1.4.1 空间向量应用（一）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《知识解读•题型专练》

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，先系统梳理空间中点、直线和平面的向量表示（含位置向量、方向向量、法向量），再通过求平面法向量及证明线线、线面、面面平行与垂直等7类题型，构建从概念到应用的学习支架。 资料题型分类清晰，例题与变式结合，以正方体、四棱锥等实例培养空间观念（数学眼光），规范向量运算与推理步骤提升逻辑思维（数学思维），用向量语言表达几何关系强化模型意识（数学语言）。课中助教师分层教学，课后随堂检测帮助学生查漏补缺。

1.4.1空间向量应用（一) (知识解读) 【人教A版(2019)】 题型归纳 【题型1 求平面的法向量】… .2 【题型2利用空间向量证明线线平行】 3 【题型3利用空间向量证明线面平行】 【题型4利用空间向量证明面面平行】 .6 【题型5利用空间向量证明线线垂直】 .8 【题型6利用空间向量证明线面垂直】 【题型7利用空间向量证明面面垂直】 12 知识点1空间中点、直线和平面的向量表示 1.空间中点、直线和平面的向量表示 ()空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向 量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量 (②)空间中直线的向量表示式：直线1的方向向量为ā，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O,可以得 到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP=OA十ta①，把AB=a代入①式得OP=OA十tAB②，① 式和②式都称为空间直线的向量表示式： (3)平面的法向量定义： 直线lLa,取直线1的方向向量ā，我们称向量à为平面a的法向量给定一个点A和一个向量ā，那么过点 4,且以向d为法向量的平面完全确定，可以表示为张合{P店·市-0 1/17 【注】一个平面的法向量不是唯二的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直 线的方向向量，可求出该平面的一个法向量 【题型1求平面的法向量】 【例1】△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=1,OB=4,OC=2.则平面ABC的一 个法向量是() B A.4,2,1 B.1,2,4 c.1-2,4 D.-1,2,-4 【变式1-1】在空间直角坐标系中，已知点A1,0,0,B2,1,0,C1,-1,1,则平面ABC的一个法向量可 以是() A.1,1,1 B.1,-1,1 c.1,1,-1 D.1,-1,-1 【变式1-2】如图，已知正方体ABCD-A,B,C1D,的棱长为1，以D为原点，以DA,D元，DD,为单位 正交基底，建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的一个法向量是() B D A.1,1,1 B.-1,1,1 c.1,-1,1 D.(1,1,-1 【变式1-3】平面a经过A-3,5,1,B2,1,4且垂直于法向量为n=1,-2,3的一个平面，则平面α的一个 2/17 法向量是() A.2,1,2 B.1,2,1 c.4,1,4 D.0,1,0 知识点2用空间向量研究直线、平面的平行关系 1.空间中直线、平面的平行 (线线平行的向量表示：设4，分别是直线h,h的方向向量，则45台4∥4台孔∈R,使得4=西 (2)线面平行的向量表示：设u是直线1的方向向量，n是平面a的法向量，lta,则1∥a→u⊥nen=0. (③)面面平行的向量表示：设，分别是平面a,B的法向量，则a∥∥应∈R,使得店= 2.利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可. 3。证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内： (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内： (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内. 4.证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量乎行 (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 【题型2利用空间向量证明线线平行】 【例2】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD,E为CP的中点，N 为DE的中点，DM=二DB,DA=DP=1,CD=2,求证：MN∥AP. 4 P N B 3/17 【变式2-1】已知棱长为1的正方体OABC-O1A1B1C1在空间直角坐标系中的位置如图所示， D,E,F,G分别为棱O1A1,A1B1,BC,OC的中点，求证：DE∥GF. C A B G 5 B 【变式2-2】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F,G分别是棱AB, BC,CP,AP的中点，AB=AC=PA=2.求证：DG/EF: De-T B 【变式23】如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2,点E为AB的 中点.求证：BD1/1平面A1DE 4/17 【题型3利用空间向量证明线面平行】 【例3】如图，已知矩形ABCD所在平面与直角梯形ABPE所在平面交于直线AB,DE=V2且 AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.设点M为棱PD的中点，求证：EM∥平面 ABCD. O B 【变式3-1】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD, AB上，且BM=号B0,AN=号AC用向量方法正明：MN/1平面CDE. 3 N D M C 5/17 【变式3-2】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB,点D、E、F分别为A1B1,AA1,CD的中 点，AB=AC=AA1=2.求证：EF/平面ABC: E& B 【变式3-3】如图，在长方体ABCD-A1BC1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2, ZA D B (1)求平面ACD1的法向量. (2)线段B1C中点为点P,求证A1P∥平面ACD1. 【题型4利用空间向量证明面面平行】 【例4】在直四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB/1CD,AB=4,BC=CD=2, AA1=2,F是棱AB的中点.试用向量的方法证明：平面AA1D1D//平面FCC1. D B D 6/17 【变式4-1】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2.求证：平面A1C1B/平 面ACD1 D B D B 【变式4-2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分别是CC1,BC1,C1D1的中点，试建立适当的 空间直角坐标系，求证：平面MNP∥平面ABD D A B M D C B 【变式4-3】如图，已知在正方体ABCD-A1BC1D1中，M,N,P分别是AD1,BD,BC的中点. 证明： 7/17 D B D、- W (1)MN∥平面CC1D1D (2)平面MNP∥平面CC1D1D 知识点3用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1.空间中直线、平面的垂直 ()线线垂直的向量表示：设4，分别是直线4，h的方向向量，则4上h与41山兮4·山=0」 (2)线面垂直的向量表示：设i是直线1的方向向量，i是平面a的法向量，lta,则lLa台i∥i 台1∈R,使得i=λn, (3)面面垂直的向量表示：设，分别是平面a,B的法向量，则a⊥号川12台n·n=0, 2.证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 3.用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方 向向量：③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直 (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示：②求出平面的法向量：③判断直线的方向向量与 平面的法向量平行。 4.证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明， (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直· 【题型5利用空间向量证明线线垂直】 【例5】如图，在直三棱柱ABC-A1BC1中，AA1=2AB=2AC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱 8/17 AC,CC1,A1B1的中点，点G在棱BB1上，且B1G=3BG.证明：DF⊥EG FA、 B 【变式5-1】如图，底面为矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,M,N分别为 AD,PC的中点. A M (1)求证：MN∥平面PAB: (2)求证：MN⊥平面PBC. 【变式5-2】正四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，底面ABCD的边长为2，AA1=4,P为DD1上一点. D A (1)若P为DD1中点，求证：BD1/平面ACP (2)若DP=1,求证：B1D⊥AP 9/17 【变式5-3】如图，已知直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=AA=1,∠ACB=90°，D,E分别为 AB,BB的中点.求证：CE⊥AD. B A E O 【题型6利用空间向量证明线面垂直】 【例6】如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD=2,DD1=4,O为BD的中点，E在线段CC1上， CC1=4CE,M为AA1的中点. 10/17 D A B M E D (1)证明：MC1/1OE; (2)证明：MO⊥平面DEB. 【变式6-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB/DC,DA⊥AB,AB=AP=2, DA=DC=1,E为PC上一点，且PE=PC. B (1)求证：AE⊥平面PBC: (2)求证：PA/平面BDE. 【变式6-2】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，CB=CD=CC1=2且 ∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°· 11/17 B A D (1)求AC1的长度： (2)求证：CA1⊥平面C1BD 【变式6-3】如图所示，直三棱柱ABC-A1B,C中， CA=CB=1,∠BCA=90°，AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点 C A 6 (1)求BN的长： (2)求证：BN⊥平面C1MN 12/17 【题型7利用空间向量证明面面垂直】 【例7】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB‖DC,AD=DC=AP=2, AB=1,点E为棱PC的中点.求证： (1)BEI平面PAD: (2)平面PCD⊥平面PBC. 【变式7-1】如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD=2. E (1)求平面DEA的法向量 (2)求证：平面DEA⊥平面ECA. 13/17 【变式7-2】如图，正四棱柱ABCD-A1B,C,D,的底面边长为2，B为棱CD的中点，FC,=3C市，且四 棱锥E-BCFB1的体积 5V2 6 D B B (1)求棱CC1的长； (2)证明：平面BCD1⊥平面B1EF 【变式7-3】如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°， AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD B (1)证明：PA⊥BD: (2)证明：平面PAD⊥平面PAB. 14/17 ■通自通通自线 随堂检测 ■■■。 【随堂检测】 1.已知a=2,-1,1,6=-12,x且a16则实数值为（） A.-2 B.2 c.-4 D.4 2.已知a=1,2,x,6=2,-x,1,a16则x的值为（） A.1 B.2 C.3 D.-1 3.已知峦=2，-3,2，办=x-2,y-,且丽1G市，则x,y的值分别为() A.3,1 B.4,- C.3,-1 D.1,1 4.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=1, 点E是PD的中点，求证：直线PBII平面AEC; 5.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD,点E是线段BC的中点， AB=2,PA=BC=4,∠ABC=60°.求证：平面PAE⊥平面PED 15/17 6.棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，E为DD1的中点，F为BD中点，G为AA1的中点. D B E B (1)证明：EF/平面ABC1D1: (2)证明：平面BDC1⊥平面BDG. 7.如图，平行六面体ABCD-A1B,C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形， 且∠C,CB=∠C1CD=∠BCD=60°，CD=CC1 B C (1)求CA的长度： (2)求证：CA1⊥平面C1BD 16/17 8.如图，正三棱柱ABC-A1B,C1中，AB=2,AA1=3,D是BC中点，E是棱CC1上一点. C B E 经D B (1)求证：AD⊥平面BCC1B1: (2)若平面B1EA⊥平面ADE,求CE的长. 17/17 1.4.1 空间向量应用（一）（知识解读） 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 求平面的法向量】 2 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 4 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 7 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 11 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 15 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 19 【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 24 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求平面的法向量】 【例1】在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 【变式1-1】在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 【变式1-2】如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的求解方法求解即可. 【详解】由题意，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则有，令，得，， . 故选：A. 【变式1-3】平面经过，且垂直于法向量为的一个平面，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量的定义求解. 【详解】由已知，又， 设平面的一个法向量是， 则，取，则，即， 比较只有B满足， 故选：B． 知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 【例2】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【详解】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以．    【变式2-1】已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有， ， ， ， 所以，，则有，所以. 【变式2-2】如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 【答案】证明见解析 【详解】依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，． 所以，，，． 所以，， 则，而点直线，所以． 【变式2-3】如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及，利用向量法即可证明结果. 【详解】平面平面， 平面平面， 平面，所以平面， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 . ， 设平面的法向量为，则， 令，解得：，所以， 又，即， 又平面，所以平面. 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 【例3】如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【详解】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 【变式3-1】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明：因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【详解】略 【变式3-2】如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； 【详解】在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 【变式3-3】如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 【例4】在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 【变式4-1】如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； 【详解】以D为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 【变式4-2】在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据正方体的结构特征，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明线线平行，由面面平行的判定定理证明平面平面. 【详解】证明:　如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则有，，， ， ， ， 于是， ，，， 显然有，，所以，， 由，平面，平面，平面， 同理平面， 平面，， 所以平面平面 【变式4-3】如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 【例5】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得. 【详解】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 【变式5-1】如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. 【详解】（1）因为是矩形，所以， 因为底面，所以以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，且设，所以，，， ，，因为，分别为，的中点， 所以由中点坐标公式得，，则， 由题意得面的法向量为， 因为，面，所以平面. （2）由题意得，， 设面的一个法向量为， 则，由题意得，令，解得， 得到，此时， 可得，故平面. 【变式5-2】正四棱柱中，底面的边长为2，，P为上一点． (1)若P为中点，求证：平面． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接和交于点，连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，得到，进而证得. 【详解】（1）证明：如图所示，连接和交于点，连接， 因为底面为正方形，可得为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为正方形的边长为，，， 可得， 则，可得， 所以，所以. 【变式5-3】如图，已知直三棱柱中，，，分别为的中点.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】将问题转化为，把用表示，再利用数量积的运算律即可得证. 【详解】设，，， 根据题意得，且， ∴，， ∴·， ∴，即. 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 【例6】如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明： ； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出 ，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以 . （2）方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得： ， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【变式6-1】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1) 证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； (2) 证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 【分析】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行. 【详解】（1）略 （2）略 【变式6-2】如图，在平行六面体中，且. (1)求的长度； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基底表示向量，再根据数量积公式，即可求解； （2）根据线面垂直的判断定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明. 【详解】（1）设， 由于，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （2）因为， 所以， 所以，同理可证， 又因为平面． 所以平面. 【变式6-3】如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 【例7】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【详解】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【变式7-1】如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【变式7-2】如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据正四棱柱，可得平面，设，结合线面关系确定四棱锥的体积表达式求解，即可得所求； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，根据法向量的关系证明结论即可. 【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为直角梯形，设， 所以， 解得，即； （2）以点为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为， 则，令，则； 因为， 所以平面平面． 【变式7-3】如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，， ，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 随堂检测 【随堂检测】 1．已知，且，则实数值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】应用空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，且， 所以，即 则实数值为4. 2．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据，由求解. 【详解】因为， 所以，解得. 3．已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 【答案】C 【详解】已知，，且， 则存在实数使得, 即：，解得：. 4.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 5如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 6．棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 7．如图，平行六面体的底面是边长为的菱形，.    (1)求的长度； (2)求证：平面. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用基底表示向量，再根据数量积公式，即可求解； （2）根据线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明. 【详解】（1）设，，， 由于四边形为菱形，则，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 因为，计算： ， 所以， 又因为，、平面． 所以平面. 8．如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【答案】(1)证明：在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以． 因为是正三角形，D是中点，所以． 又，，平面，所以平面． (2)或2 【分析】（1）利用等边三角形的三线合一，可证明线线垂直，从而可得线面垂直； （2）利用面面垂直可得线面垂直，最后得到线线垂直，从而可用勾股定理求解边长；也可以用空间向量法来假设未知量，再列等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以． 由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以． 设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2． 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，． 设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得． 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $