1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第3课时　空间中直线、平面的垂直 [对应学生用书P22] 学习目标 1．能利用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系． 2．利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系． 知识点一　线线垂直的向量表示 直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别是u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． [例1] 如图所示，在棱长为2的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤2，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. (1)求证：A1F⊥C1E； (2)若x＝1，求cos 〈，〉的值． (1)证明：由已知可得，CF＝2－x， 所以A1(2，0，2)，F(2－x，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，x，0)， 则＝(－x，2，－2)，＝(2，x－2，－2)， ∴·＝－2x＋2(x－2)＋4＝0， ∴⊥，即A1F⊥C1E. (2)解：当x＝1时，E(2，1，0)，F(1，2，0)，A1(2，0，2)， 则＝(－1，1，0)，＝(0，－1，2)， 则cos 〈，〉＝ ＝ ＝－. 故cos 〈，〉＝－. 向量法证明两直线垂直的思路 (1)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直． (2)坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. [练1] 若直线l1的方向向量为u1＝(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，－1，2)，则两直线的位置关系是 ． 答案：垂直　解析：因为＝(1，－1，1)，又u1·＝(1，3，2)·(1，－1，1)＝0，所以两直线位置关系为垂直． 知识点二　线面垂直的向量表示 直线与平面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn [例2] 如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD． 证明：取BC的中点O，B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)， 所以＝(1，2，－)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0). 方法一　因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0， ·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0. 所以⊥，⊥， 即AB1⊥BA1，AB1⊥BD． 又BA1∩BD＝B，BA1，BD⊂平面A1BD，所以AB1⊥平面A1BD． 方法二　设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则有n⊥，n⊥， 故⇒ 令x＝1，则y＝2，z＝－， 故n＝(1，2，－)为平面A1BD的一个法向量， 而＝(1，2，－)，所以＝n， 所以∥n，故AB1⊥平面A1BD． 利用向量法证明线面垂直的策略 用向量法判定线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直． [练2] 如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：PB1⊥平面PAC． 证明：依题设，以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则C(1，0，0)，P(0，0，1)，A(0，1，0)，B1(1，1，2)， 于是＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(1，1，1)， ∴·＝(－1，1，0)·(1，1，1)＝0， ·＝(－1，0，1)·(1，1，1)＝0， 故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA， 又CP∩CA＝C，且CP⊂平面PAC，CA⊂平面PAC． 故直线PB1⊥平面PAC． 知识点三　面面垂直的向量表示 平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 [例3] 在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，点E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD． 证明：设AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E(，，). 方法一　如图，连接AC，BD并相交于点O，连接OE， 则点O的坐标为(，，0).易知＝(0，0，1)，＝(0，0，)，所以＝，所以OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD，所以OE⊥平面ABCD． 又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD． 方法二　设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z). 易知＝(－1，1，0)，＝(－，，)， 所以即 令x＝1，得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0). 因为AS⊥底面ABCD， 所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1). 因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD． 用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0. [练3] 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD．求证：平面PQC⊥平面DCQ. 证明：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz. 由题意得D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)， 则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0). ∴·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC． 又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ， ∴PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC， ∴平面PQC⊥平面DCQ. 1．知识清单 (1)线线、线面、面面垂直的向量表示． (2)用向量证明线线、线面、面面垂直的方法． 2．方法归纳：类比、转化． 3．常见误区 (1)注意分清三种垂直关系的向量表示． (2)注意准确求解平面法向量． ◎随堂演练 1．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α　 B． l⊥α　 C．l⊂α　 D．无法确定 B　解析：∵直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，∴n＝－2a，则a∥n，∴l⊥α.故选B． 2．平面α的法向量u＝(2，－2，2)，平面β的法向量v＝(1，2，1)，则(　　) A．α，β平行 B． α，β垂直 C．α，β重合 D．α，β不垂直 B　解析：平面α的法向量u＝(2，－2，2)，平面β的法向量v＝(1，2，1).因为u·v＝2－4＋2＝0，所以两个平面垂直．故选B． 3．(2025·济南高二期中)已知n1＝(，x，2)，n2＝(－3，，－2)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则x＝(　　) A．－7 B． －1 C．1 D．7 D　解析：因为α⊥β，所以n1⊥n2，所以n1·n2＝－3＋x－4＝0，解得x＝7. 学科网（北京）股份有限公司 $$