应用题（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦植树问题全类型训练，通过23道梯度题构建"模型识别-方法迁移-错因分析"三维体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线植树|13题|两端栽：棵数=间隔数+1；两端不栽：棵数=间隔数-1；一端栽：棵数=间隔数|从基础公式推导到双侧计算，结合小数除法拓展应用| |环形植树|4题|封闭图形棵数=间隔数|通过周长与间距关系建立模型，渗透数形结合思想| |综合应用|6题|锯木问题：段数=次数+1；台阶问题：间隔数=楼层差|融合公倍数、四则运算，培养复杂情境问题解决能力|

人教版五年级数学应用题专项巩固（二） 1. 市政工人在长120米的新建道路两旁每隔6米安装一盏路灯（两端都安装），现在为了提高照明亮度，决定改为每隔8米安装一盏路灯。那么，不需要移动位置的路灯有多少盏？ 2. 某区为了美化环境，在一条长 1200 米的景观大道两旁每隔 150 米安装一盏太阳能路灯（两端都装），施工队需要准备多少盏太阳能路灯？ 3. 阳光小学的两栋教学楼之间有一条长150米的通道，学校计划在这条通道两旁栽种绿植（两端不栽）。如果每隔6米栽一棵，一共需要栽多少棵绿植？ 4. 为了建设美丽乡村，某镇在一条长1600米的健康步道两旁栽种樱花树。要求每隔8米栽一棵（两端都栽），一共需要栽多少棵樱花树？ 5. 在公园的一条笔直小路的一侧安装路灯（两端都装），从一端到另一端共安装了12盏路灯，相邻的两盏路灯相隔5米，这条小路长多少米？ 6. 某地举办徒步大会，全程长36千米。为了保障参赛者的饮水，主办方平均每1.5千米设置一个补给站（起点不设，终点设）。全程一共设置了多少个补给站？ 7. 在一个周长为800米的圆形花坛周围种树，每隔25米种1棵柳树，在每两棵柳树中间等距离地种了4棵桃树，这个圆形花坛的周围共种了多少棵树？ 8. 学校操场旁有一条48米长的直跑道，体育老师准备在跑道一侧每隔6米插一面彩旗（一端插，一端不插）。一共需要插多少面彩旗？ 9. 公园里人工湖与凉亭之间的景观道全长150m，管理处计划在景观道两边每隔5m摆放一盆月季花（两端不摆），一共要摆放多少盆？ 10. 在一段长度为300米的公园小路一侧，每隔15米摆放一个垃圾桶（两端都不摆放）。一共需要摆放多少个垃圾桶？ 11. 一根钢管长20米，先截去2米长生锈的部分，然后把剩下的钢管又锯了5次，锯成了一样长的短钢管。每根短钢管长多少米？ 12. 在一长400米的新修道路两旁栽种银杏树，起点和终点都栽，一共栽了202棵。如果相邻两棵树之间的距离都相等，那么相邻两棵树之间的距离是多少米？ 13. 某学校有一个周长为300米的环形跑道，每隔15米安装一盏路灯。这个跑道四周一共要安装多少盏路灯？ 14. 在一次学校艺术节的集体舞表演中，同学们排成整齐的队列。第一排左右两端的同学相隔 22.4 米，相邻两个同学之间的距离都是 1.6 米。请问第一排的同学一共站成了多少列？ 15. 一个工人用 36 分钟把一根塑料管锯成了 4 段，如果保持工作速度不变，要把每段塑料管再锯成两段，还需要多少分钟？ 16. 如果要在一个周长是 800 米的环形跑道旁均匀地栽 40 棵樱花树，也在每两棵樱花树之间均匀地栽 3 棵桃花树，一共需要准备多少棵桃花树苗？ 17. 一条新建的街道一侧安装路灯，街道全长 450 米，每隔 9 米安装一盏（一端装一端不装），一共要安装多少盏路灯？ 18. 一条骑行绿道，每隔3千米设置一个驿站，从起点到终点一共设置了7个驿站（两端都设置），这条绿道全长多少千米？先画一画，再解决问题。 19. 小华去拜访住在某公寓大楼第12层的朋友，这栋大楼每相邻两层之间都有22级台阶。小华从一楼大堂出发走楼梯，一共要爬多少级台阶？ 20. 向阳社区进行绿化建设，准备在长 120 米的健康步道两旁栽种桂花树（起点处要栽，终点处不栽）。如果每隔 5 米栽一棵，一共要栽多少棵桂花树？ 21. 林荫道一侧有一排路灯，从起点到终点一共有30盏路灯，每相邻两盏路灯之间相距8米。这条林荫道长多少米？ 22. 绿茵广场有一个圆形音乐喷泉，周长是 120 m，每隔 6 m 摆一盆一品红，相邻两盆一品红中间摆一盆万年青，一共需要多少盆植物？ 23. 某公园的小路旁有一排路灯，每相邻两盏路灯之间的距离是8米。小红从第1盏路灯跑到第250盏路灯，小红一共跑了多少米？ 附：试卷深度教研解析与思路 ■ 第 1 题 深度解析： 1. 市政工人在长120米的新建道路两旁每隔6米安装一盏路灯（两端都安装），现在为了提高照明亮度，决定改为每隔8米安装一盏路灯。那么，不需要移动位置的路灯有多少盏？ 【考点】植树问题, 最小公倍数 【难度】中等 最终答案 12 盏 思路起点 本题的思考起点在于将生活中的“路灯间距调整”转化为数学中的“公倍数”与“植树问题”。首先，抓住“道路两旁”和“两端都安装”这两个关键条件，明确可以先求单侧情况，再乘以 2。其次，寻找“不需要移动位置”的突破口：起点（0米处）的路灯位置不变，往后不需要移动的路灯所在的位置，必须既是原间距 6 米的倍数，又是新间距 8 米的倍数。因此，不需要移动的路灯之间的距离应是 6 和 8 的公倍数，求出它们的最小公倍数是解题的关键。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行求解： 1. 寻找不移动路灯的间隔规律： 原间距为 6 米，新间距为 8 米。不需要移动的路灯位置必须是 6 和 8 的公倍数。 因为 6 和 8 的最小公倍数是 24： 最小公倍数为：。 这说明从起点开始，每隔 24 米处的那盏路灯不需要移动。 2. 计算单侧不需要移动的路灯数量： 路灯在道路两端都安装，起点（0米处）的第一盏路灯是不需要移动的。 用总长度除以不移动的间隔距离，再加上起点的 1 盏： （盏） 所以，单侧有 6 盏路灯不需要移动（分别在 0米、24米、48米、72米、96米、120米处）。 3. 计算双侧不需要移动的路灯总数： 由于是在道路两旁安装，两侧数量对称相等，需要将单侧结果乘以 2： （盏） 答：不需要移动位置的路灯有 12 盏。 学生易错 1. 漏掉“双侧”条件：部分学生在解题时容易忽略题干中的“道路两旁”，仅计算出单侧的结果 6 盏，未乘以 2 得到最终结果。 2. 忽视“植树问题”的两端原则：在求单侧不移动路灯数时，直接用 盏，忘记了起点（0米处）也有一盏不需要移动的路灯，即漏加了“1”。 3. 最小公倍数求错：部分学生未能准确求出 6 和 8 的最小公倍数，直接用 作为重复安装的间隔，从而导致计算出的不需要移动的路灯数量偏少。 变式拓展 在一条长 150 米的校道两旁，原计划每隔 5 米插一面彩旗（两端都插）。为了更加美观，现决定改为每隔 6 米插一面彩旗。那么，有多少面原有的彩旗不需要被拔掉重新插？ ■ 第 2 题 深度解析： 2. 某区为了美化环境，在一条长 1200 米的景观大道两旁每隔 150 米安装一盏太阳能路灯（两端都装），施工队需要准备多少盏太阳能路灯？ 【考点】植树问题, 两端都种 【难度】中等 最终答案 18 盏 思路起点 解决本题的突破口在于将实际生活场景抽象为数学中的“植树问题”。首先，关注题目中的两个核心条件：“两端都装”和“两旁”。 1. 看到“两端都装”，应想到单侧的规律是：路灯数 = 间隔数 + 1。而间隔数可以通过“总长 间距”求得。 2. 看到“两旁”，应想到景观大道有左右两侧，求出单侧的路灯数后，需要乘以 2 得到总数。 详细解答 第一步，计算景观大道一侧的间隔数： （个） 第二步，因为两端都要安装，根据“两端都种”的规律，景观大道一侧需要安装的路灯数量为： （盏） 第三步，因为路灯是安装在景观大道的“两旁”，所以两侧共需安装的路灯数量为： （盏） 答：施工队需要准备 18 盏太阳能路灯。 学生易错 1. 忽略“两端都装”的前提，直接用间隔数作为路灯数，列式为 （盏）。 2. 漏看“两旁”这一关键信息，只计算了一侧的路灯数，列式为 （盏）。 3. 混淆植树问题的三种基本类型（两端都种、两端都不种、一端种一端不种），错用“棵数 = 间隔数 - 1”的公式计算。 变式拓展 学校在一条长 100 米的走廊两旁摆放盆栽，每隔 5 米放一盆（两端都不放），学校一共需要准备多少盆盆栽？ ■ 第 3 题 深度解析： 3. 阳光小学的两栋教学楼之间有一条长150米的通道，学校计划在这条通道两旁栽种绿植（两端不栽）。如果每隔6米栽一棵，一共需要栽多少棵绿植？ 【考点】植树问题, 两端不栽的情况 【难度】中等 最终答案 48 棵 思路起点 本题属于经典的非封闭线路“植树问题”。解决此类问题的思考起点是识别出“两端不栽”的特征，并理清“总长”、“间距”、“间隔数”与“棵数”之间的数量关系。核心步骤是：首先通过“总长 间距”求出间隔数；然后根据“两端不栽”的规律，推出单侧的棵数等于“间隔数 - 1”；最后，由于是通道“两旁”栽种，需要将单侧棵数乘以 2 得到总棵数。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行计算： 1. 求出通道一侧的间隔数 将 150 米长的通道按每 6 米分成一段，求出有多少个间隔。 列式：（个） 2. 求出通道一侧需要栽种的绿植棵数 因为通道“两端不栽”，所以绿植的棵数比间隔数少 1。 列式：（棵） 3. 求通道两旁一共需要栽种的绿植总数 通道有左右两旁，因此需要将一旁的棵数乘以 2。 列式：（棵） 综合算式： 答：一共需要栽 48 棵绿植。 学生易错 1. 混淆植树类型：学生容易混淆“两端都栽”（棵数 = 间隔数 + 1）与“两端不栽”（棵数 = 间隔数 - 1）的规律，直接用 或直接将间隔数 25 当作一侧的棵数进行计算。 2. 漏看“两旁”条件：部分学生在求出一侧的绿植数量 24 棵后，忽略了题目中“两旁”的要求，忘记乘以 2，导致得出错误答案 24 棵。 变式拓展 在一条长 200 米的运动跑道一侧安装路灯（两端都装），每隔 8 米装一盏。由于后期规划调整，需要改为每隔 10 米装一盏（两端仍装）。请问一共有多少盏路灯不需要移动位置？ ■ 第 4 题 深度解析： 4. 为了建设美丽乡村，某镇在一条长1600米的健康步道两旁栽种樱花树。要求每隔8米栽一棵（两端都栽），一共需要栽多少棵樱花树？ 【考点】植树问题, 两端都栽 【难度】中等 最终答案 402棵 思路起点 本题属于典型的植树问题。解决此类问题的核心在于厘清“总长”、“间隔长度”、“间隔数”与“棵数”之间的数量关系。思考的起点是先求出“间隔数”，然后结合“两端都栽”的实际情境，分析出单侧的植树棵数。最后，注意题目中“路的两旁”这一限制条件，将单侧棵数拓展到双侧计算。 详细解答 第一步：求出健康步道单侧的间隔数。 （个） 第二步：根据“两端都栽”的规律，求出步道单侧需要栽种的樱花树棵数。在两端都栽的情况下，植树棵数比间隔数多1。 （棵） 第三步：求步道两旁一共需要栽种的樱花树棵数。 （棵） 答：一共需要栽402棵樱花树。 学生易错 1. 忽视“两端都栽”的隐含规律，直接将求出的间隔数（200）当成植树棵数进行下一步计算。 2. 漏看题目中的“两旁”这一限定词，只计算了单侧的植树棵数（201），未乘以2。 变式拓展 在一条长1200米的公路两旁安装路灯（两端都安装），每隔30米安装一盏，一共需要准备多少盏路灯？如果改成“两端都不安装”，又需要多少盏路灯？ ■ 第 5 题 深度解析： 5. 在公园的一条笔直小路的一侧安装路灯（两端都装），从一端到另一端共安装了12盏路灯，相邻的两盏路灯相隔5米，这条小路长多少米？ 【考点】植树问题, 两端都栽 【难度】基础 最终答案 55米 思路起点 本题属于典型植树问题中的“两端都栽”类型。引导学生思考的起点是理清“物体个数”（路灯数）与“间隔数”之间的数量关系。可以通过画线段图来辅助直观理解：在两端都安装的情况下，路灯的个数总是比间隔数多1。找准“间隔数 = 路灯数 - 1”这一核心关系后，先求出间隔数，再用“路长 = 间隔数 间隔长”来解决问题。 详细解答 根据题意，在小路一侧安装路灯且两端都装，这属于“两端都栽”的植树问题。 第一步，计算间隔数： 因为两端都装路灯，所以路灯的盏数比间隔数多1。 间隔数 = 路灯盏数 - 1 即：（个） 第二步，计算小路的总长度： 已知相邻两盏路灯之间的距离是5米，小路的总长度等于间隔数乘以每个间隔的长度。 列式为：（米） 答：这条小路长55米。 学生易错 学生在解决此类问题时，常见的易错点有： 1. 忽视“两端都装”这一前提条件，直接用路灯数乘以间隔距离，列式为 米，从而多算了一个间隔的长度。 2. 混淆植树问题的不同类型，将“两端都栽”的规律记反，错误地认为“间隔数 = 棵数 + 1”，导致列式为 米。 变式拓展 在学校操场的一条直跑道一旁插彩旗（两端都插），共插了15面彩旗。如果这条跑道全长70米，那么相邻两面彩旗之间相隔多少米？ ■ 第 6 题 深度解析： 6. 某地举办徒步大会，全程长36千米。为了保障参赛者的饮水，主办方平均每1.5千米设置一个补给站（起点不设，终点设）。全程一共设置了多少个补给站？ 【考点】植树问题, 小数除法 【难度】中等 最终答案 24个 思路起点 引导学生将生活中的“补给站设置”问题抽象为数学中的“植树问题”。首先明确总长度是36千米，每个间隔长度为1.5千米，通过除法求出总共有多少个间隔。然后根据“起点不设，终点设”的实际情况，判断补给站的数量与间隔数的关系，从而找到突破口解决问题。 详细解答 第一步：分析题意。题目中路程全长为36千米，每1.5千米设一个站。我们可以通过除法求出这段路程一共有多少个间隔。 第二步：列式计算间隔数。 （个） 计算时，可将除数和被除数同时扩大10倍，转化为 。 第三步：确定补给站的数量。因为题目要求“起点不设，终点设”，这属于非封闭线路上“一端栽树、一端不栽”的植树问题。在这种情况下，所需设置的补给站数量与间隔数相等。因此，一共设置24个补给站。 完整列式过程如下： （个） 答：全程一共设置了24个补给站。 学生易错 1. 植树问题模型混淆：部分学生容易将本题与“两端都种”的情况混淆，在求出24个间隔后，习惯性地加上1，误得出25个的错误答案。 2. 小数计算失误：在进行小数除法计算时，容易在移动小数点的步骤中出错，将 误算为2.4或240。 变式拓展 在一条长2.4千米的林荫道一侧安装景观灯，每相邻两盏灯之间的距离是0.12千米。如果道路两端都要安装，一共需要安装多少盏景观灯？ ■ 第 7 题 深度解析： 7. 在一个周长为800米的圆形花坛周围种树，每隔25米种1棵柳树，在每两棵柳树中间等距离地种了4棵桃树，这个圆形花坛的周围共种了多少棵树？ 【考点】植树问题, 环形植树 【难度】中等 最终答案 160棵 思路起点 本题属于经典的环形植树问题。解决本题的关键在于把握封闭图形中“棵数等于间隔数”的规律。首先，通过圆形花坛的周长和柳树的间距，求出柳树的棵数，由于是封闭图形，这也正是柳树之间的间隔数。其次，分析每两个间隔中所种桃树的数量关系，求出桃树的总棵数。最后，将柳树和桃树的棵数相加求和；或者利用分组的思想，将“1棵柳树与4棵桃树”看作一组，乘以总组数（即间隔数）来求出总棵数。 详细解答 解题过程如下： 第一步：求柳树的棵数与间隔数。 因为花坛是圆形的（封闭图形），所以柳树的棵数等于间隔数。 柳树棵数 = 间隔数 = 800 ÷ 25 = 32（棵）。 第二步：求桃树的棵数。 每相邻两棵柳树之间有1个间隔，每个间隔内等距离地种4棵桃树。一共有32个间隔，所以： 桃树棵数 = 32 × 4 = 128（棵）。 第三步：求共种树的棵数。 方法一：将两部分树木的数量相加。 总棵数 = 32 + 128 = 160（棵）。 方法二：采用分组法。 将1棵柳树和相邻间隔内的4棵桃树看作一组，每一组共有 1 + 4 = 5（棵）树。一共有32个间隔，即32组： 总棵数 = 32 × 5 = 160（棵）。 答：这个圆形花坛的周围共种了160棵树。 学生易错 1. 混淆环形植树与直线植树：学生容易套用线段两端都植树的公式，在计算柳树数量时误用“800 ÷ 25 + 1 = 33”，从而导致后续计算全部出错。 2. 间隔数与棵数关系混淆：部分学生误认为桃树的组数是“柳树棵数 - 1”（即31组），忽略了圆形封闭区间中首尾相接，间隔数与树木棵数完全相同这一特征。 变式拓展 一个圆形人工湖的周长是1200米，环湖每隔30米安装一盏路灯。为了使夜晚更加明亮，现在决定在每两盏路灯之间等距离地加装2盏景观灯。加装后，相邻两盏灯（路灯与景观灯，或景观灯与景观灯）之间的距离是多少米？整个圆形人工湖周围一共安装了多少盏灯？ ■ 第 8 题 深度解析： 8. 学校操场旁有一条48米长的直跑道，体育老师准备在跑道一侧每隔6米插一面彩旗（一端插，一端不插）。一共需要插多少面彩旗？ 【考点】植树问题, 间隔数与棵数的关系 【难度】基础 最终答案 8面 思路起点 本题属于典型的“植树问题”。解题的切入点是先分析题目中的数量关系：路的总长度与间隔长度。我们可以通过“总长度 间隔长度”求出间隔数。接着，根据“一端插，一端不插”的实际情境，分析彩旗数量与间隔数量之间的对应关系，从而求得最终结果。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行计算与分析： 1. 计算间隔数： 已知跑道总长为 48 米，每隔 6 米插一面彩旗，也就是将 48 米按每 6 米分成一段。 列式：（个） 这说明整条跑道被分成了 8 个相等的间隔。 2. 分析彩旗数与间隔数的关系： 题目要求“一端插，一端不插”。在这种情况下，每一个间隔的一端有一面彩旗，而另一端没有。因此，彩旗的数量与间隔的数量是一一对应的，即： 彩旗数 = 间隔数 = 8（面） 3. 得出结论： 一共需要插 8 面彩旗。 答：一共需要插 8 面彩旗。 学生易错 学生在解决植树问题时，容易机械地套用公式，产生“见题就加1或减1”的思维定势。在这道题中，部分学生可能会混淆“两端都插”（棵数 = 间隔数 + 1）或“两端都不插”（棵数 = 间隔数 - 1）的情况，导致算成 面或 面。教学中应引导学生通过画线段图的方式直观理解“一端插，一端不插”时数量一一对应的关系。 变式拓展 在一条长 60 米的小路一侧每隔 5 米装一盏路灯（两端都装）。一共需要装多少盏路灯？ ■ 第 9 题 深度解析： 9. 公园里人工湖与凉亭之间的景观道全长150m，管理处计划在景观道两边每隔5m摆放一盆月季花（两端不摆），一共要摆放多少盆？ 【考点】植树问题, 间隔与棵数的关系 【难度】中等 最终答案 58 盆 思路起点 本题是一道典型的植树问题变形。解决本题的切入点是理清“间隔数”与“植树棵数”之间的对应关系。首先根据“全长 ÷ 间距”计算出总的间隔数。由于题目说明“两端不摆”，表明属于两端都不种的植树类型，因此单侧的花盆数应为“间隔数 - 1”。最后，由于是“两边”摆放，需要将单侧求得的数量乘以 2 得到总盆数。 详细解答 第一步：求出景观道单侧的间隔数。 列式：150 ÷ 5 = 30（个） 算理：用景观道的总长度除以每相邻两盆花之间的距离，求出一共有 30 个间隔。 第二步：求单侧需要摆放的月季花盆数。 列式：30 - 1 = 29（盆） 算理：因为景观道的两端都不摆放，根据两端都不种的规律，摆放的花盆数比间隔数少 1，故单侧需要 29 盆。 第三步：求景观道两边一共需要摆放的月季花盆数。 列式：29 × 2 = 58（盆） 算理：景观道有左右两边，两边都要对称摆放，所以用单侧的花盆数乘以 2，求得总盆数为 58 盆。 答：一共要摆放 58 盆。 学生易错 1. 混淆植树模型：部分学生容易把“两端不摆”记成“两端都摆”的规律，错误地进行“30 + 1”或直接将间隔数 30 作为单侧花盆数，导致结果偏大。 2. 漏看“两边”条件：中等偏下的学生在求出单侧需要摆放 29 盆后，容易忽视题目中“两边”的要求，忘记乘以 2，导致最终答案漏算了一半。 变式拓展 某新建大桥全长 1200 米，为了保障夜间通行安全，计划在大桥两侧安装路灯。每隔 40 米安装一盏（两端都要安装），一共需要安装多少盏路灯？ ■ 第 10 题 深度解析： 10. 在一段长度为300米的公园小路一侧，每隔15米摆放一个垃圾桶（两端都不摆放）。一共需要摆放多少个垃圾桶？ 【考点】植树问题, 两端不种树 【难度】基础 最终答案 19个 思路起点 解决本题的突破口是识别出这是一道典型的“两端不种树”的植树问题。思考的起点在于建立“总路程”、“间隔长度”与“间隔数”之间的数量关系。我们可以先计算出整条小路上包含多少个间隔，再结合题目中“两端都不摆放”的限定条件，分析间隔数与垃圾桶数量之间的对应关系，从而求出最终答案。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行计算与分析： 1. 首先计算小路一侧一共有多少个间隔： 利用数量关系：间隔数 = 总长度 间隔距离 列式计算为： （个） 2. 接着确定垃圾桶的个数： 因为小路的两端都不摆放垃圾桶，根据植树问题中“两端都不种”的数学模型，垃圾桶的数量应当比间隔数少1，即：垃圾桶数 = 间隔数 - 1 列式计算为： （个） 答：一共需要摆放19个垃圾桶。 学生易错 1. 规律混淆：中等偏下水平的学生容易混淆植树问题的三种基本类型，在“两端都不种”的情况下，错误地采用了“两端都种”（间隔数 + 1）或“一端种一端不种”（垃圾桶数 = 间隔数）的规律。 2. 忽视边界条件：部分学生容易在算出间隔数后，直接将 作为最终结果，遗漏了根据题目“两端不摆放”要求进行减1的步骤。 变式拓展 学校有一条长120米的走廊，计划在一侧挂一些名家画作，每隔6米挂一幅（两端都要挂）。由于画作尺寸调整，现改为每隔8米挂一幅（两端仍需挂）。请问现在比原计划少挂了多少幅画？ ■ 第 11 题 深度解析： 11. 一根钢管长20米，先截去2米长生锈的部分，然后把剩下的钢管又锯了5次，锯成了一样长的短钢管。每根短钢管长多少米？ 【考点】植树问题, 四则混合运算应用题 【难度】中等 最终答案 3米 思路起点 解决本题的核心在于理清两个数量关系：一是求出实际用于锯短的钢管长度，需要用原总长减去截去部分的长度；二是利用植树问题的规律，明确“锯的次数”与“分成的段数”之间的关系，即段数 = 次数 + 1。找准突破口后，用剩余长度除以总段数，即可求得每根短钢管的长度。 详细解答 第一步，求截去生锈部分后，剩下的钢管长度： 20 - 2 = 18（米） 第二步，计算钢管被分成了多少段。根据切割问题的规律，段数比锯的次数多1，因此锯了5次相当于分成了： 5 + 1 = 6（段） 第三步，求每根短钢管的长度，用剩下的总长度除以段数： 18 / 6 = 3（米） 答：每根短钢管长3米。 学生易错 1. 混淆“次数”与“段数”的关系：部分学生容易直接用剩余长度除以锯的次数，列式为 18 / 5，未能理解锯5次实际上会将钢管分成6段。 2. 审题不仔细：直接用原长度20米进行计算，忽略了先截去2米的前提条件。 变式拓展 一根木料长25米，先锯掉1米受损的部分。如果要把剩下的木料锯成每根3米长的短木条，一共需要锯几次？ ■ 第 12 题 深度解析： 12. 在一长400米的新修道路两旁栽种银杏树，起点和终点都栽，一共栽了202棵。如果相邻两棵树之间的距离都相等，那么相邻两棵树之间的距离是多少米？ 【考点】植树问题, 两端都栽, 双边植树 【难度】中等 最终答案 4米 思路起点 解决本题的突破口在于将“双边植树”转化为“单边植树”来思考。首先，根据“道路两旁一共栽树 202 棵”这一对称性条件，求出单侧栽树的棵数；其次，结合“起点和终点都栽”判定属于“两端都栽”的情形，找出单侧“棵数”与“间隔数”的数量关系（间隔数 = 棵数 - 1），从而计算出单侧的间隔数；最后，利用“路长 间隔数 = 间隔距离”求得相邻两棵树之间的距离。 详细解答 解题步骤如下： 1. 求单侧栽树的棵数： 因为是道路两旁对称栽树，所以一旁栽树的棵数为： （棵） 2. 求单侧的间隔数： 由于起点和终点都栽树（即两端都栽），所以单侧的间隔数比栽树棵数少 1： （个） 3. 求相邻两棵树之间的距离： 已知路长 400 米，单侧一共有 100 个间隔，则每个间隔的距离（即相邻两棵树之间的距离）为： （米） 答：相邻两棵树之间的距离是 4 米。 学生易错 1. 忽略“两旁”这一关键信息：部分学生在审题时不够仔细，忽略了“两旁栽树”的前提，直接用总棵数 202 棵去计算间隔数，导致列式为 。 2. 混淆植树问题的数量关系：对于“两端都栽”的情况，部分学生容易将其与“两端都不栽”或“环形植树”混淆，错误地使用“间隔数 = 棵数 + 1”的关系进行计算，得出 个间隔，从而导致结果错误。 变式拓展 在一条长 360 米的公路两旁安装路灯（两端都装），相邻两盏路灯之间的距离是 12 米。一共需要准备多少盏路灯？ ■ 第 13 题 深度解析： 13. 某学校有一个周长为300米的环形跑道，每隔15米安装一盏路灯。这个跑道四周一共要安装多少盏路灯？ 【考点】植树问题, 环形植树 【难度】基础 最终答案 20 盏 思路起点 本题的思考起点是识别问题的几何特征。题目描述的是在“环形跑道”这一封闭图形周围等距离安装路灯，属于典型的“环形植树问题”。在封闭的图形上，因为起点和终点重合，所以“间隔数”与“物体个数（路灯数）”具有一一对应的关系。因此，解决本题的核心数量关系是：路灯数量 = 间隔数 = 总周长 间隔距离。 详细解答 根据环形植树问题的基本算理，分步解答如下： 第一步：理解封闭图形的特征。 将一个周长为300米的环形跑道沿某一点剪开拉直，首尾两端在环形状态下是重合的。这意味着，在环形跑道上，间隔的数量正好等于路灯的数量。 第二步：计算间隔数。 跑道总长（周长）为300米，每隔15米安装一盏路灯，则间隔数计算如下： （个） 第三步：确定路灯数量。 因为在闭合曲线上：路灯数 = 间隔数， 所以需要安装的路灯数量为 20 盏。 答：这个跑道四周一共要安装 20 盏路灯。 学生易错 学生在解答此类问题时的常见易错点包括： 1. 混淆植树问题类型：受直线段两端植树（棵数 = 间隔数 + 1）的思维定势影响，部分学生在求出间隔数 20 后，会习惯性地执行加 1 操作，得出 21 盏的错误答案。 2. 混淆两端不植树类型：部分学生混淆了封闭区间与两端不种树的直线区间，进行减 1 操作，得出 19 盏的错误答案。 3. 概念理解不深：未能直观理解“封闭图形首尾重合”导致“间隔数等于物体个数”的算理，仅靠机械记忆公式，容易在不同题型间产生混淆。 变式拓展 一个圆形花池的周长是120米，在花池周围每隔6米安装一盏景观灯。为了提升夜间照明效果，现在决定将安装间隔缩短为4米（原有的景观灯如果位置合适则不移动）。那么，这个花池周围一共需要增加安装多少盏景观灯？ ■ 第 14 题 深度解析： 14. 在一次学校艺术节的集体舞表演中，同学们排成整齐的队列。第一排左右两端的同学相隔 22.4 米，相邻两个同学之间的距离都是 1.6 米。请问第一排的同学一共站成了多少列？ 【考点】植树问题, 小数除法 【难度】中等 最终答案 15 列 思路起点 本题通过学生排队的场景考察数学模型。已知队伍的总长度（左右两端的距离）以及相邻两人的间距，求队伍的总列数（人数）。由于队伍的左右两端都有同学，这可以抽象为植树问题中“两端都种树”的模型。核心数量关系为：间隔数 = 总长度 ÷ 间距，总人数 = 间隔数 + 1。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行求解： 1. 求出相邻同学之间的间隔数： 已知第一排左右两端的总距离为 22.4 米，相邻两个同学之间的距离是 1.6 米。 间隔数 = 总距离 ÷ 间距 列式为：（个） 2. 求出第一排的同学列数： 因为左右两端都有同学站立，所以同学的列数比间隔数多 1。 列数 = 间隔数 + 1 列式为：（列） 答：第一排的同学一共站成了 15 列。 学生易错 1. 遗漏两端的加一：学生容易直接用总距离除以间距，得出 14 后便直接作为答案，忽视了“两端都有人”时“人数 = 间隔数 + 1”的规律。 2. 小数除法计算失误：在计算 时，部分学生在将除数转化为整数的过程中，容易点错被除数的小数点，从而导致计算结果出错。 变式拓展 学校在一条长 120 米的直跑道一侧插彩旗，从起点到终点每隔 5 米插一面（两端都插）。由于风大，中途有两处相邻的彩旗被大风刮倒并移走了（移走的彩旗不含起点和终点处的彩旗）。请问现在跑道这一侧还剩多少面彩旗？ ■ 第 15 题 深度解析： 15. 一个工人用 36 分钟把一根塑料管锯成了 4 段，如果保持工作速度不变，要把每段塑料管再锯成两段，还需要多少分钟？ 【考点】植树问题, 间隔问题, 整数四则混合运算 【难度】中等 最终答案 48 分钟 思路起点 本题属于经典的“锯木头”问题，即植树问题的变形。解决此类问题的关键是明确“段数”与“锯的次数”之间的对应关系：一根管子锯成 段，需要锯 次。我们可以先求出锯一次需要多少时间，再分析“把每段再锯成两段”需要增加的锯割次数，最后求出还需要的时间。 详细解答 第一步：求原来锯一次需要多少时间。 把一根塑料管锯成 4 段，需要锯的次数为： （次） 已知锯 3 次共用了 36 分钟，因此锯一次所需的时间为： （分钟） 第二步：求还需要再锯多少次。 现在已经有了 4 段塑料管，要把“每段再锯成两段”，即对现有的 4 段塑料管，每段都要从中间锯 1 次（使 1 段分成 2 段）。 所以一共需要再锯的次数为： （次） （也可以这样理解：每段锯成两段后，最后共得到 段。整根塑料管若要锯成 8 段，共需要锯 次。因为之前已经锯了 3 次，所以还需要再锯 次。） 第三步：求还需要多少时间。 因为工作速度保持不变，每次需要 12 分钟，所以还需要的时间为： （分钟） 答：还需要 48 分钟。 学生易错 1. 混淆“段数”和“锯的次数”：有些学生容易直接用总时间除以段数（如 分钟），误将段数当作锯的次数来计算单次时间。 2. 对“每段再锯成两段”的实际操作理解不清：误认为只需要再锯 2 次，或者直接用最后的总段数进行错误计算，忽视了已经锯好的一部分。 变式拓展 一个工人在车间里锯一根钢管，他用 20 分钟把这根钢管锯成了 5 段。如果保持工作速度不变，要把这根钢管锯成 9 段，还需要多少分钟？ ■ 第 16 题 深度解析： 16. 如果要在一个周长是 800 米的环形跑道旁均匀地栽 40 棵樱花树，也在每两棵樱花树之间均匀地栽 3 棵桃花树，一共需要准备多少棵桃花树苗？ 【考点】植树问题, 环形植树 【难度】中等 最终答案 120 棵 思路起点 引导学生识别出这是一个封闭图形（环形）的植树问题。解决本题的关键在于理解封闭曲线上植树的特有规律，即“棵数 = 间隔数”。首先，通过樱花树的棵数确定其在环形跑道上形成的间隔数；其次，理清每个间隔内桃花树的栽种数量；最后，利用“间隔数 每个间隔栽种数 = 桃花树总数”的数量关系解决问题。在此过程中，需引导学生发现跑道的周长在此题中属于干扰信息，不参与实质计算。 详细解答 第一步，分析封闭图形的植树规律。因为跑道是环形的（封闭图形），均匀栽种 40 棵樱花树时，首尾相接，因此樱花树的棵数正好等于它们之间的间隔数。即： 间隔数 = 40（个） 第二步，明确每个间隔内栽种桃花树的数量。根据题意，在每两棵樱花树之间（即每一个间隔内）均匀栽种 3 棵桃花树。 第三步，计算桃花树的总数。用间隔数乘以每个间隔内栽种的桃花树数量： （棵） 答：一共需要准备 120 棵桃花树苗。 学生易错 1. 规律混淆：受直线段植树问题的影响，部分学生容易混淆环形植树的规律，误认为间隔数是 个或 个，从而导致计算结果偏差。 2. 干扰项影响：部分学生会受到题目中“周长 800 米”这一多余条件的影响，试图先用周长除以树的棵数去求间隔距离，导致列出繁琐且不必要的计算式，增加出错概率。 变式拓展 在一个周长是 600 米的环形湖畔周围均匀地安装了 30 盏路灯，为了美化景区，计划在每两盏路灯之间等距离地摆放 4 盆盆景。一共需要准备多少盆盆景？ ■ 第 17 题 深度解析： 17. 一条新建的街道一侧安装路灯，街道全长 450 米，每隔 9 米安装一盏（一端装一端不装），一共要安装多少盏路灯？ 【考点】植树问题, 间隔数与棵数的关系 【难度】基础 最终答案 50 盏 思路起点 解决本题的切入点是识别其属于数学中的“植树问题”。题目明确指出了“一端装一端不装”这一限制条件。我们可以通过画线段图或简化数值来寻找规律：当长度为 18 米，每隔 9 米装一盏，在一端装一端不装的情况下，刚好需要 2 盏，即 （个）间隔，对应 2 盏灯。由此可以归纳出核心数量关系：在“一端种（装）一端不种（装）”的情况下，路灯的总盏数等于间隔的个数，即：路灯数 = 间隔数 = 全长 间距。 详细解答 本题的解答过程如下： 1. 分析数量关系： 根据植树问题的基本规律，当在一条非封闭的路线上植树（或装灯），且满足“一端种一端不种”的条件时，间隔数与植树棵数一一对应，即： 2. 计算间隔数： 已知街道全长为 450 米，相邻两盏路灯之间的间距为 9 米。可以用除法求出总共被分成了多少个间隔： （个） 3. 确定路灯数： 因为“一端装一端不装”，所以路灯的数量与间隔数相等： （盏） 完整的列式计算为： （盏） 答：一共要安装 50 盏路灯。 学生易错 学生在解答此类题目时，最容易出现的错误是混淆植树问题的三种基本类型（“两端都种”、“两端都不种”以及“一端种一端不种”）。在中等偏下水平的学生中，往往存在思维定势，计算出间隔数后，习惯性地进行加 1（误认为两端都种）或减 1（误认为两端都不种）的操作，未能根据题干中“一端装一端不装”的关键信息，准确建立“路灯数 = 间隔数”的对应关系。 变式拓展 一条人行道一侧原计划每隔 6 米安装一盏路灯（两端都装），一共安装了 51 盏。现在为了节能，改为每隔 10 米安装一盏（两端仍都装），一共需要安装多少盏路灯？ ■ 第 18 题 深度解析： 18. 一条骑行绿道，每隔3千米设置一个驿站，从起点到终点一共设置了7个驿站（两端都设置），这条绿道全长多少千米？先画一画，再解决问题。 【考点】植树问题 【难度】基础 最终答案 18千米 思路起点 本题属于典型的植树问题，且符合“两端都种（设置）”的特征。解题的切入点是理清“驿站数量”与“间隔数量”之间的数量关系。我们可以通过“画一画”直观地展示出驿站与间隔的排布规律。在起点和终点都设置驿站的情况下，间隔数会比驿站数少1。先求出间隔数，再结合每个间隔的实际距离，即可求出路段的总长度。 详细解答 【画一画】 我们可以用“｜”表示驿站，用“—”表示间隔，画图分析如下： ｜——｜——｜——｜——｜——｜——｜ 通过观察直观图，一共有7个“｜”，它们之间形成了6个“—”（即间隔）。 【解决问题】 1. 计算间隔数： 因为两端都设置驿站，所以间隔数比驿站数少1。 （个） 2. 计算全长： 绿道全长 = 间隔距离 间隔数 （千米） 答：这条绿道全长18千米。 学生易错 1. 混淆植树问题的数量关系：部分学生由于没有通过画图进行分析，容易直接用驿站数代替间隔数，列式为 （千米）而得出错误答案。 2. 示意图绘制不准确：在“画一画”环节，部分学生画出的端点数量与间隔数量不一致，导致数形结合时出现偏差。 变式拓展 在一条长24千米的小路一侧植树，每隔4千米植一棵（两端都植），一共需要植多少棵树？ ■ 第 19 题 深度解析： 19. 小华去拜访住在某公寓大楼第12层的朋友，这栋大楼每相邻两层之间都有22级台阶。小华从一楼大堂出发走楼梯，一共要爬多少级台阶？ 【考点】植树问题, 整数乘法 【难度】中等 最终答案 242级 思路起点 解决本题的突破口在于将实际生活中的“爬楼梯”情境转化为数学中的“植树问题”。引导学生思考：爬楼梯的起点是在一楼，一楼地面本身是不需要爬的。因此，从1楼走到12楼，实际上只爬了 个楼层间隔。找准核心数量关系：“总台阶数 = 楼层间隔数 每相邻两层之间的台阶数”。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行计算： 1. 首先，求出小华从1楼走到12楼一共需要爬多少个楼层间隔： （个） 因为1楼是出发点，走到12楼一共跨越了11个楼层高度。 2. 接着，根据每相邻两层之间有22级台阶，计算一共需要爬的台阶总数： （级） 综合算式为： （级） 答：小华一共要爬242级台阶。 学生易错 学生在解决此类问题时，最容易掉入的陷阱是直接用目标楼层数乘以每两层之间的台阶数，即错误地列式为 （级）。这种错误的根本原因在于混淆了“楼层数”与“楼梯间隔数”，没有理解“一楼作为起点不需要爬楼梯”这一常识，从而多计算了一个间隔的台阶数。 变式拓展 小强从一楼走到五楼共走了80级台阶。如果这栋大楼每相邻两层之间的台阶数都相同，那么他以同样的速度从一楼走到十楼，一共要走多少级台阶？ ■ 第 20 题 深度解析： 20. 向阳社区进行绿化建设，准备在长 120 米的健康步道两旁栽种桂花树（起点处要栽，终点处不栽）。如果每隔 5 米栽一棵，一共要栽多少棵桂花树？ 【考点】植树问题, 间隔与棵数的关系 【难度】中等 最终答案 48 棵 思路起点 首先，我们需要分析题目属于植树问题中的哪种类型。题目指出「起点处要栽，终点处不栽」，这属于「一端栽、另一端不栽」的情形。在这种情况下，单侧的植树棵数正好等于间隔数。其次，注意题目要求在健康步道的「两旁」栽树，因此最后计算出单侧棵数后，需要乘以 2。核心数量关系为：单侧间隔数 = 总长 间距，总棵数 = 单侧间隔数 。 详细解答 根据题意，我们可以分步进行计算： 1. 计算单侧的间隔数： 健康步道长 120 米，每隔 5 米栽一棵，单侧的间隔数为： （个） 2. 确定单侧栽树的棵数： 因为「起点处要栽，终点处不栽」，根据植树问题的规律，一端栽一端不栽时，单侧栽树的棵数等于间隔数，即： 单侧栽树棵数 = 24 棵 3. 计算双侧栽树的总棵数： 因为是在步道「两旁」栽树，所以两旁的总棵数为： （棵） 综合算式为： （棵） 答：一共要栽 48 棵桂花树。 学生易错 1. 遗漏「两旁」这一限制条件，仅计算了单侧的棵数（24棵）就作为最终答案。 2. 混淆植树问题的基本类型，没有准确把握「起点处要栽，终点处不栽」的特征，错误地套用了两端都栽的公式（）或两端都不栽的公式（）。 变式拓展 为了迎接节日，市政部门准备在一条长 300 米的步行街两侧悬挂灯笼（两端都挂）。如果每隔 6 米挂一盏灯笼，一共需要准备多少盏灯笼？ ■ 第 21 题 深度解析： 21. 林荫道一侧有一排路灯，从起点到终点一共有30盏路灯，每相邻两盏路灯之间相距8米。这条林荫道长多少米？ 【考点】植树问题, 两端都栽 【难度】基础 最终答案 232米 思路起点 本题属于经典植树问题中的“两端都种”类型。解题的突破口在于理解物体个数与间隔数之间的对应关系。在从起点到终点安装路灯的过程中，路灯将道路分成了若干个均匀的间隔。因为起点和终点都有路灯，所以路灯的总盏数比间隔数多1。我们只需先求出实际的间隔数，再用间隔数乘以每个间隔的长度，即可求得林荫道的总长度。 详细解答 根据题意，林荫道的一侧从起点到终点都安装了路灯，这属于两端都安装的植树模型。 第一步：求出路灯之间的间隔数。因为两端都安装，所以间隔数比路灯数少1。 列式为：（个） 第二步：计算林荫道的总长度。用间隔数乘以相邻两盏灯之间的距离。 列式为：（米） 也可以列出综合算式： （米） 答：这条林荫道长232米。 学生易错 学生在解决此类问题时，最容易出现的错误是直接使用路灯数量乘以间隔距离，列式为 米。这主要是因为学生混淆了“物体个数”与“间隔数”的概念，忽视了起点和终点各有一盏灯这一情况，从而多算了一个间隔的长度。 变式拓展 在一条长300米的公路一侧栽树（两端都栽），每隔15米栽一棵树。一共需要准备多少棵树苗？ ■ 第 22 题 深度解析： 22. 绿茵广场有一个圆形音乐喷泉，周长是 120 m，每隔 6 m 摆一盆一品红，相邻两盆一品红中间摆一盆万年青，一共需要多少盆植物？ 【考点】植树问题, 环形植树 【难度】中等 最终答案 40 盆 思路起点 本题属于植树问题中的“环形植树”类型。解决此类问题的起点在于明确封闭图形（如圆）中“物体数量等于间隔数”的数学规律。首先，通过“周长 间距 = 间隔数”求出一品红的盆数。然后，根据环形排列中物体与间隔一一对应的关系，确定一品红之间的间隔数，进而求出万年青的盆数，最后将两者的数量相加即可。 详细解答 本题的详细解答步骤如下： 第一步：求一品红的盆数。 因为音乐喷泉是圆形的，属于封闭图形。在封闭图形中，植树的棵数（或摆放花盆的个数）等于间隔数。 列式计算为： （盆） 即一共需要一品红 20 盆，同时也意味着圆周上共有 20 个间隔。 第二步：求万年青的盆数。 由于相邻两盆一品红中间摆放一盆万年青，在环形排列中，20 盆一品红首尾相接，它们之间一共有 20 个间隔。每个间隔中摆放一盆万年青，因此万年青的盆数也等于间隔数，即 20 盆。 第三步：计算植物的总盆数。 将两类植物的盆数相加： （盆） 也可以理解为：每个间隔内包含一盆一品红和一盆万年青（共 2 盆），共有 20 个间隔： （盆） 答：一共需要 40 盆植物。 学生易错 1. 混淆环形与直线植树的规律：部分学生容易套用直线植树“两端都种”的公式，将一品红的数量误算为 盆；或者套用“两端不种”的公式，将万年青的数量误算为 盆。 2. 漏算其中一种植物：部分学生在求出一品红的数量后，没有仔细审题，漏掉了间隔中摆放的万年青，直接将 20 盆作为最终答案。 变式拓展 学校有一个周长为 200 m 的环形跑道，每隔 8 m 插一面红旗，相邻两面红旗中间插一面黄旗。如果每面红旗 15 元，每面黄旗 10 元，购买这些彩旗一共需要多少钱？ ■ 第 23 题 深度解析： 23. 某公园的小路旁有一排路灯，每相邻两盏路灯之间的距离是8米。小红从第1盏路灯跑到第250盏路灯，小红一共跑了多少米？ 【考点】植树问题, 间隔数与棵数的关系 【难度】中等 最终答案 1992米 思路起点 引导学生将生活场景抽象为数学中的“植树问题”。思考的突破口在于厘清“路灯的盏数”与“间隔的数量”之间的对应关系。我们可以通过画简图进行直观分析：例如从第1盏灯到第3盏灯，中间实际上只有 个间隔。由此归纳出规律：在一排直线上，两端都有物体时，间隔数等于物体总数减1。找准“总路程 = 间隔数 间距”这一核心数量关系，即可顺利求解。 详细解答 本题属于植树问题中“两端都种树”的类型，具体解答过程如下： 1. 求间隔数： 小红从第1盏路灯跑到第250盏路灯。因为第1盏路灯是起点，所以两端都有路灯，路灯之间的间隔数应该比路灯的总盏数少1。 列式：（个） 2. 计算总距离： 已知每相邻两盏路灯之间的距离是8米，小红跑的总路程即为249个间隔的总长度。 列式：（米） 答：小红一共跑了1992米。 学生易错 学生在解决此类问题时，最容易出现的错误是直接用路灯的数量去乘以间距（即列式为 米）。产生这种错误的原因是未能深入理解“点”与“段”的关系，混淆了路灯的盏数和间隔的个数，从而多算了一个间隔的距离。 变式拓展 小明家住在一栋高层住宅楼内，他从1楼走到5楼一共走了80级台阶。如果每相邻两层楼之间的台阶数都相同，那么他用同样的速度从1楼走到12楼，一共需要走多少级台阶？ 学科网（北京）股份有限公司 $