山西阳泉市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题

秘密★启用前 阳泉市2025~2026学年度 第二学期期末教学质量监测试题 高一数学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知平面向量，，且，则 A． B． C． D． 3．某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有 A．40人 B．36人 C．30人 D．24人 4．已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 A． B． C． D． 5．如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为 A． B． C． D． 6．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分．现从立秋、处暑、白露、秋分这个节气中任选个节气，则这个节气至少有一个在八月的概率为 A． B． C． D． 7．在中，若，且，则的形状是 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8．如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计．现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知两个不同的平面，和两条不重合的直线，，则下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，为异面直线，且，，，，则 10．已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是 A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若发生时一定发生，则 11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是 A． B．鳖臑体积的最大值为 C．点到面的距离是 D．鳖臑内切球的半径为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．） 12．样本数据，，，，的中位数为 ▲ ． 13．已知复数，则复数 ▲ ． 14．“大美中国古建筑名塔”文峰塔以石为基，用青砖白砂灰砌筑建成．如图，测量河对岸的文峰塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量点与．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为 ▲ ． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知向量，，，且向量与向量共线． （1）证明：； （2）求向量与向量的夹角； （3）若，求实数的值． 16．（本小题满分15分） 已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且的面积为，求边，的长． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为等边三角形，平面平面，． （1）设，分别为，的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的上四分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 19．（本小题满分17分） 甲、乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲、乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． （1）求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用表示）； （2）两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $秘密★启用前 阳泉市2025~2026学年度 第二学期期末教学质量监测试题 高一数学参考答案和评分标准 评分说明： 1.考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参考评 分参考中相应的规定给分 2.计算题只有最后答案没有演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的 具体条件联系的，不给分： 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.） 题号 2 3 4 5 6 7 P 答案 C A D B B 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有选错得0分， 部分选对得部分分.)】 题号 9 10 11 答案 BD ABD BCD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）】 12.6 13.V2 14.30V2 高一数学试题答案第1页（共5页） 四、解答题（本大题共6个小题，共77分.） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由向量a与b共线，得2·t-1×4=0,得t=2, .0=(2,1）,C=(2,-4)… (1分) 则ac=2×2+1×(-4)=0, 故⊥C.… (3分) (2)b-c=(4,2)-(2,-4)=(2,6),… (4分) 设向量u与b-c的夹角为0， a:(b-c)=2×2+1×6=1V2 则co0=Ta-b-c=V5×V40 (6分) 2 由9eD,m],得0=不， (8分) 故向量a与b-c的夹角为T (3)a+mc=(2,1)+m(2,-4)=(2+2m,1-4m),… (9分) 由a+mc=3得(2+2m)2+(1-4m)2=9,… (11分) 解得m=±V5 (13分) 5 16.(本小题满分15分) 解：(1).(c-b)sinC+bsin(A+C)=a sinA; .(c -b)sinC bsinB=a sinA, 由正弦定理可得(c-b)c+b2=2,即b2+c2-=bc,…（4分) 由余弦定理可得cAc正分又Ae0,.故A:号： 2bc (7分) 高一数学试题答案第2页（共5页） (2)m=besind 3 be=V=4 (9分) 4 由余弦定理可得d=b2+c2-2bcos4,即4=公+c2-2×4×号，即+c2=8, 则(b+c)2=b2+c2+2bc=16,(b-c)2=b2+c2-2bc=0,. (13分) 故b+c=4,b-c=0,故b=c=2.… (15分) 17.(本小题满分15分) (1)如图，连接BD,.·底面ABCD为平行四边形， .AC∩BD=H,BH=HD, .BG=GP,∴.GH∥PD, 又.GH平面PCD,PDC平面PCD, .GH∥平面PCD.…… (5分) (2)取PC中点E,连接DE,·△PCD为等边三角形，则DE⊥P℃， 又平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,DEC平面PCD, 则DE⊥平面PAC,又PAC平面PAC,故DE⊥PA, PA⊥CD,CD∩DE=D,CD,DEC平面PCD,故PA⊥平面PCD.·(10分) (3)由(2)已得DE⊥平面PAC,连接AE,则∠DAE即直线AD与平面PAC所成角， :△PCD等边三角形，CD=4,则DE=Y3CD=2V3, 2 又AC=4V2,在Rt△AED中，sim∠DAE=DE=2V3=V6 AD 4V2 即直线AD与平面PAC所成角的正弦值为V6 4 G B< …(15分) 高一数学试题答案第3页（共5页） 18.(本小题满分17分) 解：(1)：每组小矩形的面积之和为1， .(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10,则a=0.030;…(4分) (2)成绩落在40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65， 落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9， 设上四分位数为m,由0.65+(m-80)×0.025=0.75,得m=84, 故上四分位数为84；… (10分) (3)成绩在50,60)的市民人数为100×0.1=10， 成绩在60,70)的市民人数为100×0.2=20， 故这两组成绩的总平均数为：=10×57+69×20=65， 10+20 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 g2=10×7+(57-65)月+20×4+(69-65)月=37… (17分) 30 30 19.(本小题满分17分) 解：(1)设A:=答对文化测试的第i题， 则甲恰好答对两道文化测试题的概率为： P=P(AA2A3)+P(AA2A3)+P(AA2A3) =P(A)P(A2)P(A3)+P(A)P(A2)P(A3)+P(AP(A2)P(A3) =p2(1-p)+p(1-pp+(1-p)p2 =3p2(1-p）.… (5分)】 高一数学试题答案第4页（共5页） (2)当p=?时， ①设甲通过文化测试的概率为P, P=P(AA2A3)+P(AA2A3)+P(AA2A3)+P(AA2A3)= 20 27， (7分) 设甲乙两人通过体育测试的概率均为P2, 则乃=X1=,… (9分) 当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个， 故甲总分为1的概率为： P=AxI-A41-AxP9×g+7×写g: (11分) ②设乙通过文化测试的概率为A,则同理可得乃=， 设X=甲总分为i分，i=1,2,设Y=乙总分为j分，j=0,1, rX)gKX)=9×)0 27×9=243 rYo(1-A)xI-A3×8号， 99 )=Ax1-A+1-A)xB=号×8+3×g3 故甲总分高于乙总分的概率为 P=P(X)P(Yo)+P(X2)P(Yo)+P(X2)P(Y) =×号+0×告+×分 9+243×2 838 =2187 (17分 (以上答案仅供参考，如有不同解法酌情给分)】 高一数学试题答案第5页（共5页）