精品解析：安徽省安庆市外国语学校2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学（沪科版)试题

安庆市外国落学校2025—2026学年度第二学期 八年级期末考试数学试卷 （满分：150分，时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 5. 的三条边是，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A. 三个班级中，甲班分数的方差最小 B. 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C. 丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D. 若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 7. 如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，点在上，连结，，．设，，则，关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（ ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（共4小题，每题5分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 13. 如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为______． 14. 如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为______． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共4大题，每题8分） 15. 计算： 16. 解方程：． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在网格图中，以格点为顶点画一个，使三边长，，； （2）求出图中的面积． 18. 我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 四、解答题（共2大题，每题10分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 20. 如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若，，，求AC的长． 21. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：． 乙款人工智能软件在C组内的所有得分数据：． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有300名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有400名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数． 五、解答题（共2大题，每题12分） 22. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 六、解答题（共1大题，每题14分） 23. 【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是___________（填序号）． 【基础探究】 （2）如图1，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，． ①求证：四边形为“神奇四边形”； ②若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图2，点，分别在正方形的边，上，将正方形沿直线翻折，使得点的对应点为，点的对应点为，的对应边恰好经过点，过点作于点．若，正方形的边长，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆市外国落学校2025—2026学年度第二学期 八年级期末考试数学试卷 （满分：150分，时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母，需逐项判断即可得到答案． 【详解】解：选项A：，被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项B：，被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项C：，被开方数 = ，含分母，可化简为，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 选项D：，被开方数无法分解为平方数或含分母的形式，满足最简二次根式的条件，本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可得出答案，牢记一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：．当时，不满足题意，故本选项不符合题意； ．含有两个未知数，故本选项不符合题意； ．含有分式，故本选项不符合题意； ．满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法与乘法运算，完全平方公式，二次根式的性质化简，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了次根式的加法与乘法运算，完全平方公式，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． 4. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个多边形的边数是n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 5. 的三条边是，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及角度比例关系、勾股定理逆定理及边比例关系的判断． 【详解】解：选项A：设，，．由三角形内角和为，得，解得．此时，不是直角，故不能判断为直角三角形． 选项B：由得．结合内角和，代入得，即，故，能判断为直角三角形． 选项C：由变形为，符合勾股定理逆定理，说明为斜边，对应为直角，能判断为直角三角形． 选项D：设三边为、、，验证得，满足勾股定理逆定理，能判断为直角三角形． 综上，只有选项A不能判断△ABC为直角三角形． 故选：A． 6. 如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A. 三个班级中，甲班分数的方差最小 B. 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C. 丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D. 若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 7. 如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形是解题的关键．设交于点，则，，因为，所以，则四边形是平行四边形，可判断A不符合题意；由，，不能证明与全等，则不能证明与平行，所以不能证明四边形是平行四边形，可判断B符合题意；由，得，可证明，则，所以四边形是平行四边形，可判断C不符合题意；由，，推导出，可证明，得，则四边形是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故A不符合题意； 由，，不能证明与全等， 不能确定与是否相等， 不能证明与平行， 不能证明四边形是平行四边形， 故B符合题意； ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故C不符合题意； ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 8. 在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为， 去年上半年平均每周作业时长为分钟， 去年下半年平均每周作业时长为分钟， 今年上半年平均每周作业时长为分钟， 现在平均每周作业时长比去年上半年减少了， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，点在上，连结，，．设，，则，关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及平角和为，由菱形的性质表示出各个角并由平角列式是解决本题的关键． 由菱形的性质可表示出与，再由可得，根据为平角列式即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， 即， 整理可得．  故选：A ． 10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（ ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义“倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 二、填空题（共4小题，每题5分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到答案． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得 解得． 12. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意，把代入方程得， ， 整理得，， ． 13. 如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ∵， ， ． 14. 如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为______． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称-对短路径的计算，全等三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质，掌握菱形的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）连接交于点，根据菱形的性质可得是含角的直角三角形，由此可得的值，根据菱形的面积计算方法即可求解； （2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得，可证四边形为平行四边形，可得，于是当三点共线时，最小，根据菱形的性质，可证为等边三角形，，由此三点共线，当三点共线时，点，重合，可知，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：； （2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得， ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ，当三点共线时，最小， 四边形是菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 三点共线，当三点共线时，点，重合， ， ∴，即的最小值为4． 三、解答题（共4大题，每题8分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．按照二次根式混合运算的顺序，先算乘除，后算加减，先化简各二次根式再计算即可． 【详解】解： 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 则，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，掌握配方的方法和步骤是解题的关键． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在网格图中，以格点为顶点画一个，使三边长，，； （2）求出图中的面积． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理画图即可； （2）利用割补法求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ，，； 【小问2详解】 解：的面积． 18. 我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为14.5尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，作适当辅助线得到直角三角形是解题的关键；过点作于点．设秋千绳索的长度为尺，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 设秋千绳索的长度为尺． 由题可知，尺，（尺），尺， ∴尺． 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 四、解答题（共2大题，每题10分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵是非负数， ∴． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； 【小问2详解】 解：， 解得，， ∵原方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 20. 如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若，，，求AC的长． 【答案】（1） 解：，分别为，的中点， 是的中位线． ． ， 四边形是平行四边形． 又， ． 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明平行关系，再结合一组对边平行且相等证明平行四边形，最后根据直角证明矩形； （2）先利用等腰直角三角形性质求 ，结合矩形性质求，再通过三角形中位线和勾股定理求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是等腰直角三角形，． ， ， 由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ，，， ， ． 为的中点， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用中位线定理推导平行和线段关系，结合勾股定理求解线段长度． 21. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：． 乙款人工智能软件在C组内的所有得分数据：． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有300名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有400名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数． 【答案】（1），， （2）乙款人工智能软件更受用户欢迎， 理由如下：（本题理由不唯一，合理即可） ∵甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差， ∴乙款人工智能软件比较稳定， ∴乙款人工智能软件更受用户欢迎； （3）估计该次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为名 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义来计算和，根据组数据个数计算； （2）通过比较两款软件的平均数、中位数、众数等统计量来判断哪款更受欢迎； （3）先计算出样本中对两款软件非常满意的比例，再用这个比例乘以总体人数来估计总用户数． 【小问1详解】 解：乙款抽取的名用户的得分中，A组共个，B组共个，C组共有个数据， 排第，第位的数据为：，， 所以乙款得分的中位数为：， 甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：， 组人数， 所以，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵（名）． ∴估计该次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为名． 五、解答题（共2大题，每题12分） 22. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1） （2）每平方米草莓平均利润下调元 【解析】 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； 【小问2详解】 设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 六、解答题（共1大题，每题14分） 23. 【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是___________（填序号）． 【基础探究】 （2）如图1，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，． ①求证：四边形为“神奇四边形”； ②若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图2，点，分别在正方形的边，上，将正方形沿直线翻折，使得点的对应点为，点的对应点为，的对应边恰好经过点，过点作于点．若，正方形的边长，请直接写出的长． 【答案】（1）④ （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论； ②利用“神奇四边形”的性质求得，由勾股定理求得，据此计算即可得出结论； （3）延长交于点，由翻折的性质可知，，，，，由勾股定理求得，，设，则，再由勾股定理计算即可解决问题． 【小问1详解】 解：平行四边形的对角线互相平分； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形的对角线互相垂直平分； 正方形的对角线互相垂直平分且相等； 正方形一定是“神奇四边形”； 故答案为：④； 【小问2详解】 ①证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是“神奇四边形”； ②解：四边形是“神奇四边形”，且四边形的面积为29， ∴， ∴， ∵正方形边长为7， ∴， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点， ∵， ∴由翻折的性质可知，，，，， 又∵正方形的边长， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $