第09讲 椭圆（知识详解+9典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（苏教版选修第一册）

第09讲 椭圆（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：椭圆的定义 知识点02：椭圆的标准方程 知识点03：椭圆的几何性质 典例精讲·例题解析 题型01：椭圆定义及辨析 题型02：椭圆中焦点三角形问题 题型03：根据a、b、c求椭圆标准方程 题型04：根据椭圆过的点求标准方程 题型05：轨迹问题——椭圆 题型06：椭圆的范围、对称性和顶点 题型07：求椭圆的长轴、短轴 题型08：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型09：根据离心率求椭圆的标准方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】椭圆的定义 椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆,两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 温馨提示　(1)椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值. (2)定值必须大于两定点的距离. (3)当距离的和等于F1F2时,点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于F1F2时,点的轨迹不存在. 【例1】已知动点 满足 ，其中定点，，判断动点 的轨迹，并说明理由。 解：第一步：计算两焦点距离 第二步：对比定长与焦距大小 由题意得距离和 ，即 ；焦距 ，即 满足 ，符合椭圆定义条件。 结论：动点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆。 【知识点02】椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 (±c,0) (0,±c) a,b,c的关系 a2=b2+c2 温馨提示　(1)在椭圆的两种标准方程中总有a>b>0. (2)方程的左侧是两项平方和的形式,右侧是常数1. (3)x2项和y2项谁的分母大,焦点就在对应的坐标轴上. 【例2】已知椭圆焦点在x轴上，焦距为 ，且椭圆过点 ，求该椭圆的标准方程。 解：第一步：根据焦距求 焦距 ，得 第二步：根据定点求长半轴 椭圆焦点在x轴上，过顶点，则长半轴 ， 第三步：计算短半轴平方 由 变形得： 第四步：写出标准方程 焦点在x轴，代入标准式：. 【知识点03】椭圆的几何性质 椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0) 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴,对称中心为原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 轴长 短轴长B1B2=2b,长轴长A1A2=2a,短半轴长等于b,长半轴长等于a 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 F1F2=2c 离心率 e=∈(0,1) 温馨提示　(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)离心率也可以表示为e=∈(0,1). (3)离心率e的范围是(0,1).当e越接近于1时,椭圆越扁;当e越接近于0时,椭圆就越接近于圆. 【例3】已知椭圆方程 ，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率。 解：第一步：确定 ，判断焦点轴 ，，焦点在x轴上， 第二步：计算 第三步：求解各几何量 1. 长轴长： 2. 短轴长： 3. 焦点坐标： 4. 离心率：. 【题型01】椭圆定义及辨析 【典例1-1】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由椭圆定义进行求解. 【详解】显然，，由椭圆定义可得 故选：B 【典例1-2】椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为________． 【答案】8 【分析】根据椭圆的定义计算即可. 【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，结合椭圆定义，可得. 故答案为：8 【典例1-3】（多选）下列说法中正确的有（   ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 【答案】CD 【分析】根据椭圆定义分别判断各个选项即可. 【详解】根据题意，点，，则， 对于A，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹不存在，错误； 对于B，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹为线段，错误； 对于C，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆，正确； 对于D，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆，正确； 故选：CD. 【变式1-1】已知定点，平面上满足下列条件的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得答案 【详解】之间的距离， 根据椭圆的定义，距离之和 对于A，不满足椭圆的定义，无轨迹，A错误； 对于B，，轨迹是线段，不是椭圆，B错误； 对于C，符合椭圆的定义，轨迹是椭圆，C正确； 对于D，这不是距离之和的条件，不直接符合椭圆的定义，实际上，这描述的轨迹不是椭圆.轨迹是以原点为中心的圆（如图），D错误.    故选：C 【变式1-2】已知分别是椭圆的左､右焦点，为上一点，与的顶点不重合，分别为的中点，为坐标原点，且，则的焦距为__________． 【答案】 【分析】根据题设条件易得线段为的两条中位线，再利用椭圆的定义求出值即得. 【详解】    如图，因点 ,分别为 ,的中点,故，得， 则的焦距为． 故答案为：. 【变式1-3】已知椭圆短轴长为4，焦距为，分别是椭圆的左、右焦点，若点为 上的任意一点，的最小值为_____________________. 【答案】 【分析】根据椭圆定义，，则，利用基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 的最小值为， 故答案为：. 【题型02】椭圆中焦点三角形问题 【典例2-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）椭圆的两个焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义易得. 【详解】由可得椭圆焦点在轴上，且长半轴长为， 则的周长为 . 故选：D. 【典例2-2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为____． 【答案】2025 【分析】利用椭圆的定义和勾股定理可得，结合面积公式可得答案. 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，设焦距为， 由定义可得，因为，由勾股定理可得, 即， 所以， 所以面积为. 故答案为：2025 【典例2-3】（2025高三·全国·专题练习）已知点，分别为椭圆的（）的左、右焦点，椭圆的焦距为，且椭圆的离心率为，过点作轴的垂线交椭圆于点，，求证：为正三角形． 【答案】证明见解析 【分析】由题意求得，进一步得到，即，根据有一个角度是的等腰三角形是等边三角形即可得证. 【详解】易知，， 将代入，解得，不妨设，． 在中，， 即，也即， 又因为轴垂直且平分线段， 于是为正三角形． 【变式2-1】设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】椭圆方程，得，，，，. 由椭圆定义，； 已知，即。 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 综上所述或，焦距. 因为，即或,故是直角三角形. 【变式2-2】（25-26高二上·江苏盐城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆于两点，则的周长为__________． 【答案】16 【分析】由面积为，且其为正三角形，求得，后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案. 【详解】如图，设， 因为面积为，且其为正三角形， 又 则，解得，则， 又因为直线过与垂直且为正三角形，则直线为中垂线， 则，， 又， 故的周长 由椭圆的定义知，，， 则. 故答案为：． 【变式2-3】（2023高二上·全国·专题练习）如图所示，已知椭圆的方程为，分别是左右焦点，若点为椭圆上的点，且，求的面积． 【答案】 【分析】先根据椭圆的定义及余弦定理求出，；再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】由已知可得：， 则， 所以，. 在中，由余弦定理得， 所以. 由，得， 所以，化简解得， 所以的面积为. 【题型03】根据a、b、c求椭圆标准方程 【典例3-1】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，且焦点在x轴上， 则， 则椭圆的标准方程为 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段检测）焦点在 y轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题干列出方程，即可. 【详解】因为焦点在 y轴上，故设椭圆方程为， 则，且， 解得：，所以椭圆的标准方程为. 故选：D 【变式3-2】焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过的椭圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】由题意，设椭圆的标准方程为，然后列出关于的方程组，求解方程组即可得答案. 【详解】解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为， 由题意，有，解得， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 【变式3-3】求满足条件的曲线方程： (1)椭圆C的焦点在x轴上，短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，求椭圆C的标准方程； (2)圆心在第一象限且在直线上，圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求得，进而可求解； （2）设圆的标准方程，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. 【详解】（1）设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为. 由已知，有解得，， 因为焦点在x轴，所以方程为. （2）设圆的标准方程为, 圆心到直线的距离, 由题可知，,解得， 所以圆的标准方程为. 【题型04】根据椭圆过的点求标准方程 【典例4-1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）设椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆所过的点，应用待定系数法求椭圆方程. 【详解】由题设，可得，则椭圆方程为. 故选：D 【变式4-1】（25-26高二上·江苏·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【详解】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B 【变式4-2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）经过两点的椭圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】由待定系数法求方程即可. 【详解】设椭圆为，代入两点得，解得. 故椭圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二上·江苏盐城·阶段检测）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共焦点求得，再通过点在椭圆上，列出方程即可求解； （2）通过待定系数法即可求解. 【详解】（1）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由①②解得． 故所求椭圆的标准方程为． （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程. 【题型05】轨迹问题——椭圆 【典例5-1】（24-25高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一般方程得到圆心和半径，再由几何关系得到点的轨迹是以为焦点的椭圆即可； 【详解】    由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 故选：B. 【变式5-1】（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 【答案】BC 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】由题意知，定点，，可得， 因为，可得， 当且仅当，即时取得等号， 当时，可得的，此时点的轨迹是线段； 当时，可得，此时点的轨迹是椭圆. 故选：BC. 【变式5-2】若线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，，点M是线段AB上一点，且，则动点M的轨迹方程是_______. 【答案】 【分析】利用，根据题意可得，进而结合两点间距离公式运算求解. 【详解】设， 则， 如图，因为，，可得， 则，解得， 又因为，整理得， 则所求动点M的轨迹方程为 故答案为：.    【变式5-3】设定点是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设，然后由中点坐标公式可表示出，代入椭圆方程化简可得答案. 【详解】设． 因为为线段的中点，所以， 因为，所以点的轨迹方程为． 【题型06】椭圆的范围、对称性和顶点 【典例6-1】椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断 【详解】由，得， 所以椭圆的标准方程为，则， 因为点在椭圆上， 所以． 故选：C 【典例6-2】椭圆的内接正方形的周长为__________． 【答案】/19.2 【分析】根据椭圆以及正方形的对称性可设一个顶点为，代入椭圆方程即可求解，进而可求周长. 【详解】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为， 则，所以周长为， 故答案为：    【典例6-3】已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点，， (1)求的标准方程； (2)写出的焦点和顶点坐标. 【答案】(1) (2)焦点坐标为，顶点坐标为， 【分析】（1）设椭圆的方程为（，，），代入求解即可； （2）由（1）的结论即可得出答案. 【详解】（1）设椭圆的方程为（，，）， 则，解得，， 椭圆的标准方程为. （2）椭圆的焦点在轴上， 焦点坐标为，顶点坐标为，. 【变式6-1】（2024高二上·全国·专题练习）下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将曲线方程化为，结合椭圆对称性判断①②③，根据直线对称的特征判断④. 【详解】曲线方程可化为，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆， 由椭圆的性质，知该曲线关于x轴对称、y轴对称、原点对称. 将曲线方程中的x换成y，y换成x，得，与原曲线方程不同， 故该曲线不关于直线对称. 即正确的为①②③，④错误. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在y的正半轴上，则该圆的标准方程为_________. 【答案】 【分析】由题意可知所求圆经过椭圆的下顶点和左、右顶点，可设圆心坐标为，半径为，可得出关于的方程组，求出这两个未知数的值，进而可得出所求圆的方程. 【详解】因为圆心在y轴的正半轴上，且圆经过椭圆的三个顶点， 所以该圆过椭圆的左顶点，右顶点和下顶点. 设圆心坐标为， ，半径为， 所以 ，解得， 所以，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式6-3】已知动圆与圆外切，与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆与圆的位置关系结合椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆焦点的位置可得出动圆圆心的轨迹方程； （2）设点，则，利用两点间的距离公式求出的取值范围，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：圆的圆心为，半径． 圆的圆心为，半径， ，所以圆内含于圆． 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 从而，，所以，所以点的轨迹方程为． （2）解：设点，则，则， 则， 所以，，所以， ， . 所以的取值范围为． 【题型07】求椭圆的长轴、短轴 【典例7-1】（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将椭圆方程化为标准方程，得出的值，即可得出该椭圆的长轴长. 【详解】将椭圆方程化为标准方程得，则，故该椭圆的长轴长为. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）椭圆的短轴的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据椭圆方程确定其焦点位置，再根据短轴长的定义确定其短轴长. 【详解】椭圆的，，且焦点在轴上， 所以椭圆的短轴长为， 故选：C. 【变式7-2】椭圆的短轴长为______． 【答案】 【分析】依据椭圆标准方程，根据短轴长求解即可. 【详解】椭圆的标准方程为，其中为长半轴长，为短半轴长，短轴长为， 而题干的椭圆方程可写成，所以，故短轴长为. 故答案为： 【变式7-3】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式和椭圆的定义求得正确答案. 【详解】由椭圆的定义及基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 由于，所以，长轴长. 故答案为： 【题型08】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【典例8-1】若椭圆上存在点，使得点到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义结合条件先表示出点到两焦点的距离，再结合到焦点的距离与，的关系可求解出的范围. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离分别为 ， 则，解得， 因为点到椭圆焦点的距离范围是， 则，即，得， 所以，又，故 ， 所以该椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 【变式8-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率__________． 【答案】 【分析】根据条件得到，再由，即可求解. 【详解】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍， 则，即，所以， 故答案为：. 【变式8-2】（多选）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分，，三种情况，求椭圆的离心率即可. 【详解】如图1： 若，因为是等腰直角三角形，所以，即， 所以，所以.故D有可能成立； 如图2： 若，则. 将代入 . 所以 ， 所以或（舍去），故C有可能成立； 如图3： 若，则点横坐标为，将代入，得， 由 ， 所以或（因为，故舍去）. 由 .故B有可能成立. 故选：BCD 【变式8-3】（2025高二上·全国·专题练习）设椭圆的左、右焦点分别为，椭圆C上存在点P，使为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是椭圆中焦点三角形的性质及离心率范围，利用顶角为钝角得到的不等关系进行求解. 【详解】当在上（下）顶点处时，最大，由题，此时为钝角,故， ．又， ，即．， ．又 故椭圆C的离心率的取值范围为 【题型09】根据离心率求椭圆的标准方程 【典例9-1】（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点的坐标可得，利用离心率的公式可得，从而可得答案. 【详解】因为椭圆经过点，所以，即； 离心率，所以，所以方程为. 故选：D 【变式9-1】已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长轴以及离心率即可求解. 【详解】由长轴长为4，可得，又离心率为，即， 解得，故， 所以椭圆方程为， 故选：A 【变式9-2】（24-25高二上·广西·期中）已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为__________. 【答案】 【分析】根据题意求出和，再写出标准方程. 【详解】由题意易得，则， 因为椭圆的离心率为，所以，则， 故的标准方程为. 故答案为：. 【变式9-3】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为6，离心率为； (2)经过点，离心率为，焦点在x轴上； (3)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】(1)根据离心率与长轴的定义，求解出椭圆的、、，再按焦点所在坐标轴分别写出椭圆的标准方程即可； (2)根据离心率与顶点坐标的定义，求解椭圆的、、即可 (3)根据为等腰直角三角形，利用勾股定理求解出、、的关系即可. 【详解】（1）由题意得：，则， 又因为，所以， 则由椭圆的几何性质得：，所以， 所以椭圆的标准方程为：或. （2）因为椭圆的焦点在轴上，由题设得：， 又因为，所以， 则由椭圆的几何性质得：，所以， 所以椭圆的标准方程为：. （3）设椭圆标准方程为：， 如图所示，为等腰直角三角形，为斜边上的中线，且，， 又因为焦距为6，所以， 则由椭圆的几何性质得：， 所以椭圆的标准方程为：. 知识点01椭圆的定义（核心本源考点） 1. 严格定义 平面内与两个定点 的距离之和等于常数（且该常数大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆。 2. 专属名词与核心公式 两个定点 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 设轨迹上任意一点为 ，恒满足： 焦距： 3. 轨迹判定临界条件（必考易错） ①：点的轨迹为椭圆； ② ：点的轨迹为线段 ； ③ ：无轨迹（不存在图形）。 4. 基础大小关系 ，且存在核心恒等式： 知识点02椭圆的标准方程（解题核心工具） 椭圆标准方程分两类，默认满足 ，根据焦点所在坐标轴区分，无平移、无旋转，为中心在原点的标准椭圆。 1. 焦点在 x 轴上（左右型） 焦点坐标： 标准方程： 2. 焦点在 y 轴上（上下型） 焦点坐标： 标准方程： 3. 快速判轴技巧 方程中分母更大的那一项对应焦点所在坐标轴，大分母对应 ，小分母对应 。 4. 求方程通用思路 定轴 → 求 、 → 由 求 → 代入标准方程。 知识点03椭圆的几何性质（高频考点全集） 以最常用的焦点在 轴的椭圆 为例，焦点在y轴性质同理互换即可。 1. 取值范围 2. 对称性 关于 轴、 轴对称，关于坐标原点中心对称。 3. 顶点坐标 长轴顶点（左右顶点）： 短轴顶点（上下顶点）： 4. 轴长定义 长轴长：，短轴长： 5. 离心率（核心参数） 定义：椭圆焦距与长轴长的比值，刻画椭圆扁平程度。 性质： 越大，椭圆越扁平； 越小，椭圆越圆。 6. 离心率变形公式 知识点04椭圆核心公式汇总 1. 基础关系： 2. 定义式： 3. 离心率： 知识点05高频易错点梳理 1. 混淆 大小关系，记错核心公式 （区别双曲线公式）； 2. 无法根据方程快速判断焦点所在坐标轴，导致方程代入错误； 3. 忽略椭圆定义的前提条件 ，误判轨迹； 4. 离心率范围记忆错误，椭圆离心率恒在 之间。 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏南通·期中）椭圆的长轴长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的值，即可得出椭圆的长轴长. 【详解】椭圆的标准方程为，则，故椭圆的长轴长为. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、的值，利用椭圆的离心率公式可求得结果. 【详解】由椭圆可知，，，则， 故该椭圆的离心率为. 3．（25-26高二上·江苏淮安·期中）若椭圆的焦距为，则实数的值为（    ） A．24 B．9 C．1 D．9或1 【答案】B 【分析】由椭圆定义可得范围，再利用焦距定义分类讨论即可得. 【详解】由题意可得，即或； 当时，有，解得； 当时，有，解得，不符，故舍去， 综上可得. 故选：B. 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将曲线的方程化为标准方程，结合曲线的形状可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，曲线的方程可化为， 因为曲线是焦点在轴上的椭圆，所以，解得， 因此实数的取值范围是. 故选：A. 5．（25-26高二上·江苏常州·期中）方程表示的曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知等式的几何意义结合椭圆的定义可求曲线的标准方程 【详解】表示到点的距离之和为10， 又，故点的轨迹满足椭圆的定义， 设其标准方程为：， 显然，又，解得， 则标准方程为：. 故选：C. 6．（24-25高二上·江苏连云港·期中）一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】先把两圆方程化成标准方程，得出圆心和半径，设出动圆圆心坐标，根据两圆相切的性质推导出满足的关系式后即可求解. 【详解】由可得，，圆心为，半径； 由可得，圆心为，半径. 设动圆的圆心为，半径为， 由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，， 由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，， 于是， 即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离， 根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆. 故选：B 7．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为、，若的周长为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的周长，可得出，结合椭圆的离心率公式可求得结果. 【详解】易知点、、，则， 同理可得，， 故的周长为，可得， 故该椭圆的离心率为. 故选：C. 8．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）若，分别为椭圆：的左、右焦点，，为上两动点，且，，三点共线，则的周长为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】先根据椭圆的方程得出的值，再根据椭圆的定义结合已知条件求出的周长． 【详解】   椭圆方程为， ， 为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点， ， 又 ，，三点共线， 的周长为：， 故选：D． 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 10．（25-26高二上·江苏淮安·期中）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据椭圆长轴与短轴以及其定义，可得答案. 【详解】设椭圆的长轴长为； 若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以， 即，故； 若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以， 即，故； 若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以，故.    故选：ABD. 11．设椭圆C：的左､右焦点分别为，是上的动点，则（    ） A． B．C的离心率为 C．面积最大值为 D．上有且只有4个点，使得是直角三角形 【答案】AD 【分析】根据椭圆的方程求得的值，结合椭圆的定义，离心率的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得， 根据椭圆的定义，可得，所以A正确； 根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为，所以B不正确； 由椭圆的几何性质，可得最大值为，所以C错误； 因为以为直径的圆的方程为， 联立方程组，整理得，即方程组无解， 所以以点为直角顶点的不存在； 过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和； 过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和， 综上可得，椭圆上有且仅有个点使得为直角三角形，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，则实数的值为______. 【答案】 【分析】利用椭圆方程中表示的及关系,即可求得的值. 【详解】由椭圆的焦点在轴上，可知， 所以， 再由离心率，即， 解得， 故答案为：. 13．已知椭圆，若其左焦点到右顶点的距离为2，则a的值为_______． 【答案】 【分析】由已知得左焦点为，由右顶点为，左焦点到右顶点的距离为可得答案. 【详解】由已知得，， 所以左焦点为，右顶点为， 左焦点到右顶点的距离为，解得. 故答案为：. 14．已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，是椭圆上一点，在第二象限内.若，则直线的斜率取值范围是____________. 【答案】 【分析】由椭圆的性质可知，根据余弦定理可以求出的取值范围，可以求出的范围，则可以求出直线的斜率取值范围. 【详解】由椭圆的性质可知，因为是椭圆上一点，在第二象限内.若， 根据余弦定理可知， 所以可得， 则可知，又因, 所以可知，所以直线的斜率为. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏苏州·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标得到，根据点坐标得到，然后解方程即可； （2）设椭圆方程，然后将点坐标带入，解方程即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，则①， 将带入椭圆方程得到②， 联立①②解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的标准方程为，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 16．（25-26高二上·江苏苏州·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆； (2)过三点、、的圆； (3)点，，，中恰有三个点在椭圆上. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用椭圆的性质设椭圆方程，代入点计算即可； （2）设圆的标准方程，利用待定系数法计算即可； （3）由椭圆的对称性先确定在椭圆上的三点，再待定系数计算椭圆方程即可. 【详解】（1）由题意可知的焦点在x轴上，不妨设椭圆方程为， 代入得，整理得，解之得，(负值舍去), 即该椭圆方程为：； （2）设圆的方程为， 代入三点、、可得： ，整理得， 解之得，即该圆方程为：； （3）由于，两点关于x对称，故这两点必在椭圆上， 根据对称性可知点也必在椭圆上，则不可能在椭圆上， 由此可知椭圆过的三点为， 设椭圆方程为：， 带入点坐标有，则， 则该椭圆方程为：. 于是， 17．（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点. (1)求出椭圆 C 的标准方程及其离心率、准线方程. (2)求出与（1）中椭圆 C 共焦点且离心率等于的椭圆D的标准方程. 【答案】(1)标准方程为，离心率为，准线方程 (2) 【分析】（1）设椭圆方程为：且，代入所过两点可得答案； （2）由（1）设椭圆方程为：，然后由离心率可得答案. 【详解】（1）设椭圆方程为：且， 代入，可得，则椭圆方程为：。 离心率为：。准线方程为：； （2）由（1）知，故可设与椭圆共焦点的椭圆的方程为：， 因离心率为：，则椭圆D的标准方程为：. 18．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论； （2）由角平分线定理可得，，解得，代入可求得面积. 【详解】（1）由椭圆的定义得， 因为直线与x轴垂直，所以， 即， 故. （2）因为平分，所以，即，如下图所示： 由和，解得，， 代入得，解得； 故的面积为. 19．已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【分析】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 椭圆（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：椭圆的定义 知识点02：椭圆的标准方程 知识点03：椭圆的几何性质 典例精讲·例题解析 题型01：椭圆定义及辨析 题型02：椭圆中焦点三角形问题 题型03：根据a、b、c求椭圆标准方程 题型04：根据椭圆过的点求标准方程 题型05：轨迹问题——椭圆 题型06：椭圆的范围、对称性和顶点 题型07：求椭圆的长轴、短轴 题型08：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型09：根据离心率求椭圆的标准方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】椭圆的定义 椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆,两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 温馨提示　(1)椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值. (2)定值必须大于两定点的距离. (3)当距离的和等于F1F2时,点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于F1F2时,点的轨迹不存在. 【例1】已知动点 满足 ，其中定点，，判断动点 的轨迹，并说明理由。 【知识点02】椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 (±c,0) (0,±c) a,b,c的关系 a2=b2+c2 温馨提示　(1)在椭圆的两种标准方程中总有a>b>0. (2)方程的左侧是两项平方和的形式,右侧是常数1. (3)x2项和y2项谁的分母大,焦点就在对应的坐标轴上. 【例2】已知椭圆焦点在x轴上，焦距为 ，且椭圆过点 ，求该椭圆的标准方程。 【知识点03】椭圆的几何性质 椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0) 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴,对称中心为原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 轴长 短轴长B1B2=2b,长轴长A1A2=2a,短半轴长等于b,长半轴长等于a 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 F1F2=2c 离心率 e=∈(0,1) 温馨提示　(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)离心率也可以表示为e=∈(0,1). (3)离心率e的范围是(0,1).当e越接近于1时,椭圆越扁;当e越接近于0时,椭圆就越接近于圆. 【例3】已知椭圆方程 ，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率。 【题型01】椭圆定义及辨析 【典例1-1】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【典例1-2】椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为________． 【典例1-3】（多选）下列说法中正确的有（   ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 【变式1-1】已知定点，平面上满足下列条件的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知分别是椭圆的左､右焦点，为上一点，与的顶点不重合，分别为的中点，为坐标原点，且，则的焦距为__________． 【变式1-3】已知椭圆短轴长为4，焦距为，分别是椭圆的左、右焦点，若点为 上的任意一点，的最小值为_____________________. 【题型02】椭圆中焦点三角形问题 【典例2-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）椭圆的两个焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【典例2-2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为____． 【典例2-3】（2025高三·全国·专题练习）已知点，分别为椭圆的（）的左、右焦点，椭圆的焦距为，且椭圆的离心率为，过点作轴的垂线交椭圆于点，，求证：为正三角形． 【变式2-1】设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【变式2-2】（25-26高二上·江苏盐城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆于两点，则的周长为__________． 【变式2-3】（2023高二上·全国·专题练习）如图所示，已知椭圆的方程为，分别是左右焦点，若点为椭圆上的点，且，求的面积． 【题型03】根据a、b、c求椭圆标准方程 【典例3-1】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段检测）焦点在 y轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过的椭圆的标准方程为______． 【变式3-3】求满足条件的曲线方程： (1)椭圆C的焦点在x轴上，短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，求椭圆C的标准方程； (2)圆心在第一象限且在直线上，圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【题型04】根据椭圆过的点求标准方程 【典例4-1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）设椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·江苏·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）经过两点的椭圆的标准方程为______. 【变式4-3】（24-25高二上·江苏盐城·阶段检测）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 【题型05】轨迹问题——椭圆 【典例5-1】（24-25高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 【变式5-2】若线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，，点M是线段AB上一点，且，则动点M的轨迹方程是_______. 【变式5-3】设定点是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【题型06】椭圆的范围、对称性和顶点 【典例6-1】椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】椭圆的内接正方形的周长为__________． 【典例6-3】已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点，， (1)求的标准方程； (2)写出的焦点和顶点坐标. 【变式6-1】（2024高二上·全国·专题练习）下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在y的正半轴上，则该圆的标准方程为_________. 【变式6-3】已知动圆与圆外切，与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)求的取值范围． 【题型07】求椭圆的长轴、短轴 【典例7-1】（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）椭圆的短轴的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式7-2】椭圆的短轴长为______． 【变式7-3】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 【题型08】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【典例8-1】若椭圆上存在点，使得点到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率__________． 【变式8-2】（多选）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025高二上·全国·专题练习）设椭圆的左、右焦点分别为，椭圆C上存在点P，使为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围． 【题型09】根据离心率求椭圆的标准方程 【典例9-1】（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·广西·期中）已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为__________. 【变式9-3】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为6，离心率为； (2)经过点，离心率为，焦点在x轴上； (3)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 知识点01椭圆的定义（核心本源考点） 1. 严格定义 平面内与两个定点 的距离之和等于常数（且该常数大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆。 2. 专属名词与核心公式 两个定点 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 设轨迹上任意一点为 ，恒满足： 焦距： 3. 轨迹判定临界条件（必考易错） ①：点的轨迹为椭圆； ② ：点的轨迹为线段 ； ③ ：无轨迹（不存在图形）。 4. 基础大小关系 ，且存在核心恒等式： 知识点02椭圆的标准方程（解题核心工具） 椭圆标准方程分两类，默认满足 ，根据焦点所在坐标轴区分，无平移、无旋转，为中心在原点的标准椭圆。 1. 焦点在 x 轴上（左右型） 焦点坐标： 标准方程： 2. 焦点在 y 轴上（上下型） 焦点坐标： 标准方程： 3. 快速判轴技巧 方程中分母更大的那一项对应焦点所在坐标轴，大分母对应 ，小分母对应 。 4. 求方程通用思路 定轴 → 求 、 → 由 求 → 代入标准方程。 知识点03椭圆的几何性质（高频考点全集） 以最常用的焦点在 轴的椭圆 为例，焦点在y轴性质同理互换即可。 1. 取值范围 2. 对称性 关于 轴、 轴对称，关于坐标原点中心对称。 3. 顶点坐标 长轴顶点（左右顶点）： 短轴顶点（上下顶点）： 4. 轴长定义 长轴长：，短轴长： 5. 离心率（核心参数） 定义：椭圆焦距与长轴长的比值，刻画椭圆扁平程度。 性质： 越大，椭圆越扁平； 越小，椭圆越圆。 6. 离心率变形公式 知识点04椭圆核心公式汇总 1. 基础关系： 2. 定义式： 3. 离心率： 知识点05高频易错点梳理 1. 混淆 大小关系，记错核心公式 （区别双曲线公式）； 2. 无法根据方程快速判断焦点所在坐标轴，导致方程代入错误； 3. 忽略椭圆定义的前提条件 ，误判轨迹； 4. 离心率范围记忆错误，椭圆离心率恒在 之间。 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏南通·期中）椭圆的长轴长是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏淮安·期中）若椭圆的焦距为，则实数的值为（    ） A．24 B．9 C．1 D．9或1 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏常州·期中）方程表示的曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏连云港·期中）一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为、，若的周长为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）若，分别为椭圆：的左、右焦点，，为上两动点，且，，三点共线，则的周长为（    ） A．4 B．8 C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 10．（25-26高二上·江苏淮安·期中）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 11．设椭圆C：的左､右焦点分别为，是上的动点，则（    ） A． B．C的离心率为 C．面积最大值为 D．上有且只有4个点，使得是直角三角形 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，则实数的值为______. 13．已知椭圆，若其左焦点到右顶点的距离为2，则a的值为_______． 14．已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，是椭圆上一点，在第二象限内.若，则直线的斜率取值范围是____________. 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏苏州·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 16．（25-26高二上·江苏苏州·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆； (2)过三点、、的圆； (3)点，，，中恰有三个点在椭圆上. 17．（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点. (1)求出椭圆 C 的标准方程及其离心率、准线方程. (2)求出与（1）中椭圆 C 共焦点且离心率等于的椭圆D的标准方程. 18．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 19．已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $