解答题压轴-数轴动点问题-（重庆适用）-2025-2026学年七年级上册人教版数学

数轴动点问题 压轴专题 学生版 【目 录】 【知识梳理】 2 【专题过关】 3 题型一：动点规律探究 3 题型二：两点间的距离表示 4 题型三、已知线段长或线段关系求时间问题（单动点） 6 题型四、已知线段长求时间问题（双动点） 9 题型五、已知线段关系求时间问题（双动点） 17 题型六、判断定值问题（双动点） 24 题型七、往返运动问题 40 题型八、变速运动问题 49 题型九、折线数轴动点 54 题型十、三动点问题 64 题型十一、线段运动问题 67 【知识梳理】 1．数轴上两点间的距离 即为这两点所表示的数的 ，也即用右边的数减去左边的数的差．即数轴上两点间的距离 = ． 2．点在数轴上运动 由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度．这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标．即一个点表示的数为，向左运动个单位后表示的数为_______；向右运动个单位后所表示的数为________． 3．数轴是数形结合的产物 分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系． 4．动点问题的解题步骤 （1）列点：将已知点用具体的数表示，未知动点用含t的式子表示（数形结合） ①点的左右移动：数轴上的点向____移动用减法，移动几个单位长度就______几， 向____移动用加法，移动几个单位长度就_______几． ②点的表示：通常用含t的式子表示数轴上的动点，可根据动点的位置、速度和移动的方向将点表示出来． （2）列线：利用两点间距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来（转化思想） 数轴上两点之间的距离三种表示方式： ①如果两个点所表示的数的大小已知，直接用__________________ ②如果两个点所表示的数的大小未知，则用____________________； ③动点的起始点和终止点之间的线段可以用____________________． （3）列式：解决数轴上的动点问题的一个重要方法就是方程法，可以根据题目中的线段之间的数量关系，列出方程并解方程（方程思想） 5．动点问题的常用工具 ①中点公式：如图，数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，且B为A、C中点，则b= ②解绝对值方程： ||=，则=_____ | |=||，则 =_____ |- |+|- |= ③分类讨论思想： 【专题过关】 题型一：动点规律探究 1．如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字（     ）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 2．正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2021对应的点是（     ）． A． B． C． D． 3．如图，将直径为1个单位长度的圆从原点处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，使圆上的点A从原点运动至数轴上的点B，则点B表示的数是_______. 4．正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别是0、1，若正方形绕顶点沿逆时针方向连续翻转，第一次翻转后点所对应的数为，第二次翻转后点所对应的数为，则翻转2023次后点所对应的数是（　　） A． B． C． D． 5．一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，将圆的周长分为个单位长度，在圆的等分点处标上数字，，，，先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字 重合． 7．如图，圆的周长为4个单位长．数轴每个数字之间的距离为1个单位长，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示﹣2的点重合…），则数轴上表示﹣2020的点与圆周上表示数字______的点重合． 题型二：两点间的距离表示 1、（1）在数轴上到表示的点距离为5的点所表示的有理数是 ； （2）点为数轴上表示的点，若将点沿数轴一次平移一个单位，平移两次后到达点，则点表示的数是 ． 2、已知表示互为相反数的两个数的点A，B在数轴上的距离是10，其中点A在点B的左侧．现在点A沿着数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C的位置．设点A的运动速度为每秒1.5个单位长度，求点C在数轴上表示的数． 3、如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，满足，， (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） 4、如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为12，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）． (1)当时，点P表示的有理数是______； (2)当点P与点B重合时，______； (3)①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离是______，点P表示的有理数是______．（用含t的代数式表示）； ②在点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离是______．（用含t的代数式表示） 题型三、已知线段长或线段关系求时间问题（单动点） 1． 在数轴上，点表示的数为，点以每秒3个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动经过 秒，点与原点的距离为个单位长度． 2．如图，已知点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若，则运动时间为 秒． 3. 如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为12，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．当t= 时，． 4．如图，，为数轴上的两点，点表示的数为，点表示的数为．现有一只电子蚂蚁从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向右运动． (1)经过秒后，用含的代数式表示电子蚂蚁所在的位置表示的数． (2)当为何值时，电子蚂蚁所在的位置到点的距离为？ 5．如图，在数轴上点表示的有理数为，点B表示的有理数为，点从点出发以每秒个单位长度的速度在数轴上由向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒个单位长度的速度运动至点停止运动． (1)求当运动时间为秒时点表示的有理数； (2)当点与点重合时，求运动时间； (3)当点表示的有理数与原点的距离是个单位长度时，直接写出运动时间． 6．已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 7．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 题型四、已知线段长求时间问题（双动点） 1．如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点与点之间的距离记作．已知，则；若点以每秒1个单位的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点以每秒2个单位的速度从点出发沿数轴向左运动，设运动时间是秒．当点与点之间的距离是8时，则的值为（    ）秒．    A． B．1 C．或7 D．或 2．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是2，表示点A与点B之间的距离．若P从点A出发，M从点B出发，P、M同时向数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为（    ） A． 秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 3．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，满足．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点P、Q同时出发，点P与点Q间的距离为4个单位长度时，点P运动的时间t为（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 4．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且． (1)若点M，N分别是线段的中点，求线段的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若点同时出发，问点运动多少秒时，与相距5个单位长度？ 5．点P，Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位长度、4个单位长度，它们运动的时间为． (1)如果点P，Q都向左运动，当点Q追上点P时，求点P对应的数； (2)如果点P，Q在点A，B之间相向运动，当时，求点P对应的数． 6．如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足，动点P从点O出发向右以每秒的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为v；运动时间为t． (1)求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值． (2)若Q的速度v为每秒，那么经过多长时间P，Q两点相距？ 7．已知a是最大的负整数，b是的相反数，且a、b分别是点A、B、在数轴上对应的数． (1)求a、b的值，并在数轴上标出点A、B． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，若运动t秒后，点P可以追上点Q，求t的值？ 8．如图，点、均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上的两个动点． (1)直接写成点所对应的数为______． (2)当点到点、的距离之和是6个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点、出发，且均沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度匀速运动．若点先出发5秒时点出发，当、两点相距2个单位长度时，直接写出此时点、分别对应的数． 9．如图，数轴上有两个点A，B，分别表示的数是，6．请回答以下问题： (1)点A与点B之间的距离为__________； (2)若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右做匀速运动，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，P，Q两点同时出发，设运动的时间为t秒． ①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？ ②当点P运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为3个单位长度？ 10．如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为，4，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向左运动．如果设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)运动前线段的长为___________；运动1秒后线段的长为___________； (2)求t为何值时，点A与点B恰好重合； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； (3)当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 题型五、已知线段关系求时间问题（双动点） 1．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a，b满足． (1)求A、B两点之间的距离； (2)点C在A点的左侧，D在B点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点C与点D之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点P以3个单位/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等． 2．如图，数轴上点表示的数分别为．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当时，运动的时间为（   ） A．15秒 B．25秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒 3．如图，数轴上点表示的数为，点B表示的数为16，点P从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．当 时，． 4．数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当时，则 秒． 5．如图，数轴上点A表示的数为6，点A在点B的右边，且A与B的距离是10，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点B表示的数是 ； (2)点P表示的数是 （用含t的代数式表示）；点Q表示的数是 （用含t的代数式表示）； (3)若点P与点Q相距6个单位长度，则t的值为 ； (4)若，则t的值为 ； 6．在数轴上点A表示的数是6，点B位于点A的左侧，与点A的距离是12个单位长度． (1)点B表示的数是 ． (2)动点P从点B出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒，点P到两点的距离相等． (3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴向左，以每秒1个单位长度的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 7．在数轴上，点A，B，C所表示的数分别为，x，7，动点P是从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（）秒． 【问题提出】 （1）的长度是 ，运动t秒后，点P表示的数是 ，当点P在A．C两点间时，请用含t的式子表示的长度是 ； 【问题探究】 （2）若，求x的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若动点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点P、Q同时出发，当时，请直接写出t的值． 8．如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知，原点O是线段上的一点，且． (1)______，______； (2)若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，． 9．如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发．以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为t（s）．    (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)当时，直接写出t的值． 10．阅读下列材料，并回答问题： 我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况，比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和9的点，（如图所示），，两点间的距离是12，而，因此不难看出就是数轴上表示和9两点间的距离． (1)根据的几何意义可知　　（填“”“ ”“ ” ； (2)说出的几何意义，并求出当时的值． (3)点、点为数轴上的两个动点，点从点以3个单位长度每秒的速度向右运动，点同时从点以2个单位长度每秒的速度向左运动，设运动时间为秒，若，求时间的值． 题型六、判断定值问题（双动点） 1．点、在数轴上所表示的数如图所示，是数轴上一点： (1)将点在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点，求出、两点间的距离是多少个单位长度． (2)若点在数轴上移动了个单位长度到点，且、两点间的距离是4，求的值． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 2. 如图，已知数轴上的点A对应的数为6，是数轴上的一点，且，动点从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点对应的数是 ，点对应的数是 ， （用的式子表示）； (2)动点从点与点同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长. 3．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数；点表示的数（用含的代数式表示） (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，问点运动多少秒时追上？ (3)若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 4．已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达点，再从点向右移动12个单位长度到达点．点是线段的中点． (1)点表示的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点分别从点出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 5．数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美的结合，如：数轴上点表示的数为，点表示的数为，则两点之间的距离为．如图所示，点为数轴上的三个点，表示的数分别为，满足，且为的倒数．动点，分别从点出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，三个动点同时出发，设运动的时间为秒（），请回答下列问题： (1)直接写出的值：______，______，______； (2)当时，求的值； (3)在运动过程中，的值是否发生变化？若发生变化，请用含的式子表示；若不发生变化，请求出的值． 6．是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，，点为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)数轴上点表示的数是______； (2)若，求的值； (3)若点以每秒2个单位长度的速度从原点向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 7．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为． (1)若，则 ； (2)若，则 ；若 ，则 ； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 8．如图，已知点A和点B在数轴上对应的有理数分别为a和b，且． (1)填空： ， ； (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度，……，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第101次时，求点P所对应的有理数； (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒个单位长度的速度向左运动且点D一直在点A的右侧，运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求m的值． 9．已知多项式中，四次项的系数为，多项式的次数为，常数项为，且的值分别是点在数轴上对应的数，点从原点出发，沿方向以1单位的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点O匀速运动（点分别运动到点C、O时停止运动），两点同时出发． (1)分别求的值； (2)若点运动速度为3个单位，经过多长时间两点相距7个单位长度； (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 10．如图，在数轴上点A表示的数是，点表示的数是，且．    (1)直接写出的值，________，________，________； (2)动点从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点在数轴上运动，点的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，设它们的运动时间为秒． ①若点A向右运动，点向左运动，，求的值； ②若点A向左运动，点向右运动，在原点右侧有一点，问是否存在的值使得关系式成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 11．已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且，在数轴上对应的点分别为，，点为数轴上任意一点，对应的数为． (1)________，________，并在数轴上标出，； (2)当点为线段的三等分点时，求的值； (3)在（2）的条件下，若点离点较近时，点、、分别从点、、同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 12．如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．    (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______，点与点的中点为，则点表示的数为______；运动秒后，点表示的数为______（用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，点是线段的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 13．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 14．【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 15．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且． (1)点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？ (2)点A、B以（1）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 16．已知数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． 若点、、在数轴上对应的数为、、0，且关于的多项式是二次三项式，点、分别从点、出发，同时向右匀速运动，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)直接写出 ． (2)①用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_________，点表示的数为_______． ②当，求的值； (3)若点为线段的中点，为线段的中点，、在运动的过程中，的值会随着的改变而改变，请求出当满足什么条件时，有最大值，最大值是多少？ 题型七、往返运动问题 1．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且关于x的多项式是七次二项式． (1) ， ； (2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动．且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； (3)若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 2．如图，数轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，O为原点，且a、b满足，请回答下列问题： (1) ， ； (2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍； (3)数轴上还有一点C表示的数为30，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4． 3．如图，，动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动（掉头时间忽略不计）．当第一次回到点时两个点同时停止运动，当点运动 秒时，点恰好是的中点． 47．如图，数轴上点A、C对应的数分别为a、c，且a、c满足．点B对应的数为．    (1)求a、c的值； (2)点A，B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，当A，B两点到原点的距离相等时，求t的值； (3)在（2）的条件下，若点B运动到点C处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A运动至点C处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点 C运动，当点B停止运动时，点随之停止运动，在此运动过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数是_______． 4．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和20，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向一直匀速运动，点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为秒． (1)分别求当及时，对应的线段的长度； (2)当时，求所有符合条件的的值．并求出此时点所对应的数； (3)若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，速度变为每秒3个单位长度．到达点时，再次改变运动方向，沿数轴的正方向一直运动．速度变为每秒4个单位长度，在点的整个运动过程中，是否存在合适的值，使得？若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请明理由． 5．如图，已知数轴上点A表示的数为，B、C是数轴上原点右侧的点，其中，，B是的中点．    (1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ； (2)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，多少秒后点M与点C相距3个单位长度？ (3)动点P、R分别从点A、B同时出发，分别以每秒2个、1个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1.5个单位长度的速度向左匀速运动，每当两动点相遇时，相遇的两动点会立即以原速往相反方向运动，令运动时间为t，当时，求t的值． 6．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数． (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 7．思考并解答下列问题： (1)已知数轴上有M、N两点，点M与原点的距离为4，M、N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是 ． (2)在纸面上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示5的点重合，若数轴上E、F两点之间的距离是8（E在F左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是 ，点F表示的数是 ； (3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？ 8．如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上位于A左侧一点，且． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇． (3)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若P，Q，R三点同时出发，当点P遇上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 9．如图，在数轴上记原点为点O，已知点C表示数c，点D表示数d，且c，d满足，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点C与点D之间的距离记作． (1)求的值； (2)若甲、乙两动点分别从C，D同时出发向右运动，甲的速度为每秒3个单位，乙的速度为每秒1个单位，当甲和乙重合时，甲，乙停止运动．当甲到达原点O时，动点丙从原点O出发，以每秒4个单位长度的速度也向右运动，当丙追上乙后立即返向甲运动，遇到甲后再立即返向乙运动，如此往返，直到点甲、乙、丙全部相遇就停止运动，设此过程中丙的速度大小不变求在此过程中丙行驶的总路程，以及丙停留的最后位置在数轴上所对应的有理数： (3)动点A从C出发，以每秒2个单位速度往x轴的正方向运动，同时动点B从D出发，以每秒3个单位速度向点C方向运动，到达C点后立即沿x轴的正方向运动，且点B速度大小不变，设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，直接写出t的值：若不存在，说明理由． 题型八、变速运动问题 1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为：或，请回答问题： (1)当时，___________； (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则_________； (3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，若点P表示的数是8，现在甲从点M出发，以每秒1个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点P出发，以每秒3个单位长度的速度向点N运动，当乙到达点N时立即折回，然后以每秒2个单位长度的速度向右运动，问当经过多少秒时，甲乙相距2个单位长度？ 2．如图，一条数轴上点A表示，点B表示10，点C表示20．动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）当 秒时，点P运动到O点． （2）当 秒时，． 3．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为，定义：或，请回答问题： (1)设点M在数轴上对应的数为x，点N在数轴上对应的数为y，若，则 ． (2)设数轴上点P对应的数为p，且，求p的值； (3)如图，点A，B，C是数轴上的三点，点A表示的数为4，点C表示的数为，点B表示的数是9． 现甲从点A出发，以每秒2个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向点C运动，当乙到达点C时休息3秒后立即折回，再以每秒3个单位长度的速度向右运动时，此时甲以每秒1个单位长度的速度继续向右运动． 问：当经过多少秒时，甲、乙相距2个单位长度？ 4．如图：数轴上A，B，C三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为. 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为. (1)填空：若，则__________.若，则__________. (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为8； (3)若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和. 5．数轴上点对应的数分别为，其中满足，点为数轴上一动点． (1)______，______； (2)若点到点的距离之和为55，求点对应的数； (3)若点从点以2个单位每秒的速度向点运动，到达点后立即掉头，速度变为原来的3倍，当点运动3秒后，点与点同时出发，点从点以1个单位每秒的速度向左运动，点以5个单位每秒的速度从表示10的点处向左出发，当点与点相遇后，点的速度变为原来的2倍，并继续向左运动，直到点追上点后所有点停止运动．求点运动多少秒时． 题型九、折线数轴动点 1．如图，数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，在点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”.我们称点和点在数轴上相距个长度单位.动点从点出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为个单位/秒，“上坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的一半， “下坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的倍.设运动的时间为秒.问: (1)动点从点运动至点需要时间为 秒; (2)两点到原点的距离相同时，求出动点在数轴上所对应的数: (3)当点到达终点后，立即调头加速去追，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了个单位/秒，当点追上点时，求出它们在数轴上对应的数. 2．数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒． （1）当秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离； （2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值； （3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由． 3．综合与实践： 如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点同时开始运动，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问： (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是______；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是______； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，是否在线段上存在两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等？（若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由） 4．如图，点A、O、C、B为数轴上的点，O为原点，A表示的数是，C表示的数是2，B表示的数是6．我们将数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数，记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离；即，其中代表线段的长度． (1)若点T为“折坡数轴”上一点，且，请求出点T所表示的数； (2)定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，动点P从点A处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动到点O，再上坡移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在点P出发的同时，动点Q从点B处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C，再下坡到点O，然后再沿方向移动，当点P重新回到点A时所有运动结束，设点P运动时间为t秒，在移动过程中： ①点P在第__________秒时回到点A；（请给出详细解析过程） ②当__________时．．（可直接给出t的值） 5．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，在数轴上，点A表示数，点C表示的数为2，点B表示的数为6． （1）点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时，点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，经过多久两点相遇？ （2）如图2，我们将图1的数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段和仍然水平，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数．记“坡数轴”上A到B的距离为A和B拉直后距离：即，其中代表线段长度．在“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍． ①点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位l秒的速度沿着“坡数轴”向左运动，经过多久，？ ②点P从A处沿“坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在P出发的同时，点Q从B处沿“坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动，当P重新回到A点所有运动结束，设P点运动时间为t秒，在移动过程中，何时？直接写出t的值． 6．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题，已知a、b为常数且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等． (1)则_______，_______； (2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中： ①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少． ②在点N从点O返回之前，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 7．数轴上点表示，点表示6，点表示12，点表示18．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以2个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以1.5个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为 　　；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；　　时，、两点相遇； (2)当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值． 8．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 9．如图①，在直角三角形中，，，，． (1)动点、同时从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，经过 秒两点首次相遇，相遇时它们距点 个单位长度； (2)如图②，动点从出发，沿折线（含端点和），速度为每秒个单位长度，到达点停止运动，已知点到的距离为个单位长度，设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)如图③，将三角形的顶点与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿折叠在三角形的两边，上，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的距离．例如点和点在折线数轴上的距离为个单位长度．动点从点出发，以个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到过点期间，速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向数轴的正方向运动；与此同时，动点从点出发，以个单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为个单位/秒，过点后继续以原来的速度向数轴的负方向运动，设运动时间为秒．在此运动过程中，，两点的距离与，两点的距离是否会相等？若相等请直接写出的值；若不相等，请说明理由． 10．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D出各折一下，得到“折线数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动到点E时P点P停止运动，当点Q运动到点A时点Q停止运动，设：运动时间为t．问： (1)动点P从点A运动到E点需要 秒，此时点Q对应的数是 ； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ (3)求当t为何值时，P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等． 题型十、三动点问题 1．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且，，．若点A，B，C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，当点A在点B左侧，且长为6时，t的值为（　　） A． B．1 C． D．2 2．已知，如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为，点B表示的数为7，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的，当运动时间为4秒时，点M和点P之间的距离是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ． 3．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位． （1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位； （2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 秒点P到点M，N的距离相等． 4．距离是天文学、物理学、数学，甚至哲学中的热门话题．唯有深入了解距离，才能更好地把握宇宙尺度，把握做人做事的分寸． 研究数轴我们发现：若点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B两点之间的距离为．已知如图，点O为原点，点A、B在数轴上对应的数分别为和6． （1）①A，B两点之间的距离为 ； ②点R是数轴上一点，若点R到点A的距离为6（），则点R在数轴上对应的数为 ． （2）数轴上有一动点T，当点T以每秒1个单位长度的速度从O点向左匀速运动时，点A也以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B也以每秒6个单位长度的速度向左匀速运动，若它们同时出发，则几秒后T点到A、B两点的距离相等？ 5．如图1，在数轴上从左到右依次是A、B、C三个点，且A、B两点位于原点O的两侧，A点所表示的数为 ，且； (1)求出数轴上点B、C所表示的数； (2)如图2，动点P从A点出发，以4个单位长度每秒的速度沿方向运动，到达C点后，立即掉头以原速返回；与此同时，另一动点Q从B出发，以1.5个单位长度每秒的速度沿方向运动，到达C后，点P、Q停止运动．在运动过程中，点Q的运动时间记为t（秒），当时，求出满足条件的t的值； (3)在第（2）问的条件下，有另一动点M与P、Q同时出发，从点C以3个单位长度每秒的速度沿方向运动，当点P停止运动时，点M停止运动．在运动过程中，点Q的运动时间记为t（秒），当P、Q、M三点中一点是另外两点的中点时，请直接写出满足条件的t的值． 题型十一、线段运动问题 1．数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，4，两条动线段和，，，如图，线段以每秒1个单位的速度从点开始一直向右匀速运动，线段同时以每秒2个单位的速度从点开始向右匀速运动，当点运动到时，线段立即以相同的速度返回，当点运动到点时，线段，立即同时停止运动，设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变，且点总在点的左边，点总在点的左边） (1)当为何值时，点和点重合？ (2)在整个运动过程中，线段和重合部分长度能否为1，若能，请求出此时点表示的数；若不能，请说明理由． 2．如图，数轴上点，对应的实数分别为和8，数轴上一条线段从点出发（刚开始点与点重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在，之间往返运动（点到达点立刻返回），线段，设线段的运动时间为秒． (1)如图1，当时，求出点对应的有理数和点与点之间的距离； (2)如图2，当线段从点出发时，在数轴上的线段从点出发在点的右侧，刚开始点与点重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在，之间往返运动（点到达点立刻返回），，点为线段的中点，点为线段的中点． ①当点第一次到达原点之前，若点、点到数轴原点的距离恰好相等，求的值； ②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当，两点第一次在整点处重合时，请求出此时点对应的数． 3．初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，，三个点，分别表示有理数，和12．佳佳把两根木棒放在数轴上，使点与点A重合，点N与点重合，点在点Q的左边，点在点的左边，且，，木棒从点开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点运动到时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点在点的左边），当点再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)当时，若线段和线段的长度之和为12，求对应的值； (3)点为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点、、、的距离之和为一个定值？若存在，请直接写出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说理由． 4．数学为人们提供了一种认识和探索现实世界的观察方式．在数学综合实践活动课上，小明同学借助两根木棒、研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有三个点，分别表示有理数，和．小明把两根木棒放在数轴上，使点与点重合，点与点重合，点在点的左边，点在点的左边，且，．木棒从点开始一直向右以每秒个单位的速度匀速运动；木棒同时从点开始向右以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)当点运动到时，两根木棒立即同时停止运动，在整个运动的过程中，当线段和线段的长度之和为时，求出对应的的值； (3)当点运动到时，木棒立即以每秒个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点在点的左边），当点再次运动到点时，两根木棒立即同时停止运动，点为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 5．已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴专题 数轴动点问题（解析版） 目录 【知识梳理】 1 【专题过关】 2 题型一：动点规律探究 2 题型二：两点间的距离表示 4 题型三、已知线段长求时间问题（单动点） 6 题型四、已知线段长求时间问题（双动点） 10 题型五、已知线段关系求时间问题（双动点） 17 题型六、判断定值问题（双动点） 26 题型七、往返运动问题 42 题型八、变速运动问题 53 题型九、折线数轴动点 59 题型十、三动点问题 77 题型十一、线段运动问题 82 【知识梳理】 1．数轴上两点间的距离 即为这两点所表示的数的差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差．即数轴上两点间的距离 = 右边点表示的数 － 左边点表示的数． 2．点在数轴上运动 由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度．这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标．即一个点表示的数为，向左运动个单位后表示的数为－；向右运动个单位后所表示的数为+． 3．数轴是数形结合的产物 分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系． 4．动点问题的解题步骤 （1）列点：将已知点用具体的数表示，未知动点用含t的式子表示（数形结合） ①点的左右移动：数轴上的点向左移动用减法，移动几个单位长度就减去几， 向右移动用加法，移动几个单位长度就加上几． ②点的表示：通常用含t的式子表示数轴上的动点，可根据动点的位置、速度和移动的方向将点表示出来． （2）列线：利用两点间距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来（转化思想） 数轴上两点之间的距离三种表示方式： ①如果两个点所表示的数的大小已知，直接用较大的数减去较小的数； ②如果两个点所表示的数的大小未知，则用两个数的差的绝对值表示； ③动点的起始点和终止点之间的线段可以用动点所走的路程表示． （3）列式：解决数轴上的动点问题的一个重要方法就是方程法，可以根据题目中的线段之间的数量关系，列出方程并解方程（方程思想） 5．动点问题的常用工具 ①中点公式：如图，数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，且B为A、C中点，则b= ②解绝对值方程： ||=，则=±b | |=||，则 =± |- |+|- |= ③分类讨论思想： 【专题过关】 题型一：动点规律探究 1．如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字（     ）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：由题意知：圆的周长为4个单位长度． 到共有2022个单位长度， 当，则数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：． 2．正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2021对应的点是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：有图可知，、 旋转一次： 再旋转一次： 再旋转一次： 再旋转一次： 依次循环 发现：四个点依次循环， ∴对应的点为.故答案为D． 3．如图，将直径为1个单位长度的圆从原点处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，使圆上的点A从原点运动至数轴上的点B，则点B表示的数是_______. 【答案】-π 【详解】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周， ∴A点滑动的距离为圆的周长=π，滑动后A点在原点的左边． ∴A点对应的数是-π． ∴点B表示的数是-π 故答案为-π． 4．正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别是0、1，若正方形绕顶点沿逆时针方向连续翻转，第一次翻转后点所对应的数为，第二次翻转后点所对应的数为，则翻转2023次后点所对应的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由于， 根据翻折规律以及所对应的数可得以下规律： 所以第2023次翻转后，落在数轴最左侧的点是点，此时点在点的右侧， 因此点所对应的数是， 故选：B． 5．一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题可得： = =， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了数轴与图形的变化，数轴上点的移动规律是“左加右减”，把数和点对应起来，数形结合是解答本题的关键． 6．如图所示，将圆的周长分为个单位长度，在圆的等分点处标上数字，，，，先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字 重合． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合， 数轴上的对应圆周上的， 数轴上的数将与圆周上的数字重合， 故答案为：． 7．如图，圆的周长为4个单位长．数轴每个数字之间的距离为1个单位长，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示﹣2的点重合…），则数轴上表示﹣2020的点与圆周上表示数字______的点重合． 【答案】1 【详解】解：根据题意，数轴按逆时针方向环绕在圆上，-2会和3重合，-3会和2重合，-4会和1重合，-5又会和0重合， 所以这就形成了一个循环，-1、-2、-3、-4，四个数一循环， -1到-2020之间一共2020个点， ， ∴-2020会和1重合． 故答案是：1． 题型二：两点间的距离表示 1、（1）在数轴上到表示的点距离为5的点所表示的有理数是 ；（2）点为数轴上表示的点，若将点沿数轴一次平移一个单位，平移两次后到达点，则点表示的数是 ． （1）【答案】3或/或3 （2）【答案】或或 2、已知表示互为相反数的两个数的点A，B在数轴上的距离是10，其中点A在点B的左侧．现在点A沿着数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C的位置．设点A的运动速度为每秒1.5个单位长度，求点C在数轴上表示的数． 【答案】点C在数轴上表示的数为 【详解】∵表示互为相反数的两个数的点A，B在数轴上的距离是10，其中点A在点B的左侧 ∴点A表示的数为，点B表示的数为5 ∵点A沿着数轴先向右运动2秒，点A的运动速度为每秒1.5个单位长度， ∴ ∴， ∵点A再向左运动5秒到达点C的位置 ∴ ∴ ∴点C在数轴上表示的数为 3、如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，满足，， (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） (4)请问，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 【答案】(1)，1，8 (2)5 (3)，， 【分析】（1）根据非负数的性质可得a，c的值，即可求解； （2）先求出对称点，即可得出结果； （3）先得出A，B，C表示的数，再根据两点间距离的表示方法计算即可； 【解析】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，1，8； （2）， ∴对称点为3， ∴， 即点B与5表示的点重合； （3）由题意可得： t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，，， 故答案为：，，； 4、如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为12，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）． (1)当时，点P表示的有理数是______； (2)当点P与点B重合时，______； (3)①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离是______，点P表示的有理数是______．（用含t的代数式表示）； ②在点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离是______．（用含t的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)①，；② 【分析】（1）当时，利用距离速度时间，计算出点运动的距离，点的坐标加上点运动的距离，即可得到答案； （2）当点与点重合时，计算出点运动的距离，根据时间距离速度，即可得到答案； （3）①在点由点到点的运动过程中，点与点的距离为：速度时间，点表示的有理数是：点的坐标点运动的距离，即可得到答案，②在点由点到点的运动过程中，点与点的距离是：点与点两点之间的距离（点运动的距离点与点两点之间的距离），即可得到答案， 【解析】（1）解：当时， 点移动的距离为：， 此时点表示的有理数为：， 即时点表示的有理数为． 故答案为：； （2）当点与点重合时，点运动的距离为：， 运动的时间（秒）， 即点与点重合时的值为． 故答案为：； （3）①在点由点到点的运动过程中，点与点的距离为：，点表示的有理数是：． 故答案为：，； ②在点由点到点的运动过程中，点与点的距离是：． 故答案为：； 题型三、已知线段长求时间问题（单动点） 1．在数轴上，点表示的数为，点以每秒3个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动经过 秒，点与原点的距离为个单位长度． 【答案】3或7 【难度】0.85 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】根据题意可得出点在和的时候与原点的距离为个单位长度，然后利用路程除以速度即可得出时间． 【详解】点与原点的距离为个单位长度，点表示的数为 在和的时候与原点的距离都为个单位长度 ，， ，， 故答案为：或 【点睛】此题考查两点间的距离，数轴，解题关键在于得出点的位置． 2．如图，已知点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若，则运动时间为 秒． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由点A，B，C位置间的关系，可求出点C在数轴上表示的数为4，当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且， ， ， ， ∴点C在数轴上表示的数为． 当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为， ， ， 即或， 解得：或， 点P运动秒或秒，， 故答案为：或． 3、如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为12，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．当t= 时，． 【答案】或10 分两种情况：①如果点由点向点运动，即时， ， ； ②如果点由点向点运动，即时， ， ． 故当或10时，． 故答案为：或10． 3．如图，，为数轴上的两点，点表示的数为，点表示的数为．现有一只电子蚂蚁从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向右运动． (1)经过秒后，用含的代数式表示电子蚂蚁所在的位置表示的数． (2)当为何值时，电子蚂蚁所在的位置到点的距离为？ 【答案】(1) (2)为或 【难度】0.85 【知识点】数轴上的动点问题、用代数式表示式、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴； （1）利用电子蚂蚁所在的位置表示的数电子蚂蚁的运动速度运动时间点表示的数，即可用含的代数式表示出经过秒后电子蚂蚁所在的位置表示的数； （2）利用时间路程速度，可求出电子蚂蚁到达点所需时间，分电子蚂蚁在点的左侧及电子蚂蚁在点的右侧两种情况考虑，根据电子蚂蚁所在的位置到点的距离为，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：经过秒后，电子蚂蚁所在的位置表示的数为； （2）秒． 当电子蚂蚁在点的左侧，即时，， 解得：； 当电子蚂蚁在点的右侧，即时，， 解得：． 答：当为或时，电子蚂蚁所在的位置到点的距离为． 4．如图，在数轴上点表示的有理数为，点B表示的有理数为，点从点出发以每秒个单位长度的速度在数轴上由向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒个单位长度的速度运动至点停止运动．    (1)求当运动时间为秒时点表示的有理数； (2)当点与点重合时，求运动时间； (3)当点表示的有理数与原点的距离是个单位长度时，直接写出运动时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒或秒或秒或秒 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程在数轴上的运用，掌握数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程与路程的运用是解题的关键． （1）根据点的运动，“左减右加”的方法表示出点，把时间代入即可求解； （2）先算出距离的长，再根据路程除以速度即可求解； （3）根据数轴两点之间距离的表示，分类讨论：出发时和返回时，当点P在原点左边时；当点P在原点右边时；运用路程除以速度即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数是，点从点开始，以每秒个单位长度向点运动，运动时间为， ∴点表示的数为， 当运动时间为秒时，， ∴点表示的有理数为； （2）解：， ∴（秒）， ∴点与点重合时，运动时间为秒； （3）解：当点从点出发，在原点左边时， （秒）； 当点从点出发，在原点右边时， （秒）； 当点从点返回，在原点右边时， （秒）； 当点从点返回，在原点左边时， （秒）； ∴当点表示的有理数与原点的距离为个单位长度时，运动时间为秒或秒或秒或秒． 5．已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值方程 【分析】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及数轴的应用，明确如何借助用数轴上的点表示距离，是解题的关键．当P在点A、B之间时的距离、当点P到点A和点B的距离之和为7的点P的位置，借助含绝对值的式子分析求解即可． 【详解】解：由题意得：当P到点A、B的距离之和为7时，有 ∵当点P位于点A、B之间时，， ∴将x从向左移动1.5个单位或从3向右移动1.5个单位，则有 此时，或 \故选：C． 6．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 【答案】26或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离．可分为“当点P运动到点A右侧时”和“当点P运动到点A左侧时”两种情况讨论，根据“点P到点A的距离与点P到点B的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵在点P运动过程中，点P到点A的距离与点P到点B的距离比是， ∴， 当点P运动到点A右侧时，， ∴此时点P表示的数是； 当点P运动到点A左侧时，， ∴此时点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或． 故答案为：26或 题型四、已知线段长求时间问题（双动点） 7．如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点与点之间的距离记作．已知，则；若点以每秒1个单位的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点以每秒2个单位的速度从点出发沿数轴向左运动，设运动时间是秒．当点与点之间的距离是8时，则的值为（    ）秒．    A． B．1 C．或7 D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．当运动时间为t秒时，点M在数轴上对应的数为，点N在数轴上对应的数为，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为t秒时，点M在数轴上对应的数为，点N在数轴上对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或 故选：D． 8．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是2，表示点A与点B之间的距离．若P从点A出发，M从点B出发，P、M同时向数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 【详解】解：设运动时间为t，则t秒后点P表示的数为，点M表示的数为， 当点P在点M左侧时，， 解得：； 当点P在点M右侧时，， 解得：； 综上分析可知，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为秒或秒， 故选：C． 9．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，满足．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点P、Q同时出发，点P与点Q间的距离为4个单位长度时，点P运动的时间t为（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据绝对值和偶次方的非负性，得到点A表示的数为，点B表示的数为，进而得出点表示的数为，点表示的数为，根据题意列一元一次方程，求出的值即可． 【详解】解：， ，， ，， 点A表示的数为，点B表示的数为， 由题意可知，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得：， 即， 当，解得：； 当，解得：； 综上可知，点P与点Q间的距离为4个单位长度时，点P运动的时间t为2或， 故选：D． 10．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且． (1)若点M，N分别是线段的中点，求线段的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若点同时出发，问点运动多少秒时，与相距5个单位长度？ 【答案】(1) (2)点运动3秒或秒时，与相距5个单位长度 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴及数轴的三要素（正方向、原点和单位长度）．一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离公式的运用，关键是熟练掌握行程问题中的路程=速度×时间的运用． （1）根据点表示的数为8，且，得出B点表示的数，再利用中点的定义和求出； （2）设秒时，与相距5个单位长度，根据等量关系，列出方程求解即可． 【详解】（1）解： 点表示的数为8，且， B点表示的数是． 点分别是线段的中点， 表示的数是， ． （2）解：设秒时，与相距5个单位长度． 第一种情况：P与Q在相遇前相距5个单位长度． ，解得， 第二种情况：与在相遇后相距5个单位长度． ，解得， 答：点运动3秒或秒时，与相距5个单位长度． 11．点P，Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位长度、4个单位长度，它们运动的时间为． (1)如果点P，Q都向左运动，当点Q追上点P时，求点P对应的数； (2)如果点P，Q在点A，B之间相向运动，当时，求点P对应的数． 【答案】(1) (2)或0 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】本题综合考查了动点在数轴上的运动问题，其中涉及到了相遇行程问题，追及行程问题及列方程解应用题； （1）由追及时间等于路程差除以速度差，可求追及时间，从而问题得解； （2）当时，有两种情况：①，相遇前；②，相遇后．分别求出相应的时间，再求出对应的点即可． 【详解】（1）解：设经过秒时， 已知得： 当点追上点时， 点对应的数是． （2）解：当时，有两种情况： ①，相遇前， 此时点对应的数是：； ②，相遇后，， 此时点对应的数是：． 综上所述，点对应的数是或0． 12．如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足，动点P从点O出发向右以每秒的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为v；运动时间为t． (1)求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值． (2)若Q的速度v为每秒，那么经过多长时间P，Q两点相距？ 【答案】(1)30秒 (2)或 【难度】0.85 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、数轴上的动点问题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据求得的长为，根据点P的速度为，求得点P从点O运动到点C的运动时间为30秒； （2）分点P、Q相遇前和相遇后两种情形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， （秒）， 答：点P从点O运动到点C的运动时间为30秒； （2）解：相遇前，， 解得； 相遇后，， 解得； 答：经过6秒或18秒，P，Q两点相距． 13．已知a是最大的负整数，b是的相反数，且a、b分别是点A、B、在数轴上对应的数． (1)求a、b的值，并在数轴上标出点A、B． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，若运动t秒后，点P可以追上点Q，求t的值？ 【答案】(1)，，见解析 (2)运动3秒后，点P可以追上点Q 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题、相反数的定义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了相反数的定义，用数轴上点表示有理数，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，根据题意列出方程． （1）根据有理数的分类求出，根据相反数的定义可得，进而根据数轴上的点所表示数的特点在数轴上标出即可； （2）根据数轴上点所表示数的特点分别表示出点P、Q运动t秒后所表示的数，进而根据点P追上点Q，则两点所表示的数相同，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵ a是最大的负整数，b是的相反数 ， ∴，， ∵a、b分别是点A、B在数轴上对应的数， ∴将点A、B标注在数轴上如下图： （2）解：由题意易得t秒后点P所表示的数为：，点Q所表示的数为， 根据点P追上点Q，则两点所表示的数相同，可得， 解得， 即运动3秒后，点P可以追上点Q． 14．如图，点、均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上的两个动点． (1)直接写成点所对应的数为______． (2)当点到点、的距离之和是6个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点、出发，且均沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度匀速运动．若点先出发5秒时点出发，当、两点相距2个单位长度时，直接写出此时点、分别对应的数． 【答案】(1)1 (2)点所对应的数是或 (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． （）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 【详解】（1）解：，故点所对应的数是； （2）解：， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）解：点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 15．如图，数轴上有两个点A，B，分别表示的数是，6．请回答以下问题： (1)点A与点B之间的距离为__________； (2)若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右做匀速运动，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，P，Q两点同时出发，设运动的时间为t秒． ①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？ ②当点P运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为3个单位长度？ 【答案】(1)9 (2)①；②3秒或6秒 【难度】0.85 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴的知识，解题的关键是掌握数轴的知识，一元一次方程的应用． （1）利用数轴知识做即可； （2）①设未知数，应用一元一次方程方程求解即可； ②设未知数，应用一元一次方程方程，分情况解决所有的可能． 【详解】（1）解：由图可知：A与B之间距离为：， 故答案为：9； （2）解：①设点P运动t秒时，点P和点Q重合， 根据题意，得 ， 解得(秒)， 答：点P运动秒时，点P和点Q重合； ②设点P运动t秒时，之间的距离为3个单位长度， 之间的距离为3个单位长度有两种可能， 当Q在P的右边时，根据题意得 ， （秒）， 当Q在P的左边时，根据题意得 ， （秒）， ∴当点P运动3秒或6秒时，之间的距离为3个单位长度． 16．如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为，4，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向左运动．如果设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)运动前线段的长为___________；运动1秒后线段的长为___________； (2)求t为何值时，点A与点B恰好重合； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12，7 (2)秒 (3)秒或秒 【难度】0.85 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离公式求解即可； （2）秒时点表示的数为：，点表示的数为：，再根据A、B恰好重合列出方程求解即可； （3）根据题意分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，得出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得运动前线段的长为； 运动1秒后点A表示的数为，点B表示的数为，则运动1秒后线段的长为， 故答案为：12，7； （2）解： 由题意可知：秒时点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得：秒； （3）解：由题意可知：秒时点表示的数为：，点表示的数为：， 当点在点左侧时，， 解得秒； 当点在点右侧时，， 解得秒； 故存在某一时刻，使得线段的长为5，的值为秒或秒． 17．如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； (3)当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 【答案】(1)， (2)或4 (3)当Q点开始运动后第5、9、、秒时，P、Q两点之间的距离为4 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的非负性，解题的关键是注意进行分类讨论． （1）根据非负数的性质求出a、b的值即可； （2）分两种情况：当点P在点B的左侧，当点P在点B的右侧，分别求出结果即可； （3）分四种情况：当P点在Q点的右侧，当P在Q点左侧时，当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，分别列出方程求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， 解得：，，； （2）解：， ①点P在之间，， ， 点P的对应的数是； ②点P在的延长线上，， ， 点P的对应的数是4； （3）解：设在点Q开始运动后第a秒时，P、Q两点之间的距离为4， 当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，， 解得； 当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，， 解得； 当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，， 解得：； 当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，， 解得， 综上所述：当Q点开始运动后第5、9、、秒时，P、Q两点之间的距离为4 题型五、已知线段关系求时间问题（双动点） 18．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a，b满足． (1)求A、B两点之间的距离； (2)点C在A点的左侧，D在B点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点C与点D之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点P以3个单位/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等． 【答案】(1)18 (2)24 (3)10秒 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上动点问题，正确理解距离公式，把握动点的实质是解题的关键． （1）根据绝对值和平方式的非负性，由，得到，根据两点间的距离等于右边的数减去左边的数即，计算即可． （2）根据，确定，比较大小后，根据两点间的距离等于右边的数减去左边的数，计算即可． （3）当追上点时，点、点到点的距离相等，计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵两点间的距离等于右边的数减去左边的数， ∴． （2）解：∵点表示数点表示数6， ， ∴， ∴． （3）解：∵点表示数点表示数点表示数点表示数， ∴， 设运动秒时，点、点到点的距离相等， 当追上点时，点、点到点的距离相等， ∴， 解得(秒)； ∴经过10秒，点、点到点的距离相等． 19．如图，数轴上点表示的数分别为．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当时，运动的时间为（   ） A．15秒 B．25秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】根据点A，B表示的数，分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，结合即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动的时间为t 秒， P、Q相遇前， 依题意有 ， 解得； P、Q相遇后， 依题意有 ， 解得． 故运动的时间为15秒或20秒． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，根据数量关系列出关于时间t的一元一次方程是解题的关键． 20．如图，数轴上点表示的数为，点B表示的数为16，点P从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．当 时，． 【答案】2或6/6或2 【难度】0.85 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、用代数式表示式、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查数轴上点的运动，一元一次方程的应用．根据题意表示出线段长度，可列出方程求的值． 【详解】解：∵数轴上点表示的数为，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数是：，点表示的数是：，， ∵， ∴可列出方程为：，解得：， 故答案为：2或6． 21．数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当时，则 秒． 【答案】5或 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查数轴上动点问题以及一元一次方程的应用，根据题意表示出，，分以下两种情况讨论，当点在点右侧，得到，，当点在点左侧，得到，，再结合“”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：由题知，，， 原点为O， 当点在点右侧， 有，， ， ， 解得， 当点在点左侧， 有，， ， ， 解得， 故答案为：5或． 22．如图，数轴上点A表示的数为6，点A在点B的右边，且A与B的距离是10，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点B表示的数是 ； (2)点P表示的数是 （用含t的代数式表示）；点Q表示的数是 （用含t的代数式表示）； (3)若点P与点Q相距6个单位长度，则t的值为 ； (4)若，则t的值为 ； 【答案】(1) (2)， (3)或 (4)或6 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、求一个数的绝对值、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，数轴动点问题，绝对值的意义，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）由的长结合点A所在的位置可得出点B表示的数； （2）由点P，Q的出发点、速度及运动时间，可用含t的代数式表示出点P，Q表示的数； （3）由点与点相距6个单位长度，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）由点，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：，且点在点的右边， 点B表示的数为； （2）解：动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 表示的数为，点表示的数为； （3）解：依题意，得：， 即或， 解得：或， 答：若点与点相距6个单位长度，则的值为或； （4）解：根据题意得，， ∵ ∴ 解得或． 答：若，则的值为6或． 23．在数轴上点A表示的数是6，点B位于点A的左侧，与点A的距离是12个单位长度． (1)点B表示的数是 ． (2)动点P从点B出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒，点P到两点的距离相等． (3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴向左，以每秒1个单位长度的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 【答案】(1) (2)3秒 (3)4或秒 【难度】0.85 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据两点间的距离进行计算即可得到答案； （2）设经过t秒，点P到的距离相等，根据题意得出一元一次方程，解方程即可得到答案； （3）设经过t秒，点到点的距离是点到点距离的2倍，分两种情况：当点P在点A的左侧时，当点P在点A的右侧时，分别得出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：因为在数轴上点A表示的数是6， 所以点A到原点的距离为6， 因为点B位于点A的左侧，与点A的距离是12个单位长度． 所以点B到原点的距离为6， 所以点B表示的数为． 故答案为：； （2）解：设经过t秒，点P到两点的距离相等，由题意： ， 解得：． 答：经过3秒，点P到的距离相等； （3）解：经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍．由题意得： 当点P在点A的左侧时， ， 解得： 当点P在点A的右侧时， ， 解得：． 答：经过4或秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍． 24．在数轴上，点A，B，C所表示的数分别为，x，7，动点P是从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（）秒． 【问题提出】 （1）的长度是 ，运动t秒后，点P表示的数是 ，当点P在A．C两点间时，请用含t的式子表示的长度是 ； 【问题探究】 （2）若，求x的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若动点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点P、Q同时出发，当时，请直接写出t的值． 【答案】（1）16，，；（2）x的值为；（3）t的值为或6 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移，一元一次方程的应用； （1）由数轴上两点之间的距离得，由数轴上点的平移得P表示的数是：，由数轴上两点之间的距离得，即可求解； （2）由数轴上两点之间的距离得，即可求解； （3）①当时，此时点P、Q在的左侧时，由数轴上两点之间的距离得，，代入等式，解一元一次方程，即可求解； ②当时，同理可求；③当时，此时点P、Q在的右侧时，同理可求； 掌握数轴上两点之间的距离，能根据点P、Q的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：（1）， P表示的数是：， ； 故答案：16，，； （2）， ， 解得：， x的值为； （3）由题意得 ， （）， （）， ①当时， 此时点P、Q在的左侧时， 点表示的数是， 点表示的数是， ， ， ， ， 解得：； ②当时， 此时点Q在的左侧时，点P在的右侧时， 点表示的数是， 点表示的数是， ， ， ， 解得：； ③当时， 此时点P、Q在的右侧时， 点表示的数是， 点表示的数是， ， ， ， 解得：； ， 此种情况不存在； 综上所述：t的值为或6． 25．如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知，原点O是线段上的一点，且． (1)______，______； (2)若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，． 【答案】(1) (2)当t为1.6或8时，； 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由可知，将12平均分成三份，由图可知，A在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论； （2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，表示的代数式不同，求出代数式，分别代入列式即可求出t的值． 【详解】（1）∵， ∴A点所表示的实数为，B点所表示的实数为4 （2）当时，如图1 由题意得： 由（1）得： ∴， ∵ ∴，解得：； 当点P与点Q重合时，如图2 由题意得：， ∴ 解得：； 当时，如图3 由题意得：， 由（1）得： ∴ ∵ 则 解得：； 综上所述，当t为1.6或8时，； 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值． 26．如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发．以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为t（s）．    (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)12 (2)6 (3)当时，，当时， (4)或或 【难度】0.4 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． （1）根据，以及即可求解； （2）先求出运动时间t的值，然后根据线段的和差关系求解即可； （3）分相遇前和相遇后两种情况讨论即可； （4）分相Q到达C点前，P、Q遇前和相遇后三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：12； （2）解：∵点P是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当P、Q相遇时， 根据题意，得， 解得， 此时， ∴Q返回到点C的时间为， 当时，， 当时，， 综上，当时，，当时，； （4）解：当Q 、C重合时，， 当时，，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， 解得； 综上，当t的值为或或时，． 27．阅读下列材料，并回答问题： 我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况，比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和9的点，（如图所示），，两点间的距离是12，而，因此不难看出就是数轴上表示和9两点间的距离． (1)根据的几何意义可知　　（填“”“ ”“ ” ； (2)说出的几何意义，并求出当时的值． (3)点、点为数轴上的两个动点，点从点以3个单位长度每秒的速度向右运动，点同时从点以2个单位长度每秒的速度向左运动，设运动时间为秒，若，求时间的值． 【答案】(1) (2)的几何意义是数轴上表示数x的点与表示2的点的距离；或0 (3)或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值的意义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值的意义、数轴、两点间的距离公式，理解题意利用数形结合与分类讨论思想是解答此题的关键． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）的几何意义是在数轴上表示的点与表示2的点之间的距离；求时的值即为求数轴上与表示2的点距离是2的数； （3）先用表示出，及的值，再分①、相遇之前；②、相遇之后两种情况进行讨论，根据列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】（1）根据的几何意义可知． 故答案为：； （2）的几何意义是在数轴上表示的点与表示2的点之间的距离； ， 或， 解得：或0； （3）点从点以每秒3个单位的速度向右运动，点同时从点出发以每秒2个单位的速度向左运动， ，． 设运动时间为秒，则秒时点表示的数为，点表示的数为． 分两种情况： ①、相遇之前，此时． ， ，解得； ②、相遇之后，此时， ， ，解得． 故时间的值为或． 题型六、判断定值问题（双动点） 28．点、在数轴上所表示的数如图所示，是数轴上一点： (1)将点在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点，求出、两点间的距离是多少个单位长度． (2)若点在数轴上移动了个单位长度到点，且、两点间的距离是4，求的值． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 【答案】(1)、两点间的距离是个单位长度 (2)的值为或 (3)线段的长度不发生变化， 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据数轴上的点向右移动用加法，向左移动用减法求出点表示的数为，即可得解； （2）分两种情况：当点在点左边时；当点在点右边时；分别求解即可得出答案； （3）分三种情况：当在、之间时；当在的左侧时；当在的右侧时；分别画出图形，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为， ∵， ∴、两点间的距离是个单位长度； （2）解：∵、两点间的距离是4， ∴当点在点左边时，点表示的数为， ∵点在数轴上移动了个单位长度到点，点表示的数为， ∴此时； 当点在点右边时，点表示的数为， ∵点在数轴上移动了个单位长度到点，点表示的数为， ∴此时； 综上所述，的值为或； （3）解：线段的长度不发生变化，， 由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 如图，当在、之间时， 此时； 如图，当在的左侧时， 此时； 如图，当在的右侧时， 此时； 综上所述，点在运动过程中，线段的长度不会发生变化，． 29． 如图，已知数轴上的点A对应的数为6，是数轴上的一点，且，动点从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点对应的数是 ，点对应的数是 ， （用的式子表示）； (2)动点从点与点同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长. 【答案】(1)，， (2)点运动秒时，在点处追上点 (3)线段的长度不发生变化，其值为，图见解析 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题意直接列代数式即可； （2）利用线段间的数量关系列出方程求解即可； （3）分两种情况：①当点在点A、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，利用线段中点及线段之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点表示的数为；点表示的数为； ； 故答案为：，，； （2）设点运动秒时，在点处追上点（如图），则，， ， ，解得：， 点运动秒时，在点处追上点； （3）线段的长度不发生变化，等于． 理由如下：分两种情况： ①当点在点A、两点之间运动时： ； ②当点运动到点的左侧时： ， 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键． 30．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数；点表示的数（用含的代数式表示） (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，问点运动多少秒时追上？ (3)若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】(1) (2)点运动10秒时追上点 (3)线段的长度不发生变化，都等于10；理由见解析 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离关键是根据题意画出图形，注意分情况进行讨论； （1）根据已知可得点表示的数为；点表示的数为； （2）设点运动秒时追上，根据题意可列出方程，解方程可得出的值； （3）分①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，③当点运动到点时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可． 【详解】（1）点表示的数为在点左边，， 点表示的数是， 动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 点表示的数是； （2）如图，设点运动秒时，在点处追上点， 则， ， ， 解得：， 点运动10秒时追上点； （3）线段的长度不发生变化，都等于10；理由如下： 由题意可知：为的中点，为的中点，， 故， 故①当点在线段上运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ， ③当点运动到点时： ， 线段的长度不发生变化，其值为10． 31．已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达点，再从点向右移动12个单位长度到达点．点是线段的中点． (1)点表示的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点分别从点出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)①的值为0；②的值不随着时间的变化而改变．理由见解析 【难度】0.65 【知识点】用字母表示数、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查列代数式，数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以求得点表示的数； （2）①根据题意可以用代数式表示点运动时间时表示的数；根据题意可以求得当秒时，的值；②先判断是否变化，然后求出的值即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，A点表示的数为：，B点表示的数为：，, 由， 故点表示的数为：． 故答案为：； （2） 解：①由题意可得，点移动秒时表示的数为，点P移动t秒时表示的数为，点M移动t秒时表示的数为， 当时， ； ②的值不随着时间的变化而改变， ， 的值不随着时间的变化而改变，的值为0． 32．数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美的结合，如：数轴上点表示的数为，点表示的数为，则两点之间的距离为．如图所示，点为数轴上的三个点，表示的数分别为，满足，且为的倒数．动点，分别从点出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，三个动点同时出发，设运动的时间为秒（），请回答下列问题： (1)直接写出的值：______，______，______； (2)当时，求的值； (3)在运动过程中，的值是否发生变化？若发生变化，请用含的式子表示；若不发生变化，请求出的值． 【答案】(1)，， (2)或 (3)不会发生变化， 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、其他问题(一元一次方程的应用)、用代数式表示式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据倒数的定义和非负数的性质可得答案； （2）根据M、N的运动方向和运动速度得出，点M表示的数是，点N表示的数是，然后分相遇前和相遇后两种情况列出方程，解方程可得答案； （3）分别用含t的式子表示出与，再计算即可． 【详解】（1）解：∵为的倒数， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）运动t秒后，点M表示的数是，点N表示的数是， 分两种情况： 在点M与点N相遇之前时， ， 解得； ②在点M与点N相遇之后时， ， 解得； 所以，当或时，． （3）不会发生变化，理由如下： t秒后，点P表示的数是， ∴， ∴， 故的值不会发生变化，是9． 33．是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，，点为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)数轴上点表示的数是______； (2)若，求的值； (3)若点以每秒2个单位长度的速度从原点向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分三种情况讨论：①当点在点左侧时；②当点位于、两点之间时；③当点位于点右侧时；根据分别计算即可； （3）秒后，点的值为，点的值为，点的值为，再计算的值判断即可． 【详解】（1）点表示的数为，，点在点的右侧， 点表示的数是， 故答案为：3； （2）设点对应的数为， ①当点在点左侧时，，不合题意，舍去； ②当点位于、两点之间时， ， ， ； ③当点位于点右侧时， ， ， ， 综上，或； （3）的值为定值8，不随时间变化而变化； 秒后，点的值为，点的值为，点的值为， ． 34．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为． (1)若，则 ； (2)若，则 ；若 ，则 ； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)或4； (3)不变，定值为2 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）若，则P在中间位置，即； （2）若，P在A左边，得；P在A右边，得，若，只能P在之间，得； （3）设运动时间为t秒，，，故，值不变． 【详解】（1）解：若，则P在中间位置，即， 故答案为：1； （2）若， ①P在A左边，得， 解得：， ②P在A右边，得， 解得：， 故答案为：或4； 若， 只能P在之间，得， 解得， 故答案为：． （3）设运动时间为t秒， ， ， 故，值不变． 35．如图，已知点A和点B在数轴上对应的有理数分别为a和b，且． (1)填空： ， ； (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度，……，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第101次时，求点P所对应的有理数； (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒个单位长度的速度向左运动且点D一直在点A的右侧，运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)当的值始终固定，点D向左运动，的值为． 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、整式的加减运算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查整式的加减运算和数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是关键． （1）由非负数的性质直接建立方程求解即可； （2）根据点的运动特点，列式，再计算即可； （3）分别表示，，对应的数，求解，再求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）依题意知：点P第一次运动到对应的数为， 点第一次运动到对应的数为， 点第一次运动到对应的数为，… 即 ， 即点P对应的数为， （3）依题意，运动后点A对应的数为，点B对应的数为， 当点D向左运动时，点D对应的数为 点B到D的距离：， 点A到D的距离：， ∴ ， 当的值始终固定，则，； 综上所述，当的值始终固定，点D向左运动，的值为． 36．已知多项式中，四次项的系数为，多项式的次数为，常数项为，且的值分别是点在数轴上对应的数，点从原点出发，沿方向以1单位的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点O匀速运动（点分别运动到点C、O时停止运动），两点同时出发． (1)分别求的值； (2)若点运动速度为3个单位，经过多长时间两点相距7个单位长度； (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 【答案】(1)，，； (2)经或时两点相距7个单位长度； (3)的值不变，为2． 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、多项式的项、项数或次数、用字母表示数、数轴上的动点问题 【分析】（1）根据多项式的系数和次数以及常数项求解即可； （2）设运动时间为t秒，则表示出点P和点Q表示的数，分P、Q两点相遇前和相遇后两种情况列方程求解； （3）设运动时间为t秒，则点P表示的数为t，得到点E表示的数为，点F表示的数为，然后表示出，，，代入化简求解即可． 【详解】（1）∵多项式中，四次项的系数为，多项式的次数为，常数项为， ∴，，； （2）设运动时间为t秒，则点P表示的数为t，点Q表示的数为， 当P、Q两点相遇前： 解得 当P、Q两点相遇后： ∵，点运动速度为3个单位， ∴时，点Q到达O点， ∴时，两点相距7个单位长度 综上所述，经或时两点相距7个单位长度； （3）设运动时间为t秒，则点P表示的数为t， ∵取和的中点， ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴，， ∴ ∴的值不变，为2． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用及数轴上两点间的距离，列代数式，用到的知识点是多项式的有关概念、数轴、一元一次方程，关键是利用数形结合思想根据题目中的数量关系，列出方程． 37．如图，在数轴上点A表示的数是，点表示的数是，且．    (1)直接写出的值，________，________，________； (2)动点从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点在数轴上运动，点的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，设它们的运动时间为秒． ①若点A向右运动，点向左运动，，求的值； ②若点A向左运动，点向右运动，在原点右侧有一点，问是否存在的值使得关系式成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；30；50 (2)①或  ②存在；当时，成立 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据非负数的性质和两点间距离公式进行解答即可； （2）①根据题意得出，，根据，列方程求解即可； ②设P点对应的数是x，由题意t秒时，点A，B，C所对应的数分别为，，，由题意得出，解方程可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 解得：，； ∴． 故答案为：；30；50． （2）解：①t秒时，A点表示的数是，B点表示的数是，C点表示的数是， ，， ， ， 解得或； ②设P点对应的数是x，由题意t秒时，点A，B，C所对应的数分别为，，， ，，， ∵， ∴ ， 解得或（，舍去）， 时，成立． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴以及绝对值的知识点，动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离为解题关键，利用方程思想列式求解即可． 38．已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且，在数轴上对应的点分别为，，点为数轴上任意一点，对应的数为． (1)________，________，并在数轴上标出，； (2)当点为线段的三等分点时，求的值； (3)在（2）的条件下，若点离点较近时，点、、分别从点、、同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5，见解析 (2)的值为：1或3 (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、多项式的项、项数或次数、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）含字母的项为，根据单项式的系数、次数即可确定a、b的值，进而在数轴上表示出来； （2）求得线段，则得或，即可求得c的值； （3）设运动时间为，则可表示出点P、Q、M运动t秒后在数轴上表示的数，由为定值即可确定k的值． 【详解】（1）解：二项式中，含字母的项为，其系数为，次数为5， 在数轴上表示如下： 故答案为：，5； （2）解：由（1）知，， 因点为线段的三等分点， 当C靠近A时，，则； 当C靠近B时，，则； 综上，c表示的数为1或3； （3）解：存在 点离点较近时，， 设运动时间为，则：点运动秒后所表示的数为，点运动秒后所表示的数为，点运动秒后所表示的数为，        所以，        要使为定值，则，得：，．       【点睛】本题考查了多项式的项，数轴上动点问题，在数轴上表示有理数，数轴上两点间距离，涉及分类讨论与数形结合思想的运用． 39．如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．    (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______，点与点的中点为，则点表示的数为______；运动秒后，点表示的数为______（用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，点是线段的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，3，； (2)； (3)，理由见详解； 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值直接求解即可得到答案； （2）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，根据中点列式求解即可得到答案； （3）本题考查整式化简无关型问题，根据动点及距离问题列式，结合定值即与t无关求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵运动前点表示数，点表示数1， ∴， ∵点表示数9， ∴， ∵点与点的中点为， ∴点代表的数据是：， ∵点A以每秒2个单位长度速度运动， ∴点表示的数为：， 故答案为：4，3，； （2）解：点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， ∴点表示的数字是：，点表示的数字是：， 当点是线段的中点时， ， 解得：； （3）解：存在，当时的值为定值，理由如下， ∵点在点右侧， ∴，即：， ， 当时，即：，， ∴当时的值为定值． 40．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值分别为1，， (2)的值为7或 (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性 【分析】（1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点的距离公式，即可求解； （3）表示出，的长度，即可求解． 本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． 【详解】（1）∵满足， ∴且． 解得，． ∴． ∴的值分别为1，，． （2）由（1）得， ， ∴点表示的数为7或， ∴的值为7或； （3）假设存在常数，使得不随运动时间的改变而改变． 则依题意得：表示的数为，点表示的数为， ， ， ∴当时，不随运动时间的改变而改变，此时． 41．【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值． 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段中点的有关计算 【分析】（）根据题意，求出，再根据结论解答即可求解； （）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可； 根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解； 根据两点之间的距离公式求出，得到，当时即可求出常数的值，进而求出定值． 【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数， ∴，， ∴； 线段的中点表示的数为； 故答案为：；； （）秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点， ∴点表示的数是， 故答案为：； 当点为中点时，则， 解得，不合，舍去； 当点为中点时，则， 解得； 当点为中点时，则， 解得； ∴运动时间的值为或； 当点在点左侧时，，， ∴， 当时， ∴， 此时，定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键． 42．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且． (1)点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？ (2)点A、B以（1）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)经过秒或后A，B相距2个单位长度 (2)当时，为定值，定值为44 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、整式加减的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上两点之间的距离，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意可列方程，可求出t的值，注意分两种情况； （2）首先根据题意求出，的长，设经过t秒，可得，，，则，可得当时，值为定值． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴A点表示，B点表示4． 设经过x秒后A，B相距2个单位长度， ∵， ∴或． 当经过秒或后A，B相距2个单位长度； （2）解：∵A、B对应的数分别为、4． 设经过t秒，点A表示的数是，点B表示，点P表示， ∴，，， ∴． 当时，， ∴当时，为定值，定值为44． 43．已知数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． 若点、、在数轴上对应的数为、、0，且关于的多项式是二次三项式，点、分别从点、出发，同时向右匀速运动，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)直接写出 ． (2)①用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_________，点表示的数为_______． ②当，求的值； (3)若点为线段的中点，为线段的中点，、在运动的过程中，的值会随着的改变而改变，请求出当满足什么条件时，有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)①，；② (3)时，取最大值，最大值为10 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、多项式的项、项数或次数、整式的加减运算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，多项式的次数的含义，一元一次方程的应用，整式的加减运算，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）根据多项式的定义可得，解方程可得答案； （2）①利用向右运动用加法列式表示即可；②利用建立方程求解即可； （3）由点表示的数为，表示的数为，表示，，                     ，再分类讨论可得结论． 【详解】（1）解：∵关于的多项式是二次三项式， ∴， 解得：； （2）①点从出发，向右运动，所以点表示的数为． 从出发，向右出发，所以点表示的数为． 故答案为：，． ②，， 当时，， 即或， 当，方程无解， 当， 解得． （3）点为线段的中点，为线段的中点， 点表示的数为，表示的数为，                     ，，                     ，                             当时，． 当时，． ∴ 当时，， ∴当时，取最大值，最大值为．                                 综上所述，时，取最大值，最大值为10． 题型七、往返运动问题 44．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且关于x的多项式是七次二项式． (1) ， ； (2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动．且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； (3)若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 【答案】(1) (2)点Q的速度为每秒3个单位，点P的速度为每秒6个单位 (3)秒或秒或4秒 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、多项式系数、指数中字母求值、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了多项式的定义，数轴上两点距离，一元一次方程的应用、根据题意列出方程，分类讨论是解题的关键． （1）由多项式的定义得出，即可得出答案； （2）由题意得出方程组，解方程组即可； （3）分两种情况进行讨论，由题意分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的多项式是七次二项式 ∴， 解得：， （2）解：∵点的速度是点速度的倍， 设点的速度为每秒个单位，则点的速度为每秒个单位， 依题意， 解得： 答：点的速度为每秒个单位，则点的速度为每秒个单位； （3）解：点所表示的数是；点所表示的数是； ， 当点到达点时，需要秒； 设经过秒钟，、两点相距个单位长度， 分情况讨论： ①点没有到达点， 当、没有相遇，、两点相距个单位长度时， 由题意得：， 解得：； 当、相遇后，、两点相距个单位长度时， 由题意得：， 解得：； ②点到达点后原速返回， 当点还没有追上点时， 由题意得：， 解得：； 当点超过点时， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒钟，、两点相距个单位长度． 45．如图，数轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，O为原点，且a、b满足，请回答下列问题： (1) ， ； (2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍； (3)数轴上还有一点C表示的数为30，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4． 【答案】(1)， (2)或 (3)秒或秒或秒或 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、绝对值非负性 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数. （1）由非负数性质可得答案； （2）运动后表示的数为，可得，即可解得答案； （3）设运动的时间为秒，从到需要的时间为 (秒)，从到所需时间为(秒)，当 时，，当 时，，当时, ，分别解方程可得答案. 【详解】（1） 解：， ， ， 故答案为: ， ； （2） 运动后表示的数为， ∵点到点的距离是点到点距离的倍， ， 解得 或 ， ∴运动秒或秒时，点到点的距离是点到点距离的倍； （3） 设运动的时间为秒， 从到需要的时间为(秒)， 从到所需时间为(秒)， 当 时，表示的数为，表示的数为， ∴， 解得：或 ； 当 时，表示的数为， 表示的数为， ∴， 解得 或 ， 当 时， ， 解得 (舍去)或 )(舍去)， 综上所述，点和点运动秒或秒或秒或时，、 两点之间的距离为． 46．如图，，动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动（掉头时间忽略不计）．当第一次回到点时两个点同时停止运动，当点运动 秒时，点恰好是的中点． 【答案】或或或 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设运动时间为秒，分四种情况：和和和时，分别列方程可得答案．找到等量关系列出方程是解题关键． 【详解】解：设运动时间为秒， ∵动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动，且， ∴动点从点到点的时间为：（秒）， ∵当第一次回到点时两个点同时停止运动， ∴的取值范围是：， ∵点是的中点， ∴， 当时，，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：； 综上所述，当点运动或或或秒时，点恰好是的中点． 故答案为：或或或． 47．如图，数轴上点A、C对应的数分别为a、c，且a、c满足．点B对应的数为．    (1)求a、c的值； (2)点A，B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，当A，B两点到原点的距离相等时，求t的值； (3)在（2）的条件下，若点B运动到点C处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A运动至点C处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点 C运动，当点B停止运动时，点随之停止运动，在此运动过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数是_______． 【答案】(1)， (2)或 (3)或0或 【难度】0.4 【知识点】数轴上的动点问题、其他问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、绝对值非负性 【分析】（1）由题意得，，计算求解即可； （2）由（1）可知，数轴上点A对应的数为，题意知，A点到原点的距离为，B点到原点的距离为，依题意得，，整理得，，分当，当，计算求解即可； （3）分析A，B两点的运动过程，即，，用代数式表示出运动中的点的位置，然后根据点位置相同列方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，，， ∴，； （2）解：由（1）可知，数轴上点A对应的数为， 由题意知，A点到原点的距离为，B点到原点的距离为， 依题意得，，整理得，， ∴当时，解得，； 当时，解得，； ∴当或秒时，A，B两点到原点的距离相等； （3）解：由（2）可知，当时，第一次A，B两点同时到达的点对应的数为； 当时，A点到达点C, B点到达的点对应的数为； 由题意得，，解得， ∴当时，第二次A，B两点同时到达的点对应的数为； 当时，B点到达点C,A点到达的点对应的数为； 当时，A点第一次回到点A, B点到达的点对应的数为； 由题意得，，解得，， ∴当时，第三次A，B两点同时到达的点对应的数为； 综上所述，A，B两点同时到达的点对应的数为或0或， 故答案为：或0或． 【点睛】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，绝对值的非负性，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 48．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和20，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向一直匀速运动，点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为秒． (1)分别求当及时，对应的线段的长度； (2)当时，求所有符合条件的的值．并求出此时点所对应的数； (3)若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，速度变为每秒3个单位长度．到达点时，再次改变运动方向，沿数轴的正方向一直运动．速度变为每秒4个单位长度，在点的整个运动过程中，是否存在合适的值，使得？若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请明理由． 【答案】(1)当时，；当时， (2)当时，，此时表示的数为2或，此时表示的数为18 (3)存在合适的值，使得，的值为8或12或或或36或． 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． （1）当时，；当时，； （2）表示的数为，表示的数为，可得，解得或；故当时，，此时表示的数为2或，此时表示的数为18； （3）表示的数为，当时，表示的数为，，当时，表示的数为，，当时，表示的数为，，分别解方程可得答案． 【详解】（1）当时，表示的数为1，表示的数为， ； 当时，表示的数为13，表示的数为， ； （2）表示的数为，表示的数为， ， ， 或， 解得或； 当时，； 当时，； 当时，，此时表示的数为2或，此时表示的数为18； （3）存在合适的值，使得，理由如下： 表示的数为， 当时，表示的数为， ， 解得或； 当时，表示的数为， ， 解得或； 当时，表示的数为， ， 解得或； 综上所述，的值为8或12或或或36或． 49．如图，已知数轴上点A表示的数为，B、C是数轴上原点右侧的点，其中，，B是的中点．    (1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ； (2)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，多少秒后点M与点C相距3个单位长度？ (3)动点P、R分别从点A、B同时出发，分别以每秒2个、1个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1.5个单位长度的速度向左匀速运动，每当两动点相遇时，相遇的两动点会立即以原速往相反方向运动，令运动时间为t，当时，求t的值． 【答案】(1)1，6 (2)或秒 (3)或或 【难度】0.4 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）利用数轴上两点间距离和中点定义即可求解； （2）分M在C的左侧和右侧讨论即可； （3）分R、Q 相遇前；P、R相遇前；P、R相遇后讨论即可． 【详解】（1）解：∵A表示的数为，，B在A的右侧， ∴B表示的数为， ∵B是的中点， ∴， ∴C表示的数为． 故答案为：1，6； （2）解：设点M运动t秒后与点C相距3个单位长度，此时M表示的数为， 当M在C的左侧时，， 解得； 当M在C的右侧时，， 解得； ∴或秒后点M与点C相距3个单位长度； （3）解：当R、Q相遇时，， 此时P表示的数为， ∴R、Q 相遇前，P、R没有相遇， 当时，P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 当时，当R、Q相遇时，相遇点表示的数为，此后R、Q变向，即R向左运动，Q向右运动， 此时P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 当P、R相遇时，，相遇点表示的数为，此后P、R变向，即P向左运动，R向右运动， 此时P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 此后P向左运动，R向右运动，Q也向右运动，且Q的运动速度大于R的运动速度，则Q、R不再相遇． 综上，当或或时，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用—行程问题，数轴上的动点问题等，掌握数轴上两点间的距离公式、正确列出一元一次方程是解题关键． 50．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数． (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1) (2)存在，x的值为2或 (3)24 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解此题的要点在于根据数轴得出点的位置． （1）根据题意可得，利用中点解题； （2）此题分为三种情况，当P在之间时，当点P在B的右边时，当点P在A的左边时，分别列出方程求解即可； （3）设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：进而求出即可． 【详解】（1）解：∵A、B两点之间的距离为，P到A、B两点的距离相等， ∴， ∴点P对应的数为； （2）解：①当P在之间时，． ②当P在A点左侧时，，解得：； ③当P在B点右侧时，，解得：， 故当点P对应数x的值为2或时，点P到A、B两点距离之和为6； （3）解：设经过x分钟点A与点B重合， ∴，解得， 由题意可得，点P运动的时间即为点A追上点B的时间， ∴， 故当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是24． 51．思考并解答下列问题： (1)已知数轴上有M、N两点，点M与原点的距离为4，M、N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是 ． (2)在纸面上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示5的点重合，若数轴上E、F两点之间的距离是8（E在F左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是 ，点F表示的数是 ； (3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？ 【答案】(1)，，， (2)，6 (3)这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上点与点之间距离的运用，关键明确点与点之间的距离是正数． （1）根据数轴上两点间的距离，分两种情况加减1.5即可得出答案； （2）根据数轴上点的折叠求出折叠点，再左减右加，即可解答； （3）根据路程中数量关系式求出相遇时间，再用相遇时间×移动的速度求出结果． 【详解】（1）数轴上若点M表示的数是，M、N两点的距离为 1.5， 则点N表示的数是，或； 数轴上若点M表示的数是4，M、N两点的距离为1.5， 则点N表示的数是 ，或； 综上所述，满足条件的点N所表示的数是，，，， 故答案为：，，，； （2）根据题意折叠点：2， E：，F：， 故答案为：，6； （3）， （秒）， ， ， 答：这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位． 52．如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上位于A左侧一点，且． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇． (3)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若P，Q，R三点同时出发，当点P遇上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【答案】(1)； (2)5； (3)． 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查的是数轴与动点问题，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键． （1）根据的距离和点A表示的数即可求出结论； （2）先求出的长度，然后根据题意列出方程即可求出结论； （3）先求出的长，然后求出点P遇上点的时间，并求出此时点P与点Q的距离，从而求出P、Q的相遇时间，然后即可求出结论． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，，点C在点A左侧 ∴点C表示的数为； （2）解：∵点表示的数为，点C表示的数为 ∴ 由题意可得 解得： 答：当时，P，R两点会相遇； （3）解：由题意可得： 点P遇上点的时间为：（秒） 此时点P与点Q的距离为 ∴P、Q的相遇时间为（秒） ∴点从开始运动到停止运动，行驶的路程是个单位长度 答：点从开始运动到停止运动，行驶的路程是个单位长度． 53．如图，在数轴上记原点为点O，已知点C表示数c，点D表示数d，且c，d满足，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点C与点D之间的距离记作． (1)求的值； (2)若甲、乙两动点分别从C，D同时出发向右运动，甲的速度为每秒3个单位，乙的速度为每秒1个单位，当甲和乙重合时，甲，乙停止运动．当甲到达原点O时，动点丙从原点O出发，以每秒4个单位长度的速度也向右运动，当丙追上乙后立即返向甲运动，遇到甲后再立即返向乙运动，如此往返，直到点甲、乙、丙全部相遇就停止运动，设此过程中丙的速度大小不变求在此过程中丙行驶的总路程，以及丙停留的最后位置在数轴上所对应的有理数： (3)动点A从C出发，以每秒2个单位速度往x轴的正方向运动，同时动点B从D出发，以每秒3个单位速度向点C方向运动，到达C点后立即沿x轴的正方向运动，且点B速度大小不变，设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，直接写出t的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1)19 (2)丙的运动的总路程为26，丙对应的有理数为19.5 (3)存在，t的值为：1，，，19 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差 【分析】（1）根据绝对值及偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）当甲到达原点O时，丙从原点O出发，则甲到达O点需要3秒，然后可得乙的位置，进而可得丙的运动时间，最后问题可求解； （3）由（1）可知，然后根据题意可分①当点A、B分别在点O的左侧和右侧时，②当点A、B都在点O的左侧时，③当点B到达点C返回时，此时点A在点O的右侧，④当点B到达点C返回时，点A、B都在点O的右侧，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：当甲到达原点O时，丙从原点O出发， 则甲到达O点需要秒，此时乙的位置为， 设丙运动t秒后停止，由题意得，解得， 此时丙的位置在，即丙对应的有理数为19.5， 丙的运动的总路程为； （3）解：存在，使得，理由如下： 由（1）可知：， ∴， 由题意可分：①当点A、B分别在点O的左侧和右侧时，存在， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当点A、B都在点O的左侧时，存在，即点A、B重合， ∴， ∴， 解得：； ③当点B到达点C返回时，此时点A在点O的右侧，存在， ∴， ∴， 解得：； ④当点B到达点C返回时，点A、B都在点O的右侧，存在， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当t的值为：1，，，19时，存在． 【点睛】本题主要考查线段的和差关系、数轴上的动点问题及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题及一元一次方程的应用是解题的关键． 题型八、变速运动问题 54．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为：或，请回答问题： (1)当时，___________； (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则_________； (3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，若点P表示的数是8，现在甲从点M出发，以每秒1个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点P出发，以每秒3个单位长度的速度向点N运动，当乙到达点N时立即折回，然后以每秒2个单位长度的速度向右运动，问当经过多少秒时，甲乙相距2个单位长度？ 【答案】(1)4 (2)7或 (3)1.5秒或0.5秒或9秒或13秒 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离表示方法求解即可； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）首先计算出点P到达点N所用的时间，然后设时间为t，根据题意分和两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1） 故答案为：4； （2）∵ ∴或 ∴解得或 故答案为：7或； （3）当点P到达N时，所用的时间为 ∴设时间为t， ∴当时， 甲表示的数为，乙表示的数为 由题意可得，，即 ∴或 ∴解得或 ∴当时， 甲表示的数为，乙表示的数为 由题意可得，，即 ∴或 ∴解得或 综上所述，当时间为1.5或0.5或9或13秒时，甲乙相距2个单位长度． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，数轴动点问题，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 55．如图，一条数轴上点A表示，点B表示10，点C表示20．动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． （1）当 秒时，点P运动到O点． （2）当 秒时，． 【答案】 6 或 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离的含义，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）先表示对应的数，可得，再解方程可得答案； （2）求出Q从C运动到B需要10秒；①P在上运动，此时Q在上，P表示的数为，Q表示的数为，故，方程无解，这种情况不存在；②当P在上运动时，P表示的数为，若Q在上，有，解得；若Q在上，有，解得． 【详解】解：（1）∵从到时表示的数为， 当与重合时， ∴， 解得：； 故答案为：6 （2）∵ （秒）， ∴Q从C运动到B需要10秒； ①P在上运动，即时， 此时Q在上，P表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 方程无解，这种情况不存在； ②当P在上运动时，； P表示的数为， 若Q在上，即，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 若Q在上，即时，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当 秒或 秒时，； 故答案为： 或 ． 56．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为，定义：或，请回答问题： (1)设点M在数轴上对应的数为x，点N在数轴上对应的数为y，若，则 ． (2)设数轴上点P对应的数为p，且，求p的值； (3)如图，点A，B，C是数轴上的三点，点A表示的数为4，点C表示的数为，点B表示的数是9． 现甲从点A出发，以每秒2个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向点C运动，当乙到达点C时休息3秒后立即折回，再以每秒3个单位长度的速度向右运动时，此时甲以每秒1个单位长度的速度继续向右运动． 问：当经过多少秒时，甲、乙相距2个单位长度？ 【答案】(1)7； (2)或； (3)或或或； 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）本题考查绝对值的非负性应用及数轴上两点间的距离，根据非负式子和为0它们分别等于0，求出两点，结合数轴上两点的距离等于两数之差的绝对值求解即可得到答案； （2）本题考查数轴上两点间的距离，分点在的左边或3的右边两类求解即可得到答案； （3）本题考查数轴上的动点问题及一元一次方程应用问题，分相遇前相距和相遇后相距，追及相距讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∵点M在数轴上对应的数为x，点N在数轴上对应的数为y， ∴； （2）解：∵，， ∴在3，的两边， 当点在的左边时， ， 解得：， 当点在3的右边时， ， 解得：， 综上所述：或； （3）解：由题意可得，设经过秒时，甲、乙相距2个单位长度， ①当相遇前相距2个单位长度时，由题意可得， ， 解得：， ②当相遇后相距2个单位长度时，由题意可得， ， 解得：， 乙运动到C点时， ， 甲运动时间为：， 甲乙相距：， ③当追到前相距2个单位长度时， ， 解得：， 当追到后相距2个单位长度时， ， 解得：， 综上所述：或或或时甲、乙相距2个单位长度． 57．如图：数轴上A，B，C三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为. 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为. (1)填空：若，则__________.若，则__________. (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为8； (3)若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和. 【答案】(1)或； (2)或秒 (3)或秒 【难度】0.4 【知识点】数轴上的动点问题、整式的加减运算、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查整式的加减运算，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义计算即可 （2）设经过t秒，点P到点B和点C的距离之和为8，再根据绝对值的意义分三种情况讨论，三种情况分别是当时，当时，当时，分别求解即可； （3）若当取最小值时，，设经过的时间为t秒，再分四种情况讨论，三种情况分别是：当时， ①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）当 或 或 或      故答案：或； （2）设经过t秒，点P到点B和点C的距离之和为8 ①当时点P在点B左侧，点P对应的数可以表示为 ， 由题意得： 解得： ②当时，点P在点B和点C中间，此时，矛盾，故舍去 ③当时，点P在C的右侧. ， 由题意得： 解得： 综上所述，经过或时动点P到点B和点C的距离之和为8 （3）当取最小值时， 点Q表示的数为4. 设经过的时间为t秒 当M到达点C时，秒，当M返回到A点时，秒； 当N到达A点时，秒，点N返回到C点时，秒. ①当时，M点表示的数为，N点表示的数为 由题意知： 解得：，（舍） ②当时，M点表示的数为，N点表示的数为 由题意得： 解得：（舍） ③当时，M点表示的数为，N点表示的数为 由题意得： 解得：（舍），，（舍） 综上所述，当经过或秒时，点M和点N之间的距离等于点N到点Q、点C距离之和. 58．数轴上点对应的数分别为，其中满足，点为数轴上一动点． (1)______，______； (2)若点到点的距离之和为55，求点对应的数； (3)若点从点以2个单位每秒的速度向点运动，到达点后立即掉头，速度变为原来的3倍，当点运动3秒后，点与点同时出发，点从点以1个单位每秒的速度向左运动，点以5个单位每秒的速度从表示10的点处向左出发，当点与点相遇后，点的速度变为原来的2倍，并继续向左运动，直到点追上点后所有点停止运动．求点运动多少秒时． 【答案】(1)， (2)点对应的数为或； (3)点运动秒时． 【难度】0.4 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、绝对值非负性 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求解即可； （2）设点对应的数为，分点在点的左侧，点在点的右侧时，两种情况讨论，根据题意列式求解即可； （3）先求得点Q到达点B与点P相遇；得到点P运动7秒后，从B向A以6的个单位每秒运动，同时点Q以10的个单位每秒从B继续向左运动，点T从表示的点以1的个单位每秒继续向左运动，设点P运动7秒后，又运动了秒，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：设点对应的数为， ， 当点在点的左侧时， 则，， 依题意得， 解得； 当点在点的右侧时， 则，， 依题意得， 解得； 综上，点对应的数为或； （3）解：点P从点A到点B用时秒， 此时，点Q运动秒，，即点Q到达点B与点P相遇； 此时点T运动秒，，即点T到达表示的点； 此时点P的运动速度为个单位每秒，点Q的运动速度为个单位每秒， 即点P运动7秒后，从B向A以6的个单位每秒运动，同时点Q以10的个单位每秒从B继续向左运动，点T从表示的点以1的个单位每秒继续向左运动， 设点P运动7秒后，又运动了秒， 则点P表示的数为，点Q表示的数为，点T表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得， 点追上点，则，解得，则符合题意， 秒， 故点运动秒时． 【点睛】本题考查数轴、绝对值、一元一次方程等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型九、折线数轴动点 59．如图，数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，在点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”.我们称点和点在数轴上相距个长度单位.动点从点出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为个单位/秒，“上坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的一半， “下坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的倍.设运动的时间为秒.问:    (1)动点从点运动至点需要时间为 秒; (2)两点到原点的距离相同时，求出动点在数轴上所对应的数: (3)当点到达终点后，立即调头加速去追，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了个单位/秒，当点追上点时，求出它们在数轴上对应的数. 【答案】（1）15；（2）P所表示的数为或；（3）P所表示的数为：18 ，Q所表示的数为： 18 【难度】0.4 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】(1)根据AB、BC、CD三段的路程及速度即可计算出答案； （2）分P在AB,Q在CD；P在AB,Q在CO；P在BO,Q在CO；P 、Q相遇；P在OC,Q在OB；P在OC,Q在BA；进行讨论计算即可； （3）得出Q在CD上追上P，分别将P、Q所表示的数表示出来，列方程，解答即可. 【详解】解：（1）∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴AB=6,BC=10,CD=4 ∴动点从点运动至点需要时间为：（秒） 故答案为：15 （2）①当P在AB,Q在CD时，P所表示的数为： ，Q所表示的数为： ∵两点到原点的距离相同 ∴ 此时该方程无解 ②当P在AB,Q在CO时，P所表示的数为： ，Q所表示的数为： ∵两点到原点的距离相同 ∴ 解得：t=5 此时：P所表示的数为：3 ，不在AB上，故不符合题意，舍去 ③当P在BO,Q在CO时，P所表示的数为： ，Q所表示的数为： ∵两点到原点的距离相同 ∴ 解得： 此时：P所表示的数为： ，不在BO上，故不符合题意，舍去 ④当P 、Q相遇时，P、Q均在BC上，此时P所表示的数为： ，Q所表示的数为： ∵两点到原点的距离相同 ∴ 解得： 此时：P所表示的数为：，Q所表示的数为： ⑤当P在OC,Q在OB时，P所表示的数为： ，Q所表示的数为： ∵两点到原点的距离相同 ∴ 解得： 此时：P所表示的数为： ，Q所表示的数为： ⑥当P在OC,Q在BA P所表示的数为： ，Q所表示的数为： ∵两点到原点的距离相同 ∴ 解得： 此时：P所表示的数为：0，Q所表示的数为：0 ，Q不在AB上，故，故不符合题意，舍去 综上所述：P所表示的数为或 （3）∵Q到达A点所需时间为 （秒），此时P到达的点是： 又∵P到达点所C需时间为 （秒），此时Q到达的点是： ∴Q在CD上追上P，此时P所表示的数为： ，Q所表示的数为： ∴ ∴ 此时P所表示的数为：18 ，Q所表示的数为： 18 【点睛】本题考查了数轴与有理数的关系，一元一-次方程在数轴上的应用,路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏. 60．数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒． （1）当秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离； （2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值； （3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）15；（2）秒或秒；（3）存在，或 或 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题 【分析】（1）当秒时，求出点和点在数轴上相距的长度单位，点和点在数轴上相距的长度单位，据此求出、和谐距离即可； （2）分两种情况：当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，分别列出方程，然后求解即可； （3）分六种情况：①当点在，点在上运动时， ②当点在，点在上运动时，③当点，点在上运动时， ④当点在，点在上运动时， ⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，⑥当点在，点在上运动，且点返回时，分别列出方程，然后求解即可． 【详解】解：（1）当秒时，点和点在数轴上相距个长度单位，即点在数轴上表示的点是 点和点在数轴上相距个长度单位，即点在点的位置上，在数轴上表示的点是12， 则、和谐距离是：个单位长度； （2）如图示： 点运动到点位置时，用的时间是：秒， 当点在折线数轴上运动4秒时，则在上的运动时间是秒，在上的运动时间是秒， 则， ∴， 设点，点在上的运动时间是， 当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时， 依题意得：， 解得：， ∴总用时是：秒； 当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时， 依题意得：， 解得：， ∴总用时是：秒； 综上所述，当运动秒或秒时，M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度； （3）存在，理由如下： 根据题意可知，点在上的运动，并没返回时，使用的时间是秒，点在上的运动，使用的时间是秒， 可得，点在到达点时，继续返回运动了2秒， ①当点在，点在上运动时，依题意得： 解得：，不合题意，舍去； ∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点在上运动， ②当点在，点在上运动时，依题意得： 解得：； ③当点，点在上运动时，依题意得： 解得：； ④∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点到达点， 当点在，点在上运动时， 无法找到任一点，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故不存在这样的时间； ⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，依题意得： 解得：，不合题意，舍去； ⑥当点在，点在上运动，且点返回时，依题意得： 解得：； 综上所述，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等的时间是：或或； 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，利用分类讨论思想，对题目进行分析解答是解题的关键． 61．综合与实践： 如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点同时开始运动，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问：    (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是______；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是______； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，是否在线段上存在两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等？（若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由） 【答案】(1)，6； (2)动点从点运动至点需要19秒； (3)两点秒相遇，相遇点所对应的数是； (4)存在，11． 【难度】0.4 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用与的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是，当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是6； （2）根据路程除以速度等于时间，可得答案； （3）根据相遇时，的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案； （4）根据与的长度相等，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）点从点出发，运动2秒时，点在数轴上表示的数是， 点从点出发，运动10秒时，点在数轴上表示的数是． 故答案为：，6； （2）点运动至点时，所需时间为（秒． 故动点从点运动至点需要19秒； （3）由题可知，、两点相遇在线段上于处，设． 则， 解得， 则． 故、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； （4）存在， 由题意可得：， 解得：， 答：的值为11 62．如图，点A、O、C、B为数轴上的点，O为原点，A表示的数是，C表示的数是2，B表示的数是6．我们将数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数，记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离；即，其中代表线段的长度．    (1)若点T为“折坡数轴”上一点，且，请求出点T所表示的数； (2)定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，动点P从点A处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动到点O，再上坡移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在点P出发的同时，动点Q从点B处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C，再下坡到点O，然后再沿方向移动，当点P重新回到点A时所有运动结束，设点P运动时间为t秒，在移动过程中： ①点P在第__________秒时回到点A；（请给出详细解析过程） ②当__________时．．（可直接给出t的值） 【答案】(1)点T所表示的数为和7； (2)①；②2或或或． 【难度】0.4 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）首先判断出点T的位置，设T表示的数为x，根据T的位置分两种情况列出方程求解即可； （2）①分别根据“时间=路程÷速度”求出点P运动的时间，再求和即可； ②分别求出点Q在运动时间，结合点P，点Q的不同位置，根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 而，， ∴T不在内， 设T表示的数为x， 当T在点A的左侧时， ， 解得：； 当T在点B的右侧时， ， 解得：， 答：点T所表示的数为和7； （2）解：①∵O为原点，A表示的数是，C表示的数是2，B表示的数是6， ∴， ∴点P从A到O所需时间为：， ∵， ∴点P从O到C所需时间为：， 返回时， 点P从C到O所需时间为： ， 点P从O到A所需时间为：， ∴点P运动的总时间， 故点P在秒时回到了点A， 故答案为：； ②（Ⅰ）当点P在上，点Q在上时， ， ， ∵， ∴， 解得：； （Ⅱ）当P在上，此时Q在上，设点Q在上的时间为， a）当，即，即时，P、Q相遇， ，， 由 得：， 解得： ， ∴； b）当Q到达点O时，点P刚到的中点，并继续向上走（秒）， ，=t′， 由 得：， 此时无解； c）当Q在上，P在向下移动时， ，， 由 得，， 解得：，此时， ； （Ⅲ）当点P重新回到上，设P回到O点后运动时间为，在之间，点P、Q已经运动了（秒）， 此时，Q在上走了， 即， a），， 由 得：， 解得，，此时， ； b）当P在Q左侧，超过Q后， ，， 由 得：， 解得， （舍去）， 综上所述，当或或或秒时， 故答案为：2或或或． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 63．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，在数轴上，点A表示数，点C表示的数为2，点B表示的数为6． （1）点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时，点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，经过多久两点相遇？ （2）如图2，我们将图1的数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段和仍然水平，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数．记“坡数轴”上A到B的距离为A和B拉直后距离：即，其中代表线段长度．在“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍． ①点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位l秒的速度沿着“坡数轴”向左运动，经过多久，？ ②点P从A处沿“坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在P出发的同时，点Q从B处沿“坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动，当P重新回到A点所有运动结束，设P点运动时间为t秒，在移动过程中，何时？直接写出t的值． 【答案】（1）；（2）秒或秒；秒或秒或秒或秒 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题 【分析】（1）设运动时间为，利用路程速度时间，再根据点与点相遇，列关于的一元一次方程，解方程即可； （2）分点在上，点在上时，，和点在上与点在上，两种情况，结合题意列方程即可解答； 分别求出点的运动时间，结合点，点的不同位置，根据列出方程求解即可． 【详解】（1）设运动时间为秒，点与点相遇， 由题可得：， 解得：， ∴点与点经过秒相遇； （2）（I）当点在上，点在上时，， 设点与点运动时间为秒时，， ， ， 解得：， 此时点运动到点，点运动到点； （II）点在上运动的速度为单位/秒，点在上运动的速度为单位/秒， 结合（I），当点运动到中点时，点运动到点，此时点， ，，点在上运动的速度为单位/秒，点在上运动的速度为单位/秒， 点运动到中点时所需时间为：秒， 设点运动到中点后，继续运动的时间为，使得， 点在上运动的速度为单位/秒， ， ， 经过秒，； 综上所述，经过秒，或秒后，； （I）当点在上，点在上时， ， ， ， ， ； （II）当点在上，设点过，点过的秒之后，时间为， ）当，即，即时，P、Q相遇， ，， 由得：， 解得，， ∴； ）当Q到达点O时，点P刚到OC的中点，并继续向上走2-1=1（秒）， ，， 由得：，此时无解； ）当Q在OA上，P在OC向下移动时， ，， 由得：， 解得，，此时，（秒）； （III）当点P重新回到OA上，设P回到O点后运动时间为，在之间，点P、Q已经运动了（秒）， 此时，Q在OA上走了（秒），即； 1) ，， 由得：， 解得，，此时，（秒）； 2）当P在Q右侧，超过Q后，，， 由得：， 解得，（舍去）； 综上所述，当或或或秒时，． 【点睛】本题考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程，时间，速度三者的关系等知识，解题关键是掌握一元一次方程的应用，分类计算时不重不漏． 64．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题，已知a、b为常数且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等． (1)则_______，_______； (2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中： ①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少． ②在点N从点O返回之前，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①M和N的相遇点Q所对应的数为；②存在，符合题意的t的值为：或 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性 【分析】（1）根据绝对值的非负性即可得出结果； （2）①由题可知，点M和N相遇在线段上于Q处，根据运动时间相等，可列出方程求解即可； ②分别求出点M和N的运动时间，结合点M和点N的不同位置，分两种情况分析，然后根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴解得， 故答案为：； （2）解：①由题意得，C表示的数为4，，， 由题可知，M和N两点相遇在线段于Q处，设，则， 因为M和N两点分别在上运动的时间相同， 则， 解得， 则Q表示的数为， 故M和N的相遇点Q所对应的数为； ②存在，理由如下： ∵， ∴点M从A到O所需时间为：， ∵， ∴点M从O到C所需时间为：， ∵， ∴点N从B到C所需时间为：， 点N从C到O所需时间为： 点N返回时， 点N从O到C所需时间为：， 点N从C到B所需时间为：， 由此再分类讨论如下： （1）当点M在上时，点N在上运动，此时， 此时； ， ∴， 解得； （2）当点N在上时， ①点M在上且点M和点N相遇前，当两点相遇时，，当， ， ， ∴ 解得； ②点M在上，且M和N相遇后，即， 此时， ， ∴，无解； ③当点M在上时，即， 此时，， ∴， 解得，不符合题意；, 综上所述，符合题意的t的值为：或． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 65．数轴上点表示，点表示6，点表示12，点表示18．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以2个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以1.5个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为 　　；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；　　时，、两点相遇； (2)当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值． 【答案】(1)19；；；8.8 (2)或 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、绝对值的意义 【分析】本题考查数轴、绝对值、一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数及分类讨论． （1）当秒时，点表示的数是，点表示的数是15，即可表示出、两点在折线数轴上的和谐距离；由题意知，时，点、都在折线段上运动，点表示的数为，点表示的数为，进而可得出答案． （2）分，和，并根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）当时，点表示的数是，点表示的数是15， 、两点在折线数轴上的和谐距离为． 由题意可知，4秒时点运动到点，点运动到点，12秒时点运动到点， 时，点、都在折线段上运动， 点表示的数为， 点表示的数为， ，两点间的和谐距离， ，两点间的和谐距离． ，相遇时，两点表示的数相同， ， 解得． 故答案为：19；；；8.8． （2）由（1）知，时点运动到点，点运动到点， 当时，不存在、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等； 当，即点在折线段上运动时， 可得， 解得或， 当时，点从点向点运动，速度为2个单位秒，不存在、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等， 综上所述，或． 66．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ①当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ②当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 67．如图①，在直角三角形中，，，，． (1)动点、同时从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，经过 秒两点首次相遇，相遇时它们距点 个单位长度； (2)如图②，动点从出发，沿折线（含端点和），速度为每秒个单位长度，到达点停止运动，已知点到的距离为个单位长度，设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)如图③，将三角形的顶点与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿折叠在三角形的两边，上，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的距离．例如点和点在折线数轴上的距离为个单位长度．动点从点出发，以个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到过点期间，速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向数轴的正方向运动；与此同时，动点从点出发，以个单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为个单位/秒，过点后继续以原来的速度向数轴的负方向运动，设运动时间为秒．在此运动过程中，，两点的距离与，两点的距离是否会相等？若相等请直接写出的值；若不相等，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)相等，或或或 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用： （1）设相遇时间为秒，可得； （2）分两种情况讨论：当在上时和当在上时； （3）分五种情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时． 【详解】（1）设相遇时间为秒． 根据题意，得 ， 解得 ． 相遇时它们距点的距离：． 故答案为：， （2）动点运动到点所用的时间：(秒) 当在上时， ，可得 ， 解得 ． 当在上时， ，可得 ， 解得 ． 综上所述，或． （3）从到所用时间：(秒)． 从到所用时间：(秒)． 从到所用时间：(秒)． 从到所用时间：(秒)． ①当时，，． 根据题意，得 ， 解得 ． ②当时，，． 根据题意，得 ， 解得 ． ③当时，，． 根据题意，得 ． 解得 ． ④当时，，． 根据题意，得 ， 不符合题意． ⑤当时，，． 根据题意，得 ， 解得 ． 综上所述，或或或 68．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D出各折一下，得到“折线数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动到点E时P点P停止运动，当点Q运动到点A时点Q停止运动，设：运动时间为t．问： (1)动点P从点A运动到E点需要 秒，此时点Q对应的数是 ； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ (3)求当t为何值时，P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等． 【答案】(1)10，4 (2) (3)4，，10 【难度】0.4 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据点在各段的运动速度结合公式：时间路程速度即可得到动点从点运动至点需要的时间，分析点在每段上运动需要的时间即可解答； （2）分析可知当，两点在处相遇时，点在段，再求出两点相遇所用时间，最后计算出点所对应的数即可； （3）根据题意可分情况讨论：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意；②当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；③当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意；⑤当点在段，点在段，根据列出方程并求解；⑥当点在段，点在段，根据列出方程并求解． 【详解】（1）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为4单位秒，在段的速度为2单位秒，在段的速度为8单位秒， ，， 动点从点运动至点需要的时间为（秒， 动点从点出发，以3单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，在，，段的速度为3单位秒，段的速度为1.5单位秒，在段的速度为6单位秒， 动点从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒， （秒， ， ． 此时点对应的点是4； 故答案为：10，4； （2）由（1）可知，，两点在处相遇时，点在段， 动点由点经过点到点点用时为（秒， 动点从点到点用时为（秒， 6秒到秒动点的路程， 相遇的时间（秒， 点的路程， 点所对应的数； （3）①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意； ②当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：； ③当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：（舍去）； ④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意； ⑤当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：； ⑥当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：． 综上所述，当为4或8.8或10时，，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴，解题关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握． 题型十、三动点问题 69．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且，，．若点A，B，C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，当点A在点B左侧，且长为6时，t的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、求不等式组的解集 【分析】根据题意，A运动后表示的数是，B运动后表示的数是，C运动后表示的数是，由点A在点B左侧，可得，而长为6，有，即可解得答案． 【详解】解：根据题意，A运动后表示的数是，B运动后表示的数是，C运动后表示的数是， ∵点A在点B左侧， ∴， ∴， ∵A在B左侧，B在C左侧， ∴A在C左侧， ∵长为6， ∴， 解得，此时满足， ∴符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是用含t的代数式表示A，B，C运动后所表示的数． 70．已知，如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为，点B表示的数为7，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的，当运动时间为4秒时，点M和点P之间的距离是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，一元一次方程的实际应用，求出点M、Q的运动速度和AB的距离是正确计算的关键．根据运动时间为4秒时，点M和点Q的距离都是6个单位长度，可利用方程求出点M、Q的运动速度，进而求出的距离，再计算出当点P运动到点A所用的时间，再计算出点Q运动的距离，进而求出所表示的数． 【详解】解：由题意得，点M的速度是点Q速度的， 设点Q的速度为x，则点M的速度为， ∵运动时间为4秒时，点M和点Q之间的距离是6个单位长度， ∴， 解得，， 即Q点的速度是每秒2个单位长度， 又A、B两点间的距离为：， （秒）， 故点P从点B到点A需要3秒， 点Q运动的距离为：， ∴点Q表示的数为：， 故答案为：1． 71．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位． （1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位； （2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 秒点P到点M，N的距离相等． 【答案】 5 或 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了数轴，一元一次方程的实际应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键． （1）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出求出即可； （2）首先设经过t秒点P到点M，N的距离相等，得出或，进而求出即可． 【详解】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位． 依题意可列方程为：， 解方程，得． 故答案为：5． （2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等． 或， 或 或， 故答案为：或． 72．距离是天文学、物理学、数学，甚至哲学中的热门话题．唯有深入了解距离，才能更好地把握宇宙尺度，把握做人做事的分寸． 研究数轴我们发现：若点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B两点之间的距离为．已知如图，点O为原点，点A、B在数轴上对应的数分别为和6． （1）①A，B两点之间的距离为 ； ②点R是数轴上一点，若点R到点A的距离为6（），则点R在数轴上对应的数为 ． （2）数轴上有一动点T，当点T以每秒1个单位长度的速度从O点向左匀速运动时，点A也以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B也以每秒6个单位长度的速度向左匀速运动，若它们同时出发，则几秒后T点到A、B两点的距离相等？ 【答案】（1）①；②或4；（2）或 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）①根据数轴上两点距离计算公式求解即可；②分点R在点A右边和点R在点A左边两种情况利用数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）设运动时间为t，则运动t秒后，点T表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为，据此求出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：（1）①由题意得，A，B两点之间的距离为， 故答案为：； ②当点R在点A右边时，则点R表示的数为； 当点R在点A左边时，则点R表示的数为； ∴点R表示的数为或4； （2）设运动时间为t，则运动t秒后，点T表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， ∵T点到A、B两点的距离相等， ∴， ∴或， 解得或； 73．如图1，在数轴上从左到右依次是A、B、C三个点，且A、B两点位于原点O的两侧，A点所表示的数为 ，且； (1)求出数轴上点B、C所表示的数； (2)如图2，动点P从A点出发，以4个单位长度每秒的速度沿方向运动，到达C点后，立即掉头以原速返回；与此同时，另一动点Q从B出发，以1.5个单位长度每秒的速度沿方向运动，到达C后，点P、Q停止运动．在运动过程中，点Q的运动时间记为t（秒），当时，求出满足条件的t的值； (3)在第（2）问的条件下，有另一动点M与P、Q同时出发，从点C以3个单位长度每秒的速度沿方向运动，当点P停止运动时，点M停止运动．在运动过程中，点Q的运动时间记为t（秒），当P、Q、M三点中一点是另外两点的中点时，请直接写出满足条件的t的值． 【答案】(1)2；20 (2)当或或或时， (3)当或或或时，、、三点中一点是另外两点的中点 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值方程、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）先求出，进而求出，再求出，进一步求出即可得到答案； （2）分当点P在从A向点C运动，即时，当点P在从C向点A运动，即时两种情况分别表示出点P和点Q表示的数，再根据数轴上两点距离公式建立方程求解即可； （3）分到达点之前，和从点返回，两种情况，每种情况再分为，中点， 为，中点和为，中点，三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵A点所表示的数为 ， ∴， ∵， ∴， ∴点B表示的数为2， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； （2）解：当点P在从A向点C运动，即时，此时点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当点P在从C向点A运动，即时，此时点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，当或或或时，； （3）解：点表示的数为：， 当时： ①为，中点，则：，解得：； ②为，中点，则：，解得：； ③为，中点，则：，解得：； 当时： ①为，中点，则：，解得：； ②为，中点，则：，解得：（舍）； ③为，中点，则：，解得：（舍）； 综上：当或或或时，、、三点中一点是另外两点的中点． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点距离公式，绝对值方程，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及中点公式，是解题的关键． 题型十一、线段运动问题 74．数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，4，两条动线段和，，，如图，线段以每秒1个单位的速度从点开始一直向右匀速运动，线段同时以每秒2个单位的速度从点开始向右匀速运动，当点运动到时，线段立即以相同的速度返回，当点运动到点时，线段，立即同时停止运动，设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变，且点总在点的左边，点总在点的左边） (1)当为何值时，点和点重合？ (2)在整个运动过程中，线段和重合部分长度能否为1，若能，请求出此时点表示的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当或时，点和点重合； (2)点表示的数为：、、或． 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）分两种情况讨论，追及时等量关系为：点行走的路程行走的路程；返回后相遇等量关系为：点行走的路程行走的路程； （2）分两种情况讨论，追及时点超过点一个单位长度和点超过点一个单位长度时都符合线段和重合部分长度能为；返回后相遇时点离点一个单位长度和点离点一个单位长度时都符合线段和重合部分长度能为；据此求得的值，从而求得点的范围． 【详解】（1）解：①追及时，到达点的时间为（秒） 依题意得：， 解得：，符合题意 ②返回后相遇，依题意得：，即：， 解得：，符合题意； 答：当或时，点和点重合； （2）解：①追及时点超过点一个单位长度：，即， 解得：，此时点表示的数为：； ②追及时点超过点一个单位长度：， 解得：，此时点表示的数为：； ③返回后相遇时点离点一个单位长度：，即：， 解得：， 此时点表示的数为： ④返回后相遇时点离点一个单位长度：，即：， 解得：， 此时P点表示的数为： 综上：点表示的数为：、、或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴的知识．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分类讨论思想的应用． 75．如图，数轴上点，对应的实数分别为和8，数轴上一条线段从点出发（刚开始点与点重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在，之间往返运动（点到达点立刻返回），线段，设线段的运动时间为秒． (1)如图1，当时，求出点对应的有理数和点与点之间的距离； (2)如图2，当线段从点出发时，在数轴上的线段从点出发在点的右侧，刚开始点与点重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在，之间往返运动（点到达点立刻返回），，点为线段的中点，点为线段的中点． ①当点第一次到达原点之前，若点、点到数轴原点的距离恰好相等，求的值； ②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当，两点第一次在整点处重合时，请求出此时点对应的数． 【答案】(1)点A对应的有理数为，点与点之间的距离为10 (2)①1或；②2 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离． （1）根据起始点求出点和点对应的数，进而可得答案； （2）①分别用含的代数式表示出点和点，再分情况列方程即可； ②当时，点与点重合时不在整点处；当时，由题意得，解方程可得答案． 【详解】（1）解：点起始点在处，当时， ， 点对应的有理数为， ∵， ∴点起始点在处， 当时， ， 点对应的有理数为， 点与点之间的距离为； （2）解：①∵点起始点在处，点起始点在处，点P为中点， ∴点起始点在处， ∵运动时间为秒，线段的运动速度为1， ∴当点第一次到达原点之前， 此时点一直往右运动， 点对应的有理数为， ∵点D起始位置为8，， ∴点C起始位置为， ∵点Q为中点， ∴点起始点在6处， 当运动时间为秒时， ，线段速度为2， 此时点一直往左运动， 点对应的有理数为， 点、点到数轴原点的距离相等，， 当原点是中点时，， 解得， 当、重合时，， 解得． 综上，的值是1或； ②当时，由①可得点与点重合时不在整点处； 当时，由题意得， 解得， 此时，故点对应是有理数为． 76．初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，，三个点，分别表示有理数，和12．佳佳把两根木棒放在数轴上，使点与点A重合，点N与点重合，点在点Q的左边，点在点的左边，且，，木棒从点开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点运动到时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点在点的左边），当点再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)当时，若线段和线段的长度之和为12，求对应的值； (3)点为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点、、、的距离之和为一个定值？若存在，请直接写出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说理由． 【答案】(1)； (2)当或时，线段和线段的长度之和为12 (3)存在；定值为8；持续总时长为秒 【难度】0.4 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）当时，得出，，，，根据，得出，求出结果即可； （3）分时和两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：点表示的数为； 点表示的数为； 故答案为：；． （2）解：当时，，，，， ， ， ， ， 即， 解得：，； 当或时，线段和线段的长度之和为12． （3）解：定值为8；持续总时长为秒，求解过程如下： 当在上运动时，点到点、、、的距离之和为一个定值，且点到点、、、的距离之和为：； ①当时，，，，， ， ， ， ， ， ∴持续时长2秒； ②当时，，，，， ， ， ， ，    ∴持续时长为（秒）， （秒）， ∴持续的总时长为秒． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 77．数学为人们提供了一种认识和探索现实世界的观察方式．在数学综合实践活动课上，小明同学借助两根木棒、研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有三个点，分别表示有理数，和．小明把两根木棒放在数轴上，使点与点重合，点与点重合，点在点的左边，点在点的左边，且，．木棒从点开始一直向右以每秒个单位的速度匀速运动；木棒同时从点开始向右以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)当点运动到时，两根木棒立即同时停止运动，在整个运动的过程中，当线段和线段的长度之和为时，求出对应的的值； (3)当点运动到时，木棒立即以每秒个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点在点的左边），当点再次运动到点时，两根木棒立即同时停止运动，点为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)定值为，持续总时长为秒． 【难度】0.4 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】（）根据题意列式计算即可得出答案； （）分两根木棒相遇前和相遇后两种情况解答即可； （）分向右运动与完全重合和返回与完全重合两种情况进行讨论即可得出答案； 本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 【详解】（1）解：∵， ∴点表示的数为； ∵点表示的有理数为，，点在点的左边， ∴点运动前表示的有理数为， ∴点运动后表示的有理数为； 故答案为：，； （2）解：∵运动前点表示的有理数为，，点在点的左边， ∴运动前点表示的有理数为， ∴运动后点表示的有理数为，点表示的有理数为， 点表示的有理数为，点表示的有理数为， 当两根木棒相遇前时， ，， 当时， ， 解得； 当两根木棒相遇后时， ，， 当时， ， 解得； ∴的值为或； （3）解：定值为，持续总时长为秒． 理由：∵点为小木棒上任意一点， ∴在运动过程中始终保持不变， ∴只要使保持不变即可， ∴当与完全重合时，点到点的距离之和为一个定值，该定值为； 当向右运动与完全重合时， 由， 解得， 由， 解得， ∴持续时间为秒； 当返回与完全重合时， 此时，点表示的有理数为， 点表示的有理数为， 由， 解得， 由， 解得， ∴持续时间为秒； 综上，持续的总时长为秒． 78．已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；或 (3)存在； 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值方程、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一次方程的应用，利用平方根解方程等知识，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． （1）根据一元一次方程的定义可得，即可求出b，根据绝对值、平方的非负性即可求解a、c，问题得解； （2）根据运动特点可得，再根据为的中点，为中点，可得，依据，可得方程，解方程即可求解； （3）分类讨论：与第一次重合中，由到的时间为7段，即时，表示出点，．①点表示的数比点表示的数大1，即，②点表示的数比点表示的数大1，即与第二次重合中，到返回时，即，同理表示出，③点表示的数比表示的数大1时，即，④点表示的数比表示的数大1时，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵是一元一次方程， ∴， 解得：， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：， 根据运动特点可得， 为的中点，为中点， ， ， ， ， ， 或， 或； （3）解：存在．或者或者或者8．理由如下： ， ， 与第一次重合中，由到的时间为7段，即时， 点， ①点表示的数比点表示的数大1， 即， 解得：． ②点表示的数比点表示的数大1， 即， 解得：． 与第二次重合中，到返回时，即， ③点表示的数比表示的数大1时， 即， 解得：． ④点表示的数比表示的数大1时， 即， 解得：． 故：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $