专题2.5 实数的初步认识【导图+知识卡片+知识梳理+19个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册同步培优精讲练

该初中数学讲义通过思维导图和知识梳理表格系统构建实数初步认识的知识体系，涵盖算术平方根、平方根、立方根、实数等核心知识点，明确重点归纳与常见易错点，清晰呈现概念间的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于19个题型讲练的分层设计，如利用算术平方根非负性解题、无理数整数部分计算等题型，结合典例精讲与变式训练，培养抽象能力和运算能力。中考真题演练与基础夯实、培优拔高分层练习，助力不同层次学生提升，为教师实施精准复习教学提供有力支持。

专题2.5 实数的初步认识『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+19个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 题型讲练 4 题型一 利用算术平方根的非负性解题 4 题型二 估计算术平方根的取值范围 5 题型三 与算术平方根有关的规律探索题 5 题型四 求一个数的平方根 7 题型五 求代数式的平方根 8 题型六 已知一个数的平方根，求这个数 8 题型七 利用平方根解方程 10 题型八 已知一个数的立方根，求这个数 11 题型九 与立方根有关的规律探索 12 题型十 立方根的实际应用 15 题型十一 算术平方根和立方根的综合应用 16 题型十二 无理数的大小估算 18 题型十三 无理数整数部分的有关计算 18 题型十四 实数的性质 20 题型十五 实数与数轴 21 题型十六 实数的大小比较 22 题型十七 程序设计与实数运算 23 题型十八 求一个数的近似数 24 题型十九 求近似数的精确度 25 中考真题演练 26 难度分层训练 32 【基础夯实】 32 【培优拔高】 35 知识点 重点归纳 常见易错点 算术平方根 1.概念：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 概念中特别强调为正数 2.表示方法: 平方根的符号与除号很像，但不同。 3.性质: ①规定：0的算术平方根是0；②非负性 0的算术平方根是0，是一个规定。 平方根 1.概念：如果，那么这个数叫做的平方根, 也叫二次方根。 此处概念当中没有说是正是负。注意与算术平方根的概念区别. 2.表示方法: 3.性质: ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;②0的平方根是0；③负数没有平方根。 正数的平方根有两个：互为相反数。 开平方 1.概念：求一个数的平方根的运算叫做开平方。 注意理解平方根是数，是开平方运算的结果；而开平方是一种运算。 2.关系：开平方与平方互为逆运算。 立方根 1.概念：一般的如果，那么这个数叫做的立方根, 也叫三次方根。 从立方根的记号可以看出，一个数的立方根只有一个，而且一个数的立方根与这个数本身符号相同。 2.表示方法: 3.性质: ①正数的立方根是正数;②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。 开立方 1.概念：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 开立方和立方根的区别：开立方是一种运算，立方根是个数。 2.关系：开立方与立方互为逆运算。 实数 1.概念：有理数与无理数统称为实数。 注意带根号的数不一定都是无理数:例如：，因为，属于有理数范围；带的数也不一定是无理数，例如：，因为是有理数 2.分类：实数分成有理数与无理数。 3. 无理数的常见形式： ①根号型：如②型：化简后仍带有的数，如2，③构造型：如0.1010010001…… 4. 实数与数轴上的点是一一对应的关系。 数轴上的点与实数一一对应 5. 实数的大小比较方法： 方法1：将要比较的数画在数轴上，借助数轴比较 方法2：将要比较的数化成小数再比较； 方法3：平方（立方）后比较 注意根据题目条件选择合适的方法 6. 有理数的运算性质及运算律实数范围内适用。 要注意混合运算的运算顺序。 近似值 1. 准确值：与实际完全相同相同数据叫作准确值。 2. 能够在一定程度上反被考察对象的大小与准确值非常接近，但又不完全相等的数据称为近似值。 3. 精确度：一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。 4. 取近似值的方法：四舍五入法、去尾法、进一法 题型一 利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）已知和互为相反数，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求平方根．根据非负数的性质，互为相反数的两个非负数之和为零，可求出x，y的值，然后代入，即可求解． 【详解】解：由题意，， 因为，， 所以且， 解得：， 所以， 所以的平方根为． 故答案为： 【变式训练】（2025八年级上·北京·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，理解非负数的性质是解题的关键．因为算术平方根，平方数，且它们的和为0，所以且 【详解】解：由得，即；由得，即， 所以. 题型二 估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆·期末）估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．根据，即可估计的值． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 即估计的值在2到3之间， 故选：B． 【变式训练】（2025·广东深圳·模拟预测）一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则______． 【答案】5 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 【详解】解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 题型三 与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律： ，，，， 实践探究： (1)按照此规律，①计算：_____； ②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）； (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，仔细观察，找出规律是解题的关键． （1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是； （2）结合（1），将二次根式化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，那么， 故答案为：； ②第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， 那么第个式子是， 故答案为：； （2）解： 【变式训练】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，根据被开方数扩大每倍，算术平方根扩大倍即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型四 求一个数的平方根 【典例精讲】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的定义及性质，解题的关键是明确算术平方根的结果为非负数，以及平方根与平方运算的区别． 逐一计算每个选项的表达式，结合算术平方根和平方根的定义判断正误． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·河南周口·期末）0.09的平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键； 根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴的平方根是， 故答案为：． 题型五 求代数式的平方根 【典例精讲】（23-24八年级上·吉林长春·阶段检测）已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数． 【答案】的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：当如果与相等时，那么， 解得， 此时， 则， 所以这个正数为； 当如果与互为相反数时，那么 解得， 此时，， 则， 所以这个正数为， 答：的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是． 【变式训练】已知，，求和的值． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式变形求得，再利用完全平方公式求得，在求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴， 解得：． ∵， ∴． 题型六 已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或9 【分析】（1）根据平方运算，可得的值，求解可得答案； （2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】（1）解：∵的一个平方根是3， ∴，解得． （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或，解得或， ∴或， ∴这个数是1或9． 【变式训练】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）已知是64的平方根，且，求的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、平方根，熟练掌握绝对值的性质、平方根的定义是解决本题的关键． 根据绝对值的性质、平方根的定义，可得到x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得或． 是64的平方根， ， 解得或． ∵      题型七 利用平方根解方程 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根解方程及解二元一次方程组，正确求解是关键； （1）方程可化为，再利用平方根变为两个一元一次方程，即可求解； （2）用代入法：把①代入②消去y，求得x的值，再求出y的值即可． 【详解】（1）解：方程变形，得：， 两边开平方，得：或， 解得：或； （2）解：， 把①代入②，得：， 整理得：， 解得：， 把代入①，得：， 所以方程组的解为． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）求下列各式中的值：． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是利用平方根的定义解方程，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 直接利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：， ， ，． 题型八 已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·山西长治·期末）若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·周测）求下列各式中x的值 （1），________；（2），________． 【答案】 或 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程． （1）直接利用平方根性质求解； （2）先化简方程，再利用立方根性质求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； 故答案为：或； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型九 与立方根有关的规律探索 【典例精讲】阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握立方根的定义，理解题目所提供的解题方法是正确解答的关键． （1）完成题目所提供的解题过程即可； （2）根据（1）的解题方法进行计算即可． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 故答案为：，，； （2）解：已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是；划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， ；已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， 故答案为：，，． 【变式训练】（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 题型十 立方根的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解： ，且，， ． 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，且，且，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了立方根条件求值问题，设，则可得，由，则，，，原等式变形为，再整理成即可求解，掌握立方根的性质，巧秒恒等变形使实际问题简化，利用等式两边平方，因式分解求出代数式的值是解题的关键． 【详解】解：设，则可得， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 题型十一 算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，根据定义计算即可． 【详解】解：∵ 的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∵的立方根是 − 1  ， ∴， 解得：， 的平方根是． 题型十二 无理数的大小估算 【典例精讲】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在数轴上，实数对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及数轴上点的位置与实数的对应关系．先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解答． 【详解】解：， ， 即， 在数轴上实数对应的点可能是点， 故选：． 【变式训练】（25-26八年级上·广东深圳·期末）大于且小于的整数有_____ 个． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的大小比较法则和估算无理数的大小的应用．先估算出的范围，再根据实数的大小比较法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴大于且小于的整数有，，0，1，2，3，共6个． 故答案为：6． 题型十三 无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即的整数部分是1，小数部分是 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ，又， ， 请利用上述“比差法”，比较与3的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：，，而， ， 的整数部分是5，小数部分为， 故答案为：5，； （2）解：．理由： ． 又，且， ． ， 即． ． 【变式训练】（25-26八年级上·吉林长春·期中）若a、b、c均为实数，且，c是的整数部分． (1)则a的值为_______；b的值为________；c的值为________； (2)求的平方根． 【答案】(1)，3，6 (2) 【分析】本题考查了平方根，无理数大小估算，算术平方根和偶次幂的非负性，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得，从而求出a，b的值，再利用无理数大小估算求出c的值； （2）把a，b，c的值代入，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ； ， ，即， 的整数部分是6， ， 故答案为：，3，6． （2）解：由（1）知，， ， 的平方根为：． 题型十四 实数的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的积仍为无理数 B．两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数 C．无理数可以用分数来表示，例如 D．任意一个无理数的绝对值都是正数 【答案】D 【分析】本题考查了无理数、绝对值，理解无理数的概念是解答的关键．根据无理数、绝对值的定义逐一判断即可求解， 【详解】解：A．两个无理数的积可能是有理数，例如，原说法错误，不符合题意； B．两个整数相除，而无限循环小数是有理数，原说法错误，故不符合题意； C．无理数不可以用分数来表示，是无理数，不是分数，原说法错误，故不符合题意； D．任意一个无理数的绝对值都是正数，正确，故符合题意． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 题型十五 实数与数轴 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，长为2，长为1，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可求出的长，则可得到该点到原点的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，长为2，长为1， ∴， ∵以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点， ∴这个点表示的实数是， 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在数轴上点是表示实数的点． (1)在数轴上用没有刻度的直尺和圆规画出点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)的整数部分为______，的小数部分为______． 【答案】(1)见解析； (2)；． 【分析】本题主要考查了实数与数轴的对应关系和勾股定理在几何作图中的应用，以及作垂直平分线． （1）根据勾股定理可知，在数轴上表示无理数，先在数轴中找到对应的长度，再以为圆心，一个单位长度为半径画弧，连接即可； （2）根据（1）中可知，即可知道的整数部分和小数部分． 【详解】（1）解：如图：点即为所求； 确定数轴上代表点，代表点，代表点，代表点； 第一步，以为圆心，长为半径画弧； 第二步，用圆规作的垂直平分线，与第一步画的弧线交于点，可知，，且知，根据勾股定理可知； 第三步：以为圆心，为半径画弧，交数轴于点. 综上所述，点即为所求． （2）解：根据无理数在数轴中表示的位置，可知，由此其整数部分为，小数部分为． 故答案为；． 题型十六 实数的大小比较 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）比较大小：7____ 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 先求出，，根据，得出即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·山西·阶段检测）比小的无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数大小比较，熟练掌握实数大小的比较方法：正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小是解题的关键． 比较各选项与的大小，并判断是否为无理数. 【详解】解：、∵，∴，而且是无理数，故选项A符合题意； 、，但是有理数，故选项B不符合题意； 、，故原选项C不符合题意； 、，故选项D不符合题意； 故选：A． 题型十七 程序设计与实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，是一个数值转换器示意图，根据图示工作原理解决：当为时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与流程图计算，根据流程图计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：当为时，，， ∵不是无理数， ∴输入，， ∵的算术平方根是，是无理数， ∴的值是， 故选：． 【变式训练】如图表示一个运算程序，输入一个数a，按照此程序进行运算后输出的数为b． (1)按照此程序进行运算，若，求b的值；若，求a的值． (2)若a，b均为整数，且输出的结果b的范围为，求符合条件的a的值有几个． 【答案】(1)4； (2)4 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，，当时，，据此代值计算即可； （2）当时，，则可推出不符合题意；当时，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 当时，∵， ∴， ∴，不符合题意； 当时，， ∴； （2）解：当时，， ∵， ∴此时， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴， 又∵a、b都是整数， ∴符合条件的a的值有2，3，4，5，共4个． 题型十八 求一个数的近似数 【典例精讲】用四舍五入法取近似数：________．（精确到0.01） 【答案】12.32 【分析】本题考查近似数，把千分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：12.3156精确到0.01，需要看千分位数字5，，向百分位进1，百分位1变为2， 因此． 故答案为：12.32． 【变式训练】（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）将数15.96用四舍五入法取近似数，若精确到十分位，则得到的近似数是_________________． 【答案】16.0 【分析】本题考查了近似数，经过四舍五入得到的数为近似数，精确到十分位，需看百分位数字，百分位是6，大于等于5，向十分位进一，十分位9进一后为10，向个位进一，个位5变成6，十分位为0，故结果为16.0，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将数15.96精确到十分位，十分位上的数字是9，百分位上的数字是6， 由于，向十分位进一，十分位， 因此向个位进一，个位，十分位写0， 所以得到的近似数是16.0， 故答案为：16.0． 题型十九 求近似数的精确度 【典例精讲】（25-26八年级上·河北邢台·期中）某区今年中考考生约有万人，近似数“万”精确到了（   ） A．十分位 B．百分位 C．百位 D．千位 【答案】C 【分析】本题主要考出了确定数据的精确度，掌握带有单位或科学记数的数据需将单位换算后判断实际精确度是解题的关键． 近似数“万”的数字部分精确到百分位，但由于单位是“万”，需将单位换算后判断实际精确度． 【详解】解：∵ “万”中数字部分精确到百分位，即万， 又∵万， ∴近似数“万”精确到百位． 故选C． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏常州·期中）近似值万（划线部分）精确到______位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数的精确度，由近似值万可化为，最后一位数字位于百位，从而求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵近似值万可化为， ∴最后一位有效数字位于百位， ∴精确到百位， 故答案为：百． 【真题演练1】（2025·重庆·中考真题）新定义：对非负实数x用“四舍五入”的法则精确到个位的值记为，下列说法正确的个数为（　　） ①（为圆周率）： ②如果，则实数x的取值范围为． ③若，则 ④满足的所有x的值有且只有五个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据四舍五入法则及不等式的性质依次判断计算即可． 【详解】解：①∵ ∴（为圆周率），正确，符符合题意； ②， ∴， ∴，正确，符合题意； ③∵， ∴x的小数部分小于0.5，（四舍） ∴x+0.5的小数部分大于0.5，（五入） 则，正确，符合题意； ④设，k为整数， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ∴的所有x的值有且只有五个，符合题意； 故选：D． 【真题演练2】（2025·甘肃金昌·中考真题）对于五个整式：，，，，，有以下几个结论： ①若实数满足，则或； ②若实数，满足，则为任意实数，； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定为正数； ④若实数，满足，则． 上述结论中，正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，平方根的定义解方程，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． ①由，代入，，即可解出；②由，代入，，可得的取值范围；③由，代入，，当不含一次项时，将代入即可判断；④由，代入各整式化简得，即可解得的值． 【详解】解：①，，， ， 或， 解得或． 故①正确． ②，，， ，即， ， ，且为任意实数． 故②正确． ③，，， ． 当不含一次项时， ，即． ． 当时，，不是正数， 故③错误． ④， ， ， ， 化简得，，． 故④正确． 综上，正确结论为①②④，共3个． 故选：B． 【真题演练3】（2025·上海·中考真题）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出正方形的边长． 先用立方体的体积公式求出魔方的棱长，然后再求出侧面的面积，进而可求出的边长，进而可求出点代表的数． 【详解】解：∵魔方的体积为， ∴魔方的棱长为：， ∴侧面面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为， 故答案为： ． 【真题演练4】（2025·广东广州·中考真题）已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离．解题关键是数轴上两点间的距离等于它们表示的两数差的绝对值，也可以“大减小”，分类讨论． 设点B表示的数为x，根据数轴上点与点关于原点对称，得点A表示的数为，根据点表示的数是．分当时，当时，写出长的表达式，再根据建立方程，解答即可． 【详解】解：设点B表示的数为x， ∵数轴上点与点关于原点对称， ∴点A表示的数为． ∵点表示的数是． 当时， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． 当时， ∴． ∴． 解得． ∴． 故答案为： 或． 【真题演练5】（2025·湖南长沙·中考真题）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ；的“青一区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解： ，， ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， ，即， 的“青一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或 当时，， 当时，， 的值为2或； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 两式相减，得， ， 的算术平方根为， ， ， 的算术平方根的“青一区间”是． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴；根据开方估算出在哪两个整数之间，再结合数轴得出答案即可． 【详解】解：， ， 数轴上表示实数的可能是Q点； 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川雅安·期末）在，，，，0，，，…（相邻两个3之间4的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：是无理数，符合题意； 是分数，属于有理数，不符合题意； 是小数，属于有理数，不符合题意； 是整数，属于有理数，不符合题意； 是整数，属于有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无限循环小数，是有理数，不符合题意； （相邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，是无理数，符合题意； ∴无理数共有3个， 故选：． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知和是一个正数的两个平方根，则这个正数是______． 【答案】9 【分析】此题主要考查了平方根的定义， 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解a，再求平方根的值，最后求正数． 【详解】∵和是一个正数的两个平方根， ∴， 即， 解得， ∴， ∴这个正数为． 故答案为：9． 4．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）是自然数，若满足，则___________，若，则___________． 【答案】 3或5/5或3 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 对于第一个方程，通过配方化为平方和为零的形式求解； 对于第二个空：先根据完全平方公式变形，再结合x， y是自然数讨论即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴且， 解得，． 因此； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵x，y是自然数， ∴，或，． 当，时， 或， ∴或， ∴或． 当，时， 或， ∴或， ∴或． 故答案为：；3或5． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）小强发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和．为了说明这一“发现”的正确性，他进行了验证．如：为偶数，的一半为． (1)【探究】设“发现”中的两个已知正整数为，请论证“发现”中的结论正确； (2)【运用】若正整数为满足，则_____． 【答案】(1)论证见解析 (2) 【分析】（1）根据题中材料里的“发现”，将文字描述转化为代数式，再运用完全平方公式及整式混合运算计算即可论证“发现”中的结论正确性； （2）由（1）中“发现”可知，将条件代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：“发现”中的结论正确 设“发现”中的两个已知正整数为， ， 为偶数、为偶数， 是偶数， 即两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数； ， 该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和； （2）解：由（1）中“发现”可知， 正整数为满足， ， 则， ， 为正整数， ， 则， 故答案为：． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式的运算，理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 由是有理数，则为有理数，再判断选项即可． 【详解】解：由是有理数，则为有理数， A、，又是有理数，x是无理数 所以是无理数，不符合题意； B、， 同理是无理数，不符合题意； C、，又是有理数，x是无理数 所以为无理数，即是无理数，不符合题意； D、，又是有理数， 所以是有理数，即是有理数，符合题意． 故选：D． 2．已知都为整式． ①若且，则或； ②若，当时，则； ③若（为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的概念理解，整式的加减运算，解三元一次方程组等知识点． 对于①，由题意，，即，代入得，再分类讨论求解；对于②，联立方程组，由第二个方程解出，代入第一个方程得：，再化简求解；对于③，由于为非负整数且，所有可能的组合整式为：若和为0：则；若和为1：则或或；若和为2：或或或或或，再进行合并同类项计算． 【详解】解：对于①，由题意，，即， 代入得， 当时，，解得，但此时，矛盾，舍去； 当时，，解得，但此时，矛盾，舍去。 故原方程无解，故①错误； 对于②，联立方程组， 由第二个方程解出， 代入第一个方程得：， 化简得，即，故②正确； 对于③，为非负整数且， 所有可能的组合整式为： 若和为0：则； 若和为1：则或或； 若和为2：或或或或或， 则所有满足条件的整式M的和为：，故③正确； ∴正确的有2个， 故选：C. 3．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）观察表中的数据信息： a … … 则下列结论：①；②只有3个正整数a满足；③；④，其中正确的是__________（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查无理数的估计，①利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律解答即可；②先根据的取值范围确定a的取值范围，再由a的取值范围确定a的正整数值；③利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律，分别确定被减数和减数的值，再相减即可；④先估计的值，再判断即可． 【详解】解：①， ， ，故①正确； ②， ， 其中整数有：232，233，234共3个，故②正确； ③，， ，， ，， ，故③正确； ④由①知， ，故④错误． 故答案为：①②③． 4．（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段检测）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是_______． 【答案】20 【分析】本题主要考查与算术平方根有关的规律问题，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为． 由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案． 【详解】解：第1行最后一个数为， 第2行最后一个数为， 第3行最后一个数为， ...， ∴第n行最后一个数为， ∵第28行最后一个数为， ∴第28行从左至右第22个数是． 故答案为：20． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【答案】(1) (2) (3)在点B的右侧，过程见解析 【分析】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及算术平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与算术平方根的意义． （1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据求出，再求出，再根据题意求出小蚂蚁最后的位置表示的数，进一步判断出在点B的左侧还是右侧即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题2.5 实数的初步认识『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+19个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 题型讲练 4 题型一 利用算术平方根的非负性解题 4 题型二 估计算术平方根的取值范围 4 题型三 与算术平方根有关的规律探索题 4 题型四 求一个数的平方根 5 题型五 求代数式的平方根 5 题型六 已知一个数的平方根，求这个数 5 题型七 利用平方根解方程 6 题型八 已知一个数的立方根，求这个数 6 题型九 与立方根有关的规律探索 7 题型十 立方根的实际应用 8 题型十一 算术平方根和立方根的综合应用 8 题型十二 无理数的大小估算 8 题型十三 无理数整数部分的有关计算 9 题型十四 实数的性质 9 题型十五 实数与数轴 10 题型十六 实数的大小比较 10 题型十七 程序设计与实数运算 10 题型十八 求一个数的近似数 11 题型十九 求近似数的精确度 11 中考真题演练 11 难度分层训练 13 【基础夯实】 13 【培优拔高】 14 知识点 重点归纳 常见易错点 算术平方根 1.概念：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 概念中特别强调为正数 2.表示方法: 平方根的符号与除号很像，但不同。 3.性质: ①规定：0的算术平方根是0；②非负性 0的算术平方根是0，是一个规定。 平方根 1.概念：如果，那么这个数叫做的平方根, 也叫二次方根。 此处概念当中没有说是正是负。注意与算术平方根的概念区别. 2.表示方法: 3.性质: ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;②0的平方根是0；③负数没有平方根。 正数的平方根有两个：互为相反数。 开平方 1.概念：求一个数的平方根的运算叫做开平方。 注意理解平方根是数，是开平方运算的结果；而开平方是一种运算。 2.关系：开平方与平方互为逆运算。 立方根 1.概念：一般的如果，那么这个数叫做的立方根, 也叫三次方根。 从立方根的记号可以看出，一个数的立方根只有一个，而且一个数的立方根与这个数本身符号相同。 2.表示方法: 3.性质: ①正数的立方根是正数;②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。 开立方 1.概念：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 开立方和立方根的区别：开立方是一种运算，立方根是个数。 2.关系：开立方与立方互为逆运算。 实数 1.概念：有理数与无理数统称为实数。 注意带根号的数不一定都是无理数:例如：，因为，属于有理数范围；带的数也不一定是无理数，例如：，因为是有理数 2.分类：实数分成有理数与无理数。 3. 无理数的常见形式： ①根号型：如②型：化简后仍带有的数，如2，③构造型：如0.1010010001…… 4. 实数与数轴上的点是一一对应的关系。 数轴上的点与实数一一对应 5. 实数的大小比较方法： 方法1：将要比较的数画在数轴上，借助数轴比较 方法2：将要比较的数化成小数再比较； 方法3：平方（立方）后比较 注意根据题目条件选择合适的方法 6. 有理数的运算性质及运算律实数范围内适用。 要注意混合运算的运算顺序。 近似值 1. 准确值：与实际完全相同相同数据叫作准确值。 2. 能够在一定程度上反被考察对象的大小与准确值非常接近，但又不完全相等的数据称为近似值。 3. 精确度：一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。 4. 取近似值的方法：四舍五入法、去尾法、进一法 题型一 利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）已知和互为相反数，则的平方根为______． 【变式训练】（2025八年级上·北京·专题练习）若，求的值． 题型二 估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆·期末）估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【变式训练】（2025·广东深圳·模拟预测）一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则______． 题型三 与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律： ，，，， 实践探究： (1)按照此规律，①计算：_____； ②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）； (2)计算：． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知，则______． 题型四 求一个数的平方根 【典例精讲】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·河南周口·期末）0.09的平方根是________． 题型五 求代数式的平方根 【典例精讲】（23-24八年级上·吉林长春·阶段检测）已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数． 【变式训练】已知，，求和的值． 题型六 已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【变式训练】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）已知是64的平方根，且，求的值． 题型七 利用平方根解方程 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）解方程（组）： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）求下列各式中的值：． 题型八 已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·山西长治·期末）若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·周测）求下列各式中x的值 （1），________；（2），________． 题型九 与立方根有关的规律探索 【典例精讲】阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【变式训练】（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 题型十 立方根的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，且，且，求的值． 题型十一 算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根． 题型十二 无理数的大小估算 【典例精讲】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在数轴上，实数对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式训练】（25-26八年级上·广东深圳·期末）大于且小于的整数有_____ 个． 题型十三 无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即的整数部分是1，小数部分是 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ，又， ， 请利用上述“比差法”，比较与3的大小． 【变式训练】（25-26八年级上·吉林长春·期中）若a、b、c均为实数，且，c是的整数部分． (1)则a的值为_______；b的值为________；c的值为________； (2)求的平方根． 题型十四 实数的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的积仍为无理数 B．两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数 C．无理数可以用分数来表示，例如 D．任意一个无理数的绝对值都是正数 【变式训练】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 题型十五 实数与数轴 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，长为2，长为1，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在数轴上点是表示实数的点． (1)在数轴上用没有刻度的直尺和圆规画出点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)的整数部分为______，的小数部分为______． 题型十六 实数的大小比较 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）比较大小：7____ 【变式训练】（25-26八年级上·山西·阶段检测）比小的无理数是（   ） A． B． C． D． 题型十七 程序设计与实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，是一个数值转换器示意图，根据图示工作原理解决：当为时，的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】如图表示一个运算程序，输入一个数a，按照此程序进行运算后输出的数为b． (1)按照此程序进行运算，若，求b的值；若，求a的值． (2)若a，b均为整数，且输出的结果b的范围为，求符合条件的a的值有几个． 题型十八 求一个数的近似数 【典例精讲】用四舍五入法取近似数：________．（精确到0.01） 【变式训练】（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）将数15.96用四舍五入法取近似数，若精确到十分位，则得到的近似数是_________________． 题型十九 求近似数的精确度 【典例精讲】（25-26八年级上·河北邢台·期中）某区今年中考考生约有万人，近似数“万”精确到了（   ） A．十分位 B．百分位 C．百位 D．千位 【变式训练】（25-26八年级上·江苏常州·期中）近似值万（划线部分）精确到______位． 【真题演练1】（2025·重庆·中考真题）新定义：对非负实数x用“四舍五入”的法则精确到个位的值记为，下列说法正确的个数为（　　） ①（为圆周率）： ②如果，则实数x的取值范围为． ③若，则 ④满足的所有x的值有且只有五个． A．1 B．2 C．3 D．4 【真题演练2】（2025·甘肃金昌·中考真题）对于五个整式：，，，，，有以下几个结论： ①若实数满足，则或； ②若实数，满足，则为任意实数，； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定为正数； ④若实数，满足，则． 上述结论中，正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【真题演练3】（2025·上海·中考真题）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 【真题演练4】（2025·广东广州·中考真题）已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为______． 【真题演练5】（2025·湖南长沙·中考真题）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ；的“青一区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 2．（25-26八年级上·四川雅安·期末）在，，，，0，，，…（相邻两个3之间4的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知和是一个正数的两个平方根，则这个正数是______． 4．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）是自然数，若满足，则___________，若，则___________． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）小强发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和．为了说明这一“发现”的正确性，他进行了验证．如：为偶数，的一半为． (1)【探究】设“发现”中的两个已知正整数为，请论证“发现”中的结论正确； (2)【运用】若正整数为满足，则_____． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 2．已知都为整式． ①若且，则或； ②若，当时，则； ③若（为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）观察表中的数据信息： a … … 则下列结论：①；②只有3个正整数a满足；③；④，其中正确的是__________（填写序号） 4．（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段检测）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是_______． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null