精品解析：四川广安友谊中学等校＂网链共享＂第17链2025-2026学年下期 质量监测试题八年级数学

四川省“网链共享”第17链2025-2026学年下期质量监测试题 初 二 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项 1．本试卷分试题卷1~4页和答题卡两部分． 2．试题卷A卷中的选择题部分，每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂改其它答案标号．试题卷其余部分直接答在答题卡上相应位置．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填涂在答题卡上． 3．考试结束，只交答题卡． A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 菱形的对角线平分一组对角 C. 平行四边形的对边相等 D. 矩形的对角线互相平分 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m路，却踩伤了花草 A. 1 B. 5 C. 2 D. 7 4. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图①为某游乐园内摩天轮，摩天轮的中心为点O，摩天轮按顺时针方向做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A起，经过t后，点P的高度h（）与t（）的函数图象如图②所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，h随t的增大而增大 B. 摩天轮的直径为45 C. P点离地面最高为45 D. P点离地面35时，摩天轮运动了4 6. 如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（ ）． A. B. C. D. 7. 将一次函数的图象沿y轴向上平移m个单位长度后经过点，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 一个等腰三角形的周长为12cm，设其底边长为y cm，腰长为x cm，则y与x的函数关系是为_____________________.(不写x的取值范围) 12. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射箭比赛，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是______． 13. 图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 14. 如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______． 15. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围是______． 三、解答题（共40分） 16. 计算 （1） （2） （3） 17. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 18. 某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 90 70 八年级 a b c （1）上述表中，_______，_______，补全七年级的箱线图（用黑色签字笔画）； （2）求八年级所抽取的学生成绩的平均数的值； （3）若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； （4）根据箱线图和四分位数，分析比较两个年级的成绩情况．（写两点，每点1分） 19. 画函数的图象 （1）列表：x的取值范围为______；下表中m＝______； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 2 1 0 m 2 3 … （2）在平面直角坐标系中，描出上表中各组值所对应的点，画出该函数的图象； （3）若直线与该图象只有个交点直接写出的取值范围． B卷（共50分） 四．思维填空题（每小题5分，共20分） 20. 如图，一次函数和的图象交于，则不等式组的解集为__________． 21. 如图，在矩形中，连接，过点作于点，，分别是，的中点，连接，，．若，，则的周长为__________． 22. 已知四边形为菱形，为上任意一点，点为上任意一点，，．则的最小值是_________． 23. 如图，的对角线，交于点，的平分线与交于点，与交于点，连接，，，则下列结论①，②，③，④中正确的是_________．（填序号） 五、综合运用（共30分） 24. 某班计划采购A，B两种型号的羽毛球拍，已知购买副A型羽毛球拍和副B型羽毛球拍共需元，购买副A型羽毛球拍和副B型羽毛球拍共需元． （1）求A，B两种型号羽毛球拍的单价； （2）该班准备采购A，B两种型号的羽毛球拍共副（A，B两种型号的羽毛球拍均购买），且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的倍，请给出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 25. 如图，已知直线 与直线相交于点，直线与轴交于点． （1）求出直线的解析式． （2）是直线上一动点，当 时， ①求出点的坐标； ②平面内是否存在点N，使四边形为正方形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由． 26. 已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． （1）当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； （2）如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省“网链共享”第17链2025-2026学年下期质量监测试题 初 二 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项 1．本试卷分试题卷1~4页和答题卡两部分． 2．试题卷A卷中的选择题部分，每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂改其它答案标号．试题卷其余部分直接答在答题卡上相应位置．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填涂在答题卡上． 3．考试结束，只交答题卡． A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据二次根式的定义判断即可，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 【详解】二次根式的定义为形如的式子，据此逐一判断： ∵ 选项A中，可能为负数，不满足被开方数非负，∴ 不一定是二次根式； ∵ 选项B中根指数为2，被开方数，满足二次根式的定义，∴ 一定是二次根式． ∵ 选项C中根指数为3，属于三次根式，∴ 不是二次根式； ∵ 选项D中的被开方数，式子无意义，∴ 不是二次根式； 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 菱形的对角线平分一组对角 C. 平行四边形的对边相等 D. 矩形的对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定与性质，根据平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故此选项说法错误，符合题意； B、菱形的性质包含对角线平分一组对角，故此选项说法正确，不符合题意； C、平行四边形的性质包含对边相等，故此选项说法正确，不符合题意； D、矩形是特殊的平行四边形，平行四边形对角线互相平分，∴矩形对角线互相平分，故此选项说法正确，不符合题意． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m路，却踩伤了花草 A. 1 B. 5 C. 2 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再根据解答． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， 根据勾股定理，得， 则， 所以他们仅仅少走了路． 4. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质得出，再由已知条件，即可得出的度数，再根据平行四边形的对角相等即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴， 故选：C． 5. 如图①为某游乐园内摩天轮，摩天轮的中心为点O，摩天轮按顺时针方向做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A起，经过t后，点P的高度h（）与t（）的函数图象如图②所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，h随t的增大而增大 B. 摩天轮的直径为45 C. P点离地面最高为45 D. P点离地面35时，摩天轮运动了4 【答案】C 【解析】 【分析】根据实际问题分析、判断函数图象的方法： 1．找变量：弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量； 2．找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的点； 3．拐点：图象上的拐点既是前一段函数图象的终点，又是后一段函数图象的起点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化； 4．水平线：函数值随自变量的变化而保持不变； 5．交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函数值大小关系的“分界点”． 【详解】解：结合函数图象分析， A，当时，h随t的增大先增大后减小，按此规律循环变化，不符合题意； B，摩天轮的直径为（），不符合题意； C，P点离地面的高度最高为45，符合题意； D，P点离地面35时，由图象可知，摩天轮运动的时间对应多个点，不符合题意． 6. 如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再设点C到的距离是h，根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 设点C到的距离是h， 根据题意，得， 即， 解得， 所以点C到的距离是． 7. 将一次函数的图象沿y轴向上平移m个单位长度后经过点，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移规则得到平移后的函数解析式，再代入已知点的坐标即可求解的值． 【详解】解：∵将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度， ∴平移后得到的函数解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴将代入解析式得， 解得：． 8. 一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图像的性质可得，由此可解出，根据不等式的性质即可求解点的符号及所在象限． 【详解】解：一次函数的值随的增大而增大， ∴，解得， ∴， ∴在第二象限， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，判定点坐标所在象限，掌握一次函数图像的性质，不等式的性质，确定点的符号是解题的关键． 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】设小正方形的边长为 ，根据图形面积关系可得，再根据，可列方程求解． 【详解】设小正方形的边长为， ∵  ∴， ∴(负值舍去)， 故选 A． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 10. 如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据顺次连接任意四边形各边中点所得到的新四边形的面积是原四边形面积的一半，由此得出面积变化的规律，代入求解即可。 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴顺次连接矩形四边的中点得到四边形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 由此得到，顺次连接任意四边形四边中点得到的新四边形，面积是原四边形的， ∴， ∴， 当时， ． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 一个等腰三角形的周长为12cm，设其底边长为y cm，腰长为x cm，则y与x的函数关系是为_____________________.(不写x的取值范围) 【答案】y＝12－2x 【解析】 【分析】根据等腰三角形周长公式可求出底边长与腰的函数关系式， 【详解】解：因为等腰三角形周长为12，根据等腰三角形周长公式可求出底边长y与腰x的函数关系式为：y=12-2x. 故答案为：y=12-2x. 【点睛】本题考查一次函数的应用以及等腰三角形的周长及三边的关系，得出y与x的函数关系是解题关键． 12. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射箭比赛，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】根据方差的定义，只需比较四个方差的大小，得到方差最小的运动员即可． 【详解】解：∵四名运动员成绩的平均数相同，方差分别为 ，，，， ， ∵方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定， ∴丙的成绩最稳定． 13. 图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【详解】解：∵多边形为正六边形， ∴． 14. 如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数；根据作图痕迹判断出直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到，进而求出的度数；最后根据角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴． 15. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质，结合图象不经过第三象限的条件，列出关于的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解： 一次函数的图象不经过第三象限，该一次函数的一次项系数为，直线必过第二，四象限， 常数项需满足， 解得：． 三、解答题（共40分） 16. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 17. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵对角线和互相平分， ∴ 四边形是平行四边形， 又∵， ∴ 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形得，故．由垂直平分得，，证，得．故对角线与互相平分，四边形为平行四边形，又，即可得证． （2）设，则．在Rt中由勾股定理列方程，解得，即可求出菱形面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，四边形是菱形， 可设，则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ． 18. 某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 90 70 八年级 a b c （1）上述表中，_______，_______，补全七年级的箱线图（用黑色签字笔画）； （2）求八年级所抽取的学生成绩的平均数的值； （3）若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； （4）根据箱线图和四分位数，分析比较两个年级的成绩情况．（写两点，每点1分） 【答案】（1）， （2） （3）300人 （4）①两个年级成绩的第二四分位数（中位数）相同，而七年级成绩的箱体宽度明显比八年级长，因此八年级学生成绩更稳定．②七年级同学的上四分位数与八年级的最高分持平，说明七年级有25%的学生成绩比八年级的最高分要高；（或③两个年级成绩的第二四分位数（中位数）相同，而七年级上四分位数与最大值均高于八年级，说明七年级学生高分段优势明显，答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义解答，再根据七年级学生成绩的中位数补全箱线图； （2）根据平均数的定义解答； （3）用600乘以成绩超过90分的人数所占的百分比解答； （4）结合箱线图，并根据中位数的意义分析即可． 【小问1详解】 解：一共有12名学生的成绩，第6,7名的成绩为89,91，所以中位数；众数；七年级所抽取学生的中位数是90，补全七年级的箱线图略； 【小问2详解】 解：， 所以八年级所抽取的学生成绩的平均分是87分； 【小问3详解】 解：八年级随机抽取的12名学生中90分以上的有6人，， 所以该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的有300人； 【小问4详解】 略 19. 画函数的图象 （1）列表：x的取值范围为______；下表中m＝______； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 2 1 0 m 2 3 … （2）在平面直角坐标系中，描出上表中各组值所对应的点，画出该函数的图象； （3）若直线与该图象只有个交点直接写出的取值范围． 【答案】（1）全体实数；1 （2）如图所示 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据表格说明自变量的取值范围，再根据图象的对称性解答； （2）根据描点，连线画出图象即可； （3）分两种情况画出图象：当时，直线与直线平行时两个图象有1个交点，即可解答；当时，直线与直线平行时两个图象没有交点，再结合k的意义解答． 【小问1详解】 解：x的取值范围是全体实数；观察表格可知当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，直线与直线平行时两个图象有1个交点， ∴当时，直线与函数的图象只有1个交点； 当时，直线与直线平行时两个图象没有交点， ∴当时，直线与函数的图象只有1个交点． 综上所述，k的取值范围是或． B卷（共50分） 四．思维填空题（每小题5分，共20分） 20. 如图，一次函数和的图象交于，则不等式组的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入得，故．解不等式得．由图象可知，在下方时对应的范围为，即可求出不等式组的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴把,代入，得， 解得， ∴， 不等式， 把代入，得，解得 不等式，即函数的图象在图象的下方． 由图可知，两条直线交于点，随增大而增大，随增大而减小， ∴当时，在下方，即． ∴不等式组的解集为． 21. 如图，在矩形中，连接，过点作于点，，分别是，的中点，连接，，．若，，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据中位线的定义和性质得，接下来根据直角三角形的性质求出，，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴． 在中，． ∵点M，N是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴． 在中，点M是的中点， ∴． 同理，得， ∴的周长为． 22. 已知四边形为菱形，为上任意一点，点为上任意一点，，．则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】接，过点作于，设、交于点，根据菱形的性质得出当点、、在同一条直线上，且时，的值最小，利用菱形的性质求出，，利用菱形的面积公式求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于，设、交于点， ∵四边形为菱形，为上任意一点，，， ∴垂直平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点、、在同一条直线上，且时，的值最小，此时，点与重合， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值是． 23. 如图，的对角线，交于点，的平分线与交于点，与交于点，连接，，，则下列结论①，②，③，④中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可证是等边三角形，根据三角形外角的性质可知，根据平行线的性质可知；根据三角形内角和定理可以求出，利用勾股定理即可求出的长度，根据平行四边形的对角线互相平分可知的长度，再利用勾股定理求出的长度，即可得到的长度；根据三角形中位线的性质可知，再根据即可求出；根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，可知． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， , 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， 故②正确； ，， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 故③正确； 四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ， 故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 五、综合运用（共30分） 24. 某班计划采购A，B两种型号的羽毛球拍，已知购买副A型羽毛球拍和副B型羽毛球拍共需元，购买副A型羽毛球拍和副B型羽毛球拍共需元． （1）求A，B两种型号羽毛球拍的单价； （2）该班准备采购A，B两种型号的羽毛球拍共副（A，B两种型号的羽毛球拍均购买），且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的倍，请给出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【答案】（1）A型羽毛球拍的单价为76元，B型羽毛球拍的单价为86元 （2）最省钱的购买方案是采购19副A型球拍，1副B型球拍；最少费用为1530元 【解析】 【分析】（1）设A型羽毛球拍的单价为元，B型羽毛球拍的单价为元，根据“购买副A型羽毛球拍和副B型羽毛球拍共需元，购买副A型羽毛球拍和副B型羽毛球拍共需元”列方程组求解即可； （2）设该班采购A型羽毛球拍副，购买的费用为元，则采购B型羽毛球拍副，由（1）的结论求出的函数解析式，根据题意求出，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设A型羽毛球拍的单价为元，B型羽毛球拍的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：A型羽毛球拍的单价为76元，B型羽毛球拍的单价为86元； 【小问2详解】 解：设该班采购A型羽毛球拍副，购买的费用为元，则采购B型羽毛球拍副， 由（1）的结论得：， A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍， ， 解得， 在内，随的增大而减小，又是整数 则当时，取得最小值，最小值为， 此时， 答：最省钱的购买方案是采购19副A型球拍，1副B型球拍；最少费用为1530元． 25. 如图，已知直线 与直线相交于点，直线与轴交于点． （1）求出直线的解析式． （2）是直线上一动点，当 时， ①求出点的坐标； ②平面内是否存在点N，使四边形为正方形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）直接将点代入直线的解析式得出方程组，求出方程组的解即可； （2）①设点，过点M作轴，交于点H，连接，再表示出，然后根据得出方程，求出解即可得出答案； ②当点，此时点M与点A重合，再根据勾股定理求出，，过点M作，此时四边形是正方形，然后根据中点坐标得出答案；当点时，可得，且，过点M作，此时四边形是正方形，仿照上述过程解答． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， 代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①设点，过点M作轴，交于点H，连接， ∴点， ∴， ∴， 即， 解得或， ∴点或； ②令，则，故； 如图所示，当点，此时点M与点A重合， ∵点， ∴， 即，且， ∴， 过点M作，此时四边形是正方形， ∵点， ∴点，即点； 当点时， ∵点， ∴， ∴，且， 过点M作，此时四边形是正方形， ∵点， ∴点，即点， 综上所述，点或． 26. 已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． （1）当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； （2）如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 【答案】（1）①；②为等腰直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①设正方形的边长为a，利用折叠性质可知，从而求出的长度，接着在中，利用勾股定理建立关于a的方程解出a即可求出； ②设正方形的边长为b，利用折叠的性质得到，，，，且垂直平分，因此点H为的中点，通过三角形中位线定理可推出，，由此可得，确定是直角三角形，接着，在中，利用勾股定理求出的长度，再利用面积法求出的长度，进而得出的长度，最后，在中，用勾股定理求出的长度，发现，结合从而最终判定为等腰直角三角形； （2）设，则，利用折叠的性质可得，，，利用勾股定理求出的长度，从而计算出的比值． 【小问1详解】 解：①设正方形的边长为a，则， 由折叠可知：，，， 在中，， ， 在中，， 即， ， ； ②是等腰直角三角形，理由如下： 设正方形的边长为b， 点是中点， ， 由折叠可知：，，，， 则垂直平分，即点H为的中点， ，，， ， 是直角三角形， 在中，， ， 即， ， ， 在中，， ， 是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：设，则，， 由折叠可知：，，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得， ， ． 【点睛】该题的题眼在于“折叠”二字，不论图形如何变化，折叠前后的对应边、对应角相等是解题的关键，同时，通过建立平面直角坐标系将几何位置关系转化为代数关系，是解决动点和参数问题的通法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $