1.4.1.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 学历案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学学历案聚焦空间中点、直线和平面的向量表示及平行关系，通过自主学习（复习空间向量运算、预习向量表示）、师生研学（问题探究、典例解析）、训练提升（基础与巩固练习）搭建学习支架，助力学生掌握方向向量、法向量及平行关系的向量表述。 资料特色在于以牌楼建筑情境导入，培养数学眼光，通过问题链引导探究直线方向向量、平面法向量的概念及求法，结合典例与分层练习，提升数学运算和逻辑推理核心素养，体现学生自主学习与教师引导的结合，突出向量方法解决几何问题的学科特色。

枣庄三中新城校区高二年级上学期数学学历案（第9期） 主备人： 韩涤静 审查人：曹瑜娟 使用日期：2024.9 1.4.11空间中点、直线和平面的向量表示及平行关系 自主学习【学】 【课标要求】在向量坐标化的基础上，将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决立体几何问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。 【学习目标】 1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量，培养数学抽象的核心素养． 2.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法，培养数学运算的核心素养． 3. 能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系，体会向量方法在研究几何问题中的应用，提升逻辑推理的核心素养. 重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 难点： 用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系 【自学评价】 1. 复习 空间向量运算的坐标表示： 空间中两点间的距离公式： 空间向量解决了哪些问题： 空间中直线的方向向量： 2. 预习 知识点一 空间中点的向量和直线的向量表示 1.如图，在空间中，我们取一定点O作为 ，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量 称为点P的位置向量． 2．用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的 表示直线上的任意一点． 3．(1)如图，设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ ，即＝ ． (2)a是直线l的方向向量，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝ ，① 将＝a代入①式， 得＝ . ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 知识点二　空间中平面的向量表示 1.如图所示，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝ ． 2．如图所示，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝ ．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3．如图所示，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 师生研学【研】 【学习过程】 （一）新知导入 牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢? （2） 探究新知 问题1空间向量解决了哪些问题？ 1. 空间中点、直线和平面的向量表示 问题2 如何用向量表示一个点？ 问题3 什么是直线的方向向量？如何用向量表示直线l？ 思考：如何确定直线的方向向量？ 问题4 一个定点和两个定方向能否确定一个平面?如何用向量表示这个平面? 问5 一个定点和一个定方向能否确定一个平面?如何用向量表示这个平面？ 2. 平面的法向量 平面α的向量式方程： . 思考：如何求平面的法向量？平面的法向量唯一吗？ 三、典例解析 例1 已知空间两点A（1，-2，3），B（2，1，-3），求直线AB与Oyz平面的交点. 1．(2022·四川宜宾高二检测)已知A(1，2，－1)，B(5，6，7)，则直线AB与平面Oxz的交点坐标是(　　) A．(0，1，1) B．(0，1，－3) C．(－1，0，3) D．(－1，0，－5) 例2 如图在长方体中，，，，M是中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面当的法向量； （2）求平面的法向量． 总结：求平面的法向量的步骤： 2. 如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面． 训练提升【练】 基础训练（课本P29） 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×” （1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（ ） （2）若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量；（ ） （3）在空间直角坐标系中，是坐标平面Oxy的一个法向量．（ ） 2. 在平行六面体中，，，，O是与的交点．以为空间的一个基底，求直线OA的一个方向向量． 3. 在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量． 巩固提升 4．(多选题)设(1，－2，－1)，(3，－1，2) 是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是(　　) A．(2，1，3)　 B．(4，1，6) C．(－，－，－) D．(2，－4，－2) 5．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C． D．3 6．(多选题)(2022·河北石家庄四中高二期中)已知平面α过点P(0，1，1)，且一个法向量为n＝(1，1，2)，则下列点在平面α内的有(　　) A．(2，1，0) B．(－1，0，2) C．(2，－1，2) D．(2，3，－1) 7．在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是正方形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=1, E是PC的中点, 求平面EDB的一个法向量. 8.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝（2，－1，－4），＝（4，2，0）， ＝（－1，2，－1）. （1）求证：是平面ABCD的法向量； （2）求平行四边形ABCD的面积. 师生总结【结】 4 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $