程：① ② 【答案】(1)； (2)，，，； (3)①，②； 【分析】本题主要考查了n次方根的定义和运用n次方根解方程，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据n次方根的定义得到答案即可； （2）根据n次方根的定义算出答案即可； （3）运用n次方根解方程即可； 【详解】（1）解：由n次方根的定义可知：若一个数的五次方等于，则叫做的五次方根，记作． 故答案为：． （2）解：由n次方根的定义可得：的七次方根记作，结果是；64的六次方根记作，结果是； （3）解：① ， ② ， ． 题型13 与实数运算有关的规律探究问题 典｜例｜精｜析 例13（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22八年级下·湖北黄冈·期中）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则_______． 【答案】73 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 3．（24-25七年级下·全国·暑假作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 【答案】(1) (2)a (3)； (4) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及与实数有关的规律问题，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）根据题干数据规律即可求解； （2）根据题干数据规律即可求解； （3）由（1）的结论计算即可； （4）由（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：；， 故答案为：；； （4）解：∵ ∴． 题型14 求近似数的精确度 解题贴士 根据精确度求近似值时，只需对紧挨着要精确到的那一位后的一个数字进行四舍五入，再后面的数字不需考虑. 对绝对值较大的数取近似值时，为了清楚地表明其精确度，结果一般用科学记数法表示. 典｜例｜精｜析 例14（25-26七年级上·河南安阳·期末）田畴吐绿，气象万千，2025年上半年，甘肃省第一产业增加值达到410.05亿元，同比增长，延续了稳健增长态势410.05亿这个数精确到________． 【答案】百万位 【分析】此题考查精确度，正确掌握相关知识点是解题关键． 数字410.05亿是以亿为单位的数，小数部分0.05亿对应绝对数值的百万位，因此精确到百万位． 【详解】解：∵ 1亿 ， ∴0.01亿 百万． ∴ 0.05亿 百万． 故410.05亿精确到百万位． 故答案为：百万位． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）下列说法错误的有______． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 【答案】③ 【分析】本题考查精确度，根据近似数的精确度概念，逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：①近似数万表示，数字在千位上，所以精确到千位，说法正确； ②近似数百万表示，精确到百万位；近似数万表示，精确到万位，所以精确度不同，说法正确； ③近似数精确到十分位，精确到百分位，精确度不同，说法错误； ④数精确到万位，万位是，千位是，四舍五入得，用科学记数法表示为，说法正确． 故说法错误的有③． 故答案为：③ 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 【答案】C 【分析】本题主要考查近似数的知识点． 根据近似数的精确度定义，科学记数法的精确度由系数的最后一位数字决定，需结合指数判断实际精确位． 【详解】∵ 近似数的精确度取决于最后一位有效数字的位置； 选项A.：最后一位数字0在千分位，故精确到千分位，不是百分位，不符合题意； 选项B.：中系数最后一位在千分位，乘以后精确到十位，不是千分位，不符合题意； 选项C.：中系数最后一位在百分位，乘以后精确到千位，正确，符合题意； 选项D.：万，最后一位有效数字在万位，故精确到万位，不是个位，不符合题意． 故选C． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)（精确到千分位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了近似数的精确度，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示． （1）直接对十万分位上的数字7进行四舍五入即可； （2）直接对十分位上的数字1进行四舍五入即可； （3）直接对千分位上的数字6进行四舍五入即可； （4）直接对万分位上的数字1进行四舍五入即可． 【详解】（1）解：（精确到）。 （2）解：（精确到个位）。 （3）解：（精确到）。 （4）解：（精确到千分位）。 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）由四舍五入法得到的近似数精确到（   ） A．百分位 B．个位 C．十位 D．百位 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断，关键是将科学记数法表示的数还原为原数，看末位有效数字对应的数位即可 【详解】解：∵， 又∵原数中数字4位于十位上， ∴该近似数精确到十位， 故选：C 2．（23-24七年级上·重庆江津·期中）下列说法正确的是（    ） A．近似数万精确到十分位 B．近似数精确到百分位 C．近似数精确到百分位 D．近似数5000精确到千位 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，精确度就是表示一个近似数与准确数的接近程度，一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位． 【详解】解：A、近似数万，数字1在千位上，即精确到千位，原说法错误，不符合题意； B、近似数，数字0在千分位上，即精确到千分位，原说法错误，不符合题意； C、近似数，数字2在百分位上，即精确到百分位，原说法正确，符合题意； D、近似数5000，末尾数字0在个数上，即精确到个位，原说法错误，不符合题意； 故选:C． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）实数，，，，，,,其中无理数的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的概念、二次根式、立方根，熟练掌握相应概念是解题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数），对每个实数逐一判断，再统计无理数的个数即可． 【详解】解：∵，是开方开不尽的数，∴是无理数； ∵，是整数（有理数），∴是有理数； ∵是开方开不尽的数，∴是无理数； ∵是开方开不尽的数，∴是无理数； ∵中是开方开不尽的数，∴是无理数； ∵，是分数（有理数），∴是有理数； ∵是含的无限不循环小数，∴是无理数； 综上，无理数共有5个． 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点M的位置可得答案． 【详解】解：如图，由勾股定理可得 ∴， ∴在数轴上点M表示的实数是． 故选：C． 5．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键；通过估算的范围，利用不等式性质加1得到的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在2和3之间， 故选：C． 6．（25-26八年级上·河北保定·期末）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号． 由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 7．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 8．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：_____2（填“”、“”或“”号）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握作差法是解题的关键．利用作差法求得两数之差，再根据无理数的估算，判断两数之差比0小还是比0大，即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 9．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）计算___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值化简，掌握二次根式、绝对值的定义是解题的关键，通过判断绝对值内的表达式符号，根据绝对值定义化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种新的运算：，则＝_________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，理解新运算法则是解题的关键．根据新定义运算规则，将代入公式计算． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为： ． 素养提升 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）等腰三角形的两边、满足，那么这个三角形的周长是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系． 根据绝对值的非负性，平方的非负性求出和的值，再根据等腰三角形的定义分类讨论三边情况，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 【详解】解：由，得，． 当为腰、为底时，三边为、、，但，不满足三角形三边关系，故不成立． 当为腰、为底时，三边为、、，满足三角形三边关系，周长为． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）我国古代数学著作《周髀算经》中有“圆径一而周三”，将圆周率取值为3；我国东汉数学家张衡将圆周率取值为．比较大小：______3（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． 直接根据无理数的估算法求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键． 观察数轴得：，可得，从而原式变形为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 故答案为：3． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数和n之间，则n的值是__________． 【答案】2 【分析】本题考查无理数的估算，通过估算的值，利用夹逼法确定的范围，从而求出整数即可． 【详解】解：∵，即， ∴，即介于整数和之间， ∴； 故答案为：2 5．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根和立方根，整式的加减运算，数轴的知识，解题的关键是得到，，． 利用数轴得到，，，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义化简，然后计算即可． 【详解】由图可知，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是时，输出的值是_____． （2）分析发现，当实数取_____时，该程序无法输出值．（写出所有的情况） 【答案】 或或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． ()按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可 ()按照计算流程，探索即可得出答案解． 【详解】解：()输入，则， 是有理数，的立方根是， 是有理数， 的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：； ()∵按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴①当能计算第一步的算术平方根时， 则陷入死循环，即不停的计算算术平方根和立方根， 计算结果一直是有理数， ∴此时或，该程序无法输出值， ②当不能计算第一步的算术平方根时， ∵负数没有算术平方根， ∴取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 7．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）要做一个面积为的正方形，它的边长的整数部分是__________，十分位是__________，百分位是__________，千分位是__________． 【答案】 4 1 2 3 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“逼近法”是估算的一般方法，也是常用方法． 首先根据正方形的面积公式求出边长为，而，由此找到所求的无理数的各个数位上的数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的近似值即可． 【详解】解：根据正方形的面积公式，得， ，即a的整数部分是4； ， ∴，因此十分位是1； ∵， ∴，即百分位是2； ∵， ∴，故千分位是3． 故答案为：4；1；2；3． 8．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是半圆滚动与数轴的结合，灵活运用半圆的周长公式是解题的关键．根据半圆的周长等于半圆弧长与直径之和，先求出直径为个单位长度的半圆的周长，进而确定点对应的数． 【详解】解：由图可知，半圆向右滚动一周，走过的路径为半圆的周长， 即， 点对应的数为． 故答案为：． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得， ． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，哪位同学的结果精确度更高，请说明理由． 【答案】(1)2；； (2)；； (3)①；②小明的结果精确度更高，理由见解析． 【分析】本题考查了无理数的估算和完全平方公式的应用．熟练掌握无理数的估算和完全平方公式是解题的关键． （1）估算出的取值范围即可得到答案； （2）先由得到，再根据（是整数，），的形式，拆分出整数部分和小数部分； （3）①利用完全平方公式进行变形，因，可以忽略，近似求解； ②通过比较两个近似值的平方与的接近程度来判断精确度即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∵，其中是整数，且， ∴ （3）解：①∵，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴， ∴； ②小明的结果精确度更高，理由如下： 小明的结果是，小丽的结果是， ，， 又，， ∴比更接近 小明的结果精确度更高． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解： 以此类推可得， ， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $