2.4 单摆 同步练-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

**基本信息** 分层递进式设计，覆盖单摆模型建构、周期规律应用及等效摆综合问题，强化物理观念与科学思维的进阶培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |备考练习一|单摆模型条件、回复力来源及运动参量分析|以概念填空（如模型组成条件）和情境辨析题（如秋千简化模型）为主，夯实物理观念| |备考练习二|周期公式、振动图像及机械能与向心力综合|结合图像分析（如x-t图周期计算）和实验数据处理（如摆长测量），培养科学推理能力| |备考练习三|等效摆长、等效加速度及实际应用|通过双线摆、斜面单摆等复杂情境，考查模型迁移与等效替代思想，提升问题解决能力|

779038077———理解为王——物理快乐学 2 / 5 2.4 单摆 一、单摆 1．单摆模型 （1）由细线和_______组成。 （2）细线的质量和小球相比________。 （3）小球的直径与线的长度相比________。 2．摆动特点：在摆角很小时，位移—时间图线是一条正弦曲线，说明单摆的运动是________。 二、单摆的回复力 3.回复力的来源：摆球的重力沿________________方向的分力，即F＝________。 4. 回复力的特点：在摆角很________时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总指向________________，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 备考练习一： 1、 单摆模型：对称性、条件 2、 回复力（合力）、速度、加速度、位移的分析 1．如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（　　） A．摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用 B．摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零 C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大 D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 2．荡秋千是深受小朋友喜欢的游乐活动。秋千由坐板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆模型，人和坐板可视为“摆球”，如图所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．“摆球”所受重力和绳的拉力的合力提供“摆球”做简谐运动的回复力 B．远离最低点运动的过程中，“摆球”的动能逐渐增大 C．经过最低点时“摆球”处于平衡状态 D．“摆球”经过最低点时开始计时，则经过四分之一周期“摆球”相对最低点的位移最大 3．（多选）如图（甲）所示，小球在内壁光滑的固定半圆形轨道最低点附近做小角度振动，其振动图像如图（乙）所示，以下说法正确的是（　　） A．t1时刻小球速度为零，轨道对它的支持力最小 B．t2时刻小球速度最大，小球的回复力最大 C．t3时刻小球速度为零，小球的合力为零 D．t3时刻到t4时刻的过程中，轨道对小球的支持力变大 4．如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（　　） A．摆球在B点时，动能最小，回复力最小 B．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 C．摆球在B点时，重力势能最小，机械能最小 D．摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 5．（多选）关于在小角度下摆动的单摆时，下列说法中正确的是（　　） A．摆球经过平衡位置时，加速度不为零 B．摆球运动的回复力是它受到的合力 C．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度是相同的 D．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 6．图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中，下列说法正确的是（　　） A．摆球从A点运动到B点速度逐渐减小 B．摆球从B点运动到C点重力势能逐渐减小 C．摆球在C点处，速度为零，回复力为零 D．摆球在B点处，速度最大，向心力最大 7．如图所示，A、B两方物块（可视为质点）在半径为R的光滑球面内C与两点间一起做简谐运动，O为最低点，当位移为x时，A、B系统的回复力为F。A、B的总重量为G，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．A、B经过O点时均处于平衡状态 B． C．由O点向C点运动的过程中，A受到的摩擦力逐渐增大 D．经过O点时，将A取走，B的振幅将增大 779038077———理解为王——物理快乐学 2 / 5 试卷第1页，共3页 每个知识点两个按照2-3-3练习（简、中、难——多为期中、期末、高考真题）——全面掌握 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【详解】A．球受到重力、拉力两个力的作用，向心力、回复力只是效果力，故A错误； B．摆球在A点和C点处，速度为零，所需向心力为0，合力等于回复力，不为零，故B错误； CD．摆球在B点处，速度最大，根据牛顿第二定律可得 可知此时细线拉力最大；但此时重力沿切线方向的分力为零，回复力为零，故C正确，D错误。 故选C。 2．D 【详解】A．“摆球”所受重力在垂直摆线方向的分力提供“摆球”做简谐运动的回复力，故A错误； B．远离最低点运动的过程中，动能减小，故B错误； C．经过最低点时“摆球”有向心加速度，不是处于平衡状态，故C错误； D．“摆球”经过最低点时开始计时，则经过四分之一周期“摆球”到达最大位移处，相对最低点的位移最大，故D正确。 故选D。 3．AD 【详解】A．小球做小角度振动，则小球的运动可以近似看为简谐运动，t1时刻小球相对于平衡位置位移最大，即小球运动到了最高点，可知，此时小球速度为零，轨道对它的支持力最小，故A正确； B．结合上述，t2时刻小球处于简谐运动的平衡位置，小球的速度最大，小球的回复力最小，故B错误； C．t3时刻小球相对于平衡位置位移最大，即小球运动到了最高点，可知，此时小球速度为零，小球的合力不为零，故C错误； D．t3时刻到t4时刻的过程中，小球由最高点运动到最低点，速度增大，沿半径方向的合力增大，重力沿半径方向的分力增大，则轨道对小球的支持力变大，故D正确。 故选AD。 4．D 【详解】A．单摆近似可以看作简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，摆球的速度最大，动能最大，回复力为零，故A错误； B．假设单摆摆动过程中，细线与竖直方向夹角为θ，重力沿细线方向分力为mgcos θ，垂直于细线方向分力为mgsinθ。摆球做圆周运动，摆球由A点向B点摆动过程中，有 摆球由A点向B点摆动过程中减小，速度逐渐增大，可知细线拉力增大，回复力减小，故B错误； C．摆球运动过程中，机械能守恒，在最低点B处，动能最大，重力势能最小，故C错误。 D．摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，结合选项B分析可知，此时细线拉力最小，回复力最大，故D正确。 故选D。 5．AC 【详解】A．摆球摆动过程中，经过平衡位置时，受重力和拉力，合力提供向心力，则加速度不为零，故A正确； B．单摆在运动过程中的回复力是重力沿圆弧方向上切向分力，故B错误； C．摆球在运动过程中，经过轨迹上的同一点时，受力不变，则加速度是相同的，故C正确； D．单摆过平衡位置时，由于具有向心加速度，加速度的方向不是始终指向平衡位置，故D错误； 故选AC。 6．D 【详解】A．摆球从A点运动到B点，重力势能转化为动能，速度逐渐增大，故A错误； B．摆球从B点运动到C点重力势能逐渐增大，故B错误； C．摆球在C点处，速度为零，回复力最大，故C错误； D．摆球在B点处，速度最大，向心力最大，故D正确。 故选D。 7．B 【详解】A．A、B经过O点时的向心加速度不为零，处于非平衡状态，故A错误； B．设当位移为x时，摆线与竖直方向的夹角为，当夹角较小时，有 对两物块进行受力分析可得 联立得回复力的大小为 考虑回复力的方向，故B正确； C．由O点向C点运动的过程中，位移为y，摆线与竖直方向的夹角为，以A、B整体为研究对象，在速度方向有 对A进行受力分析可得 由题意可得 联立解得 故C错误； D．单摆的振幅与物体的质量无关，所以将A取走，B的振幅不变，故D错误。 故选B。 三、单摆的周期 5．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响 （1）探究方法：___________法。 （2）实验结论： ①单摆振动的周期与摆球质量______。 ②振幅较小时周期与振幅_____。 ③摆长越长，周期_______；摆长越短，周期______。 6．定量探究单摆的周期与摆长的关系 （1）周期的测量：用停表测出单摆N（30~50）次全振动的时间t，利用T＝_____计算它的周期。 （2）摆长的测量：用_______测出细线长度l0，用______测出小球直径D，利用l＝______求出摆长。 （3）数据处理：改变_______，测量不同_______及对应周期，作出T-l，T-l2或图像，得出结论。 7．周期公式 （1）公式的提出：周期公式是荷兰物理学家_______首先提出的。 （2）公式：T＝_______，即T与摆长l的二次方根成_______，与重力加速度g的二次方根成______。 备考训练二、 1、 单摆周期公式： 2、 振动图像： 3、 机械能与向心力： 8．如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A． 摆长为1.6m，起始时刻速度最大 B． 摆长为2.5m，起始时刻速度为零 C． 摆长为1.6m，A、C点的速度相同 D． 摆长为2.5m，A、B点的速度相同 9．（多选）单摆在小角度范围内摆动，摆球0时刻从最高点由静止释放，摆动过程中动能和重力势能随时间变化的图像如图所示，下列说法正确的有（　　） A． 实线表示的是重力势能的变化 B． 虚线表示的是重力势能的变化 C． 单摆的周期为 D． 在至时间内，小球受到的回复力增大 10．（多选）如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是（　　） A．甲、乙两摆的振幅之比为1:2 B．甲、乙两摆的摆长之比为4:1 C．t=2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零 D．t=4s时，乙摆的速度方向与正方向相反 11．图甲所示的单摆在竖直面内做简谐振动，时刻，在A点由静止释放小球，小球在A、B间做往复振动，其振动图像如图乙所示，用游标卡尺测得小球的直径，重力加速度。 (1)写出小球做简谐运动的振动方程。 (2)求出摆线的长。 12．如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a。绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x—t关系的是（   ） A．B．C．D． 13．（多选）如图甲，O为单摆的悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，为摆球从A点开始运动的时刻，取。下列说法正确的有（　　） A．时小球第一次摆到C点 B．单摆的周期为 C．小球质量为 D．单摆的摆长为 14．（多选）如图所示，A球在轻绳的作用下在竖直面内摆动，B球在轻绳的作用下在水平面内做匀速圆周运动。两小球质量相同，均可视为质点。连接两小球的轻绳长度相同，A球轻绳与竖直方向所成的最大角度和B球轻绳与竖直方向所成的夹角均为θ（θ < 5°）。下列说法中正确的是（　　） A．A、B两球运动的周期之比为1∶1 B．图示位置A、B两球所受轻绳拉力大小之比为 C．A球的最大向心力大小与B球的向心力大小之比为 D．A球的最大动能与B球的动能之比为 备考训练三：等效单摆 1、 等效摆长 2、 等效加速度 15．如图所示，圆弧AO是一段半径为R的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长为l，（）现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端的速度分别为和，经历的时间分别为和，那么（　　） A．， B．， C．， D．， 16．如图甲所示，一匀质小球在圆弧球面上的运动可视为简谐运动。圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．小球运动的周期为 B．小球运动的周期与小球的半径无关 C．时，小球的加速度不为0 D．若将小球从较A点更低的位置（非O点）由静止释放，则小球运动的周期会小于 17．如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时。然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，则下列说法正确的是（　　） A．双线摆的摆角越小，则周期越小 B．双线摆的振动周期 C．双线摆的等效摆长 D．静止释放瞬间，小球的回复力为零 18．某同学用单摆原理测量放在水平桌面上的一正方体物体的高度，将摆长的单摆上端用图钉固定在正方体物体的上沿，摆球静止时，细线恰好与正方形物体右侧面接触且保持竖直。让单摆在垂直于物体右侧面的竖直平面内摆动，如图所示。从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点时用了18.0s，A、C两点是摆球运动的两端点。取当地重力加速度大小，根据以上数据求正方体物体的高度h。 19．如图所示，一根不可伸长的细绳下端拴一小钢球，上端系在位于光滑斜面O处的钉子上，小球处于静止状态，细绳与斜面平行。现使小球获得一平行于斜面底边的初速度，使小球偏离平衡位置，最大偏角小于5°。已知斜面倾角为θ，悬点到小球球心的距离为L，重力加速度为g。则小球回到最低点所需的最短时间为（　　） A． B． C． D． 20．一根长为的细绳穿过质量为m的光滑小球，细绳悬挂在间距为两根竖直杆上的两点，已知两点高度差为L，则下列说法正确的是（　　） A．此时细绳拉力为 B．略微减小高度差，细绳拉力减小 C．若小球做垂直于纸面的小角度摆动，假设小球在细绳上的相对位置不发生变化，则周期为 D．若小球做垂直于纸面的小角度摆动，假设小球在细绳上的相对位置不发生变化，则周期为 779038077———理解为王——物理快乐学 2 / 5 779038077———理解为王——物理快乐学 2 / 5 每个知识点两个按照2-3-3练习（简、中、难——多为期中、期末、高考真题）——全面掌握 每个知识点两个按照2-3-3练习（简、中、难——多为期中、期末、高考真题）——全面掌握 学科网（北京）股份有限公司 15．B 【详解】因为AO弧长远小于半径，所以小球从A、B处沿圆弧滑下可等效成单摆，即做简谐运动，单摆的周期与振幅无关 根据机械能守恒定律得 因为 解得，故选B。 16．C 【详解】A．小球每次经过A点或B点时，压力传感器示数最小，小球经过O点时，压力传感器示数最大，小球从A点由静止释放，分析题图乙可知，小球在时刻回到A点，可知小球运动的周期为，故A错误； B．由于图甲中小球的运动可类比于单摆运动，摆长等于圆弧球面半径与小球半径之差，故B错误； C．由图乙可知，时，小球经过O点，小球有竖直向上的向心加速度，故C正确； D．小球做简谐运动的周期与振幅无关，若将小球从较A点更低的位置（非O点）由静止释放，小球运动的周期仍为，故D错误。 故选C。 17．B 【详解】A．双线摆可等效为单摆，在摆角较小时，根据周期公式有 可知周期与摆角大小无关，故A错误； B．当计数器显示计数次数为时，小球经过平衡位置次，则有 解得单摆的周期，故B正确； C．双线摆的等效摆长为，故C错误； D．由静止释放瞬间，小球偏离平衡位置，即小球相对于平衡位置的位移不等于0，则回复力不为零，故D错误。 故选B。 18． 【详解】单摆完成全振动的次数 解得 次 单摆的周期 解得 解得 19．C 【详解】因为小球偏离平衡位置，最大偏角小于5°，小球的运动可以看作单摆，根据牛顿第二定律理单摆的周期公式 小球回到最低点所需的最短时间为 解得 故选C。 20．D 【详解】A．设细绳左段长为，右段长为，总长 由于小球光滑，细绳两侧张力大小相等，根据水平方向受力平衡，两侧绳子与水平方向的夹角相等。水平方向投影长度之和等于两杆间距：，，，解得 对小球进行受力分析，竖直方向上，两段绳子的拉力竖直分量之和等于重力：，。故A错误； B．由可知，绳子与水平方向的夹角仅取决于两杆间距和绳长。题目中两杆间距固定，绳长固定，因此保持不变。拉力也保持不变。略微减小A、B高度差，只会改变小球在绳上的位置（即的分配），但不改变和。故B错误； CD．题目假设“小球在细绳上的相对位置不发生变化”，即和固定。小球做垂直于纸面的小角度摆动，实际上是绕着A、B连线（轴）做微小的圆周运动。这等效为一个单摆。等效摆长：等效摆长为小球P到转轴AB的垂直距离。建立坐标系，设P为原点。由几何关系（，，高度差）：A点坐标：（注意：A在左上方，P在下方，这里取相对位置，A比P高，左）B点坐标：（B比P高，右）直线AB的方程可以通过两点式求得，或者利用面积法求高。 三角形PAB的面积 AB的长度 则P到AB的距离 等效重力加速度：摆动平面垂直于AB。重力在摆动平面内的分量提供回复力。设AB与水平方向夹角为，则 等效重力加速度（重力垂直于转轴的分量） 周期：代入数值： 所以。故C错误，D正确。 故选D。 参考答案 8．C 【详解】由单摆的振动图像可知振动周期为，由单摆的周期公式得摆长为 x-t图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相同，方向不同。 综上所述，可知C正确，故选C。 9．BD 【详解】AB．单摆小角度摆动时，重力势能和动能相互转化，机械能守恒。0时刻摆球从最高点由静止释放，此时重力势能最大，动能为0。摆球向最低点运动时，重力势能减小，动能增大；到达最低点时动能最大，重力势能最小。所以图像中实线表示的是动能的变化，虚线表示的是重力势能的变化，故A错误，B正确； C．由题图可以看出，时间内摆球从最低点运动到了最高点，所用时间应该是单摆周期的，即 所以单摆的周期为，故C错误； D．由C选项可知，时间内摆球从最低点运动到了最高点，其位移增大，则由回复力与位移的关系可知，此过程小球受到的回复力增大，故D正确。 故选BD。 10．CD 【详解】A．由图可知，甲、乙两摆的振幅分别为2cm、1cm，所以甲、乙两摆的振幅之比为2:1，故A错误； B．由图可知，甲、乙两摆的振动周期分别为4s、8s，所以周期之比为1:2，由单摆的周期公式可知，甲、乙两摆的摆长之比为1:4，故B错误； C．t=2s时，甲摆正通过平衡位置，甲摆的重力势能最小，乙摆的位移最大，动能为零，故C正确； D．根据x-t图像的斜率表示速度，可知t=4s时，乙摆的速度方向与正方向相反，故D正确。 故选CD。 11．(1) (2)0.995m 【详解】（1）由图乙可知小球做简谐运动周期T为2s，振幅A为4cm，则小球做简谐运动的振动方程 （2）根据 代入题中数据，解得摆线长 12．A 【详解】小球属于单摆模型，从右向左运动到平衡位置的过程，相当于运动第一个周期，根据单摆周期公式有 从平衡位置向左运动的过程中，相当于运动了第二个周期，有 由此可知，第一个周期的时间长，第二个周期的时间短；结合位移来分析，设竖直位移最大值为h，第一个周期的水平位移最大值 第二个周期的水平位移最大值 可知 xm1 > xm2 故选A。 13．AD 【详解】A．单摆从A点（最高点）释放，t=0时拉力最小（），到最低点B时拉力最大，再到C点（另一最高点）时拉力再次最小。由图乙知，t=0.2πs时第一次摆到C点，A正确； B．由A分析，t=0.2πs为半个周期，故周期T=0.4πs，B错误； C．设最低点最大拉力为，此时小球处于圆周运动最低点，故绳子拉力大于重力。小球的质量应小于0.051kg，C错误： D．由单摆周期公式 代入T=0.4πs，g=10m/s2，解得L=0.4m，D正确。 故选AD。 14．BD 【详解】A．由图可知左图是单摆模型，设轻绳长度为L，小球重力为mg，则单摆的周期 右图是水平面内的匀速圆周运动模型（圆锥摆），由牛顿第二定律分析可知 其周期 所以 故A错误； B．左图A球在该位置的加速度方向沿切线，沿半径方向受力平衡，计算得绳上拉力大小为 右图B球的加速度方向水平，竖直方向受力平衡，计算得绳上拉力大小为 所以 故B正确； C．当左图A球运动到最低点时向心力最大，设此时速度为vA，由动能定理得 所以向心力为 整理得 由平行四边形定则可得，右图B球的向心力计为 所以 故C错误； D．当左图A球运动到最低点时动能最大，结合以上分析得，最大动能为 对右图B球，设其速度为vB，由牛顿第二定律有 故B球动能为 所以 故D正确。 故选BD。 779038077———理解为王——物理快乐学 2 / 5 779038077———理解为王——物理快乐学 2 / 5 试卷第1页，共3页 每个知识点两个按照2-3-3练习（简、中、难——多为期中、期末、高考真题）——全面掌握 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 小球 可以忽略 可以忽略 2．简谐运动 3．圆弧切线 4． 正比 平衡位置 5． 控制变量 无关 无关 越长 越短 6． 刻度尺 游标卡尺 摆长 摆长 7． 惠更斯 正比 反比 每个知识点两个按照2-3-3练习（简、中、难——多为期中、期末、高考真题）——全面掌握 学科网（北京）股份有限公司 $