专题1.2 菱形的性质与判定（十八大题型+过关检测） （小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以“性质-判定-综合应用”为逻辑主线，通过模块化分层训练实现菱形专题从基础到压轴的系统性突破，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用（模块1-4）|4典例+12变式|利用菱形边、角、对角线性质，结合方程思想求角度、线段长、面积及坐标|从定义出发，通过性质推导构建基础计算模型| |判定应用（模块5-6）|2典例+6变式|“边-对角线”判定条件的灵活选择，结合平行四边形性质证明|性质与判定互逆，形成逻辑闭环| |性质与判定综合（模块7-9）|3典例+9变式|性质与判定结合，综合运用三角形全等、勾股定理解决复杂计算|性质为判定提供依据，判定拓展性质应用场景| |微专题（1-3）|3典例+9变式|折叠问题用轴对称性质，规律问题用归纳法，最值问题用转化思想|从特殊情境提炼通用解题策略，培养模型意识| |压轴题（1-2）|2典例+6变式|动点问题用函数建模，旋转问题用全等变换|综合运用几何直观与代数运算，提升创新意识|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.2 菱形的性质与判定》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 利用菱形的性质求角度 模块11含60°角的菱形 模块2 利用菱形的性质求线段长 模块12菱形中的多结论问题 模块3 利用菱形的性质求面积 模块13菱形中的证明 模块4 利用菱形的性质求坐标 微专题1菱形背景下的折叠问题 模块5 添加条件使四边形为菱形 微专题2菱形背景下的探索规律问题 模块6证明四边形为菱形 微专题3利用菱形的性质求最值 模块7利用菱形的性质与判定求角度 压轴1 菱形中的动点问题 模块8 利用菱形的性质与判定求线段长 压轴2 菱形背景下的旋转问题 模块9利用菱形的性质与判定求面积 通关检测·实战演练 模块10 菱形中的尺规作图问题 知识梳理 · 基础溯源 知识点 1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ※菱形的性质： ①具有平行四边形的性质，且四条边都相等 ②两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角． 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴． 知识点2：菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 知识点3：菱形的判定 ※菱形的判别方法： ①一组邻边相等的平行四边形是菱形． ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 模块通关·举一反 三 【模块一】利用菱形的性质求角度 【典例1】（2025-2026山西运城市 九上月考  ）如图，在菱形中，点E为对角线上的一点，且．连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质及等腰三角形的性质，先根据菱形的性质得出，，平分和，再由得出，从而利用等腰三角形等边对等角得出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，平分和，即， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-1】如图，菱形ABCD中，对角线相交于点O，AB=AC，则∠ADB的度数是（） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到AB=BC,由AB=AC,进一步可得三角形ABC为等边三角形,即∠ADC=∠ABC=60°,进而得到∠ADB=30°. 【详解】解:∵菱形ABCD中 ∴AB=BC 又∵AB=AC ∴得三角形ABC为等边三角形 ∴∠ADC=∠ABC=60° ∴∠ADB=30° 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，判定三角形ABC为等边三角形以及菱形对角线平分对角是解答本题的关键． 【变式1-2】如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【答案】C 【分析】由题意根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=BO=OD，根据菱形性质可得∠DBE=∠ABC=65°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED=90°-∠OEB即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=50°， ∴O为BD中点，∠DBE=∠ABC=65°． ∵DE⊥BC， ∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD， ∴∠OEB=∠OBE=65°． ∴∠OED=90°-65°=25°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是将四边形转化为三角形． 【变式1-3】如图所示，在菱形 中，，， 分别是边 和 的中点， 于点 ，则 的度数是 （   ） A． B． C． D． 【分析】首先延长交的延长线于点G．根据已知可得的度数，再根据余角的性质可得到的度数，从而不难求得的度数． 【详解】延长交的延长线于点G．如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是边的中点， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴F为中点． 由题可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 【模块二】利用菱形的性质求线段长 【典例2】（2025-2026深圳市宝安学年九上 周测 ）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的面积为16，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后根据菱形的面积可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的面积为16， ∴， ∴， ∵点O为的中点，， ∴； 故选：A． 【变式2-1】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，于点E，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】先利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形对角线互相垂直平分是解题的关键． 【变式2-2】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）    A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】C 【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长． 【详解】∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD， ∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ∴OD＝4，BD＝8， 由得， ＝32， ∴AC＝8， ∴OC＝＝4， ∴CD＝＝8， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长． 【变式2-3】如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质． 【模块三】利用菱形的性质求面积 【典例3】（2025-2026成都市玉林中学九上月考  ）如图，四边形为菱形，点、、、在坐标轴上，，，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质与面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的性质，可得，，然后利用勾股定理求得，最后利用求出面积即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， 菱形的面积为：， 故选：B． 【变式3-1】如图，在菱形中，若，，则菱形的面积为（  ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】连接，交于点O，由菱形可得，在由勾股定理可得，即可解得． 【详解】如图所示，连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，勾股定理，菱形的面积． 【变式3-2】如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为___________． 【答案】24 【分析】过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，由纸张的宽度相等得到AE=AF，再根据平行四边形等面积法证明AB=AD，进而证明四边形ABCD是菱形，再根据菱形的面积求解即可． 【详解】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示： ∵两条纸条宽度相同， ∴AE=AF． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S▱ABCD=BC•AF=CD•AE， 又∵AE=AF， ∴BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BO=DO=3，AC⊥BD， ∴， ∴菱形ABCD的面积为：， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形性质以及勾股定理等知识，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键． 【变式3-3】如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（　　） A．16 B．6 C．12 D．30 【答案】B 【分析】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝，然后根据菱形的面积公式计算它的面积． 【详解】解：连接AC交BD于O，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO， ∵E为AD边的中点， ∴DE＝2， ∵∠DEF＝∠DFE， ∴DF＝DE＝2， ∵， ∴∠DEF＝∠BCF， ∵∠DFE＝∠BFC， ∴∠BCF＝∠BFC， ∴BF＝BC＝4， ∴BD＝BF+DF＝4+2＝6， ∴OB＝OD＝3， 在Rt△BOC中，， ∴AC＝2OC＝， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）． 【模块四】利用菱形的性质求坐标 【典例4】（ 2025-2026咸阳市兴平市九上期中  ）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点，顶点B在x轴正半轴上，已知点C的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，点的坐标，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的性质得，因为点C的坐标为，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点C作轴，如图所示： 设菱形的边长为， 则， ∵点C的坐标为， ∴， ∵轴， ∴在中，则， ∴， 解得， ∴， 即点B的坐标为， 故选：A． 【变式4-1】如图，菱形中的顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】菱形中的顶点O，A的坐标分别为，，勾股定理求得，点C在x轴的正半轴上，得轴可求解． 【详解】解：菱形中的顶点O，A的坐标分别为，， ， 点C在x轴的正半轴上， 轴， ， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理及坐标与图形；解题的关键是求出菱形的边长． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， 点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4， 即， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 【变式4-3】如图，已知菱形的顶点，且，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（    ） A． B． C．（1，2） D． 【答案】A 【分析】首先证明△ABC是等边三角形，求出A，C的坐标，证明AE＝EC，可得结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BA＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AO⊥CB， ∴OB＝OC＝4，AB＝2OB＝8， ∴OA＝， 由作图可知，BP平分∠ABC， ∴AE＝EC， ∵C（4，0），A（0，4）， ∴E（2，2）， 故选：A． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的性质，等边三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【模块五】添加条件使四边形为菱形 【典例5】（2025-2026江苏盐城八上月考    ）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 【变式5-1】．能判定四边形是菱形的条件是(　　) A．两条对角线相等 B．两条对角线相互垂直 C．两条对角线相互垂直平分 D．两条对角线相等且垂直 【答案】C 【分析】可根据菱形的判定方法来选择． 【详解】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形及菱形的判定，熟悉掌握判定是关键. 【变式5-2】在下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，即可进行解答． 【详解】解：A、若，则平行四边形为矩形；不符合题意； B、若，则平行四边形为正方形；不符合题意； C、若，则平行四边形为菱形；符合题意； D、若，则平行四边形不是特殊的平行四边形；不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握有一组另邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【变式5-3】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定，即可求解． 【详解】解：添加，可以判定四边形为菱形，理由： ∵点E，F，G，H分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，， ∴四边形为菱形． 故选：C. 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理，菱形的判定是解题的关键． 【模块六】证明四边形为菱形 【典例6】(2025—2026渭南市临渭区九上 期中）如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】陕西省渭南市临渭区育红初级中学2025—2026学年上学期九年级期中数学试题 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． ()根据平行四边形的性质可证，，根据：点分别是的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的四边形是菱形可证结论成立； ()根据菱形对角线垂直且平分的性质，得；根据三角形的面积可求得，进一步求得的值，在中，利用勾股定理计算出． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， ，分别是和的中点， ，. ，， 四边形为平行四边形. ， ， 四边形为菱形； （2）如图，过点作于点， 由（）知四边形为菱形， ∵，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式6-1】如图，在中，E、F分别为的中点，点M、N在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足条件___________时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）四边形是平行四边形得到，则，由E、F分别为的中点得到，即可证明，则，则，得到，即可得到结论； （2）连接交于O，由（1）得：，则四边形是平行四边形，则，由得到，则，则，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E、F分别为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）满足条件时，四边形是菱形． 连接交于O，如图所示： 由（1）得：， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 故满足时四边形是菱形． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 【变式6-2】已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D和点E，点F在的延长线上，且． (1)的度数为 　 　°． (2)求证：四边形ACEF是菱形． 【答案】(1)30 (2)见解析 【分析】（1）先求出，再根据垂直平分线的性质得出，最后根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）先证明和是等边三角形，得出，利用四条边都相等的四边形为菱形证明结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴； 故答案为：30； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． 【变式6-3】如图，在△ABC中，，BD为△的中线．，，连接CE． (1)求证：四边形BDCE为菱形； (2)连接DE，若，，求DE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可． （2）连接DE，根据菱形的性质利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ 四边形为平行四边形． ∵ ，BD为AC边上的中线， ∴ ， ∴ 四边形为菱形． （2）解：连接DE交BC于O点，如图． ∵ 四边形为菱形，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的性质是解题关键． 【模块七】利用菱形的性质与判定求角度 【典例7】如图，四边形为平行四边形，过点作，交边于点，交边延长线于点．连接、，过点作交延长线于点，已知． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得出AB=CD，AB∥DF．证明四边形ABFC为平行四边形，证出 AF⊥BC． 由菱形的判定方法可得出结论； （2）由菱形的性质得出∠CBF=∠BCF=25°，由直角三角形的性质可求出答案． (1)证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵，， ∴． ∴． ∴平行四边形为菱形． (2)解：∵，， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式7-1】如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】四川省绵阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】根据等角对等边证明边相等、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 【变式7-2】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交， 于点E，F，连接，．若 则 ． 【答案】/59度 【难度】0.65 【来源】新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据矩形的性质求线段长、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识， 首先证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角进行求解； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴． ∵， ， ∴， ， 故答案为：． 【变式7-3】如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】 浙江省湖州市吴兴区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、利用平行四边形的性质求解 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【模块八】利用菱形的性质与判定求线段长 【典例8】如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作于点E，连接OE．若，，则DE的长度为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得AC＝2OE＝2，则OA＝AC＝，再由勾股定理得OB＝，则BD＝2OB＝2，然后由菱形面积求出AE的长，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝AB＝3，OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC， ∵AE⊥CD， ∴∠AED＝∠AEC＝90°， ∴AC＝2OE＝2， ∴OA＝AC＝， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝， ∴BD＝2OB＝2， ∵S菱形ABCD＝CD•AE＝AC•BD＝×2×2＝2， ∴AE＝， ∴DE＝， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式8-1】如图，在中，O为的中点，过点O作交于点，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)2.8 【分析】（1）根据证明可得，可证明四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是菱形； （2）过点B作交的延长线于点G，运用勾股定理得出，设，则，列出方程求解即可． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴ 在与中， ， ∴， ∴ 又， ∴四边形为平行四边形 又， ∴四边形为菱形． （2）过点B作交的延长线于点G． ∵， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∵四边形为菱形， ∴ 在中，， ∴ ∴，即的长为2.8． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理及菱形的判定及性质定理是解本题的关键． 【变式8-2】如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2 【分析】（1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 即的长为2． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式8-3】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． (1)求证：四边形ADBF是菱形； (2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）证△AEF≌△DEC（AAS），得△AEF≌△DEC（AAS），再证四边形ADBF是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD=BD=BC，即可由菱形判定定理得出结论； （2）连接DF交AB于O，由菱形面积公式S菱形ADBF==40，求得OD长，再由菱形性质得OA=OB，证得OD是三角形的中位线，由中位线性质求解可． 【详解】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE ∵AFBC， ∴∠AFE=∠DCE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵D是BC的中点， ∴CD=BD， ∴AF=BD， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵∠BAC=90°， ∵D是BC的中点， ∴AD=BD=BC， ∴四边形ADBF是菱形； （2）解：连接DF交AB于O，如图 由（1）知：四边形ADBF是菱形， ∴AB⊥DF，OA=AB=×8=4， S菱形ADBF==40， ∴=40， ∴DF=10， ∴OD=5， ∵四边形ADBF是菱形， ∴O是AB的中点, ∵D是BC的中点， ∴OD是△BAC的中位线， ∴AC=2OD=2×5=10． 答：AC的长为10． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【模块九】 利用菱形的性质与判定求面积 【典例9】如图．两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽为，，则四边形的面积为（    ）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】如图所示，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC，先证明四边形ABCD是平行四边形，再用面积法证明BC=CD，推出平行四边形ABCD是菱形，进而证明△ABC是等边三角形，最后利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC， 由题意得， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵长方形纸条等宽， ∴AE=AF， ∵， ∴BC=CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AE⊥BC， ∴BC=AB=2BE， 在Rt△ABE中，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式9-1】如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为36，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义证得，再利用等腰三角形的等角对等边得到，进而利用菱形的判定定理即可证得结论； （2）先根据菱形的性质和三角形的周长求得，进而利用勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，的周长为36， ∴，则， 在中，， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 【变式9-2】如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE． (1)求证：四边形AECD为菱形； (2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积． 【答案】(1)见详解 (2)△ABC的面积为 【分析】（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得，则有△BCE是等边三角形，然后可得△ACB是直角三角形，则，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵ABCD，AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA， ∴∠DAC=∠DCA， ∴DA=DC， ∵AB＝2CD，E为AB中点， ∴， ∵， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵DA=DC， ∴四边形AECD是菱形； （2）解：由（1）知：， ∵∠D＝120°， ∴， ∵E为AB中点， ∴， ∴△BCE是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键． 【变式9-3】如图，在四边形中，，对角线BD的垂直平分线与边、分别相交于点M、N．        (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为68，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，再由证出四边形是平行四边形，再由得到四边形是菱形． （2）由菱形的性质得到，再由勾股定理求出的长，然由菱形面积计算公式得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 是对角线的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知，， 四边形是菱形，周长为52， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握菱形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 【模块十】 菱形中的尺规作图问题 【典例10】（2024-2025武汉市东湖高新区八下期中   ）如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用矩形的性质证明、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 【变式10-1】（  2025-2026成都市龙泉中学九上月考  ）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点，连接．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】根据垂直平分线的性质推出，再结合菱形的性质得，则． 【详解】解：依题得：直线是线段的垂直平分线， ， ， 又菱形中，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等边对等角、菱形的性质，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 【变式10-2】如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】2025年黑龙江省哈尔滨市剑桥第三中学校中考三模数学试题 【知识点】作线段(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了尺规作图画菱形，菱形的性质等知识，掌握这两部分知识是解题的关键；由作图知，四边形是菱形，则由，即可求解． 【详解】解：由作图知， 故四边形是菱形， 则，， ∴； 故答案为：． 【变式10-3】如图，在给定的一张平行四边形纸片上，用尺规作出四边形，具体作法如下：分别作的平分线，分别交于，连接，若，则四边形的周长是______． 【答案】 【分析】证明四边形是菱形，然后由勾股定理求得即可解决问题． 【详解】解：设交于点，如图所示， 根据作图可知分别为的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，勾股定理，证明四边形是菱形，是解题的关键． 【模块十一】含60°角的菱形 【典例11】．如图，在菱形中，，分别为上的动点，，点从点向点运动的过程中，试判断的长度是否发生变化？并说明理由． 【答案】的长度不会变化，理由见详解 【难度】0.85 【来源】江苏省南京市第一中学2024-2025学年 下学期3月月考八年级数学试卷 【知识点】利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识得到是解题的关键． 如图所示，连接，由菱形的性质得到是等边三角形，再证，得到，即可求解． 【详解】解：的长度不变，理由如下， 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，即，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的长度不会发生变化． 【变式11-1】如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形．若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】广东省佛山市南海区桂城街道映月中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，含角的直角三角形，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，求出，，得到，，，则，继而求出，即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式11-2】小明借助没有刻度的直尺，按照如下图所示的顺序作出了四边形． (1)求证：平分． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】周周练1 1.1 数学 九年级BS版 上册【江西铭文�支点】2025-2026学年九年级上学期同步练 【知识点】证明四边形是菱形、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形的判定和性质，含含角的直角三角形的性质，勾股定理的计算，掌握菱形的判定和性质是关键． （1）根据题意得到四边形是平行四边形，因为点B到的距离等于点C到的距离，得到，四边形是菱形，由此即可求解； （2）如图，连接，交于点O，根据菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，结合菱形面积的计算即可求解． 【详解】（1）证明：直尺对边平行， ， 四边形是平行四边形， 又直尺的宽度相同， 点B到的距离等于点C到的距离， ， ， 四边形是菱形， 平分． （2）解：如图，连接，交于点O， 四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式11-3】给合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)【感知】 如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为__________． (2)【探究】 如图2，说“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”，你同意吗？请说明理由． 如图3，若点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于．则（1）中结论是否仍然成立？回答并说明理由． (3)【应用】 取出如图2所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析；点为射线上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)或 【难度】0.15 【来源】山西省大同市部分学校联考2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，分别讨论即可． 【详解】（1）解：线段与之间的数量关系：． 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点为上任意一点时，仍然成立． 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当点为射线上任意一点时，仍然成立． 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，过点作于，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧（图中处）时，， ∴或， 由（2）知：， ∴， ∴或， ∴线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． 【模块十二】 菱形中的多结论问题 【典例12】（2025贵州省遵义市中考模拟  ）如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论： ①四边形是菱形；②；③；④若平分，则． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【难度】0.65 【来源】2025年贵州省遵义市仁怀县中考数学模拟练习卷 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、利用矩形的性质证明、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，等边对等角，矩形的性质，30度角的直角三角形的性质. 根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设交于点 由作图知，垂直平分 在矩形中， 四边形是菱形 ∴①正确 四边形是菱形 ∴②正确 ∴③错误 平分 ∴④正确． 故答案为：①②④． 【变式12-1】如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为的中点，与交于点G，与交于点H，，．给出如下结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①②③④ 【答案】A 【难度】0.65 【来源】新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第八中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】根据已知先判断，则，可判断①，结合含角的直角三角形的性质和中点的定义可判断④，由等边三角形的性质得出，接着证得，则，再由，得出四边形为平行四边形而不是菱形，即有不成立，根据平行四边形的性质得出，即可判断②③，从而得到答案． 【详解】解：、是等边三角形， ，，， ， ，， 为的中点， ， ， 即在与中， ， ， ，， ∴，即平分， 故①正确， 由①知，． ∵． ∴，即． ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∵，， ，， ， ， 由①知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， ∴四边形不是菱形， ∴不成立，故②说法不正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， 则，故③说法正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择． 【变式12-2】如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连结CE、AF交于点H，连结DH交AC于点O.则下列结论：①∠B＝60°；②△ABF≌△CAE；③∠AHC＝120°；其中正确的是(   ) A．①② B．①②③ C．②③ D．以上都不对 【答案】B 【分析】由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°. 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵AB=AC， ∴AB=BC=AC， 即△ABC是等边三角形， 同理：△ADC是等边三角形 ∴∠B=∠EAC=60°，故①正确； 在△ABF和△CAE中， ， ∴△ABF≌△CAE（SAS）； 故②正确； ∴∠BAF=∠ACE， ∵∠AEH=∠B+∠BCE， ∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°； 故③正确， 故选B. 【点睛】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大 【变式12-3】如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③，重合时，； ④点、、三点共线． 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.4 【来源】河北省沧州市青县第四中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设，得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；，重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；结合矩形的性质可知，进而可证明，即可判断④． 【详解】解：矩形中， ， 由翻折可知：，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故②正确； ，， ， 在和中， ， 若，则， ，这个不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， 四边形是菱形，故②正确； ， ， ，故③正确； 由折叠可知：， ， 四边形是菱形， ， ， 、、三点一定在同一直线上，故④正确． 综上所述：正确的结论有②③④，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、折叠性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 【模块十三】 菱形中的证明 【典例13】（2025—2026重庆市綦江区九上期中）如图，在四边形中，，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，，求证：四边形是菱形．完成下列填空． 证明：， _____________①_____________， 又平分， _____________②_____________， 又， ， _____________③_____________， 又∵ 四边形是平行四边形， 又_____________④_____________， 四边形是菱形．（依据是_____________⑤_____________） 【答案】(1)见解析 (2)；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了作垂直平分线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，即可作答． （2）先理解题意，根据上下过程，且结合垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，得四边形是平行四边形，又因为，即可得出四边形是菱形． 【详解】（1）解：依题意，如图所示： （2）证明：， ， 又平分， ， 又， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形．（依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 【变式13-1】如图，中，是上任意一点，． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 【答案】(1)平行四边形， (2)平分时，四边形为菱形，理由见解析 【难度】0.65 【来源】贵州省贵阳部分学校2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷 【知识点】证明四边形是平行四边形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质与判定． （1）根据，可判断四边形为平行四边形； （2）根据为的平分线，得出，根据平行线的性质得出，即可得出，根据等边对等角可得，即可证明四边形为菱形． 【详解】（1）解：，， 四边形为平行四边形； （2）解：平分时，四边形为菱形，理由如下， 四边形为平行四边形， ∴， 当平分时 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为菱形． 【变式13-2】如图，在四边形中，对角线交于点O，已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)于H，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】湖北省武汉市二中广雅学校2024~2025学年下学期八年级四月数学试卷 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）先说明四边形是菱形，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵于H， ∴，即：， ∴． 【变式13-3】如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理是解本题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】菱形背景下的折叠问题 【典例14】(2024-2025合肥市庐江县八下期中)如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，折痕交于点，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】安徽省合肥市庐江县柯坦中学2024-2025学年下学期4月八年级期中数学试题 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，掌握菱形的性质，折叠的性质是关键． 根据菱形的性质得到，根据折叠得到，则，由三角形的外角的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵是对角线， ∴， ∴， ∵将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 【变式14-1】如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)． 【难度】0.85 【来源】山东省滨州市邹平市邹平市黄山实验初级中学2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试题 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】（）四边形是菱形．根据题意和翻折的性质，可以得到，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （）根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积； 本题考查了翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形中，， ，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 【变式14-2】如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕 ． 【答案】 【难度】0.4 【来源】广东省深圳市龙岗区龙岭教育集团龙岭初级中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、折叠问题 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质与判定是解题的关键；过点B作于点E，连接，与交于点O，由折叠的性质可知：，垂直平分，即，由题意易得，则有，，然后可得四边形是菱形，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点B作于点E，连接，与交于点O，如图所示： 由折叠的性质可知：，垂直平分，即， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴； 故答案为． 【变式14-3】在数学实践活动中，将一张平行四边形纸片进行折叠（如图1、2所示），折痕为，点E在边上，点B落在点F处． (1)如图1，若点F恰好落在边上，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若点E是边的中点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）利用对称的性质得到，，，利用平行四边形的性质得到，证明，据此即可证明结论； （2）证明且，设，则，在和中，由勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，由折叠可知，与关于对称， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E在边上，点F落在边上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故四边形是菱形； （2）解：如图，连接交于点H， ∵F与B关于对称， ∴是的中垂线， 又∵E是的中点， ∴且， 若设， 由，得， 又，， 在和中，由勾股定理得： ， 则， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【微专题二】 菱形背景下的探索规律问题 【典例15】（2024-2025成都市第二十中学八下期中）如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ，的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 【答案】 / 【难度】0.4 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 根据特殊直角三角形的性质，求出，的边长，即可求出其面积，同理求出的边长，即可求其的面积． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的边长，   ∵，， ∴， 又∵，为等边三角形， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，同理可求的边长， ∴； 在中，，， ∴，， ∴， 在中，同理可求的边长 ……， ∴的边长， ∴． 故答案为：，． 【变式15-1】如图，在坐标系中放置一菱形，已知，先将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则B2025的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.4 【来源】 浙江省金华市义乌市佛堂镇初级中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学卷 【知识点】利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、点坐标规律探索 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的几何规律问题、菱形的性质等知识点，依据题意，正确归纳出规律是解题关键． 先利用菱形的性质、翻转的性质分别求出点坐标，再归纳总结出规律，由此即可得出答案． 【详解】如图，连接，交y轴于点D 四边形是菱形， ， 在中， 由翻转的性质得：旋转后的四边形仍是菱形，且边长为1 则点的横坐标为，纵坐标为，即 重合，它们的横坐标为，纵坐标为0，即 点的横坐标为，纵坐标为，即 点的横坐标为，纵坐标为，即 由翻转过程可知，每翻转6次，点B向右平移4个单位长度 的纵坐标为0，横坐标在横坐标的基础上加上，即为 则 故答案为：． 【变式15-2】如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D、E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，连接，作，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则等于___________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可求出的值，进而可得出的值，找出规律即可得出的值． 【详解】解：∵点B、E为边的中点，， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴； 同理求得：； … ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的性质；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【变式15-3】如图，矩形ABCD的面积为16cm2，对交线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边AOC1B，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（    ） A．cm2 B．1cm2 C．2cm2 D．4cm2 【答案】A 【分析】矩形ABCD的面积=AB×AD=16cm2，过点O向AB作垂线，垂足为E，平行四边形AOC1B的面积=AB×OE，根据矩形的性质，OE=AD，即平行四边形AOC1B的面积=AB×AD=，过点O1向AB作垂线，垂足为F，根据平行四边形的性质，O1F=OE=AD，即平行四边形AO1C2B面积=AB×AD=，依此类推，即可得到平行四边形AO4C5B的面积． 【详解】过点O向AB作垂线，垂足为E，过点O1向AB作垂线，垂足为F，如下图所示： ∵∠DAB=∠OEB， ∴OE∥DA， ∵O为矩形ABCD的对角线交点， ∴OB=OD ∴OE=AD， 矩形ABCD的面积=AB×AD=16cm2， 平行四边形AOC1B的面积=AB×OE=AB×AD=8 cm2， 同理，根据平行四边形的性质， O1F=OE=AD， 平行四边形AO1C2B面积=AB×AD=4 cm2， 依此类推： 平行四边形AO4C5B的面积=AB×AD=cm2， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和规律型：图形的变化美，根据矩形和平行四边形的性质，找到前两个图形的规律，依此类推即可，掌握规律是解题的关键．此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等． 【微专题三】 利用菱形的性质求最值 【典例16】（2025-2026济南市莱芜区实验中学九上月考 ）如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，如图，连接，设交于点，交于点O．证明，推出，推出当点P与点重合时，的值最小，求出即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点，交于点O． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴（负值舍去）， ∵D，B关于对称， ∴， ∴， ∴当点P与点重合时，的值最小，此时． 故选：B． 【变式16-1】如图，菱形ABCD的两条对角线长，，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】当AE⊥BC时有最小值，即为△ABC，BC边上的高，根据菱形的性质即可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形等面积法即可求解． 【详解】解： ∵点E是BC边上的动点， ∴当AE⊥BC时有最小值，即为△ABC，BC边上的高， ∵四边形ABCD是菱形，且，， ∴AC⊥BD，，， 在Rt△OBC中，∠BOC=90°， ∴， ∴，即， 解得， ∴AE长的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段最短、等面积法求高，熟练掌握菱形的性质即等面积法求三角形的高是解题的关键． 【变式16-2】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，，，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作于点E，于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（    ） A．2 B．2.4 C．3 D．2.5 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP且MP=OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解． 【详解】连接OP， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16， ∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6， ∴BC＝＝10， ∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD， ∴∠FOE=∠PEO=∠PFO=90° ∴四边形OEPF是矩形， ∴FE＝OP， ∵当OP⊥BC时，OP有最小值， 此时S＝OB⋅OC＝BC⋅OP， ∴OP＝＝4.8， ∴EF的最小值为4.8， ∴MP的最小值=． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键． 【变式16-3】如图，在菱形中，，，为边的中点，为对角线上的一个动点，则线段的最小值是________． 【答案】 【分析】过点M作MF⊥BC于F，根据菱形和含30°角的直角三角形的性质可得MF=BM，从而可得AM+BM=AM+MF，根据垂线段最短可知，AM+PM的最小值为AE的长；根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出AE的长即可得答案． 【详解】如图，过点作于， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线且垂直时，有最小值， ∴最小值为， ∵，，， ∴∠BAE=30°， ∴BE=AB=5， ∴==． 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及轴对称——最短问题，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 菱形中的动点问题 【典例17】(2025-2026甘肃张掖市九上联考)如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)运动时间是时，：______，______；（用t的代数式表示） (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据“路程速度时间”可表示出和，从而可得； （2）先证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：四边形能够成为菱形，理由如下： 依题意得：，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形． 【变式17-1】如图所示，在菱形中，，为正三角形，点E、 F分别在菱形的边上滑动，且E、 F不与B、 C、 D重合． (1)证明：不论E、 F在上如何滑动，总有； (2)当点E、 F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？ 说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)点E、 F在上滑动时，四边形的面积不会变化，理由见详解 【难度】0.65 【来源】山东省菏泽市牡丹区牡丹办事处中心初级中学2025-2026学年北师大版数学九年级上册第一次月考试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查菱形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）根据题意得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积不会发生变化，理由如下， 已知， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点G， ∴，， ∴， ∴点E、 F在上滑动时，四边形的面积不会变化． 【变式17-2】如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点的速度都是，连接，设点运动的时间为． (1)当四边形是矩形时，为___________； (2)当四边形是菱形时，为___________． (3)当为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【来源】 广东省深圳市百合外国语学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷 【知识点】证明四边形是菱形、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．通过矩形，菱形，等腰三角形的判定和性质列方程求解是解题的关键． （1）通过列方程求解； （2）通过列方程求解； （3）分两种情况讨论：或求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 四边形是矩形，， ， ， 解得，， 故答案为：4； （2）， ， 当四边形为菱形时，， ， 解得，， 故答案为：3； （3）当时，四边形为菱形， 由（2）知，； 当时，过点作于， 则， ， ， ， ， 综上所述，当为或时，是以为一条腰的等腰三角形． 【变式17-3】如图，菱形ABCD中，，，E、F分别是AB、BC的中点，若点P从点E出发，沿的路线运动，则当时，EP的长为______． 【答案】1或或2 【分析】由菱形的性质可得∠B=60°，AB=BC=2，∠BCD=120°，可证△BEF是等边三角形，可得BE=EF=BF=1，∠BEF=∠BFE=60°，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和平行四边形的性质可求解． 【详解】在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°， ∴∠B=60°，AB=BC=2，∠BCD=120°， ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴BE=BF=1=AE=CF， ∴△BEF是等边三角形， ∴BE=EF=BF=1，∠BEF=∠BFE=60°， 如图， 当点P与点A重合时，则PE=EF=1， ∴∠EAF=∠EFA， ∵∠EAF+∠EFA=∠BEF=60°， ∴∠EPF=30°； 当点P''与点C重合时， 同理可求∠EP''F=30°， 此时EP''=BE=； 当点P'在CD的中点时， ∴DP'=CP'=1， ∴CP'=BE， 又∵AB∥CD， ∴四边形BCP'E是平行四边形， ∴EP'∥BC，EP'=BC=2， ∴∠EP'F=∠CFP'， ∵CF=CP'=1， ∴∠CFP'=∠CP'F=30°， ∴∠EP'F=∠CFP'=30°， 综上所述：EP的长为1或或2， 故答案为：1或或2． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【压轴二】菱形背景下的旋转问题 【典例18】已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点，，且，连接．      初步感知：（1）如图1，当是线段的中点时，与的数量关系为______． 深入探究：（2）如图2，将图1中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 拓展应用：（3）如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，当时，求点到的距离． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【难度】0.85 【来源】2024年贵州省毕节市金沙县全县统考一模数学模拟试题 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题考查菱形，全等三角形的，等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可． （1）连接，根据等边三角形的判定，则是等边三角形，根据菱形的性质，求出，；根据等边三角形三线合一，，求；再根据，求出，则，再根据等边三角形的判定，即可． （2）连接，根据菱形的性质，得，根据等边三角形的判定，则 ，都是等边三角形，求出，，根据全等三角形的判定，则，推出，再根据等边三角形的判定和性质，即可； （3）过点作于点，过点作于点，连接，当时， ，根据勾股定理，求出，；根据等腰直角三角形的性质，求出，根据全等三角形的判定和性质，则，得，根据，，即可． 【详解】（1）， 证明如下：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形，同理，是等边三角形， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴．    （2）成立． 理由：如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴．， ∵， ∴，都是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴．    （3）如图，过点作于点，过点作于点，连接． ∵时， ∴， ∴ 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为．    【变式18-1】如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F． (1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； (2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； (3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)45°，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得,根据已知条件可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边证明即可； （2）通过证明△AOF≌△COE（ASA）．即可得证； （3）根据题意与勾股定理求得,根据平行四边形的性质可得,得到，结合菱形的性质和判定求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵平行四边形ABCD中，ADBC， ∴AFBE， ∵旋转角为90°时，∠AOF＝90°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠AOF， ∴ABEF， ∴四边形ABEF是平行四边形． （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，ADBC， ∴∠OAF＝∠OCE， ∵∠AOF＝∠COE， ∴△AOF≌△COE（ASA）． ∴AF＝CE． ∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等． （3）当AC绕点O顺时针旋转45度时，四边形BEDF是菱形． 理由如下： 由（2）知：AF＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∴DF＝BE，DFBE， ∴四边形BEDF是平行四边形． 如图： ∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝AC＝1， ∴AO＝AB， ∵AB⊥AC， ∴∠AOB＝45° ∵AC绕点O顺时针旋转45度， ∴∠AOF＝45°， ∴∠BOF＝90°， ∴EF⊥BD． ∴四边形BEDF是菱形． 【点睛】本题考查旋转的性质及菱形性质和判定，掌握平行四边形，全等三角形的性质与判定，菱形的性质和判定是求解本题的关键． 【变式18-2】综合与实践课上，老师带领学生利用两张完全一样的平行四边形纸片开展操作实验，他们从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究．已知平行四边形与平行四边形中，，，． (1)黑洞小组将平行四边形与按图所示的方式摆放，其中点与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上，交于点， 连接，则的度数是_____，的长度是_____； (2)志高小组在图的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点沿顺时针方向旋转，连接； ①如图，当线段与交于点 时，连接，求证：点在的垂直平分线上； ②在平行四边形旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图中补全图形，并直接写出此时点之间的距离． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②补图见解析， 【难度】0.4 【来源】2025年河南省驻马店市驿城区中考第一次模拟数学试卷 【知识点】线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（）连接，证明四边形是菱形，结合菱形的性质可得的度数，判断为等边三角形即可求出的长； （）①连接，，，，如图，依次证明，，，可得，进而即可求证；②画出满足条件的图形，证明是等边三角形，再利用等边三角形可求解 【详解】（1）解：连接， ∵平行四边形与中，，，， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：，； （2）①连接，，，，如图， ∵平行四边形与中，，，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴, ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上； ②如图，当点恰好落在线段的延长线上时，补全图形如下： ∵平行四边形与中，，，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式18-3】在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【难度】0.15 【来源】湖北省武汉市经开区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）连接，交于点，交于点，根据菱形的性质，证明三点共线，求出的长，用即可求出的长度； （2）过点作，过点作，过点作，得到四边形为平行四边形，证明，得到，进而求出，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点，先证明，推出四边形为平行四边形，再证明，推出为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出的范围，进而求出的范围即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，交于点， ∵菱形，菱形， ∴，， ∵点分别在边上， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，， ∴， 同理：， ∴； 故答案为：； （2），证明如下： 过点作，过点作，过点作， 则：四边形为平行四边形， ∴，， ∵菱形，菱形，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，，为等边三角形， ∴四边形为平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，即：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 通关检测·实战演练 1.如图，在菱形中，点E为对角线上的一点，且．连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山西省运城市部分学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质及等腰三角形的性质，先根据菱形的性质得出，，平分和，再由得出，从而利用等腰三角形等边对等角得出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，平分和，即， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 2.如图，在菱形中，连接，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】陕西省渭南市临渭区多校2025-2026学年九年级上学期期中联考数学试题 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查菱形和垂直平分线的性质，先根据垂直平分线的性质证明，再根据菱形的性质证明，从而可得，进而可得，再根据求得答案． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵的垂直平分线是， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3.如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为 ．    【答案】 【难度】0.85 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试卷 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键．根据菱形的性质得，根据，，得，得，即可求解． 【详解】解：∵菱形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 4.如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，已知菱形的周长为，则每个矩形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【来源】广东省佛山市南海区桂城街道映月中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是证明． 首先根据已知条件，通过等量代换证明，从而得到，进一步推出，得出，然后利用菱形的周长求出，最后根据矩形的性质计算出矩形的周长即可． 【详解】解：如图，由题意可知：三点共线， ，长宽 ， ， ， ， ， ， ， 菱形的周长为， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 即每个矩形的周长为． 故选：B． 5.如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到，则四边形的面积为（    ） A．36 B．48 C．72 D．96 【答案】A 【难度】0.94 【来源】辽宁省盘锦市兴隆台区盘锦市第一完全中学2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用平移的性质求解 【分析】此题考查了菱形的面积计算及平移的意义，难度中等．根据平移的意义知四边形是平行四边形，，故由菱形对角线的长度求其面积即可解决问题． 【详解】解：∵菱形， ，． ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在菱形中， ， ∴四边形的面积等于． 故选：A． 6.如图，在菱形中，对角线的长分别为2和5，求点在对角线上，且，与相交于点，与相交于点，阴影部分的面积是（　　） A．10 B．5 C．2.5 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【来源】江苏省常州市溧阳市燕山中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质以及平行四边形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，再证明四边形是平行四边形得，即涂色部分的面积的面积，然后的面积是菱形面积的一半以及菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴． 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 则阴影部分的面积的面积， ∵的面积=菱形的面积的一半， ∴菱形的面积， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：C． 7.如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（    ）    A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 【答案】D 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∵OA=OD， ∴AC=BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键． 8.如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD//BC，AE//DC，EF⊥CD于点F． (1)求证：四边形AECD是菱形； (2)若AB＝3，AC＝4，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：解：过作于点，如图所示 ，，， ， 的面积， ， 四边形是菱形， ， ， ． 【点睛】此题考查菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定，解题的关键是证明四边形是菱形． 9．如图，在中，的角平分线交于点D，． (1)求证四边形是菱形； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）先证明四边形是正方形，再根据得到正方形的边长，最后求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，角平分线的定义，正方形的面积公式，解题的关键是熟记各种四边形的判定方法． 10.如图，已知E，F分别是平行四边形的边的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】四川省南充市南部县第二中学2024-2025学年八年级下学期期末模拟数学试题 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】（1）由平行四边形性质得到，结合题意得到，证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到，即可得出结论； （2）过点A作于点H，证是等边三角形，得出，由勾股定理求出的长，再由平行四边形的面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 点E、F分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ，点为的中点， 平行四边形是菱形； （2）如图，过点A作于点H， 由（1）得：四边形是菱形， ， 点E是边的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形特征，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 11.如图，已知在中，点D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交的延长线于点F，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】陕西省榆林市苏州中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查菱形的性质与判定，含角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据，等特殊角作出正确的垂线是解题关键． （1）先证明，可得，可得到四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）过点A作于点G，根据四边形是菱形，可得，，，从而得到，可得到，，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形； （2）解：如图，过点作于点G， 由（1）知四边形是菱形，又，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 12.如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】海南省省直辖县级行政单位琼海市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的性质，是解题的关键．连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由作图知：，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13.【阅读材料】 老师的问题：已知：如图1，在中，．求作：矩形． 小明的作法：(如图2) （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，； （2）作直线，交于点； （3）连接并延长，截取； （4）连接，．四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 (1)如图2，请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． (2)如图2，直线分别交，于点，，连接，，当，时，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】辽宁省抚顺市望花区2024-2025学年八年级下学期7月期末考试数学试题 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）由题意可知垂直平分，则，结合得出四边形为平行四边形，又，即可得证四边形是矩形； （2）先证明四边形为菱形，然后根据勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可知垂直平分， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形． （2）解：∵， ，且， ． ， ， 四边形为菱形， 设，则， 在中，根据勾股定理， ，解得， ， 四边形的周长为． 14.菱形的边长为2，，点P、Q分别是、上的动点，的最小值为______ 【答案】1 【分析】连接，作于，利用SAS证明，得，当点、、共线，的最小值为的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，作于， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴（SAS） ∴，则：， ∴当点、、共线，的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键． 15.如图1，在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．，分别是在边上． (1)若G，H分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）的条件下，当时，求证：四边形是矩形；（提示：在图2中先标出点E、F；可直接使用（1）中的结论） (3)如图3，和分别是和的中点，若从点出发向点运动，从点出发向点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，的值为________． 【答案】(1)平行四边形； (2)见解析； (3)． 【难度】0.4 【来源】河南省平顶山市汝州市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试卷 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质证明 【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）连接，可得四边形是矩形，得，求出，根据，得，得，即得平行四边形是矩形； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． （2）解∶如图，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （3）解∶如图3，M和N分别是和的中点， 连接，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设， 则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴， 即， ∴当四边形为菱形时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与三角形综合．熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.2 菱形的性质与判定》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 利用菱形的性质求角度 模块11含60°角的菱形 模块2 利用菱形的性质求线段长 模块12菱形中的多结论问题 模块3 利用菱形的性质求面积 模块13菱形中的证明 模块4 利用菱形的性质求坐标 微专题1菱形背景下的折叠问题 模块5 添加条件使四边形为菱形 微专题2菱形背景下的探索规律问题 模块6证明四边形为菱形 微专题3利用菱形的性质求最值 模块7利用菱形的性质与判定求角度 压轴1 菱形中的动点问题 模块8 利用菱形的性质与判定求线段长 压轴2 菱形背景下的旋转问题 模块9利用菱形的性质与判定求面积 通关检测·实战演练 模块10 菱形中的尺规作图问题 知识梳理 · 基础溯源 知识点 1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ※菱形的性质： ①具有平行四边形的性质，且四条边都相等 ②两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角． 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴． 知识点2：菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 知识点3：菱形的判定 ※菱形的判别方法： ①一组邻边相等的平行四边形是菱形． ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 模块通关·举一反 三 【模块一】利用菱形的性质求角度 【典例1】（2025-2026山西运城市 九上月考  ）如图，在菱形中，点E为对角线上的一点，且．连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，菱形ABCD中，对角线相交于点O，AB=AC，则∠ADB的度数是（） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式1-2】如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【变式1-3】如图所示，在菱形 中，，， 分别是边 和 的中点， 于点 ，则 的度数是 （   ） A． B． C． D． 【模块二】利用菱形的性质求线段长 【典例2】（2025-2026深圳市宝安学年九上 周测 ）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的面积为16，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式2-1】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，于点E，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【变式2-2】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）    A．4 B．4 C．8 D．8 【变式2-3】如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A． B． C． D． 【模块三】利用菱形的性质求面积 【典例3】（2025-2026成都市玉林中学九上月考  ）如图，四边形为菱形，点、、、在坐标轴上，，，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D．12 【变式3-1】如图，在菱形中，若，，则菱形的面积为（  ） A．24 B．20 C．16 D．12 【变式3-2】如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为___________． 【变式3-3】如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（　　） A．16 B．6 C．12 D．30 【模块四】利用菱形的性质求坐标 【典例4】（ 2025-2026咸阳市兴平市九上期中  ）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点，顶点B在x轴正半轴上，已知点C的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，菱形中的顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，已知菱形的顶点，且，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（    ） A． B． C．（1，2） D． 【模块五】添加条件使四边形为菱形 【典例5】（2025-2026江苏盐城八上月考    ）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．能判定四边形是菱形的条件是(　　) A．两条对角线相等 B．两条对角线相互垂直 C．两条对角线相互垂直平分 D．两条对角线相等且垂直 【变式5-2】在下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（        ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【模块六】证明四边形为菱形 【典例6】(2025—2026渭南市临渭区九上 期中）如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 【变式6-1】如图，在中，E、F分别为的中点，点M、N在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足条件___________时，求证：四边形是菱形． 【变式6-2】已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D和点E，点F在的延长线上，且． (1)的度数为 　 　°． (2)求证：四边形ACEF是菱形． 【变式6-3】如图，在△ABC中，，BD为△的中线．，，连接CE． (1)求证：四边形BDCE为菱形； (2)连接DE，若，，求DE的长． 【模块七】利用菱形的性质与判定求角度 【典例7】如图，四边形为平行四边形，过点作，交边于点，交边延长线于点．连接、，过点作交延长线于点，已知． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的度数． 【变式7-1】如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交， 于点E，F，连接，．若 则 ． 【变式7-3】如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【模块八】利用菱形的性质与判定求线段长 【典例8】如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作于点E，连接OE．若，，则DE的长度为（      ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在中，O为的中点，过点O作交于点，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【变式8-2】如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式8-3】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． (1)求证：四边形ADBF是菱形； (2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 【模块九】 利用菱形的性质与判定求面积 【典例9】如图．两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽为，，则四边形的面积为（    ）． A． B． C．4 D． 【变式9-1】如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为36，求菱形的面积． 【变式9-2】如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE． (1)求证：四边形AECD为菱形； (2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积． 【变式9-3】如图，在四边形中，，对角线BD的垂直平分线与边、分别相交于点M、N．        (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为68，，求菱形的面积． 【模块十】 菱形中的尺规作图问题 【典例10】（2024-2025武汉市东湖高新区八下期中   ）如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（  2025-2026成都市龙泉中学九上月考  ）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点，连接．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是 ． 【变式10-3】如图，在给定的一张平行四边形纸片上，用尺规作出四边形，具体作法如下：分别作的平分线，分别交于，连接，若，则四边形的周长是______． 【模块十一】含60°角的菱形 【典例11】．如图，在菱形中，，分别为上的动点，，点从点向点运动的过程中，试判断的长度是否发生变化？并说明理由． 【变式11-1】如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形．若，则菱形的面积为 ． 【变式11-2】小明借助没有刻度的直尺，按照如下图所示的顺序作出了四边形． (1)求证：平分． (2)若，求四边形的面积． 【变式11-3】给合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)【感知】 如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为__________． (2)【探究】 如图2，说“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”，你同意吗？请说明理由． 如图3，若点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于．则（1）中结论是否仍然成立？回答并说明理由． (3)【应用】 取出如图2所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【模块十二】 菱形中的多结论问题 【典例12】（2025贵州省遵义市中考模拟  ）如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论： ①四边形是菱形；②；③；④若平分，则． 其中正确结论的序号是 ． 【变式12-1】如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为的中点，与交于点G，与交于点H，，．给出如下结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①②③④ 【变式12-2】如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连结CE、AF交于点H，连结DH交AC于点O.则下列结论：①∠B＝60°；②△ABF≌△CAE；③∠AHC＝120°；其中正确的是(   ) A．①② B．①②③ C．②③ D．以上都不对 【变式12-3】如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③，重合时，； ④点、、三点共线． 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【模块十三】 菱形中的证明 【典例13】（2025—2026重庆市綦江区九上期中）如图，在四边形中，，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，，求证：四边形是菱形．完成下列填空． 证明：， _____________①_____________， 又平分， _____________②_____________， 又， ， _____________③_____________， 又∵ 四边形是平行四边形， 又_____________④_____________， 四边形是菱形．（依据是_____________⑤_____________） 【变式13-1】如图，中，是上任意一点，． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 【变式13-2】如图，在四边形中，对角线交于点O，已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)于H，若，，，求的长． 【变式13-3】如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】菱形背景下的折叠问题 【典例14】(2024-2025合肥市庐江县八下期中)如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，折痕交于点，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 【变式14-2】如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕 ． 【变式14-3】在数学实践活动中，将一张平行四边形纸片进行折叠（如图1、2所示），折痕为，点E在边上，点B落在点F处． (1)如图1，若点F恰好落在边上，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若点E是边的中点，且，，求的长． 【微专题二】 菱形背景下的探索规律问题 【典例15】（2024-2025成都市第二十中学八下期中）如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ，的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 【变式15-1】如图，在坐标系中放置一菱形，已知，先将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则B2025的坐标为 ． 【变式15-2】如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D、E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，连接，作，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则等于___________． 【变式15-3】如图，矩形ABCD的面积为16cm2，对交线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边AOC1B，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（    ） A．cm2 B．1cm2 C．2cm2 D．4cm2 【微专题三】 利用菱形的性质求最值 【典例16】（2025-2026济南市莱芜区实验中学九上月考 ）如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（   ） A． B．1 C． D． 【变式16-1】如图，菱形ABCD的两条对角线长，，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【变式16-2】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，，，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作于点E，于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（    ） A．2 B．2.4 C．3 D．2.5 【变式16-3】如图，在菱形中，，，为边的中点，为对角线上的一个动点，则线段的最小值是________． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 菱形中的动点问题 【典例17】(2025-2026甘肃张掖市九上联考)如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)运动时间是时，：______，______；（用t的代数式表示） (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【变式17-1】如图所示，在菱形中，，为正三角形，点E、 F分别在菱形的边上滑动，且E、 F不与B、 C、 D重合． (1)证明：不论E、 F在上如何滑动，总有； (2)当点E、 F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？ 说明理由． 【变式17-2】如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点的速度都是，连接，设点运动的时间为． (1)当四边形是矩形时，为___________； (2)当四边形是菱形时，为___________． (3)当为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？ 【变式17-3】如图，菱形ABCD中，，，E、F分别是AB、BC的中点，若点P从点E出发，沿的路线运动，则当时，EP的长为______． 【压轴二】菱形背景下的旋转问题 【典例18】已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点，，且，连接．      初步感知：（1）如图1，当是线段的中点时，与的数量关系为______． 深入探究：（2）如图2，将图1中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 拓展应用：（3）如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，当时，求点到的距离． 【变式18-1】如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F． (1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； (2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； (3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明． 【变式18-2】综合与实践课上，老师带领学生利用两张完全一样的平行四边形纸片开展操作实验，他们从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究．已知平行四边形与平行四边形中，，，． (1)黑洞小组将平行四边形与按图所示的方式摆放，其中点与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上，交于点， 连接，则的度数是_____，的长度是_____； (2)志高小组在图的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点沿顺时针方向旋转，连接； ①如图，当线段与交于点 时，连接，求证：点在的垂直平分线上； ②在平行四边形旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图中补全图形，并直接写出此时点之间的距离． 【变式18-3】在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 通关检测·实战演练 1.如图，在菱形中，点E为对角线上的一点，且．连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.如图，在菱形中，连接，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为 ．    4.如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，已知菱形的周长为，则每个矩形的周长为（    ） A． B． C． D． 5.如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到，则四边形的面积为（    ） A．36 B．48 C．72 D．96 6.如图，在菱形中，对角线的长分别为2和5，求点在对角线上，且，与相交于点，与相交于点，阴影部分的面积是（　　） A．10 B．5 C．2.5 D．6 7.如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（    ）    A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 8.如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD//BC，AE//DC，EF⊥CD于点F． (1)求证：四边形AECD是菱形； (2)若AB＝3，AC＝4，求EF的长． 9．如图，在中，的角平分线交于点D，． (1)求证四边形是菱形； (2)若，且，求四边形的面积． 10.如图，已知E，F分别是平行四边形的边的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求平行四边形的面积． 11.如图，已知在中，点D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交的延长线于点F，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 12.如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为 ． 13.【阅读材料】 老师的问题：已知：如图1，在中，．求作：矩形． 小明的作法：(如图2) （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，； （2）作直线，交于点； （3）连接并延长，截取； （4）连接，．四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 (1)如图2，请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． (2)如图2，直线分别交，于点，，连接，，当，时，求四边形的周长． 14.菱形的边长为2，，点P、Q分别是、上的动点，的最小值为______ 15.如图1，在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．，分别是在边上． (1)若G，H分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）的条件下，当时，求证：四边形是矩形；（提示：在图2中先标出点E、F；可直接使用（1）中的结论） (3)如图3，和分别是和的中点，若从点出发向点运动，从点出发向点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，的值为________． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $