第6章 几何图形初步-单元测试-2026-2027学年七年级上册数学单元测试（人教版·新教材）

**基本信息** 七上第6章几何图形初步单元卷，以基础概念为核心，通过情境化、层次性问题设计，考查抽象能力、几何直观与推理意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|13小题|线段、射线、角、方位角、垂线段|第2题结合线段性质解释周长，第5题厦门景点方位角，体现几何直观与文化情境| |填空题|7小题|点动成线、度分秒计算、方位角、角的位置关系|第14题杜甫诗句点动成线，第20题两角度关系分类讨论，渗透文化与推理意识| |解答题|10小题|直线条数规律、角平分线、动态角问题|第21题规律探究培养创新意识，第25题“好线”定义考查推理能力，体现分层设计|

七上第 6 章 几何图形初步-单元测试 一．选择题（共 13 小题） 1 ．如图各图中，表示线段 MN、射线 PQ 的是 ( ) ( A ． B ) ( C ． D ． ) ( . ) 2 ．如图，将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为 m ，原三角形纸片的周长为 n ，下列判断正确的是 ( ) A ．两点之间，线段最短，故 m ＜n B ．两点确定一条直线，故 m ＝n C ．边数越多周长就越大，故 m ＞n D ．无法确定 m ，n 的大小关系 3 ．如图，在边长相等的正方形网格中， ∠1 与∠2 的大小关系为 ( ) A ． ∠1＞∠2 B ． ∠1 = ∠2 C ． ∠1<∠2 D ．无法确定 4．互不重合的 A、B、C 三点在同一直线上，已知AC ＝2a+1，BC ＝a+4，AB ＝3a，这三点的位置关系是( ) A ．点 A 在 B 、C 两点之间 B ．点 B 在 A 、C 两点之间 C ．点 C 在 A 、B 两点之间 D ．无法确定 5 ．如图，点 A ，B ，O 分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑成功纪念馆、郑成功水操台遗址、 日光 岩三个景点．经测量∠AOB ＝66 ° , 郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东 28 °方向，则郑成功纪念馆在日光岩的 ( ) A ．北偏东 38 °方向 B ．北偏西 28 °方向 C ．北偏西 38 °方向 D ．北偏东 52 °方向 6 ．如图， ∠AOC ＝90 ° , 点 B ，O ，D 在同一直线上，若∠1 ＝23 ° , 则∠2 的度数为 ( ) A ．113 ° B ．107 ° C ．87 ° D ．157 ° 7．如图，已知点 C 为线段 AB 的中点，D 为 CB 的中点，现给出下列结论：①CD ＝AC﹣DB ，② , ③CD ＝AD﹣BC， ④BC ＝2AD﹣AB ，其中正确的结论是 ( ) A ． ①②③④ B ． ①②③ C ． ②③④ D ． ②③ 8 ．如图，点 O 是直线 AB 上一点，OC 平分∠AOE ，∠DOE ＝90 ° , 则以下结论：①∠AOD 与∠BOE 互为余角；②∠AOD = ∠COE；③∠BOE ＝2∠COD；④若∠BOE ＝58 ° , 则∠COE ＝61 ° . 其中正确的是 ( ) A ．只有①④ B ．只有①③④ C ．只有③④ D ． ①②③④ 9 ．如图（一），丽为一条拉直的细线，A 、B 两点在丽上，且： ＝1 ：3 ，丽：丽 ＝3 ：5 ．若先固定 B 点，将丽折向丽，使得丽重叠在丽上，如图（二），再从图（二）的 A 点及与 A 点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？ ( ) A ． 1 ： 1 ： 1 B ． 1 ： 1 ：2 C ． 1 ：2 ：2 D ． 1 ：2 ：5 10 ．如图，河道 l 的一侧有 A 、B 两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向 A 、B 两村，下列四种方案中最节省材料的是 ( ) A． C． D． B． 11．如图，A ，B ，C，D 四点在直线 l 上，点 M 在直线 l 外，MC⊥l ，若 MA ＝5cm ，MB ＝4cm ，MC ＝2cm， MD ＝3cm ，则点 M 到直线 l 的距离是 ( ) A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 12 ．下列说法正确的是 ( ) A ．相等的角是对顶角 B ．两个角的和为 180 ° , 那个这两个角互为邻补角 C ．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离 D ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 13 ．在△ABC 中，BC ＝6 ，AC ＝3 ，过点 C 作 CP⊥AB ，垂足为 P ，则 CP 长的最大值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 二．填空题（共 7 小题） 14 ．《雨不绝》是唐代诗人杜甫的作品，其中有诗句：鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞．译文：喧哗的雨已经过去、逐渐变得细微，映着天空摇漾的是如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为 ． 15 ．计算：77 °42 ′+32 °48 ′ = ° . 16 ．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨 AB ＝AC，点 D ，E 分别是 AB，AC 的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且 DM＝EM，若 BD ＝20cm ，则 AE 的长度是 cm． 17 ．如图，点 B 在点A 的西南方向，点 C 在点A 的南偏东 15 °方向，点 C 在 B 的北偏东 80 °方向，则∠ ACB = . 18 ．如图，直线 AB 、CD 相交于点 O ，OE⊥AB ，O 为垂足，如果∠EOD ＝38 ° , 则∠COB ＝ 度． 19 ．已知∠AOB ＝22.5 ° , 分别以射线 OA ，OB 为始边，在∠AOB 的外部作∠AOC = ∠AOB ， ∠BOD ＝2∠ AOB ，则 OC 与 OD 的位置关系是 ． 20 ． 若 两 个 角的 两 边 互 相 垂 直 ， 且 一 个 角 比 另 一 个 角的 2 倍 少 30 ° , 则 这 两 个 角的 度 数 分 别是 ． 三．解答题（共 10 小题） 21 ．有如下问题：“平面上，分别有 2 个点、3 个点、4 个点、5 个点， … , n 个点，其中任意 3 个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？ ”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … （1）当点数 n ＝10 时，直线的条数是 ； （2）请你帮小明在下列横线上填上归纳出的一般性结论： ； （3）若某人共画了 190 条直线，则该平面上共有多少个点？ 22 ．如图，O 为直线 AB 上一点， ∠AOC ＝50 ° , OD 平分∠AOC， ∠DOE ＝90 ° . （1）求出∠BOD 的度数； （2）请通过计算说明 OE 是否平分∠BOC． 23 ．【问题背景】 已知点 B 在线段 AC 上，点 D 在线段 AB 上． 【问题探究】（1）如图 1 ，D 为线段 AC 的中点． ①若 AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，求线段 DB 的长度； ②若 AC ＝a cm ，DB ＝b cm ，求 BC 的长度；（用含 a ，b 的代数式表示） 【衍生拓展】（2）如图 2 ，若 ，E 为线段 AB 的中点，EC ＝20cm ，求线段 AC 的长度． 24 ．如图，直线 AB ，CD 相交于点 O ，OE⊥AB ，OF 平分∠AOD． （1）若∠BOD ＝40 ° , 求∠COF 的度数； （2）若∠AOC： ∠COE ＝2 ：3 ，求∠DOF 的度数． 25 ．定义：从∠α（90 ° < α <180 ° ) 的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角 中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α 的“好线 ”． 如图，点 O 在直线 AB 上，OC、OD 在直线 AB 上方，且 OC⊥OD ，射线 OE 是∠AOD 的“好线 ”． （1）若∠BOD ＝26 ° , 且 OE 在∠COD 内部，则∠COE = ° ; （2）若 OE 恰好平分∠AOC，请求出∠BOD 的度数； （3）若 OF 是∠AOE 的平分线，OG 是∠BOC 的平分线，请画出图形，探究∠EOF 与∠DOG 的数量关系，并说明理由． 26 ．如图，直线 AB ，CD 相交于点 O ，OM⊥AB 于点 O． （1）若∠1 = ∠2 ，求证：ON⊥CD； （2）若∠BOC ＝4∠1 ，求∠AOC， ∠MOD 的度数． 27 ．如图，直线 MD 、CN 相交于点 O ，OA 是∠MOC 内的一条射线，OB 是∠NOD 内的一条射线， ∠MON =70 ° . 若∠AOD ＝2∠BOD ， ∠BOC ＝3∠AOC，求∠BON 的度数． 28 ．如图，直线 AB 、CD 相交于点 O ，OM⊥AB． （1）若∠1 = ∠2 ，判断 ON 与 CD 的位置关系，并说明理由． （2）若∠BOC ＝4∠1 ，求∠MOD 的度数． 29 ．如图 1 ，点 A ，O ，B 依次在直线 MN 上，现将射线 OA 绕点 O 沿顺时针方向以每秒 4 ° 的速度转动， 同时射线 OB 绕点 O 沿逆时针方向以每秒 6 ° 的速度转动，直线 MN 保持不动，如图 2 ．设转动时间为 t （0≤t ≤60 ，单位：秒） （1）当 t ＝5 时，求∠AOB 的度数； （2）在转动过程中，当∠AOB 第二次达到 60 °时，求 t 的值； （3）在转动过程中是否存在这样的 t ，使得射线 OB 与射线 OA 垂直？如果存在，请求出 t 的值；如果不存在，请说明理由． 30 ．如图，点 O 在直线 AB 上， ∠BOD 与∠COD 互补， ∠BOC ＝n ∠EOC． （1）若∠AOD ＝24 ° , n ＝3 ，求∠DOE 的度数； （2）若 DO⊥OE ，求 n 的值； （3）若 n ＝4 ，设∠AOD = α , 求∠DOE 的度数（用含α 的代数式表示∠DOE 的度数）． 学科网（北京）股份有限公司 七上第 6 章 图形的初步认识-单元测试 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A A A C A A B B B A 题号 12 13 答案 D C 一．选择题（共 13 小题） 1 ．【答案】B 【分析】根据线段，射线，直线的表示方法对各个选项逐一进行判断即可得出答案． 【解答】解：对于选项 A ，图中是直线 MN，射线 QP， 故选项 A 不符合题意； 对于选项 B ，图中是线段 MN，射线 PQ，故选项 B 符合题意； 对于选项 C，图中是射线 MN，线段 PQ，故选项 C 不符合题意； 对于选项 D ，图中是线段 MN，射线 QP，故选项 D 不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了线段，射线，直线的表示方法，准确识图，熟练掌握线段，射线，直线的表示方法是解决问题的关键． 2 ．【答案】A 【分析】 由图观察可知，欲判断 m 与 n 的大小，其实就是判断四边形 ABDE 的周长和三角形 ABC 的周长，比较发现 AB 边没变，AC 边减少 EC，BC 边减少 DC，根据“两点之间，线段最短 ”即可判断 EC+DC >DE ，即可求出 m 和 n 哪个大哪个小． 【解答】解：如图： A ．根据“两点之间，线段最短 ”判断EC+DC＞DE， ∵m ＝AE+ED+DB+AB ，n ＝AE+EC+CD+DB+AB， ∴m ＜n， ∴A 选项正确，符合题意； B ．两点确定一条直线不能判断出 m 是否等于 n ，故不符合题意； C．边数越多不一定能判断周长越长，可能出现边数越多，周长反而小，如：2+3+4+5＜6+7+8 ，故不符合题意； D ．三角形的裁剪与角度无关，与边长有关，根据“两点之间，线段最短 ”可以判断出 m 和 n 的大小，故不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是线段的性质，关键是否熟练掌握和运用两点之间，线段最短的知识点． 3 ．【答案】A 【分析】连接 BD，判定四边形 ACDB 是平行四边形，推出AC∥BD，得到∠BDE = ∠1，而∠BDE＞∠2，即可得到答案． 【解答】解：连接 BD， 由题意知AB ＝CD ，AB∥CD ， ∴四边形 ACDB 是平行四边形， ∴AC∥BD， ∴ ∠BDE = ∠1， ∵ ∠BDE＞∠2， ∴ ∠1＞∠2， 故选：A． 【点评】本题考查角的大小比较，关键是由平行四边形的性质推∠BDE = ∠1． 4 ．【答案】A 【分析】用假设法分别计算各选项中的 a 值，再根据 a＞0 判断即可． 【解答】解： ∵AC ＝2a+1 ，BC ＝a+4 ，AB ＝3a ，A 、B 、C 三点互不重合∴a＞0， 若点A 在 B 、C 之间，则 AB+AC ＝BC， 即 2a+1+3a ＝a+4， 解得 a = , 故 A 情况存在， 若点 B 在 A 、C 之间， 则 BC+AB ＝AC， 即 a+4+3a ＝2a+1， 解得 a = ﹣ , 故 B 情况不存在， 若点 C 在 A 、B 之间， 则 BC+AC ＝AB， 即 a+4+2a+1 ＝3a， 此时无解， 故 C 情况不存在， ∵互不重合的A 、B 、C 三点在同一直线上， 故选：A． 【点评】本题主要考查两点间的距离及整式的加减，分类讨论和反证法的应用是解题的关键． 5 ．【答案】C 【分析】根据角度之间的和差关系，计算∠AOC 的度数，即可解答． 【解答】解： ∵ ∠AOB ＝66 ° , ∠BOC ＝28 ° , ∴ ∠AOC ＝66 °﹣28 ° =38 ° , ：郑成功纪念馆在日光岩的北偏西 38 o 方向，故选：C． 【点评】本题主要考查了方位角，解题的关键是根据图形得出角度之间的和差关系． 6 ．【答案】A 【分析】利用LAOC ＝90 o ，L 1 ＝23 o ，进而求出LBOC 的度数，利用平角的定义可知LBOD ＝180 o ，即可求出L2 的度数． 【解答】解： 丫LAOC ＝90 o ，L 1 ＝23 o ， ：LBOC ＝90 o _ 23 o ＝67 o ， 丫点 B ，O ，D 在同一直线上， ：LBOD ＝180 o ， ：L2 ＝180 o _ LBOC ＝180 o _ 67 o ＝113 o ． 故选：A． 【点评】本题考查了角的概念，做题关键是要掌握平角的定义． 7 ．【答案】A 【分析】先由线段中点的定义得到，则 CD ＝BC _ BD ＝AC _ BD， 即可判断①②；根据 CD ＝AD_ AC 即可判断③；根据即可判断④ . 【解答】解： 丫点 C 为线段 AB 的中点，D 为 CB 的中点， : , ：CD ＝BC _ BD ＝AC _ BD ， ，故①②正确； 丫CD ＝AD _ AC， ：CD ＝AD _ BC，故③正确； 丫 ， ：BC ＝2AD _ AB ，故④正确； 故选：A． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，解答本题的关键是熟练掌握两点间的距离公式． 8 ．【答案】B 【分析】根据补角以及角平分线的定义解决此题． 【解答】解： ①由∠DOE ＝90 ° , 得∠AOD+∠BOE ＝180 °﹣ ∠DOE ＝90 ° , 那么∠AOD 与∠BOE 互为余角，故①正确． ②由 OC 平分∠AOE ，得∠AOC = ∠COE ，无法推断得到∠AOD = ∠COE ，故②错误． ③设∠COD ＝x ，由∠DOE ＝90 ° , 得∠COE ＝90 °﹣x ．由 OC 平分∠AOE ，得∠AOC = ∠COE ，那么∠AOD ＝90 °﹣2x ，进而推断出∠BOE ＝2x ，也就是说∠BOE ＝2∠COD ，故③正确． ④由∠BOE ＝58 ° , 得∠AOE ＝180 °﹣ ∠BOE ＝122 ° . 由 OC 平分∠AOE，得∠COE ＝ ＝61 ° ,故④正确． 综上：正确的有①③④ . 故选：B． 【点评】本题主要考查角平分线、补角，熟练掌握角平分线的定义以及补角的定义是解决本题的关键． 9 ．【答案】B 【分析】根据题意可以设出线段 OP 的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决． 【解答】解：设 OP 的长度为 8a， ∵OA：AP ＝1 ：3 ，OB：BP ＝3 ：5， ∴OA ＝2a ，AP ＝6a ，OB ＝3a ，BP ＝5a， 又∵先固定 B 点，将 OB 折向 BP ，使得 OB 重迭在 BP 上，如图（二），再从图（二） 的 A 点及与 A 点重迭处一起剪开，使得细线分成三段， ∴这三段从小到大的长度分别是：2a 、2a 、4a， ∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a ＝1 ：1 ：2， 故选：B． 【点评】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度． 10 ．【答案】B 【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 【解答】解：依据垂线段最短， 以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：B． 【点评】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短 ”和“垂线段最短 ”这两个中去选择． 11．【答案】A 【分析】根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可． 【解答】解：如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l， ∴点 M 到直线 l 的距离是垂线段 MC 的长度，为 2cm，故选：A． 【点评】本题主要考查了点到直线的距离，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质． 12 ．【答案】D 【分析】有公共端点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断 A；有公共端点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，据此可判断 B；过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，据此可判断 C；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可判断 D． 【解答】解：A 、相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意； B 、两个角的和为 180 ° , 那个这两个角不一定互为邻补角，错误，不符合题意； C、过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，错误，不符合题意； D 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意；故选：D． 【点评】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，垂线的定义等等，熟知相关知识是解题的关键． 13 ．【答案】C 【分析】根据垂线段的性质：从直线外的一点与直线上各点连线的线段中，垂线段最短即可得出结论． 【解答】解：如图， ∵CP⊥AB， ∴CP≤AC， ∵AC ＝3 ， ∴CP≤3， ∴PC≤3， ∴CP 长的最大值为 3，故选：C． 【点评】本题主要考查了垂线段的性质，熟记从直线外的一点与直线上各点连线的线段中，垂线段最短是解题的关键． 二．填空题（共 7 小题） 14 ．【答案】见试题解答内容 【分析】根据点动成线分析即可． 【解答】解：雨滴滴下来形成雨丝属于点动成线． 故答案为：点动成线． 【点评】此题考查点、线、面、体，关键是根据点动成线解答． 15 ．【答案】见试题解答内容 【分析】根据度分秒的进制进行计算即可解答． 【解答】解：77 °42 ′+32 °48 ′ = 109 °90 ′ = 110 °30 ′ = 110.5 ° . 故答案为：110.5． 【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 16 ．【答案】20． 【分析】根据线段的中点的含义可得答案． 【解答】解： 丫AB ＝AC，点 D ，E 分别是 AB ，AC 的中点， ：AD ＝AE ＝BD ＝CE ＝20cm． 故答案为：20． 【点评】本题考查的是直线、射线、线段，熟练掌握线段的中点的含义是解题的关键． 17 ．【答案】85 o ． 【分析】先根据题意得到LCBD ＝80 o ，LBAE ＝45 o ，L CAE ＝15 o ，BD聂AE，进而求出LBAC ＝60 o ， LABC ＝35 o ，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：如图所示，L CBD ＝80 o ，LBAE ＝45 o ，L CAE ＝15 o ，BD聂AE， ：LABD ＝LBAE ＝45 o ，LBAC ＝LBAE+L CAE ＝60 o ， ：LABC ＝L CBD _ LABD ＝35 o ， ：LACB ＝180 o _ LBAC _ LABC ＝180 o _ 60 o _ 35 o ＝85 o ， 故答案为：85 o ． 【点评】本题主要考查了方位角有关的计算，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 18 ．【答案】见试题解答内容 【分析】根据垂线、角之间的和与差，即可解答． 【解答】解： 丫OE丄AB， ：LAOE ＝LEOB ＝90 o ， 丫LEOD ＝38 o ， ：LBOD ＝LEOB _ LEOD ＝90 o _ 38 o ＝52 o ， ：LBOC ＝180 o _ LDOB ＝180 o _ 52 o ＝128 o ， 故答案为：128． 【点评】本题考查了垂线，解决本题的关键是利用角之间的关系解答． 19 ．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，结合图形，利用已知条件及角的和差关系，求∠COD 度数． 【解答】解： ①当射线 OC 在射线 OA 上方，射线 OD 在射线 OB 下方时，如图， ∵ ∠AOB ＝22.5 ° , ∠AOC = ∠AOB ＝22.5 ° , ∠BOD ＝2∠AOB ＝45 ° , ∴ ∠COD = ∠AOC+∠AOB+∠BOD =22.5 °+22.5 °+45 ° =90 ° , ∴OC 与 OD 的位置关系是垂直． ②当射线 OC 在射线 OA 上方，射线 OD 在射线 OB 上方时， 由题意可知， ∠BOC = ∠BOD ＝45 ° , 此时射线 OC 和射线 OD 重合．故填垂直或重合． 【点评】先利用角的和差关系求得这个角是 90 ° , 再由垂线的定义可得，两直线垂直． 20 ．【答案】30 ° , 30 °或 110 ° , 70 ° . 【分析】如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；设出一个角的度数，表达另一个角的度数，根据结论建立等式，解方程即可． 【解答】解：如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；设另一个角的度数为α , 则一个角的度数为 2α﹣30 ° , 根据题意可得，α =2α﹣30 °或α+2α﹣30 ° = 180 ° , 解得α =30 °或α =70 ° , 当α =30 °时，2α﹣30 ° =30 ° , 当α =70 °时，2α﹣30 ° = 110 ° , ∴这两个角的度数为 30 ° , 30 °或 110 ° , 70 ° . 故答案为：30 ° , 30 °或 110 ° , 70 ° . 【点评】本题主要考查了垂直的定义，在解题的过程中，要注意分类讨论． 三．解答题（共 10 小题） 21 ．【答案】（1）45；（2）；（3）该平面上共有 20 个点． 【分析】（1）根据前几个图形中点与直线的个数关系可得规律，n 个点有条直线，据此规律求 解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据（2）所求可得方程 ，解方程，看方程是否有正整数解即可． 【解答】解：（1）2 个点有 1 条直线， 3 个点有条直线， 4 个点有条直线， 5 个点有条直线， ……, ∴n 个点有条直线， ∴当点数 n ＝10 时，（条）； 故答案为：45； （2） 由（1）可知，；故答案为：； （3）当时，整理得：n2﹣n﹣380 ＝0． 解得 n ＝20 ，或 n = ﹣ 19（不合题意，舍去）． 答：该平面上共有 20 个点． 【点评】本题考查规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结出一般规律． 22 ．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据∠BOD = ∠DOC+∠BOC，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DOC 和∠ BOC 即可； （2）根据∠DOC 与∠COE 互余即可得出∠COE 的度数，由（1）可知∠BOC ＝130 ° , 那么∠BOE = ∠ BOC﹣ ∠COE ＝65 ° , 进而可得出结论，从而求解． 【解答】解：（1）因为∠AOC ＝50 ° , OD 平分∠AOC， 所以∠DOC = ∠AOC ＝25 ° , ∠BOC ＝180 °﹣ ∠AOC ＝130 ° , 所以∠BOD = ∠DOC+∠BOC ＝155 ° ; （2）OE 平分∠BOC ．理由如下： ∵ ∠DOE ＝90 ° , ∠DOC ＝25 ° , ∴ ∠COE ＝90 °﹣25 ° =65 ° , ∵ ∠BOC ＝130 ° , ∴ ∠BOE = ∠BOC﹣ ∠COE ＝130 °﹣65 ° =65 ° , ∴ ∠COE = ∠BOE， ∴OE 平分∠BOC． 【点评】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键． 23 ．【答案】（1） ①1cm ， ②（ a﹣b）cm； （2）30cm． 【分析】（1） ①②根据线段中点的定义及各线段之间的数量关系解答即可； （2）设 BD 的长度为未知数，根据线段中点的定义及各线段之间的数量关系列方程并求解，进而求出AC 的长度． 【解答】解：（1） ①∵AB ＝8cm ，BC ＝6cm， ∴AC ＝AB+BC ＝14（cm）， ∵D 为线段 AC 的中点， ∴BD ＝CD﹣BC ＝1（cm）． ②∵D 为线段 AC 的中点， （2）设 BD ＝x cm ，那么AB ＝4x cm ，CD ＝3x cm． ∵E 为线段 AB 的中点， ∴DE ＝BE﹣BD ＝x（cm）， ∴EC ＝DE+CD ＝4x ＝20， ∴x ＝5， ∴AC ＝AE+EC ＝2x+20 ＝2×5+20 ＝30（cm）． 【点评】本题考查两点间的距离及列代数式，掌握中点的定义并弄清各线段之间的数量关系是本题的关键． 24 ．【答案】（1）110 ° ; （2）72 ° . 【分析】（1）根据角平分线的定义，得出∠AOF = ∠DOF，利用∠COF= ∠COA+∠AOF 计算即可得解； （2）根据∠AOC：∠COE ＝2：3 与∠AOC+∠COE+∠EOB ＝180 ° , 求出∠AOC，再利用∠AOF+∠FOD+ ∠BOD ＝180 °解答即可． 【解答】解：（1） ∵OF 平分∠AOD ， ∠BOD ＝40 ° , ∴ ∠AOF= ∠DOF＝（ 180 °﹣40 ° ) ÷2 ＝70 ° , ∵ ∠COA ＝40 ° , ∴ ∠COF= ∠COA+∠AOF＝40 °+70 ° = 110 ° ; （2） ∵ ∠AOC： ∠COE ＝2 ：3， 设∠AOC ＝x ，则∠COE ＝x ， ∵ ∠AOC+∠COE+∠EOB ＝180 ° , 解得：x ＝36 ° , ∵ ∠BOD = ∠AOC ＝36 ° , ∠AOF= ∠DOF， ∠AOF+∠FOD+∠BOD ＝180 ° , ∴2∠DOF+36 ° = 180 ° , 解得： ∠DOF＝72 ° . 【点评】本题考查了垂线、角平分线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键． 25 ．【答案】（1）64； （2）LBOD ＝30 o ； （3）LEOF＝2LDOG 或LEOF+LDOG ＝45 o ． 【分析】（1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用LBOD 表示LEOF，LDOG ，进而答案即可． 【解答】解：（1）如图 1 ，由于射线 OE 是LAOD 的“好线 ”， 当LDOE+LAOD ＝180 o 时，丫LAOD+LBOD ＝180 o ， ：L DOE ＝LBOD ＝26 o ， 丫OC丄OD， ：L COD ＝90 o ， ：L COE ＝90 o _ 26 o ＝64 o ，故答案为：64； （2）若 OE 恰好平分LAOC， ：LAOE ＝L COE ＝LBOD， （3）LEOF＝2LDOG 或LEOF+LDOG ＝45 o ，理由如下：如图 2 _ 1 ，由于射线 OE 是LAOD 的“好线 ”， 当LAOE+LAOD ＝180 o 时， 丫LAOD+LBOD ＝180 o ， ：LAOE ＝LBOD， 丫OF 是LAOE 的平分线， ：OG 是LBOC 的平分线， ：L BOG ＝LBOC ＝x （90 o + LBOD） ＝45 o +LBOD， ：LEOF+LDOG ＝45 o ， 如图 2 _ 2 ，由于射线 OE 是LAOD 的“好线 ”， 当∠AOE+∠AOD ＝180 °时， ∵ ∠AOD+∠EOD ＝180 ° , ∴ ∠DOE = ∠BOD， = （90 °+ ∠BOD）﹣ ∠BOD =90 °﹣ ∠BOD， ∴ ∠EOF＝2∠DOG， 综上所述∠EOF＝2∠DOG 或∠EOF+∠DOG ＝45 ° . 【点评】本题考查角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角的定义，理解“好线 ”的定义是正确解答的关键． 26 ．【答案】（1）见详解；（2） ∠AOC 的度数为 60 ° , ∠MOD 的度数为 150 ° . 【分析】（1）根据垂直定义可得，∠AOC+∠1 ＝90 ° , 结合已知∠1 = ∠2 可得∠CON＝90 ° , 再根据∠ CON 与∠NOD 互补，即可解答； （2）根据∠AOM＝90 ° , 可得∠AOC ＝90 °﹣ ∠1 ，再根据∠AOD+∠AOC ＝180 ° , ∠AOD ＝4∠1 ，从而求出∠1 的度数，即可求出∠AOC 和∠MOD 的度数． 【解答】（1）证明： ∵OM⊥AB， ∴ ∠AOM＝90 ° , ∴ ∠AOC+∠1 ＝90 ° , ∵ ∠1 = ∠2， ∴ ∠AOC+∠2 ＝90 ° , 即∠NOC ＝90 ° , ∴ ∠NOD ＝180 °﹣ ∠NOC ＝90 ° . ∴ ∠NOD 的度数为 90 ° ; ∴ON⊥CD （2）解： ∵OM⊥AB， ∴ ∠BOM＝90 ° , ∵ ∠BOC ＝4∠1， ∴ ∠BOM+∠1 ＝4∠1 ，即 90 °+ ∠1 ＝4∠1， 解得∠1 ＝30 ° , ∴ ∠AOC ＝90 °﹣30 ° =60 ° , ∠MOD ＝180 °﹣ ∠1 ＝150 ° . ∴ ∠AOC 的度数为 60 ° , ∠MOD 的度数为 150 ° . 【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 27 ．【答案】54 ° . 【分析】先由对顶角相等得到∠COD = ∠MON＝70 ° , 设∠AOC ＝x ，则∠BOC ＝3x ， ∠AOD ＝x+70 ° , ∠BOD ＝3x ﹣70 ° , 再由∠AOD ＝2∠BOD 得到 x+70 ° =2（3x ﹣70 ° ) , 解方程求出 BOC ＝126 ° , 则∠BON＝180 °﹣ ∠BOC ＝54 ° . 【解答】解： ∵ ∠MON＝70 ° , ∴ ∠COD = ∠MON＝70 ° , 设∠AOC ＝x ，则∠BOC ＝3x ， ∠AOD ＝x+70 ° , ∴ ∠BOD ＝3x﹣70 ° , ∵ ∠AOD ＝2∠BOD， ∴x+70 ° =2（3x﹣70 ° ) , 解得 x ＝42 ° , ∴BOC ＝126 ° , ∴ ∠BON＝180 °﹣ ∠BOC ＝54 ° . 【点评】此题主要考查了角的计算，关键是掌握邻补角互补． 28 ．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据垂直定义可得∠AOM＝90 ° , 进而可得∠1+∠AOC ＝90 ° , 再利用等量代换可得到∠ 2+∠AOC ＝90 ° , 从而可得 ON⊥CD； （2）根据垂直定义和条件可得∠1 ＝30 ° , ∠BOC ＝120 ° , 再根据邻补角定义可得∠MOD 的度数． 【解答】解：（1）ON⊥CD． 理由如下： ∵OM⊥AB， ∴ ∠AOM＝90 ° , ∴ ∠1+∠AOC ＝90 ° , 又∵∠1 = ∠2， ∴ ∠2+∠AOC ＝90 ° , 即∠CON＝90 ° , ∴ON⊥CD． （2） ∵OM⊥AB ， ∠BOC ＝4∠1， ∴ ∠1 ＝30 ° , ∠BOC ＝120 ° , 又∵∠1+∠MOD ＝180 ° , ∴ ∠MOD ＝180 °﹣ ∠1 ＝150 ° . 【点评】此题主要垂直定义，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 29 ．【答案】（1）130 ° ；（2）24 秒；（3）9 秒、27 秒或 45 秒． 【分析】（1）根据∠AOB ＝180 °﹣ ∠AOM﹣ ∠BON 计算即可． （2）构建方程求解即可． （3）分两种情形，分别构建方程求解即可． 【解答】解：（1）当 t ＝5 时， ∠AOB ＝180 °﹣4 ° ×5 ﹣6 ° ×5 ＝130 ° . （2）依题意，得：4t+6t ＝180+60， 解得 t ＝24， 答：当∠AOB 第二次达到 60 °时，t 的值为 24 秒． （3）当 0≤t ≤18 时，180﹣4t﹣6t ＝90， 解得 t ＝9， 当 18≤t ≤60 时，4t+6t ＝180+90 或 4t+6t ＝180+270，解得 t ＝27 或 t ＝45． 答：在旋转过程中存在这样的 t ，使得射线 OB 与射线 OA 垂直，t 的值为 9 秒、27 秒或 45 秒． 【点评】本题考查垂线，一元一次方程的应用，角的计算等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 30 ．【答案】（1） ∠EOC ＝44 ° ; （2）n ＝2； （3）． 【分析】（1）根据同角的补角相等可得∠AOD = ∠COD ＝24 ° , 即可算出∠AOC 的度数，根据平角的性质可得∠BOC 的度数， 由 n ＝3 ，即可算出∠EOC 的度数，再根据∠EOD = ∠COD+∠EOC 代入计算即可得出答案； （2）设∠AOD ＝x ，根据同角的补角相等可得∠AOD = ∠COD ＝x ，即可算出∠AOC 的度数，根据平角的性质可得∠BOC 的度数，根据垂线的性质，可得∠DOE ＝90 ° , 即可算出∠COE ＝90 °﹣ ∠COD 的度数，由∠BOC ＝n ∠EOC，代入计算即可算出 n 的值； （3）根据同角的补角相等可得∠AOD = ∠COD = α , 即可算出∠AOC 关于α 的表达式，根据平角的性质可得∠BOC 关于α 的表达式， 由 n ＝4 ，即可得出∠BOC ＝4∠EOC，代入计算即可得出∠EOC 关于α 的 表达式，再根据∠EOD = ∠COD+∠EOC 代入计算即可得出答案． 【解答】解：（1） ∵ ∠BOD+∠AOD ＝180 ° , ∠BOD+∠COD ＝180 ° , ∴ ∠AOD = ∠COD ＝24 ° , ∴ ∠AOC = ∠AOD+∠COD ＝48 ° , ∴ ∠BOC ＝180 °﹣ ∠AOC ＝180 °﹣48 ° = 132 ° , ∵n ＝3， ∴ ∠BOC ＝3∠EOC ＝132 ° , ∴ , ∠EOD = ∠COD+∠EOC ＝24 °+44 ° =68 ° ; （2）设∠AOD ＝x， ∵ ∠BOD+∠AOD ＝180 ° , ∠BOD+∠COD ＝180 ° , ∴ ∠AOD = ∠COD ＝x， ∴ ∠AOC = ∠AOD+∠COD ＝x+x ＝2x， ∴ ∠BOC ＝180 °﹣ ∠AOC ＝180 °﹣2x， ∵DO⊥OE， ∴ ∠DOE ＝90 ° , ∴ ∠COE ＝90 °﹣ ∠COD ＝90 °﹣x， ∵ ∠BOC ＝n ∠EOC， ∴ 180 °﹣2x ＝n（90 °﹣x）， ∴n ＝2； （3） ∵ ∠BOD+∠AOD ＝180 ° , ∠BOD+∠COD ＝180 ° , ∴ ∠AOD = ∠COD = α , ∴ ∠AOC = ∠AOD+∠COD = α+α =2α , ∴ ∠BOC ＝180 °﹣ ∠AOC ＝180 °﹣2α , ∵n ＝4， ∴ ∠BOC ＝4∠EOC ＝180 °﹣2α , ∴ =45， 【点评】本题主要考查了垂线的性质，余角和补角及角的计算，熟练掌握垂线的性质，余角和补角及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $