专题1.2 反比例函数的图象与性质（高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的图象与性质核心知识点，系统梳理从描点法绘制双曲线图象，到探究k>0（一、三象限，y随x增大而减小）与k<0（二、四象限，y随x增大而增大）的性质，再到解决比较函数值、求参数范围等问题，构建“画图-性质-应用”的学习支架。 该资料亮点在于题型分类系统（10类含典例与变式），通过数形结合（如由图象判断k值）和实际问题（如三角形花坛面积函数）培养抽象能力、几何直观与推理意识。课中辅助分层教学，课后助力学生通过练习查漏补缺，强化知识应用。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.2反比例函数的图象与性质 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01反比例函数的图象与性质 2知识清单 题型01判断（画）反比例函数图象 题型02已知反比例函数的图象判断其解析式 题型03判断反比例函数所在象限 反比例函数的图 题型04判断反比例函数的增减性 题型05已知反比例函数分布的象限求参数范围 象和性质 3.题型精讲 题型06已知反比例函数的增减性求参数 题型07由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型08比较反比例函数值或自变量的大小 题型09判断反比例函数的图象和性质 题型10反比例函数的图象和性质综合 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 能用描点法画出反比例函数y=的图象，理解其图象为双曲线。 教学目标 2.探索并掌握反比例函数y= 文的性质(k>0与k<0时图象所在象限、增减 性)。 3.能根据反比例函数的图象及性质解决简单的实际问题，体会数形结合思想。 重点： 1.掌握反比例函数图象的形状、位置（由k的符号决定）及增减性。 教学重难点 2.能应用反比例函数的性质解决比较函数值大小、确定自变量取值范围等问题。 教学难点： 1/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.理解反比例函数图象的“无限接近坐标轴但永不相交”的特征（渐近线)。 2.综合运用反比例函数的图象与性质，结合实际问题进行分析与求解。 知识清单 知识点01反比例函数的图象与性质 1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质： 函数 k 图象 所在象限 增减性 一、三象限 k>0 在同一象限内，y (x,同号) 随尤的增大而减小 (k为常数，k≠0) 二、四象限 k<0 在同一象限内，y (x,异号) 随x的增大而增大 内越大，函数图象越远离坐标原点 【即学即练】 1.关于反比例函数y=- 2026 ,下列说法正确的是() A.图象在第一、三象限 B.图象与x轴有一个交点 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.如果点A(-1,乃)和点B(-3,)均在该函数的图象上，那 么出>2 2已知反比例函数y= x,k为常数，k1 ()若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若k=17,试判断点B(8,2),C(4,5)是否在这个函数图象上，并说明理由. 3.如图，点A在反比例酒数y=0)的图象上，B上y轴于点B:AC1r轴于点C,且矩形ABOC 的面积为8. 2/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求k的值： (2)若点P(L,m),Q飞，)是该反比例函数图象上的两点，若m>n,求t的取值范围. 题型精讲 题型01判断（画）反比例函数图象 【典例1】函数y= 的图像大致是() 【变式1】函数y=一的图象大致是() 【变式2】函数)y=在平面直角坐标系中的图形可能是（) -2 C._ 3/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】一个三角形花坛的面积是6m,它的一边a(单位：m)是这边上的高h(单位：m)的函数， 此函数的图象大致为() a(m)4 a(m) a(m) D h(m) 方m) a(m) (m) 题型02已知反比例函数的图象判断其解析式 【典创1】反比例函数y←（k≠0)的图象如图所示，则6的值可能是() 2月 -3 A.5 B.10 C.-5 D.-1 【变式1】如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是() Ay= 4 B.y=-4x Cy=-4 D.y=-4x2 【变式2】如图所示，该函数表达式可能是() 4/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.y=3x2 B.y=3 Cy=-3 D.y=3x 【变式3】如图所示，其函数解析式可能是() 6 A.y=2x2 B.y= C.y=-6 D.y=3x 题型03判断反比例函数所在象限 2 【典例1】反比例函数y= -3x的图像在第」 象限，经过点（-4？—）· 【变式1】反比例函数Oy={ 、②y=-4 、③y=-2 x、④2xy=1的图像，在第一、三象限的是 在第二、四象限的是 、②y=3、⑧7y=-10 3 【变式2】反比例函数①y= 、④y=1O0x的图象中，在第一、三象限的是一 ，在第二、四象限的是 【变式3】关于x的方程2+2x+1=0无解，则反比例函数y=x的图象在第 象限. 题型04判断反比例函数的增减性 【典例1】在函数y=(x>0)中，函数值y随，的增大而一 【变式1】函数少=3玩中，在每个象限内，y随x的增大而一 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】若点（仙，3）在反比例函数y=的图象上，在图象的每一支上，y随x的增大而 (填 “增大”或“减小”) 变式3下列图数：①a2x+②3；@=059④y0+2mk<0；间y2随的 增大而减小的是一（填序号). 题型05已知反比例函数分布的象限求参数范围 【典例1】若反比例函数y=(m-)xr州的图象经过第二、四象限，则= k- 【变式1】若反比例函数y= x的图象位于第一、三象限，则实数k的值可能为 (写出一个 即可) m-2 【变式2】若反比例函数y= 的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 【变式3】已知反比例函数y=《-3 （k为常数，且k≠3)的图象在第一、三象限. (1)求k的取值范围： (2)若点(2,5)在该反比例函数的图象上，求k的值. 题型06已知反比例函数的增减性求参数 【典例1】反比例函数y=+3 的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是_ 【变式】已知点A(5,):B,)为反比例函数y=m x图象上的两点，当x<:,<0时，片>2，则 m的取值范围为一。 1-2m 【变式】已知点A(:,y),B(G,y)为反比例函数少=x图象上的两点，当x<0<,时，片>，则 m的取值范围为 k-2 【变式3】已知反比例函数y= (1)若该函数经过（山，3），求k的值： 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围. 题型07由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例1】己知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点 那么这两个函数图象必都经过另一个 点的坐标为 【变式1】在平面直角坐标系x0,中，若点(2,4)是函数y=太化≠0)和y年化0)的图象的一个交点。 则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 【变式2】如图，直线y=mx(m<0)与双曲线y=x交于A,B两点，AH上y轴于点H,若。4HB的面积为 5,则k的值为 B 题型08比较反比例函数值或自变量的大小 -9 【典例】已知点P(x,小Q(5乃人M(飞乃)在反比例函数y=之的图象上，并且x<5<0<5,则 、2、的大小关系为 (用<号表示)》 【度式】若=图家上有三个点3字) 则y,大小关系是（) A.<y2< B.y<3<为 C.<<2 D.y2<y<3 【变式2】反比例函数yk>0)的图象经过点(2，小（仁1，b)B,c小则。'6：6的大小关系为 7/18 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【度武】已知（反，小(1）(5）压至数=的图象上，比较：片为大小〈州 “<”连接)· 题型09 判断反比例函数的图象和性质 【典例1】关于反比例函数y= x,下列说法中正确的是() A.图象位于第一、三象限 B.图象与坐标轴没有交点 C.图象是一条直线 D.y的值随x的值增大而减小 【变式1】关于反比例函数y= x,下列说法错误的是() A.图像经过点(1,2) B.图像位于第一、三象限 C.当x>0时，y随x的增大而增大 D.当x>1时，0<y<2 【变式2】已知反比例函数y=k≠0)的图象经过点(64)，则下列描述正确的是(） A.图象位于第二、四象限 B.y的值随x的值增大而增大 C.当y>0时，x<0 D.点(6,2)在该图象上 【变式3】己知反比例函数y=女k<0),则下列结论不正确的是() A.反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B.图象关于原点(0,0)成中心对称 C.若(y)、(×2y2)为函数图象上两点，且<x,则y<为 D.图象关于直线y=一x成轴对称 题型10反比例函数的图象和性质综合 2a+6 【典例1】已知反比例函数y= （a为常数). (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围： (2)当x>0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围. 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 【变式1】(1)画出函数y=-(x<0)的图象. ①列表： 6 -5 -4 -3 -2 ②描点并连线. 个y 6 3 -6-5-4:-3-2-10123456x -2 3 4 5 (2)从图象可以看出，曲线从左向右一( 填“上升”或“下降”)，当x由小变大时y=-6(x<0) 随之 (填“变大”或“变小”) -6 -4 -3 -2 6 3 2 3 6 5 2 【变式2】探究函数y= x+2的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究.请补充完整： 4 (①)函数y=+2的自变量x的取值范围是 (2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中m= -4 -3 -1 0 0.8 2 4 0.8 (3)如图，根据(2)中表里各组对应值(：)，请把图象补充完整： 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1 76543210123x ④若Pa,),Q(b,)是函数yx+2图象上的两点，则a+b=一 【变式3】学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数 4 性质并解决问题”的学习过程.结合已有的学习经验，探究函数y= x+的图象性质. (1)列表：y与x的部分对应值如表， 则a=」 b= 3 -2 0 n 3 4 0 。 -4 -2 b -1 3 4 3 2 -4-3-2-1 01234x -3 =4 4 (②)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数y=一 +1的图象： (3)根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点， (填写点的坐标)成中心对称： 4 ②函数y= x十的图象可由y=的图象向一平移 一个单位长度得到，想象函数片=一 x+1 -2的 图象，直接写出少≤2时，x的取值范围 10118 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、单选题 1.（25-26八年级下上海音陀期末)如果反比例画数y= x的图象位于第二、四象限，那么k的取值范 围是() A.k≠0 B.k≠1 C.k<1 D.k>1 2.(2026重庆北碚二模)己知点(-3,4)在反比例函数y=(k≠0)的图象上，则k的值为（) A.-6 B.6 C.-12 D.12 3.(2026湖南永州二模)若点4-3，y),B,),C3,)都在函数y=元的图像上，则’2'y的 大小关系正确的是() A.乃<y2<y3 B.y<y3<y2 C.<y<为 D.y3<y<y2 4.(2026九年级下重庆专题练习) 已知反比例函数y=-3 x 下列结论正确的是() A.其图象经过点(-1，-3) B.其图象位于第一、第三象限 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.当x<-3时，0<y<1 5.(2025九年级下·全国专题练习)如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数 y=k≠0)的图象上，点B的坐标为(2,4)，则点D的坐标为（） y B A D 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.(1,0) B.(2,0) c.(3,0) D.(4,0) 二、填空题 6.(25-26八年级下·上海崇明期末)某函数符合如下条件：①图像经过(2,3)：②当x>0时，y随x的增 大而减小.请写出一个满足条件的函数表达式： 7.（25-26八年级下上海崇明期末)已知反比例函数y= x,当-3≤x≤-1时，y的取值范围是 8。（25,26人年级下江苏秦州期末)已知点43，）B1)在反比例画数y=m （m为常数) 的图象上，则与2的大小关系是一 9.(2026江苏连云港二模)如图，4，B是双曲线y-(>0)上的两点，过点A作4C1x轴，垂足为 点C,交OB于点D,若△ADO的面积为l.5,D为OB的中点，则k的值为 10.(2023山东菏泽·模拟预测)如图，已知点A(2,2)在双曲线上，将线段0A沿x轴正方向平移，若平移 后的线段OA'与双曲线的交点D恰为O'A'的中点，则平移距离OO'长为 VA 三、解答题 11.(25-26八年级下·上海崇明·期末)已知某反比例函数的图像经过点A(-2,4), (1)这个函数的图像位于哪些象限？ (②)若B(-3,m)、C(n,-4)也在这个函数的图像上，求m、n的值. 12118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12。(25-26九年级上：陕西戌阳阶段检测)已知反比例函数y=-24+1 2k+1 (1)若点(1,5)在反比例函数y= x一的图象上，则人的值为 (2②)当k取什么值时，在每一象限内，'的值随x值的增大而减小？ 1B。(2026河南平顶山三模)如图，点A2,4)在反比例函数y(x>0)的图象上，过点作轴的垂线 m 交反比例函数y=(x>0)的图象于点C· y-x (①)求反比例函数y=的表达式. (2)连接0A,0C,若a0AC的面积是3，求m的值. 14.(24-25八年级下全国单元测试)如图，P是反比例函数y=仁(k>0,x>0)图象上一动点，过点P分 别作x轴、拍的垂线，分别交镇、y轴于AB两点，交反比例函数y=气化，<0且<)的图象于点 E、F B K E K2 1 图① 图② (I)图①中，四边形PEOF的面积S=一（用含k、k的式子表示）· (②)图②中，设点P的坐标为(2,3). 13/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①k= ②点E的坐标为（一，一），点F的坐标为（一，—）（用含k的式子表示）； ③若k,=-2,求A0EF的面积. 能力提升 一、单选题 1-k 1.(25-26九年级上·安徽安庆期末)反比例函数y= 的图象在每个象限内，函数y随的增大而减小， 则k的值可以( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.(2026-湖南永州二模)当k>2时，反比例函数y= -2 的图象位于() A.一、二象限B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限 23 3.(25-26九年级上·广西北海期中)对于反比例函数y=,下列说法正确的是() A.图象经过点(3，-D B.图象位于第二、四象限 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.当x>0时，y随x的增大而增大 12 4 4.(25-26九年级上辽宁丹东期末)如图，两个反比例函数y= 龙和少=在第一象限内的图象分别是 C和C,设点P在C上，PA⊥x轴于点A,交C于点B,则△POB的面积为() A A.4 B.2 C.8 D.6 5.(2026湖南怀化模拟预测)如图，在直角坐标系内，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A在第二 象限，点B,C在第一象限内，对角线OB的中点为D,且点D,C在反比例函数y=二 -k≠D的图象上， 14118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若点B的纵坐标为4，则k的值为() D 0 A.1+V5 B.3-5 C.25-1 D.2W5+2 二、填空题 k-1 6.(2026广东模拟预测)反比例函数y= 的图象经过点(-3,3)，则k的值为 7.(25-26八年级下·上海杨浦期末)如果一个反比例函数的图像在它所在的每一个象限内，y的值随x的 值增大而减小，那么这个反比例函数的表达式可以是 （只需写一个）. 4 8。(25-26九年级上山东青岛阶段检测)在函数y=中，当x<-1时，y的取值范围是 9.(2026年陕西省中考数学试题)如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴上，点B在第一象限， 反比例函数y=x的图象经过矩形OABC的对称中心D·若矩形OABC的面积为12，则k的值为 D 0 10,(2025陕西威成阳模拟预测)如图。点8是反比例函数y=(x>0)图象上的点，点A是反比例函数 红>0图象上的点，线段B⊥轴于点c:若4BC-34C·对于反比例函数y冬 k x =x,当x=6时，y 的值为 15118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 三、解答题 11.(2025八年级下·全国·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，△ABC中， ∠ABC=90,∠A=303,4C=4:顶点4在x轴的正半轴上，AB1x轴，若双曲线y=元(k≠0)交边 AC于中点D,交边AB于点E, y 0 A (1)若OA=7,求k值： ②若AE-;AB,求k值以及点D的坐标. 3 12.(25-26八年级下·四川乐山阶段检测)已知双曲线y= 经过矩形ABCO边AB的中点F(4,),交BC 边于点E. (1)求k的值： (2)求四边形OEBF的面积. 13.(2025·贵州贵阳·二模)如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P 是正方形与反比例函数图象的一个交点，点Q是正方形与x正半轴的交点.己知点，6)在该反比例函数的 16118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图象上. (1)求这个反比例函数的表达式： 6 (②)若PQ=行，求图中阴影部分的面积、 14,(2025江苏泰州三模)在平面直角坐标系0，中，如图，点4为函数y-（x>0,k>0)图象上一动 点，过点A作y轴的平行线交直线y=-x+4于点B,点P坐标为(a,a)(a>0).当a=2√2时，点P恰好落 在y=二的函数图象上. VA VA B 备用图 (1)求函数y= (x>0)的关系式： (2)若△ABP是以BP为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标： (3)在点A运动过程中始终存在一点P,使AB=AP恒成立，求a的值， 15.(25-26九年级上辽宁沈阳期中)在函数的学习中，我们经历了“函数表达式-画函数图象-利用函数 4 图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数y= x-1的图象 性质。 (1)根据题意，列表如下： … -3 -1 0 2 y 1 2 … -4 -2 -1 17118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象： (2)观察图象，发现： ①当x>1时，y随x的增大而一（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为一； ③图象上的点4(3，-2)关于对称中心对称的点的坐标为一： )函数为=+2的图象可由函数y=- 4 -的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数 x-+2图象，直接写出当y≥-2时，x的取值范围是 18/18 专题1.2 反比例函数的图象与性质 教学目标 1. 能用描点法画出反比例函数y = 的图象，理解其图象为双曲线。 2. 探索并掌握反比例函数y = 的性质（ k > 0 与k < 0 时图象所在象限、增减性）。 3. 能根据反比例函数的图象及性质解决简单的实际问题，体会数形结合思想。 教学重难点 重点： 1. 掌握反比例函数图象的形状、位置（由k的符号决定）及增减性。 2. 能应用反比例函数的性质解决比较函数值大小、确定自变量取值范围等问题。 教学难点： 1. 理解反比例函数图象的“无限接近坐标轴但永不相交”的特征（渐近线）。 2. 综合运用反比例函数的图象与性质，结合实际问题进行分析与求解。 知识点01 反比例函数的图象与性质 1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质： 函数 图象 所在象限 增减性 一、三象限 在同一象限内，随的增大而减小 二、四象限 在同一象限内，随的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 【即学即练】 1．关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质.根据反比例函数解析式为，k=-2026<0，即可得到反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，由此即可判断． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，k=-2026<0， ∴图象与轴无交点，故B选项不符合题意； ∴反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，故A选项不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意； ∴如果点和点均在该函数的图象上，那么， 故选：D． 2．已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在这个函数图象上，不在这个函数图象上，理由见解析 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，得到，进行求解即可； （2）根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：在函数的每一支上，随的增大而增大， ， ． （2）点在这个函数图象上，不在这个函数图象上， 理由：， ． 这个函数的表达式为， ∵， 点在这个函数图象上， 当时，， 点不在这个函数图象上． 3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 题型01 判断(画)反比例函数图象 【典例1】函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 【变式1】函数的图象大致是（ ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 【变式2】函数在平面直角坐标系中的图形可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式可得反比例函数的图象在第二、四象限，即可得解． 【详解】解：∵函数，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 故选：C． 【变式3】一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 题型02 已知反比例函数的图象判断其解析式 【典例1】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 【变式1】如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据函数的图象的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：C． 【变式2】如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键，由图象可知，反比例函数，然后对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由图象可知，反比例函数， A中不是反比例函数，故不符合要求； B中是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求； C中是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求； D中不是反比例函数，故不符合要求； 故选：C． 【变式3】如图所示，其函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查的是反比例函数的图象，根据反比例函数的图象进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∴， ∴可能是． 故选：B． 题型03 判断反比例函数所在象限 【典例1】反比例函数的图像在第 象限，经过点（， ）． 【答案】 二、四 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，，当时，图像在一、三象限，当时，图像在二、四象限，正确掌握该性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图像在二，四象限． 将代入得，， ∴经过点． 故答案为：二、四；． 【变式1】反比例函数①、②、③、④的图像，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ． 【答案】 ①④ ②③ 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键；由反比例函数的性质可知：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，，然后问题可求解． 【详解】解：①，图像在第一、三象限； ②，图像在第二、四象限； ③，图像在第二、四象限； ④，，，图像在第一、三象限． 答案是∶ ①④；②③． 【变式2】反比例函数①、②、③、④的图象中，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ； 【答案】 ①②④ ③ 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，对于反比例函数来说，当时，反比例函数图象分别位于第一、三象限，当时，反比例函数图象分别位于第二、四象限．据此进行判断即可． 【详解】解：反比例函数①、②、③即、④的图象中， ∵， ∴在第一、三象限的是①②④，在第二、四象限的是③； 故答案为：①②④，③ 【变式3】关于的方程无解，则反比例函数的图象在第 象限． 【答案】一、三 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得，再判断反比例函数图象所在象限即可． 【详解】解：∵关于的方程无解， ， 解得：， ∴反比例函数图象在第一，三象限， 故答案为：一，三． 题型04 判断反比例函数的增减性 【典例1】在函数中，函数值随的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据在每一象限内，函数值随的增大而减小可得答案． 【详解】解：在函数中，函数值随的增大而减小， 故答案为：减小 【变式1】函数中，在每个象限内，y随x的增大而 ． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，图象在每一象限内，y随x增大而减小，当时，图象在每一象限内，y随x增大而增大．据此即可求解． 【详解】解：∵函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 【变式2】若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据解析式判断反比例函数的增减性，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 待定系数法求反比例函数解析式可得的值，根据即可得增减性． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 即； 又∵ ∴在图象的每一支上，随的增大而减小． 故答案为：减小． 【变式3】下列函数：①；②；③；④；⑤．随的增大而减小的是 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】本题综合考查一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），分别根据一次函数的性质、反比例函数及二次函数的性质对各小题进行逐一解答即可． 【详解】解：①，是一次函数，，故y随着x增大而减小，故符合题意； ②，是正比例函数，，故y随着x增大而增大，故不符合题意； ③即，是反比例函数，，在一、三象限内，y随x的增大而减小，故不符合题意； ④是反比例函数，，在第三象限内，y随x的增大而减小，故符合题意； ⑤，是反比例函数，，在二、四象限内，y随x的增大而增大，故不符合题意． 故答案为：①④． 题型05 已知反比例函数分布的象限求参数范围 【典例1】若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m= ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质根据反比例函数的定义和图像经过的象限确定即可确定m的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，即， ∵函数图像经过第二、四象限， ∴，即， ∴． 故答案为． 【变式1】若反比例函数的图象位于第一、三象限，则实数的值可能为 （写出一个即可）． 【答案】6（满足即可） 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，；当时，图象在二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， ∴符合题意的k的值可以为6， 故答案为：6（满足即可）． 【变式2】若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：. 【变式3】已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出k的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限， ∴， 解得，； （2）∵点在该反比例函数的图象上， ∴， 解得，． 题型06 已知反比例函数的增减性求参数 【典例1】反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1】已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【点睛】解：∵反比例函数的图象上两点，，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据，且，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据，且， ∴即， 解得， 故答案为：． 【变式3】已知反比例函数． (1)若该函数经过，求k的值； (2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求解； （2）构建不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，把代入解析式， 得，， 解得，； （2）解：函数图象的每一支，y随x的增大而减小， ， 解得，． 题型07 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例1】已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 【变式1】在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【变式2】如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】此题主要考查反比例函数的图像和性质，直接根据反比例函数的对称性和k的几何意义即可求解. 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知， ∵是面积为5， ∴的面积是2.5， ∴， ∵双曲线位于二、四象限， ∴k＝． 故答案为：. 题型08 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例1】已知点、、在反比例函数的图象上，并且，则、、的大小关系为 （用<号表示） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟悉掌握反比例函数的增减性是解题关键． 在反比例函数中，，根据反比例函数的增减性即可确定． 【详解】∵在反比例函数中，， ∴在每一个象限内，随着增大而增大， ∵， ∴、两点在第二象限，在第三象限， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式1】若图象上有三个点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵点在反比例函数图象上，且， ∴； 故选C． 【变式2】反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． 【详解】解：由题意，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵反比例函数的图象经过点，，，， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征．函数图像上点坐标都满足该函数解析式．把点的坐标分别代入函数解析式，代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】解：点，，在函数的图象上， ，， 故答案为：． 题型09 判断反比例函数的图象和性质 【典例1】关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式得到反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大， ∴只有B选项符合题意， 故选：B ． 【变式1】关于反比例函数 ，下列说法错误的是（   ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像及性质是解题关键．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于反比例函数，当时，可有， 即图像经过点， 因为，所以图该函数像位于第一、三象限，当时，y随x的增大而减小， 当时，， 故选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式2】已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 先求出关系式，再根据反比例函数图象的性质逐个分析即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为. 所以反比例函数的图象位于第一，三象限；在每一个象限内，函数值y随着x的增大而减小；当时，；当时，，可知点在反比例函数的图象上， 所以正确的是D， 故选：D. 【变式3】已知反比例函数，则下列结论不正确的是（   ） A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B．图象关于原点成中心对称 C．若、为函数图象上两点，且则 D．图象关于直线成轴对称 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵反比例函数， ∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，原选项正确，不符合题意； 、图象关于原点成中心对称，原选项正确，不符合题意； 、若、为函数图象上两点，当，则，当，则；当，则，原选项不正确，符合题意； 、图象关于直线成轴对称，原选项正确，不符合题意； 故选：． 题型10 反比例函数的图象和性质综合 【典例1】已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解； （2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 【变式1】（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）上升；变大 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，画反比例函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． （1）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （2）根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）列表： x … … y … 1 2 3 6 … 函数图象如答图： （2）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当x由小变大时随之变大． 故答案为：上升；变大． 【变式2】探究函数的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中______； x … 0 2 3 … y … 1 2 4 4 m 1 … (3)如图，根据（2）中表里各组对应值，请把图象补充完整； (4)若是函数图象上的两点，则______． 【答案】(1) (2)2 (3)见解析 (4) 【分析】（1）只需要求出分母不为0时自变量的取值范围即可； （2）把代入函数解析式求出y的值即可； （3）先描点，再连线，画出函数图象即可； （4）根据函数图象可得P、Q关于直线对称，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，函数的自变量x的取值范围是，即， 故答案为：； （2）解：在中，当时，， ∴， 故答案为：2； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：由函数图象可知，函数的函数图象关于直线对称， ∵是函数图象上的两点， ∴P、Q关于直线对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)列表：与的部分对应值如表，则_____，_____； ．．． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 4 ．．． ．．． (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称； ②函数的图象可由的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围_____． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①；②左，1，或 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象，函数图象的平移规律，与不等式的关系等知识点． （1）将，分别代入，即可求解； （2）由函数图象平移规律可求解该函数图象的对称中心，以及函数平移的平移方式，的解集转化为的图象在直线下方时，对应的的取值范围，再结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）解：作图如下： （3）解：∵函数的图象可由的图象向左平移1个单位长度得到，而 的对称中心为， ∴平移后的函数图象的对称中心为， 如图： 当时，， 解得：， ∴， 即， ∴， ∴不等式的解集为函数的图象在直线下方时，对应的的取值范围， ∵对称中心为， ∴由函数图象可得：不等式的解集为或， ∴时，的取值范围或， 故答案为：①；②左，1，或． 一、单选题 1．（25-26八年级下·上海普陀·期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 2．（2026·重庆北碚·二模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 3．（2026·湖南永州·二模）若点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的函数值计算与大小比较，将各点横坐标代入函数解析式求出对应y值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在的图像上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得： ，，， ∵， ∴． 4．（2026九年级下·重庆·专题练习）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数解析式，依次验证各选项即可得到正确结论. 【详解】解：A选项：把代入解析式， 可得：， 反比例函数的图象不经过点， 故A选项错误； B选项：反比例函数中， 反比例函数图象位于第二、四象限， 故B选项错误； C选项：反比例函数中， 当时，随的增大而增大，不是减小， 故C选项错误； D选项：当时，， ， 又，可得：， 两边同乘，不等号方向改变， 可得：， 即， ， 故D选项正确． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数性质，正确的运算是解题的关键． 将点坐标代入求得，再利用正方形性质得到得到相关坐标． 【详解】解：点的坐标为，且在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． 点在反比例函数的图象上， 可设， ， 解得，． ， ． 故选： D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·上海崇明·期末）某函数符合如下条件：①图像经过；②当时，随的增大而减小．请写出一个满足条件的函数表达式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，满足要求的函数可以为反比例函数，可设反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可，确定函数类型再求解是解题关键． 【详解】解：选择反比例函数进行求解，设函数表达式为， 函数图象经过点， 将代入得， 满足条件的函数表达式可以为 7．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置与增减性，结合已知的取值范围计算端点对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， 图象在第二象限， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，得到反比例函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：对于反比例函数，其比例系数， 任意实数的平方非负，即， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. 点，满足， 两点都在第三象限的函数图象上， ． 9．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 10．（2023·山东菏泽·模拟预测）如图，已知点在双曲线上，将线段沿轴正方向平移，若平移后的线段与双曲线的交点恰为的中点，则平移距离长为______． 【答案】3 【分析】直接利用平移的性质以及反比例函数图象上点的坐标性质得出D点坐标进而得出答案． 【详解】解：设双曲线的函数解析式为：， ∵点在双曲线上， ∴， ∵平移后的线段与双曲线的交点恰为的中点， ∴D点纵坐标为：1， 过点A作轴，过点D作轴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，即， ∴． 三、解答题 11．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知某反比例函数的图像经过点． (1)这个函数的图像位于哪些象限？ (2)若、也在这个函数的图像上，求、的值． 【答案】(1)这个函数的图像位于二、四象限； (2)． 【分析】（1）把代入反比例函数解析式求出k的值，即可得到答案； （2）反比例函数表达式为：．把、代入进行解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为： ∵反比例函数的图像经过点， ∴ ∴这个函数的图像位于二、四象限； （2）解：∵ ∴反比例函数表达式为：． 把、代入上式， 得 12．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知反比例函数． (1)若点在反比例函数的图象上，则的值为______； (2)当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性，已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将点代入反比例函数中，求出k即可； （2）根据在每一象限内，的值随值的增大而减小，得到关于k的不等式求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：2； （2）∵反比例函数，在每一象限内，的值随值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴当时，在每一象限内，的值随值的增大而减小． 13．（2026·河南平顶山·三模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：延长 交轴于点，由题意得轴， 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，P是反比例函数图象上一动点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数且的图象于点E、F． (1)图①中，四边形的面积______（用含、的式子表示）． (2)图②中，设点P的坐标为． ①______； ②点E的坐标为（______，______），点F的坐标为（______，______）（用含的式子表示）； ③若，求的面积． 【答案】(1) (2)①6；②，；③ 【分析】本题主要查了反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，，再根据四边形的面积，即可求解； （2）①把点P的坐标代入，即可求解；②根据轴，轴，可得点E的横坐标为2，点F的纵坐标为3，即可求解；③根据题意可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵点E，F在反比例函数的图象上，点P在反比例函数图象上，且轴，轴， ∴，， ∴四边形的面积； 故答案为： （2）解：①∵点P的坐标为，且点P在反比例函数图象上， ∴， ∴； 故答案为：6 ②∵轴，轴，点P的坐标为， ∴点E的横坐标为2，点F的纵坐标为3， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点E的坐标为，点F的纵坐标为； 故答案为：， ③∵点E的坐标为，点F的纵坐标为，点P的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点P的坐标为，且点P在反比例函数图象上， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）反比例函数的图象在每个象限内，函数随的增大而减小，则的值可以(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质；由反比例函数的性质列出不等式，解出的范围，即可判断． 【详解】解：根据题意，， 解得， ∴满足题意， 故选：D． 2．（2026·湖南永州·二模）当时，反比例函数的图象位于（   ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】B 【分析】求出即可根据反比例函数图象与系数的关系求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， 故选B． 3．（25-26九年级上·广西北海·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，由于比例系数，图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，解答即可。 本题考查了反比例函数的性质，图象的分布，熟练掌握图象的分布和性质是解题的关键。 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 图象位于第一、三象限，不在第二、四象限， ∴ B错误； ∵ 当 时，函数处于第三象限，且， ∴ y 随x的增大而减小， ∴ C正确； ∵ 当时，函数处于第一象限，且， ∴ y 随 x 的增大而减小，不是增大， ∴ D错误。 故答案为：C。 4．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 故选：A． 5．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，在直角坐标系内，正方形的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线的中点为D，且点D，C在反比例函数的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，反比例函数的图像和性质，构造全等三角形是解题的关键．作轴于点，过作轴于，设，证明，求出各点坐标，得到即可得到答案． 【详解】解：作轴于点，过作轴于， 设，则， 四边形是正方形， ， ， 轴， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的中点， 也是中点， ， 点D，C在反比例函数的图象上， ， 即， 点B的纵坐标为4， ，即， 联立方程组， 解得或（舍去）， ， ． 故选C． 二、填空题 6．（2026·广东·模拟预测）反比例函数的图象经过点，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入求解即可． 【详解】解：将代入得： ， ， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）如果一个反比例函数的图像在它所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个反比例函数的表达式可以是________（只需写一个）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质，确定比例系数的取值范围，即可写出符合要求的反比例函数表达式. 【详解】解：设反比例函数的解析式为. ∵反比例函数的图像在它所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小， ∴. 取，可得这个反比例函数的表达式可以是. （答案不唯一） 8．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）在函数中，当时，的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．根据反比例函数的性质，结合自变量 x 的取值范围，分析函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵函数 是反比例函数，比例系数 ， ∴函数图像位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵当 时，， ∴当 时，，且 y 为正数， 因此，y 的取值范围是 ， 故答案为：． 9．（2026年陕西省中考数学试题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，点B是反比例函数图象上的点，点A是反比例函数图象上的点，线段轴于点．若，对于反比例函数，当时，的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中系数的几何意义，熟练掌握和运用反比例函数中系数的几何意义是解决本题的关键． 设，点的横坐标为，利用求出，再利用求出值即可． 【详解】解：设，点的横坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴， 当时，的值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，中，，顶点A在x轴的正半轴上，轴，若双曲线（）交边于中点D，交边于点E． (1)若，求k值； (2)若，求k值以及点D的坐标． 【答案】(1) (2)，点D的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，直角三角形的性质，勾股定理，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征． （1）过点C作轴于F，求得点的坐标，再利用中点公式求得点坐标即可解答； （2）过点C作轴于F，设，则，再利用中点公式表示点坐标，利用点D，E均在双曲线（）上，列方程即可解答； 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于F， 轴，轴, ∴四边形为矩形， ， 在中，， ∴，由勾股定理得：， ， ， ， ∴点， ∵点D为的中点， ∴点D的坐标为， ∵点D在双曲线（）上， ∴； （2）解：如图，过点C作轴于F， 由（1）可知： ，， ， ∴设，则， ∴点，点，点， ∵点D为的中点， ∴点D的坐标为， ∵点D，E均在双曲线（）上， ∴，解得：， ∴， ∴点D的坐标为． 12．（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 13．（2025·贵州贵阳·二模）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点，点是正方形与正半轴的交点．已知点在该反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、正方形的性质，掌握反比例函数关于原点对称的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求反比例函数的表达式即可； （2）由得到点的纵坐标为，代入到得出点的坐标，进而得出点的坐标，计算得出正方形的面积，再根据反比例函数关于原点对称的性质，可得阴影部分的面积正好是正方形面积的，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 代入点到，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：轴，， 点的纵坐标为， 代入到，则，解得， ， ，则， 正方形的面积为， 反比例函数的图象关于原点对称， 阴影部分的面积正好是正方形面积的， 阴影部分的面积， 图中阴影部分的面积为25． 14．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 【答案】(1) (2)点或 (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及等腰直角三角形的性质等，处理数据和利用绝对值是解题的关键． （1）把点代入，得到，于是得到结论； （2）设点，则点，根据，得到，解方程即可得到结论； （3）设点，点，根据，得到方程，化简整理得到，因为上式恒成立，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：点在的函数图象上， ， 函数的关系式为； （2）解：设点，则点， ， 则， 解得：或或（舍去）， 即点或； （3）解：设点，点， ， 则， 即， 因为上式恒成立， 则， 解得：． 15．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）在函数的学习中，我们经历了“函数表达式-画函数图象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： … 0 … 2 3 5 … … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______； ③图象上的点关于对称中心对称的点的坐标为______； (3)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是______． 【答案】(1)图象见详解 (2)①增大；②；③ (3)或 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据描点、连线可作出函数图象； （2）根据（1）中函数图象可分别求解①②③； （3）由题意先得出当时，x的值，然后借助（1）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：该函数的图象如图所示： （2）解：①当时，y随x的增大而增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为； ③图象上的点关于对称中心对称的点的坐标为； 故答案为增大；； （3）解：当时，则有，解得：， 结合（1）中函数图象可知：当或时，； 故答案为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $