专题2.5 一元二次方程的根与系数的关系（5大题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），前承求根公式推导逻辑，后接对称式求值、参数问题等应用，通过知识点梳理、题型分类搭建学习支架，助力学生系统掌握定理内容及使用条件。 资料亮点在于强化推导过程的推理意识，设计“即学即练”与多题型变式，培养运算能力与模型观念。课中辅助教师分层教学，课后综合练习帮助学生查漏补缺，有效提升代数推理与问题解决能力。

专题2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教学目标 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），理解定理的推导过程：若x1, x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1+x2=，x1x2=。 2. 能利用韦达定理，在不求解方程的情况下，求与两根相关的代数式的值（如 x12+x22、 等）。 3. 能运用韦达定理解决与方程根有关的参数问题及实际问题，发展代数推理能力。 教学重难点 重点： 1. 一元二次方程根与系数关系的定理内容的理解与记忆。 2. 运用韦达定理求与两根相关的对称式与参数的值。 教学难点： 1. 理解韦达定理的推导过程中代数变形的逻辑，特别是从求根公式到和与积的推导。 2. 在复杂问题中（如含参方程），灵活运用韦达定理建立等量关系并求解。 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【即学即练】 1．方程的两个根为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据，可求出m的值；再由，即可求出答案． 【详解】解：∵方程的两个根为，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．已知一元二次方程的两根分别为和， (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题． （1）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）将变形后再代入即可求得结果． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根分别为和， ，； （2）解：， ， ， 知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧；⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【即学即练】 1．已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式，方程有实数根可证得结论； （2）根据根与系数关系得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴不论取何值时，该方程总有实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根、， ∴，又， ∴，即， 解得． 2．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ①， ②． 材料2：如果实数m，n满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 材料3：若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”． 请根据上述材料解答下面问题． (1)填空：① ； ② ． (2)若实数m，n满足：，，则 ． (3)判断方程（“是”或“否”）是“差根方程”． (4)若关于x的方程：（b，c是常数）是“差根方程”，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)方程是“差根方程” (4)48 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，新定义“差根方程”，二次函数的性质． （1）根据韦达定理即可求得答案； （2）将m，n看作方程的两个根，结合韦达定理求得，，再将所求式子变形得，最后代入求值即可； （3）设，是方程的两个根，根据韦达定理求得，，再由，代入可求出的值，再根据“差根方程”的定义判断即可； （4）设，是方程的两个实数根，则，，再根据差根方程的定义得，进而得，代入得，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意知，，， 故答案为：，； （2）解：可以将m，n看作方程的两个根， 则，， ∴ 故答案为：； （3）解：设，是方程的两个根， 则，， ∴， ∴， ∴方程是“差根方程”； （4）解：设，是方程的两个实数根， 则，， ∵关于x的方程：（b，c是常数）是“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴的最大值为48． 题型01 利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】已知是一元二次方程的两根，且 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．直接利用根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为： 【变式1】若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程根与系数关系即可求解． 【详解】解；∵ ∴， ∴ 故答案为：11 【变式2】若是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3】若关于的方程的两根分别是，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，由此可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程的两根分别是，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】设、是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 【变式2】若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】已知一元二次方程的两个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题的关键．将转化为，根据一元二次方程根与系数的关系即可进行求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为、， ∴， ∴， 故答案为：． 题型03 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 【典例1】设、是方程的两个根，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，，再求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式1】已知是关于的一元二次方程的两个实数根．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两个关系式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式大于或等于0求解即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程的根的判别式， 解得， 所以实数的取值范围为． （2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 【变式3】已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系． （1）由一元二次方程有实数根可得，解不等式即可； （2）由和是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得，，又由，可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵和是方程的两个实数根， ∵，， ∴， ∴， 解得：． 题型04 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假 【典例1】对于一元二次方程下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识． 根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若c是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根， 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C． 【变式1】对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（   ） ①若，则； ②若关于x的方程没有实数根，则； ③代数式有最小值； ④若关于x的方程的解为p和q，则的值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】配方法的应用、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据可得，据此解方程即可判断①；根据题意可得关于x的方程没有实数根，据此利用根的判别式求解即可判断②；，据此可判断③；关于x的方程的解为p和q，则，进而根据完全平方公式的变形得到，再根据即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或，故①说法错误； ∵关于x的方程没有实数根， ∴关于x的方程没有实数根， ∴关于x的方程没有实数根， ∴， ∴，故②说法正确； ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为，故③正确； ∵关于x的方程的解为p和q， ∴关于x的方程的解为p和q， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴或，故④错误， 故选B． 【变式2】对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 【变式3】在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 一元二次方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根， ，故①错误； ②若方程的两根之积为，则，得到，故②正确； ③方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故③正确； ④由是方程的一个根，得，即． 当，则；当，则不一定等于，故④不一定正确． 综上所述：正确的有个； 故选：B． 题型05 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题 【典例1】已知：关于x的方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的根，且，求p的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）直接根据根的判别式证明即可； （2）根据由题意得，，求出，解方程即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴方程必有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，， ∵， ∴． ∴． 解得． 【变式1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根; （1）先把方程，变形为，得出，即可得出答案； （2）先把方程，变形为，然后计算两根之和以及两根之积，代入求值的代数式计算即可． 【详解】（1）证明：整理原方程得，， ， 无论为何实数，总有，从而， 即． 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得方程整理得， 方程的两个实数根、， ，，， ， 解得． 【变式2】已知关于的一元二次方程为． (1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根； (2)若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于的二元一次方程，最后求解即可 【详解】（1）证明：， 不论为何值，方程一定有实数根； （2），是该方程的两个不同的根， ，， ， 化简得：， 解得：，． 【变式3】已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)当时，该方程根的判别式_____； (2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (3)若该方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)13 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）首先得到方程，然后根据判别式求解即可； （2）证明出即可； （3）首先由根与系数的关系得到，，然后将展开整体代入求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴ ∴； （2）证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （3）解：由根与系数的关系，得，． ， ． ，即． 解得，． 一、单选题 1．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为,，利用计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，， 则方程的两根之积为． 2．（2026·江苏常州·一模）一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为、，则． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原方程的另一个实数根为，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设原方程的另一个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个实数根为． 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 二、填空题 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）设方程的两根分别是、，则______． 【答案】 【分析】由题意可得，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵方程的两根分别是、， ∴，，且，符合题意． ∴． 6．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 7．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程的两实数根是，，且满足，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得和． 又，代入得， 解得．则． 所以， 即， 解得． 故答案为：． 8．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，根据一元二次方程根的定义可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，即的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 三、解答题 9．（25-26九年级上·广东广州·期中）若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)_____，_____； (2)． 【答案】(1)5，3 (2)2 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案； （2）利用一元二次方程的定义得到，再利用整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵方程的两根为，， ∴，， 故答案为：5，3； （2）解：∵为方程的根， 则即， ∴. 10．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 【答案】(1) 2， (2) (3) 8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系（）代入求值即可； （2）运用乘法公式变形计算即可求解； （3）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根、， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴原式． 11．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知关于的一元二次方程，有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据根与系数的关系得，，然后将原式变形为代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ， ， 解得，， ， 的值为4． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【答案】(1)不是 (2)-6或-8 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，根据 “差1方程”的定义可得，即可求出或，再结合“差1方程”的定义检验即可. 【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程不是“差1方程”； （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”. 一、单选题 1．（2026·河北保定·二模）若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原方程整理为一般形式，根据两根之和为m，两根之积为n，得，，计算出的值进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程，即的两根之和为m，两根之积为n， ∴，， ∴，． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如果关于x的一元二次方程 的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由，，求出p 和 q，即可写出这个一元二次方程．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为 , ， ∴ ，得 ， ， 得 ， ∴这个一元二次方程为 ， 故选：B． 3．（25-26八年级下·北京顺义·期中）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求式子利用完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，若 是方程的两个实数根，则 ，， 已知方程为 ， ∴ ，，， ∴ ，， 又∵ ， 代入得：． 4．（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出方程求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 解得． 5．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③如果存在实数m、n（），使得，则； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式，熟练掌握一元二次方程根的定义、判别式与根的关系以及二次函数的性质是解题的关键．依次对每个说法进行分析判断，根据一元二次方程的相关性质，如判别式、方程的根的定义等进行推理． 【详解】解：①∵方程有两个不相等的实根， ∴，即，对于方程，判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故①正确． ②∵是方程的根，∴，即， ∴，故②正确． ③取反例：设，则方程为，取，有，，相等，但，故③错误． ④∵是方程的根，∴，即，∴或，不一定总有，故④错误． 综上，①②正确，选A． 二、填空题 6．（2026·贵州·模拟预测）若m，n是方程的两根，则的值是______． 【答案】 【分析】先将原方程整理为一般形式，再利用根与系数的关系直接计算两根之和即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， ，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得，． 7．（25-26九年级上·湖南永州·期末）已知关于x的方程，则___，___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项，再代入根与系数的关系公式计算即可求解． 【详解】解：对于一元二次方程，根据根与系数的关系可知，， 在方程中，，， 则， 故答案为：，． 8．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）已知实数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】 【详解】解：原方程整理得， ∴由一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 9．（2026·江苏泰州·一模）设关于x的方程的两根分别是、，则代数式的值为______． 【答案】2027 【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，进而可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将原式变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：方程的两根分别为， ，， ， ． 10．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点． （1）直接写出方程的根序点的坐标为_____； （2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____． 【答案】 1或 【分析】（1）解方程得，根据根序点定义得到点的坐标为； （2）先确定方程有两个不相等的实数根，，由根序点在直线上，满足直线方程：，整理得：，再根据根与系数的关系列方程求解检验即可． 【详解】解：（1）解方程得， ∴根据根序点定义：，横坐标：，纵坐标：， ∴根序点的坐标为； （2）方程有根序点， 该方程有两个不相等的实数根， ， 根序点在直线上， 满足直线方程：，整理得：， 对于方程，由根与系数的关系得：， ， 整理得：， 解得：， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求， 的值为1或． 三、解答题 11．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分后代值计算即可． （2）将所求代数式通分后代值计算即可． （3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴ ， ． 12．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)是直角三角形，它的斜边，直角边a，b长是方程的两根，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）计算方程根的判别式并得出大于零即可． （2）根据勾股定理得，并变形有，根据根与系数的关系得，，再代入进去结合三角形边的属性则可求出m的值，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由， ∴， ∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是直角三角形，它的斜边， ∴， ∴， ∵直角边a，b长是方程的两根， ∴，， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，完全平方公式的变形，三角形边的性质，熟练掌握根的判别式和勾股定理是解题的关键． 13．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知1是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根； (3)若方程的两个实数根是，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 (3)不存在满足条件的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接运用根的判别式证明方程根的情况即可； （2）利用根的定义可求得的值，然后代入方程求解即可； （3）利用根与系数的关系式得到，然后再运用完全平方公式转化后，将代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，代入方程可得， ∴，即，即方程的另一个根为3． （3）解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， ∵， ∴方程无实数解，即不存在满足条件的值． 14．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：_____． (2)已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____． 【答案】(1) (2)，互为倒数，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、解的概念，熟练掌握“友好方程”的定义是解题的关键． （1）根据给出的定义进行求解即可； （2）根据根与系数的关系求出的解，根据求根公式证明两根的关系即可； （3）对方程式进行整理，根据整体思想和“友好方程”的两根的数量关系进行求解即可． 【详解】（1）解：的“友好方程”为， 故答案为：； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系得， ， ∴， 则， ∴； ，与互为倒数，证明如下： 当时，根据求根公式得， ，； ，； ， ； ∴原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； （3）解： 根据“友好方程”的两根的数量关系得出的根为 ， ∴的两个根为， 整理得， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）【定义】我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是（1）写出一元二次方程的“友好方程”是______． 【探究】（2）已知一元二次方程的两根为，则它的“友好方程”的两个根为______． 【猜想】（3）当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． 【证明】证明上面的猜想（4）∵方程的两根为， ；方程的两根为，①______；…请完成上述填空①，并补全证明过程．(备注：证明一组关系即可) 【应用】（5）已知关于x的方程的两根是， 请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为______． 【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数，（4），过程见解析；（5）． 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系，求根公式的应用，因式分解法解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义即可得出答案； （2）根据“友好方程”的定义得出方程的“友好方程”，求解即可； （3）根据求根公式得出方程的两根为，及其“友好方程”的两根为，，再求得，，即可得出答案； （4）同（3）的方法求解； （5）先根据“友好方程”的根的特点求出方程的两根是，将待求方程变为，把看成一个整体即可求解． 【详解】解：（1）依题意可得：一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ， 解得：，； （3）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， （4）∵ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； （5）解：关于的方程的两根为． ∵方程的两根是， ∴其“友好方程”的两根为． ，即， 将看作整体，则或， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.5一元二次方程的根与系数的关系 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01一元二次方程的根与系数的关系 2.知识清单 知识点02一元二次方程的根与系数的关系的应用 题型01利用一元二次方程根与系数的关系求值 一元二次方程的根与系 题型02通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 数的关系 题型03利用一元二次方程根与系数的关系求参数 3.题型精讲 题型04利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假 题型05与一元二次方程根与系数有关的解答证明题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），理解定理的推导过程：若x1,2 是方程abx)(a*0》的两个根，则X名. xix-a 教学目标 2.能利用韦达定理，在不求解方程的情况下，求与两根相关的代数式的值（如 x12+x32、 1+1 等)。 X1 X2 3.能运用韦达定理解决与方程根有关的参数问题及实际问题，发展代数推理能力。 重点： 1.一元二次方程根与系数关系的定理内容的理解与记忆。 2.运用韦达定理求与两根相关的对称式与参数的值。 教学重难点 教学难点： 1.理解韦达定理的推导过程中代数变形的逻辑，特别是从求根公式到和与积的推导。 2.在复杂问题中（如含参方程），灵活运用韦达定理建立等量关系并求解。 知识清单 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程x+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x,书，那么 +书b =9 a. 注意它的使用条件为≠0，≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程 的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商， 【即学即练】 1.方程x2-mx+3m=0的两个根为×1，x2,若x+x2=-1,则xx2= 2.已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根分别为X1和x2, (1)求x+x2和x·x的值： (2)求x+的值. 知识点02一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根.不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根： (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数： (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于1、2的对称式的值.此时，常常涉及代数式的一些重要变 1+1=出+ 形：如：①9+=G+)°-2x,②本，书·西：③x+x=+)； 玉+五-+x+七)-2 ④x书x3 :⑥年-，)=(+)-46； ⑥（3+C,+)=,+G+x,)+及：⑦x-=VG-)=VG+,)-4； 1+1=+-+)-2x ⑧5xx (xx)2 :-x=±-=±VG+x)-4x, ⑩x+x,=V+)-V+号+2·x=Vx+x)-2xx+2x·, 4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程：以两个数2为根的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+为x2=0」 (⑤)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设一元二次方程aw+br+c=0(a≠0)的两根为、x,则 ①当△≥0且，>0时，两根同号. 当△≥0且x>0,x+名>0时，两根同为正数： 当△≥0且￥七>0，+七<0时，两根同为负数。 ②当△>0且xx,<0时，两根异号. 当△>0且￥，<0，X+>0时，两根异号且正根的绝对值较大： 当△>0且，<0，￥+<0时，两根异号且负根的绝对值较大. 要点： (1)利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的△.一些考试中，往往利 用这一点设置陷阱： (2)若有理系数一元二次方程有一根a+b,则必有一根a-历(a,b为有理数). 【即学即练】 1.已知关于x的方程x2-4x+4-m2=0(m为常数). (1)求证：不论m取何值时，该方程总有实数根： (2)若该方程的两个实数根×1、x2满足￥·=-6，求m的值. 2.阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的 关系，提出一元二次方程ar2+br+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的两根×1，x2有如下的关系（韦达定理）： x+x2=①，X=② 材料2：如果实数，n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则可利用根的定义构造一元二次方程 x2-x-1=0,然后将，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题. 材料3：若×1，，2是一元二次方程ar2+r+c=0(a≠0)的两个实数根，且满足：-x=1,则此类方程称 为“差根方程”. 请根据上述材料解答下面问题. (1)填空：①_：②· 11 2若实数，n满足：m+3m-5=0:2+3n-5=0(m≠n）,则m+月 (3)判断方程2x2-65x+13=0(“是”或“否”)是“差根方程”. 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)若关于x的方程：2xr2+bx+c=0(b,c是常数)是“差根方程”，求3b-4c2的最大值. 题型精讲 题型01利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】已知x,x2是一元二次方程x2+x-2=0的两根，且·x,= 【变式1】若一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是，x2,则+x2+xx2的值为. 【变式2】若m,n是方程x2-4x=2的两个根，则m+n-mn=」 【变式3】若关于x的方程x2+4x-2=0的两根分别是X1,x2,则x+x2-x2的值为一 题型02通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】设m、n是方程x2-x-2025=0的两个实数根，则m2-2m-n= 【变式1】已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的两个根，则(m+1(n+1)= b a 【变式2】若a,b是关于x的方程x2-x-3=0的两实数根，则。+6的值为一 【变式3】已知一元二次方程x2-5x+3=0的两个根为2，则+5的值为 题型03利用一元二次方程根与系数的关系求参数 【典例1】设X1、x2是方程x2+x+4=0的两个根，且x+x2-xx=2,则m= 【变式1】已知，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根.若2（出+x)+xx2+10=0, 则m的值为一· 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-2x+2k-1=0有实数根. (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x,,若(x+(x,+)=-1,求k的值. 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有实数根. 4/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求m的取值范围： (2)若两实数根分别为×1和2，且2+x2-x=6,求m的值. 题型04利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假 【典例1】对于一元二次方程ar2-bx-c=0(a≠0)下列说法： ①若方程的两个根是x=-l和x2=2,则2a-c=0: ②若x=c是方程的一个根，则一定有ac-b-1=0成立： ③若a+b-c=0,则它有一个根是x=-1; ④若方程有一个根是x=队m≠0)：则方程心+-a=0一定有一个实数根x= m 其中正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1】对于两个代数式，记M=3x,N=1,以下说法正确的个数是() ①若M2-N2-MN=11,则x=-1: ②若关于x的方程)M-N-2=x+m没有实数根，则m<-13 4: ③代数式M2+2M-N有最小值-2： ④若关于x的方程x2+M+N=0的解为p和4，则p2-9-p9的值为3V5-1. A.1 B.2 C.3 D.4 【变式2】对于一元二次方程ar+br+c=0(a≠0)，有下列说法：①若a-b+c=0,则方程 ax2+br+c=0(a≠0)必有一个根为l;②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程 ar2+br+c=0(a≠0)必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+br+c=0a≠0)的一个根，则一定有 ac+b+1=0成立：④若x是一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)的根，则b2-4ac=(2a,+b.其中正确 的是() A.只有② B.只有②④ C.只有②③ D.只有②③④ 【变式3】在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程Px2+9x+r=0(p≠0)来计算结构的受力 情况.对于这个方程，有下列说法： ①若p-9+r=0,则9-4pr>0: 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若方程px2+9r+r=0(p≠0)的两根之积为4，则r=4p; ③若方程pr2+r=0有两个不相等的实根，则方程px2+9r+r=0(p≠0)必有两个不相等的实根： ④若r是方程px+9r+r=0(p≠0)的一个根，则一定有pr+9+1=0成立. 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型05与一元二次方程根与系数有关的解答证明题 【典例1】已知：关于x的方程x2-5x+6-p2=0 (1)求证：方程必有两个不相等的实数根： (2)若x是该方程的根，且-4x+为=3，求p的值. 【变式1】已知关于x的一元二次方程(x-3(x-2)-m2=0 (1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根，B满足x+B=17,求m的值. 1 【变式2】已知关于x的一元二次方程为r-2m-m-40. (1)求证：无论m为何值，此方程一定有实数根： (2若X,七是该方程的两个不同的根，且满足+=m+2,求m的值。 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2-3x-m2+m+1=0(m为常数). (1)当m=-1时，该方程根的判别式△=一： (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根： 3)若该方程有两个实数根，，且(：+(3+)=5，求m的值 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26九年级下四川南充期中)一元二次方程2x2+x-2=0两根之积为() A.-2 B.-1 C.2 D.Z 2.(2026江苏常州一模)一元二次方程x2-2x+1=0的两根为、x2,则+2的值是() A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.(25-26八年级下江苏苏州期末)若关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个实数根为1，则另一实 数根为() A.-4 B.-3 C.2 D.3 4.(2026黑龙江绥化中考真题)已知，x2是一元二次方程x2+2x-9=0的两个根，则x+x2-2xx2的 值为() A.16 B.-16 C.20 D.-20 二、填空题 5.(25-26八年级下浙江宁波期末)设方程x2-2x-45=0的两根分别是x、,则·(：+x) 6.(2026四川眉山中考真题)若方程x2-4x-3=0的两个根是x,x2,则xx2+xx的值为 7.(25-26九年级上四川成都期末)已知关于x的一元二次方程x2-5x-k=0的两实数根是，x2,且 满足X=4x2,则k= 8.(25-26九年级下山东烟台期中)如果m,n是一元二次方程x2-x=5的两个实数根，那么多项式 m2-mn+n+1的值是 三、解答题 9.(25-26九年级上：广东广州期中)若方程x2-5x+3=0的两根为，x2,不解方程，求下列代数式的 值 (1)x+2=一，x2=一 7/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)X-4x+x2. 10.(25-26八年级上：上海浦东新期中)关于x的方程5x2-10x+2=0有两个实数根，、，请求下列各 式的值： (1)填空：x+x2= X·x2= (2)+x52+: 2+ 3) 11.(25-26八年级下·安徽阜阳期末)已知关于x的一元二次方程x2+3x+a-9=0,有两个实数根x, 2. (1)求实数a的取值范围： (2)若x号+4x+4x2=13,求a的值. 12.(25-26九年级上江苏泰州期末)定义：已知x,x2是关于x的一元二次方程ax2+br+c=0(a≠0) 的两个实数根，若-=1，则称这个方程为“差1方程”.比如，一元二次方程x2-3x+2=0的两根 为x=1,x=2,因为：-x=1,所以一元二次方程x2-3x+2=0为“差1方程”. 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程x2+4x-5=0_“差1方程”（填“是”或“不是”）： (②)若关于x的一元二次方程x+(k+9)x+k+8=0是“差1方程”，求k的值. 能力提升 一、单选题 1.(2026河北保定·二模)若一元二次方程x(x-2)=5的两根之和为m,两根之积为n,则下列说法正确 的是() A.m+n=2 B.mn=-5 C.mn=10 D.m+n=-3 2.(25-26九年级上全国期末)如果关于x的一元二次方程x+px+9=0的两根分别为x=3,x=1, 那么这个一元二次方程是() 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x2+3x+4=0 B.x2-4x+3=0 C.x2+4x-3=0 D.x2+3x-4=0 3.(25-26八年级下·北京顺义·期中)已知关于x的一元二次方程3x2+4x-3=0的两实数根分别为和x2, 则+x的值等于() 34 2 2 A.9 B.9 c. D.-3 4.(2026湖北襄阳·二模)若一元二次方程x2+2x-m=0的两根分别为x,若x+(x+x)=2,则 m=() A.-2 B.-3 C.3 D.-4 5.(25-26九年级上江苏连云港阶段检测)对于一元二次方程ax+bx+C=0(a≠0)，下列说法： ①若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根： ②若x,是一元二次方程axr2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2ax,+b)}2: ③如果存在实数m、n(m≠n)，使得am2+bm+c=an2+bn+c,则ax+br+c=a(x-m)(x-n): ④若c是方程ax+br+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立. 其中正确的有() A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题 6.(2026贵州模拟预测)若m,n是方程x2+2x=2026的两根，则m+n的值是 7.(25-26九年级上湖南永州期末)已知关于x的方程x2+2x-3=0,则+=一，6=一 8.(25-26九年级下河北邯郸期中)已知实数a,b是关于x的一元二次方程-2x2+7x=1的两个实数根 则代数式a(1-2b)+b的值是 9.(2026江苏泰州·一模)设关于x的方程x2-2026x-1=0的两根分别是、x,则代数式 x2-2025x+x2的值为一· 10.(25-26八年级下安徽安庆期中)定义：若关于x的一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x,(:<x),分别以x+1为横坐标、七-1为纵坐标得到点N(:+1),则称点N为该一元二次方 程的根序点。 (1)直接写出方程x2-2x-8=0的根序点P的坐标为一： 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若关于的一元二次方程+2x-30(m≠0)有根序点，且该根序点在直线v=x+2上，则m 为一 三、解答题 11.(25-26八年级下·浙江金华阶段检测)设，，七2为方程2x2-7x+2=0的两根，试求下列各式的值： 1+1 (四)x五 2+方 (②X1x 2+ 3)xV 12.(25-26九年级上辽宁抚顺阶段检测)已知关于x的一元二次方程-(m+8)x+4m+12=0(m为常 数). (1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)△ABC是直角三角形，它的斜边c=7,直角边a,b长是方程r-(m+8)x+4m+12=0的两根，求 △ABC的面积.。 13.(25-26九年级上四川遂宁阶段检测)己知关于x的一元二次方程-(k+2)x+2k-1=0. (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根： (2)已知1是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根： (3)若方程的两个实数根是xx2,且X+x2-xx2=-2,求k的值， 14.(25-26九年级上·辽宁沈阳阶段检测)定义：我们把关于x的一元二次方程x2+bx+c=0与 cx2+br+a=0(ac≠0，a≠c)称为一对“友好方程”.如2x2-7x+3=0的“友好方程”是3x2-7x+2=0. ()写出一元二次方程2+2x-8=0的“友好方程”：—， 1 (②已知一元二次方程x2+2x-8=0的两根为x=2,x=4,则它的“友好方程”的两根为5=2：x= 一；根据以上结论，猜想ax2+br+c=0的两根，x与其“友好方程”cx2+br+a=0的两根，x4之间 存在的一种特殊关系为一，证明你的结论 1 (3)已知关于x的方程2023x2+bx-1=0的两根是x=-1,占=2023·请利用(2)中的结论，写出关手x 的方程(c-1)°-bx+b=2023的两根为一· 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26九年级上河北保定阶段检测)【定义】我们把关于x的一元二次方程a2+br+c=0与 cx2+bx+a=0(ac≠0，a≠c)称为一对“友好方程” 【示例】如2x2+7x-3=0的“友好方程”是-3x2+7x+2=0.(1)写出一元二次方程12x2-7x+1=0的 “友好方程”是一 【探究】（②）已知一元二次方起2r-7x+1=0的丙银为5片七分，则官的“友好方程”的两个根为 【猜想】(3)当△=b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的两根x与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根 ,x4之间存在的一种特殊关系为一. (ac≠0，a≠c) 【证明】证明上面的猜想(4：方程2+x+C=0的两根为+V6-4aC 2a ,=b-1b-4ac 2a :方程 cr2+br+a=0的两根为5=-b+VB2-4a ,① 一；…请完成上述填空①，并补全证明过程.（备注： 2c 证明一组关系即可) 【应用】(5)已知关于x的方程2025r2+hx-1=0的两根是x=-1,名=2025请利用(2)中的结论， 写出关于x的方程x-1)2-bx+b=2025的两根为一. 11/11