第14讲 指数与指数运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第14讲 指数与指数运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 n次方根 题型2 根式与分数指数幂的互化 题型3 利用指数幂的运算性质化简 题型4 简单的指数方程问题 题型5 整体换元法解决条件求值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 指数 指数运算 n 次方根 分数指数幂 1. 理解概念推广：体会指数幂从整数推广至有理数、实数的必要性，理解推广的合理性. 2. 掌握互化与性质：理解 n 次方根与分数指数幂的意义，熟练进行根式与分数指数幂的互化. 3. 熟练运用法则：掌握实数指数幂的运算性质，并能准确进行化简与求值. 4. 体会数学思想：在推广过程中体会运算律的一致性与逼近的极限思想，培养数学抽象与运算素养. 学习重点：（1）实数指数幂运算：牢固掌握运算性质，能准确进行化简求值，为后续学习打基础. （2）根式与分数指数幂互化：明确分数指数幂是根式的新写法，熟练掌握两者的转化规则. 学习难点：（1）无理数指数幂的理解：概念较抽象，需引导学生通过“过剩”与“不足”近似值双向逼近，体会极限思想. （2）建立推广的整体框架：在推导性质与定义时，理解运算法则规定的合理性，对逻辑推理与分类讨论能力要求较高. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 根式 1、n次方根的定义与性质 （1）定义：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ，且 . （2）性质： ①当 是奇数时， ， 的值只有一个，记为 ； ②当 是偶数， 时， 的有两个值，且互为相反数，记为 ； 时， 不存在； ③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）； ④ 的任何次方根都是 ，记作 . 2、根式的定义与性质 （1）定义：式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数. （2）性质：（ ，且 ） ； 知识点02 指数幂 1、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质： 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义. 【要点辨析】分数指数幂的注意事项： ①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂 不可理解为 个 相乘，它是根式的一种新的写法.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. ②把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对 进行约分. ③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如 有意义，但 就没有意义. 2、实数指数幂的运算性质 ① . ② . ③ . 3、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果. （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 知识点03 指数幂运算解题方法与技巧 1、指数幂的运算中常用的乘法公式 （1）完全平方公式： ； ； （2）平方差公式： ； （3）立方差公式： ； （4）立方和公式： ； （5）完全立方公式： ； . 2、条件求值问题的解题思路 （1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； （2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； （3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁. 题型1 n次方根 【例1】（1）（多选）下列说法中正确的是（    ） A． B．16的4次方根是 C． D． （2）．若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【方法总结】 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值. 【变式1-1】若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2 根式与分数指数幂的互化 【例2】（1）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． （2）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 （1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子； （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 【变式2-1】（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式2-2】用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)． 题型3 利用指数幂的运算性质化简 【例3】（1）计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 （2）已知，，则的值是（    ） A．3 B．8 C．11 D．14 【方法总结】 关于指数式的化简、求值问题： （1）无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减； （2）仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错. 【变式3-1】化简(). 【变式3-2】计算. (1)，（，）； (2). 题型4 简单的指数方程问题 【例4】（1）方程的解为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 （2）方程的解是___． 【方法总结】 简单的指数方程是指指数里含有未知数的方程.若方程两边可化为同底的幂的形式，根据同底的幂相等的充要条件是指数相等，化指数方程为整式方程. 【变式4-1】方程的解集是_______． 【变式4-2】解下列方程： 题型5 整体换元法解决条件求值问题 【例5】（1）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． （2）已知，则的值为______． 【方法总结】 利用整体换元法解决条件求值问题： (1)整体换元法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体换元法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 【变式5-1】已知，且，则的值为_____. 【变式5-2】已知，，则的值为______． 一、单选题 1．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（  ） A． B． C． D． 2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 3．的值为（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值是（   ） A．45 B．75 C．2 D．4 5．借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于（   ） A． B． C． D． 6．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 7．下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 三、填空题 10．若，则实数的取值范围是__________． 11．方程的解为______． 12．已知，，且，则的最小值为__________． 四、解答题 13．已知，且. (1)计算并化简； (2)若幂函数的图象恒过点，求的值. 14．化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 指数与指数运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 n次方根 题型2 根式与分数指数幂的互化 题型3 利用指数幂的运算性质化简 题型4 简单的指数方程问题 题型5 整体换元法解决条件求值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 指数 指数运算 n 次方根 分数指数幂 1. 理解概念推广：体会指数幂从整数推广至有理数、实数的必要性，理解推广的合理性. 2. 掌握互化与性质：理解 n 次方根与分数指数幂的意义，熟练进行根式与分数指数幂的互化. 3. 熟练运用法则：掌握实数指数幂的运算性质，并能准确进行化简与求值. 4. 体会数学思想：在推广过程中体会运算律的一致性与逼近的极限思想，培养数学抽象与运算素养. 学习重点：（1）实数指数幂运算：牢固掌握运算性质，能准确进行化简求值，为后续学习打基础. （2）根式与分数指数幂互化：明确分数指数幂是根式的新写法，熟练掌握两者的转化规则. 学习难点：（1）无理数指数幂的理解：概念较抽象，需引导学生通过“过剩”与“不足”近似值双向逼近，体会极限思想. （2）建立推广的整体框架：在推导性质与定义时，理解运算法则规定的合理性，对逻辑推理与分类讨论能力要求较高. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 根式 1、n次方根的定义与性质 （1）定义：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ，且 . （2）性质： ①当 是奇数时， ， 的值只有一个，记为 ； ②当 是偶数， 时， 的有两个值，且互为相反数，记为 ； 时， 不存在； ③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）； ④ 的任何次方根都是 ，记作 . 2、根式的定义与性质 （1）定义：式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数. （2）性质：（ ，且 ） ； 知识点02 指数幂 1、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质： 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义. 【要点辨析】分数指数幂的注意事项： ①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂 不可理解为 个 相乘，它是根式的一种新的写法.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. ②把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对 进行约分. ③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如 有意义，但 就没有意义. 2、实数指数幂的运算性质 ① . ② . ③ . 3、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果. （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 知识点03 指数幂运算解题方法与技巧 1、指数幂的运算中常用的乘法公式 （1）完全平方公式： ； ； （2）平方差公式： ； （3）立方差公式： ； （4）立方和公式： ； （5）完全立方公式： ； . 2、条件求值问题的解题思路 （1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； （2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； （3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁. 题型1 n次方根 【例1】（1）（多选）下列说法中正确的是（    ） A． B．16的4次方根是 C． D． 【答案】BD 【详解】负数的3次方根是一个负数，，故A错误； 16的4次方根有两个，为，故B正确； ，故C错误； 是非负数，所以，故D正确． （2）．若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，则有，即，解得， 所以实数的取值范围是. 【方法总结】 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值. 【变式1-1】若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 【变式1-2】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为当为奇数时，，当为偶数时，， 所以＝3，＝|a|，＝－2，即A、B、D错误. 题型2 根式与分数指数幂的互化 【例2】（1）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. （2）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误； 对于B选项：由，所以B错误； 对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确； 对于D选项：当时，， 当时，， 显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误. 【方法总结】 （1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子； （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 【变式2-1】（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BD 【详解】当时，，，故A错误． （），故B正确． （），故C错误． （），故D正确． 【变式2-2】用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）； （2）； （3）． 题型3 利用指数幂的运算性质化简 【例3】（1）计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 【答案】C 【详解】原式． （2）已知，，则的值是（    ） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】C 【详解】因为，得，即， 又因为，，则，所以. 【方法总结】 关于指数式的化简、求值问题： （1）无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减； （2）仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错. 【变式3-1】化简(). 【答案】 【详解】 . 【变式3-2】计算. (1)，（，）； (2). 【答案】(1)；(2)10 【详解】（1）原式； （2）原式 . 题型4 简单的指数方程问题 【例4】（1）方程的解为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【答案】C 【详解】解：∵， ∴x﹣1＝﹣2， ∴x＝﹣1． （2）方程的解是___． 【答案】 【详解】， 即为 令    则有，解得(舍) 所以， 【方法总结】 简单的指数方程是指指数里含有未知数的方程.若方程两边可化为同底的幂的形式，根据同底的幂相等的充要条件是指数相等，化指数方程为整式方程. 【变式4-1】方程的解集是_______． 【答案】 【详解】令，则， 方程可化为，解得或， 所以，或， 解得或. 所以，方程的解集为. 【变式4-2】解下列方程： 【答案】 【详解】 , . 题型5 整体换元法解决条件求值问题 【例5】（1）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由，得， 则，因此， 所以． （2）已知，则的值为______． 【答案】 【详解】因为，则，可得， 则，可得， 又注意到， 所以. 【方法总结】 利用整体换元法解决条件求值问题： (1)整体换元法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体换元法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 【变式5-1】已知，且，则的值为_____. 【答案】2 【详解】因为，所以， 化简得， 又因为，所以， 故. 【变式5-2】已知，，则的值为______． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故. 一、单选题 1．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A. 式子对于有意义； B.式子对于有意义； C. 式子对于有意义； D. 式子对于无意义. 2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误； 对于B选项：由，所以B错误； 对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确； 对于D选项：当时，， 当时，， 显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误. 3．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . 4．若，则的值是（   ） A．45 B．75 C．2 D．4 【答案】B 【详解】. 5．借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 当越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近于，会无限趋近于， 所以会无限趋近于，故会无限趋近于. 6．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】，，，， 当时，，， 因为，所以，即 当时，，，， 因为，所以， 当时，，，，， 因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，， ，，同时成立， 正整数的最大值为4. 二、多选题 7．下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 8．已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 9．已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】BD 【详解】令，则，且关于的方程有两个不相等的正根，所以，解得； 因为，所以，又，所以，解得或（舍去），故A错误； 由A选项知，，所以，又，所以，解得或，即或； 当时，；当时，；所以，则，故B正确； 由B选项知，，故C错误； 由B选项知，，故D正确. 三、填空题 10．若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】 ， ，解得. 故答案为：. 11．方程的解为______． 【答案】或 【详解】由题意可得， 所以，即， 解得或， 故答案为：或 12．已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【详解】由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 四、解答题 13．已知，且. (1)计算并化简； (2)若幂函数的图象恒过点，求的值. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）； . （2）因为幂函数的图象恒过点， 则，所以. 14．化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由，则， 而，则； （2）由， ， 所以. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $