1.3 矩形的性质与判定（七大题型2）专项练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定的系统性应用，通过分层题型构建从概念理解到综合计算的逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |斜边中线性质|3题|含直角三角形斜边中线计算与证明|以直角三角形性质为基础，延伸矩形对角线特性| |判定定理理解|2题|假命题辨析与作图推理依据|覆盖矩形判定核心定理，强化定理条件认知| |添条件判定|3题|结合平行四边形添加矩形判定条件|体现从平行四边形到矩形的判定转化| |证明矩形|3题|含菱形、坐标系等背景的证明|综合运用性质与判定，构建逻辑推理链| |求角度|3题|矩形中角度计算与多结论判断|性质与三角形内角和等知识融合| |求线段长|3题|含动点、最值问题的线段计算|性质与勾股定理、相似等综合应用| |求面积|3题|矩形与菱形结合的面积计算|面积公式与性质的灵活应用|

1.3 矩形的性质与判定 题型一 斜边的中线等于斜边的一半 1．如图，在中， 为斜边上的中线，点是上方一点，连接 、、，且 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．2 B． C．3 D．7 【答案】B 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而在 中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：在中， 为斜边 上的中线， ， ， ， ， 在 中，． 2．如图，在中，，．若D，E分别是的中点，，则____________． 【答案】 【分析】由三角形中位线定理得到，利用勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 在，，，， ∴， ∵D为的中点， ∴． 3．如图，在中，交的延长线于点， (1)求证：四边形是矩形； (2)已知为的中点，连接，．，，求的长． 【答案】(1)证明： 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 题型二 矩形的判定定理理解 4．下列命题中为假命题的是（     ） A．有三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【详解】解：A、有三个角都是直角的四边形是矩形，是真命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，是真命题； C、对角线互相平分可得四边形是平行四边形，结合对角线相等，可判定该四边形是矩形，是真命题； D、等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形，因此对角线相等的四边形不一定是矩形，原命题是假命题，故选项D符合题意． 5．下面是小强设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图，直线l和直线外一点． 求作：直线，使．    作法：如下图，    ①在直线l上任取两点A，B； ②以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在直线上方相交于点； ③作直线． 则直线就是所求作的直线． 请按要求解答下列问题： (1)请用无刻度的直尺和圆规将小强设计的尺规作图补充完整；（要求：保留作图痕迹，使用铅笔作图） (2)完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形是平行四边形（____________________）（填写推理的依据）． ∴（____________________）（填写推理的依据）． 即． (3)若，可知四边形是矩形（____________________）（填写推理的依据）． 【答案】(1)见解析 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行． (3)有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】（1）根据题目告诉的作图方法进行作图即可； （2）利用平行四边形的性质与判定证明即可； （3）根据矩形的判定填写推论依据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线就是所求作的直线．    （2）证明：， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． （平行四边形的两组对边分别平行）． 即．    （3）若，则可知四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质与判定，矩形的判定定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 题型三 添一条件使四边形是矩形 6．如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C．点在的平分线上 D．点为的中点 【答案】A 【分析】本题考查添加条件使四边形为矩形，先根据，，得到四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为矩形，故A选项符合题意； 当，点在的平分线上，点为的中点时，均不能得到四边形为矩形；故B，C，D选项不符合题意； 故选A． 7．如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 【答案】或（合理即可） 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由矩形的判定，添加或（合理即可）． 8．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定： （1）证明得到，，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形． （2）根据三线合一定理当可得，则可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 又， ． ，， ∴， ∵为的中点， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：添加，可得平行四边形是矩形，理由如下： ， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 题型四 证明四边形是矩形 9．如图，，，于点E．则下列条件中，不能使四边形成为矩形的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，先证明，得出，然后根据矩形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； A．∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形，故A不符合题意； B．∵，， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形，故B不符合题意； C．根据不能判定四边形为矩形，故C不符合题意； D．∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形，故D不符合题意． 故选：C． 10．在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标依次是，则四边形的形状一定为________． 【答案】矩形 【分析】本题考查了坐标与图形性质，矩形的判定．注意矩形判定定理理解． 根据点的坐标特征即可判断的形状． 【详解】解：根据题意，因为、两点横坐标相等，、两点横坐标相等， 所以，轴，轴． ∴． 同理，， ∴四边形是平行四边形； 因为轴，轴 ∴， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 11．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接，过点E，O作的垂线，垂足分别为点F，G． (1)求证：四边形是矩形； (2)如果，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵E是边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，证明为的中位线，则，再结合矩形的判定定理证明即可； （2）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理得出，由直角三角形的性质可得，由等面积法得出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为． 题型五 根据矩形的性质与判定求角度 12．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若，．则下列结论：①FB垂直平分OC；②四边形DEBF为菱形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确； 根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确. 【详解】连接BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AC、BD互相平分， ∵O为AC中点， ∴BD也过O点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°，OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC=OC，∠OBC=60°， ∵FO=FC，BF=BF ∴△OBF≌△CBF（SSS）， ∴△OBF与△CBF关于直线BF对称， ∴FB⊥OC，OM=CM； ∴①正确， ∵AB∥CD， ∴∠OCF=∠OAE， ∵OA=OC， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF，FC=AE， ∴DF=BE，DF∥BE， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∵FO=OE=FC=AE， ∴∠AOE=∠FOM=30°， ∴∠BOF=90°， ∴BE=BF， ∴四边形EBFD是菱形， ∴结论②正确； ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∵FO=OE=FC=AE， ∴∠AOE=∠FOM=30°， ∴∠BOF=90°， ∴FB＞OB， ∵OB=OC， ∴FB＞OC， ∴③错误， 在直角三角形AMB中， ∵∠BAM=30°，∠AMB=90°， ∴AB=2BM， ∴④错误， 设ED与AC的交点为N， 设AE=OE=2x， 则NE=x，BE=4x， ∴AB=6x， ∴BM=3x， ∴ = =3:2， 结论⑤正确. 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键. 13．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠DOE； 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】证明：（1）， ， ， 四边形是矩形； （2）四边形是矩形， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 题型六 根据矩形的性质与判定求线段长 15．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，当取最小值时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行四边形得，．过点作，将点关于对称得，．利用矩形性质证明为定值，故最小值为．设交于点，在中利用三角形内角和证明，从而为中点；同理证明为中点，得；进而得到，在中用勾股定理求，进而求得． 【详解】解：菱形中，，， ，，， 过点作，将点关于对称得， ，， ， 由对称性得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形为平行四边形， ，， 延长交过点平行于的直线于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，均为定值，， 为定值， 由对称性得， ，当且仅当、、三点共线时取等号， 对上任意点，， 设交于点， 是关于的对称点，， ， 又、均在上， ， 在中，， ， 设，则， ， ， ， ， 、、共线， ， ， ， 又， ，即是的中点， 同理可得，即是的中点， ， ， 在中，，， 由勾股定理：， ， ． 16．如图，四边形的对角线与互相垂直平分，若四边形的周长为20，则的长为____________． 【答案】 【详解】解：∵与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∵与互相垂直， ∴四边形是菱形， ∵菱形的周长为20， ∴． 17．如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； (2)1.4 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质得出，根据等边对等角得出，结合角平分线的定义得出，则，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）证明平行四边形是矩形，得出，，，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，从而得出，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中，， 在中， ， ∴， 解得． 题型七 根据矩形的性质与判定求面积 18．如图，P为矩形外一点，，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【分析】过点作，分别交的延长线于点，根据矩形的性质可得，矩形，即可求得． 【详解】如图，过点作，分别交的延长线于点， 四边形是矩形， 矩形，， 四边形是矩形， ， 矩形， ， ． 故选A 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，找到三角形的面积与矩形的面积之间的关系是解题的关键． 19．如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】连接，与交于点F，只要证明四边形是菱形，四边形是平行四边形结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题． 20．如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据矩形面积公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 矩形的性质与判定 题型一 斜边的中线等于斜边的一半 1．如图，在中， 为斜边上的中线，点是上方一点，连接 、、，且 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．2 B． C．3 D．7 2．如图，在中，，．若D，E分别是的中点，，则____________． 3．如图，在中，交的延长线于点， (1)求证：四边形是矩形； (2)已知为的中点，连接，．，，求的长． 题型二 矩形的判定定理理解 4．下列命题中为假命题的是（     ） A．有三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 5．下面是小强设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图，直线l和直线外一点． 求作：直线，使．    作法：如下图，    ①在直线l上任取两点A，B； ②以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在直线上方相交于点； ③作直线． 则直线就是所求作的直线． 请按要求解答下列问题： (1)请用无刻度的直尺和圆规将小强设计的尺规作图补充完整；（要求：保留作图痕迹，使用铅笔作图） (2)完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形是平行四边形（____________________）（填写推理的依据）． ∴（____________________）（填写推理的依据）． 即． (3)若，可知四边形是矩形（____________________）（填写推理的依据）． 题型三 添一条件使四边形是矩形 6．如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C．点在的平分线上 D．点为的中点 7．如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 8．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是矩形． 题型四 证明四边形是矩形 9．如图，，，于点E．则下列条件中，不能使四边形成为矩形的条件是（   ）    A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标依次是，则四边形的形状一定为________． 11．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接，过点E，O作的垂线，垂足分别为点F，G． (1)求证：四边形是矩形； (2)如果，，求矩形的面积． 题型五 根据矩形的性质与判定求角度 12．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若，．则下列结论：①FB垂直平分OC；②四边形DEBF为菱形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 13．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠DOE； 题型六 根据矩形的性质与判定求线段长 15．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，当取最小值时，的长为（   ） A． B． C． D． 16．如图，四边形的对角线与互相垂直平分，若四边形的周长为20，则的长为____________． 17．如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的长． 题型七 根据矩形的性质与判定求面积 18．如图，P为矩形外一点，，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．1.5 D．2.5 19．如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为________． 20．如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $