广东省广州市2025-2026学年八年级下学期期末冲刺数学模拟卷

**基本信息** 立足广州八年级期末冲刺，以人形机器人测试、赵爽弦图等真实情境为载体，覆盖二次根式、一次函数、几何综合等核心知识，通过基础计算到动态探究的分层设问，发展数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次根式有意义条件、方差稳定性|结合广州农科院荔枝试验考查数据意识| |填空题|6/24|勾股定理应用、加权平均数|以赵爽弦图渗透文化传承| |解答题|9/86|一次函数交点与动点、正方形动态探究|人形机器人运动问题构建函数模型，培养应用意识；正方形动态几何题发展推理能力与创新意识|

2025-2026学年广东省广州市八年级下学期期末冲刺数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　） A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2 2．如图，在中，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 3．广州市农科院对糯米糍、桂味两个品种的荔枝用相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为，则下列说法正确的是（    ） A．糯米糍比桂味的产量稳定 B．桂味比糯米糍的产量稳定 C．糯米糕、桂味的产量一样稳定 D．无法确定哪一品种的产量更稳定 4．将直线沿y轴向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式是（ ） A． B． C． D． 5．如图，张军同学家（记作）在广州东站（记作）南偏西的方向且相距，王强家（记作）在广州东站南偏东的方向且相距，则张军家与王强家的距离为（   ） A． B． C． D． 6．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．矩形四个角都相等 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．菱形的四条边相等 D．菱形的对角线互相垂直 7．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），则下列说法正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．关于的方程的解为 C．当时， D．， 8．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第个数据应是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，点为边上一点且，与关于轴对称，若，则线段的长为（） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11． ______． 12．一次函数的图象经过点，，则_______（填“＞”或“＜”或“＝”）． 13．我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为___________． 14．如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么正方形的面积是_________． 15．一次演讲比赛中，某位选手演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩分别为90分，85分，80分，若按的比例计算综合成绩，则该选手的综合成绩为________． 16．如图，在边长为的正方形中，的顶点，分别在，边上，且，连接分别交，于点，其中，则 ______． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）计算： (1)； (2)． 18．（6分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 19．（8分）如图，在中． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)尺规作图：在（1）问所得的角平分线上取一点，使得； (3)求点D到的距离． 20．（8分）如图，已知直线与直线交于点A，且直线分别与x轴，y轴交于点C，点B． (1)求点A，B，C的坐标； (2)观察图象，直接写出直线在直线上方时对应的自变量取值范围； (3)若点是直线上的一个动点，且满足，求点P坐标． 21．（8分）某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 90 70 八年级 a b c (1)上述表中，_______，_______，补全七年级的箱线图（用黑色签字笔画）； (2)求八年级所抽取的学生成绩的平均数的值； (3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； (4)根据箱线图和四分位数，分析比较两个年级的成绩情况．（写两点，每点1分） 22．（10分）如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，四边形满足_____________时，四边形是正方形．（直接写答案） 23．（12分）2026年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有，两地，机器人甲、乙分别从，两地同时出发，机器人甲以360米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后，立即以米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后停止运动，机器人乙到达地一段时间后，机器人甲也到达地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离（米）与机器人甲行进的时间（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)，两地之间的距离为 米，图中的值为 ； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600米？（直接写出答案即可） 24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中有一矩形，已知点坐标为，直线的解析式为． (1)求点的坐标及的长度； (2)若中的点沿轴平移个单位长度后得到点；过点作直线交直线于点；过点作轴并交轴于点： ①在直线上有一动点，使得，求的值； ②将与矩形重叠的部分记作，请直接写出和之间的关系式． 25．（14分）已知正方形，点分别是与上的动点，连接，且 (1)【初步证明】如图（1）求证，请在下述证明的基础上，完成第（1）问的证明过程． 证明：过点作交的延长线于点， 四边形为正方形 ， …… (2)【类比探究】 如图（2）连接正方形对角线分别交于点、，探究的数量关系，并证明你的结论． (3)【问题拓展】 如图（3）过点作交的延长线于点，连接． ①求证； ②探究线段的数量关系，并证明你的结论． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省广州市八年级下学期期末冲刺数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　） A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2 【答案】A 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−2≥0，解得x≥2． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件． 2．如图，在中，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉定理内容是解题关键；直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：； 故选：A． 3．广州市农科院对糯米糍、桂味两个品种的荔枝用相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为，则下列说法正确的是（    ） A．糯米糍比桂味的产量稳定 B．桂味比糯米糍的产量稳定 C．糯米糕、桂味的产量一样稳定 D．无法确定哪一品种的产量更稳定 【答案】B 【分析】本题考查了方差的意义：方差反映一组数据在其平均数左右的波动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳定．比较两个品种的方差即可得出结论． 【详解】解：糯米糍的方差为，桂味的方差为． 因为，所以桂味的产量波动更小，更稳定． 因此，桂味比糯米糍的产量稳定， 故选：B． 4．将直线沿y轴向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 直线平移时，沿y轴方向平移只需调整常数项，向上平移3个单位即在原解析式后加3． 【详解】解：原直线为，向上平移3个单位长度后，所有点的纵坐标增加3； 因此，平移后的解析式为， 故选：A． 5．如图，张军同学家（记作）在广州东站（记作）南偏西的方向且相距，王强家（记作）在广州东站南偏东的方向且相距，则张军家与王强家的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的应用，根据题意，结合图形，利用勾股定理可得到结果． 【详解】解：如图，连接， 依题意，，，，， ， ， ， 故选：B． 6．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．矩形四个角都相等 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．菱形的四条边相等 D．菱形的对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定、对顶角、命题，熟练掌握特殊四边形的判定是解题关键．先写出各命题的逆命题，再根据矩形、正方形、菱形的判定、对顶角逐项判断即可得． 【详解】解：选项A：原命题“矩形四个角都相等”的逆命题为“四个角都相等的四边形是矩形”．根据矩形判定定理，四个角相等的四边形是矩形，逆命题为真． 选项B：原命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的逆命题为“矩形的对角线相等且是平行四边形”．矩形本身是平行四边形，且对角线相等，逆命题为真． 选项C：原命题“菱形的四条边相等”的逆命题为“四条边相等的四边形是菱形”．根据菱形定义，四边相等的四边形是菱形，逆命题为真． 选项D：原命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题为“对角线互相垂直的四边形是菱形”．存在对角线垂直但非菱形的四边形（如对角线垂直但边不相等的普通四边形），逆命题为假． 故选：D． 7．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），则下列说法正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．关于的方程的解为 C．当时， D．， 【答案】B 【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴k＞0，b＞0，y随x的增大而增大，故A、D错误； 又∵图象与x轴交于（-2，0）， ∴kx+b=0的解为x=-2，故B正确； 当x＞-2时，图象在x轴上方，y＞0，故C错误； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 8．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查菱形的性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，根据勾股定理求出的长是解题的关键．由菱形的性质得，，，则，继而证明是的中位线，即可解答． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 点为的中点， 是的中位线， ． 故选：B． 9．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简，根据数据可得第个数为，据此即可求解，由已知数据找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴个数据应是， 故选：． 10．如图，在中，，，点为边上一点且，与关于轴对称，若，则线段的长为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至点M，使，连接，过点D作于点F，先证明是的垂直平分线，则，继而证明四边形是矩形，可推导出，再证明，可得，由勾股定理，求出，即可解答． 【详解】解：延长至点M，使，连接，过点D作于点F， 如图，有， 由轴对称，得 ∴， ， 即是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11． ______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．一次函数的图象经过点，，则_______（填“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵一次函数的， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 13．我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 在中，由勾股定理可得， 又∵， ∴， 故答案为：． 14．如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么正方形的面积是_________． 【答案】1 【分析】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理是解决问题的关键．根据勾股定理求出另一条直角边，进而求出小正方形的边长，即可答案． 【详解】解：由题意知，在正方形中，，，和是四个全等的直角三角形， ∴， ，， ∴， ∴正方形的边长为：， 正方形的面积． 故答案为：1． 15．一次演讲比赛中，某位选手演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩分别为90分，85分，80分，若按的比例计算综合成绩，则该选手的综合成绩为________． 【答案】分 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式． 根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该选手的综合成绩为（分）， 故答案为：87分． 16．如图，在边长为的正方形中，的顶点，分别在，边上，且，连接分别交，于点，其中，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，可知，，根据正方形的性质得到，，，进而得到，证明，，，，根据勾股定理求出，设，由勾股定理求出即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，如图所示： ，， 在正方形中，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则． （1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式计算，再算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，命题得证； （2）根据矩形和菱形的性质可得，，从而计算出菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 19．（8分）如图，在中． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)尺规作图：在（1）问所得的角平分线上取一点，使得； (3)求点D到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图及性质、线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧与相交；再以两交点为圆心，同一半径画弧即可完成作图； （2）作出线段的垂直平分线即可； （3）作，证，得，；根据，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：即为所求 （2）解：如图所示：点即为所求 （3）解：作，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点D到的距离为． 20．（8分）如图，已知直线与直线交于点A，且直线分别与x轴，y轴交于点C，点B． (1)求点A，B，C的坐标； (2)观察图象，直接写出直线在直线上方时对应的自变量取值范围； (3)若点是直线上的一个动点，且满足，求点P坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）联立可得点A的坐标，分别令，可得B，C的坐标，进而问题可求解； （2）根据图象及（1）可直接进行求解； （3）设点P为，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得， ， 在中，令，则， ， 令，则，解得：， ； （2）解：由图象可知：直线在直线上方时对应的自变量取值范围为； （3）解：设点P为， ，， ，， ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，， 当时，， 或， 综上所述：点P的坐标为或． 21．（8分）某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 90 70 八年级 a b c (1)上述表中，_______，_______，补全七年级的箱线图（用黑色签字笔画）； (2)求八年级所抽取的学生成绩的平均数的值； (3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； (4)根据箱线图和四分位数，分析比较两个年级的成绩情况．（写两点，每点1分） 【答案】(1)， (2) (3)300人 (4)①两个年级成绩的第二四分位数（中位数）相同，而七年级成绩的箱体宽度明显比八年级长，因此八年级学生成绩更稳定．②七年级同学的上四分位数与八年级的最高分持平，说明七年级有25%的学生成绩比八年级的最高分要高；（或③两个年级成绩的第二四分位数（中位数）相同，而七年级上四分位数与最大值均高于八年级，说明七年级学生高分段优势明显，答案不唯一） 【分析】（1）根据中位数，众数的定义解答，再根据七年级学生成绩的中位数补全箱线图； （2）根据平均数的定义解答； （3）用600乘以成绩超过90分的人数所占的百分比解答； （4）结合箱线图，并根据中位数的意义分析即可． 【详解】（1）解：一共有12名学生的成绩，第6,7名的成绩为89,91，所以中位数；众数；七年级所抽取学生的中位数是90，补全七年级的箱线图略； （2）解：， 所以八年级所抽取的学生成绩的平均分是87分； （3）解：八年级随机抽取的12名学生中90分以上的有6人，， 所以该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的有300人； （4）略 22．（10分）如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，四边形满足_____________时，四边形是正方形．（直接写答案） 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 在中，点分别是的中点， ∴， 在中，点分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． (2)证明： 如图所示，连接， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵由（1）知，四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）连接，利用三角形中位线的性质证明即可； （2）连接，根据三角形中位线的性质转化为平行四边形的邻边相等证明即可； （3）根据三角形中位线的性质转化为菱形有一个角为证明即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：四边形满足时，四边形是正方形，理由如下： ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形． 23．（12分）2026年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有，两地，机器人甲、乙分别从，两地同时出发，机器人甲以360米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后，立即以米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后停止运动，机器人乙到达地一段时间后，机器人甲也到达地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离（米）与机器人甲行进的时间（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)，两地之间的距离为 米，图中的值为 ； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)3600，6 (2) (3)5分或7分或20分 【分析】（1）由图可知距离为米，甲乙相向而行，相遇时间为总路程除以甲乙速度和，即可求出的值； （2）由（1）得：，由题意可知G点为甲到达B地的点，根据甲、乙速度得到，设解析式为，根据待定系数法求解即可； （3）先求出n的值，进而分四种情况作答即可． 【详解】（1）解：时，甲乙还未出发，距离就是A、B两地距离，因此距离为米； 甲乙相向而行，速度和为米/分， 相遇时间（分）， 因此； （2）解：由（1）得：，由题意可知G点为甲到达B地的点， 甲走完全程的时间为分钟， 此时乙走了米， 因此甲乙距离为2400米， 即． 设解析式为，代入两点坐标： ， 解得：， 因此的解析式为：； （3）解：由图象可知，两地距离为米． 乙从匀速跑到，速度为米/分， 因此乙走完全程的时间为：分钟 即图中点对应的时间分钟， 此时乙已经到达地，甲乙相距米，从甲开始返回到乙到达地，一共经过了分钟，甲返回走了米， 因此， 即甲到达B后返回速度为米/分，返回全程需分钟，总耗时分钟， 乙从B到A速度为米/分，走完全程到A的时间为分钟， 设甲行进时间为分钟，甲乙距离米，分阶段计算： 阶段1：相遇前（）， 甲乙相向而行，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 阶段2：相遇后，甲未到B地（）， 相遇后甲乙背向而行，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 阶段3：甲到B开始返回，乙未到A地（）， 甲在B后返回，乙仍向A行走，两人距离满足：， 该阶段的范围是，始终大于600，此阶段无解； 阶段4：乙到达A停止，甲仍在返回途中（）， 乙已经停在A点，两人距离就是甲到A点的距离，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 综上所述，机器人甲行进时间为5分或7分或20分时，甲乙相距600米． 24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中有一矩形，已知点坐标为，直线的解析式为． (1)求点的坐标及的长度； (2)若中的点沿轴平移个单位长度后得到点；过点作直线交直线于点；过点作轴并交轴于点： ①在直线上有一动点，使得，求的值； ②将与矩形重叠的部分记作，请直接写出和之间的关系式． 【答案】(1)点的坐标为，； (2)①的值为；②． 【分析】（1）令，则，可求得点的坐标为，再利用勾股定理即可求得； （2）①根据题意可得，再利用三角形面积公式求解即可； ②分两种情况讨论，分别求得各点的坐标，利用三角形或梯形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴点的坐标为， ∵点坐标为， ∴； （2）解：①∵直线，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴的值为； ②当点在线段上，此时， 直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为， 令，则，解得， ∴点的坐标为， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上，此时， 直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 令，则，解得， ∴点的坐标为， ∴，，∴； 综上，． 25．（14分）已知正方形，点分别是与上的动点，连接，且 (1)【初步证明】如图（1）求证，请在下述证明的基础上，完成第（1）问的证明过程． 证明：过点作交的延长线于点， 四边形为正方形 ， …… (2)【类比探究】 如图（2）连接正方形对角线分别交于点、，探究的数量关系，并证明你的结论． (3)【问题拓展】 如图（3）过点作交的延长线于点，连接． ①求证； ②探究线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：过点作交的延长线于点， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， 又， ， ， ， ； (2)解：，证明如下： 如图（2）所示，过点D作且使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； ∵，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得 ∴； (3)①证明：如图（3）所示，在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：，证明如下： 如图（3）所示，过点H作交直线于点T，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 由（3）①得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（3）①得，， ∴，，即； ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； 由（3）①得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点作交的延长线于点，证明，得到；再证明，得到，则可证明； （2）过点D作且使得，连接，证明，得到，；再证明，得到；由勾股定理得，则； （3）①在上截取，连接，证明是等腰直角三角形，即，则可证明，得到；证明，得到，则可推出，进而得到，据此可证明；②过点H作交直线于点T，连接，证明，得到，则；证明，则可证明，得到，进而推出，则可证明，；证明，得到；由勾股定理得，，，根据，得到，再根据，可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $