专题1.1 反比例函数的概念（5大题型高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的概念，系统梳理其定义（两个变量乘积为非零常数，一般形式y=k/x，k≠0）、自变量取值范围及表达式确定方法，通过即学即练与题型分类（判断、求参数、求解析式等）搭建学习支架，形成从概念理解到应用的完整脉络。 资料以“即学即练”即时巩固和“典例+变式”分层训练为特色，如判断函数类型培养抽象能力与符号意识，待定系数法求解析式发展推理意识与运算能力。结合三角形面积、赛跑速度等实际问题渗透模型意识，课中辅助教师精准教学，课后练习题助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.1 反比例函数的概念 教学目标 1. 结合具体情境，理解反比例函数的意义，掌握其概念及一般形式 y = （k为常数，k≠0 ）。 2. 能根据实际问题中的条件，确定反比例函数的表达式，并体会其作为刻画现实世界中特定数量关系的数学模型的作用。 3. 进一步理解常量与变量的辩证关系和函数概念中蕴含的运动变化观点。 教学重难点 重点 1. 探索并理解反比例函数的概念。 2. 能根据已知条件确定反比例函数的表达式。 教学难点 1. 讨论两个变量之间的相互关系，深入理解反比例函数中 \( k \) 为定值的特征。 2. 通过对反比例函数的简单应用，初步形成数学建模意识和运动变化观点。 知识点01 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【即学即练】 1．把化为的形式： ，其中 ； 【答案】 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据反比例函数的形式变形即可． 【详解】解：由得，所以， 故答案为：，． 2．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有 （填序号）． 【答案】②⑤/⑤② 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：是的反比例函数的有，． 故答案为：②⑤ 3．若是反比例函数，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且，； 解得，又； ∴． 故答案为：． 知识点02 确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 【即学即练】 1．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为 ． 【答案】12 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．根据题意将点代入解析式，即可进行求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； 故答案为：． 2．已知与成反比例，当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的关系式． （1）根据与成反比例关系，且当时，求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式； （2）把代入求出x的值即可 【详解】（1）解：∵与成反比例关系， ∴， ∵当时，，即， 解得， ∴y与x的关系式为； （2）解：∵由（1）知y与x的关系式为， ∴当时，， 解得：． 题型01 根据定义判断是否是反比例函数 【典例1】下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一分析选项即可判断． 【详解】解：A．，不符合的形式，不是的反比例函数； B．可变形为，符合的形式，是的反比例函数； C．，不符合的形式，不是的反比例函数； D．，不符合的形式，不是的反比例函数． 故选：B． 【变式1】下列函数是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的概念：形如（且k为常数）的式子，也可写成的形式；据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：，，均是一次函数，是反比例函数， 故选：B． 【变式2】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义分析即可得出答案． 【详解】解：① ，是二次函数不是反比例函数；故①不符合题意； ②  ，是反比例函数，故②符合题意； ③，不是反比例函数，故③不符合题意； ④，是反比例函数 ，故④ 符合题意； ⑤ ，是正比例函数不是反比例函数，故⑤不符合题意； 综上所述，能表示y是x的反比例函数的有个． 故选：． 【变式3】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是的反比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义：形如（其中且为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 【详解】解：①，不是的反比例函数； ②，是的反比例函数； ③，是的反比例函数； ④，不是的反比例函数； ⑤，即，是的反比例函数； ⑥，不是的反比例函数； ⑦，是的反比例函数； ⑧，不是的反比例函数； 综上所述，是的反比例函数的有②③⑤⑦，共4个． 故选：D． 【变式4】判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 【答案】 ①③④ ② 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别．熟练掌握反比例函数定义是解题的关键．x，y相乘为一个常数，或者形如（）的函数为反比例函数，不属于上述两个形式的函数不是反比例函数． 根据反比例函数定义逐一判断即得． 【详解】解：①∵， ∴，是反比例函数； ②不是反比例函数； ③是反比例函数； ④符是反比例函数． 故答案为①③④；②． 题型02 根据反比例函数的定义求参数 【典例1】若是反比例函数，那么m的值是 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、利用平方根解方程 【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是反比例函数， ，且， ， 故答案为：． 【变式1】已知函数 是反比例函数，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．任意实数 【答案】B 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， 故选：B ． 【变式2】若函数是反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，则即可求解，解题关键是将一般形式转化为的形式． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如果函数是反比例函数，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 根据反比例函数的定义，只需令且即可． 【详解】解：因为函数是反比例函数， 所以， 所以， 故答案为：． 【变式4】已知是关于的反比例函数，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型03 求反比例函数的值 【典例1】已知反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】3 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将代入函数表达式解方程即可得到答案．熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，解得， 故答案为：3 ． 【变式1】已知反比例函数的图象经过点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得，解得． 故答案为：． 【变式2】已知函数．当时， ；当时， ． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题主要考查了求反比例函数的函数值，直接把和分别代入中，求出对应的y的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，； 当时，； 故答案为：1；． 【变式3】若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 把代入得：， 故答案为：． 【变式4】已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数的有关计算，根据得到，，根据得到，代入式子即可得到答案． 【详解】解：∵，两点都在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 题型04 由反比例函数值求自变量 【典例1】若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故答案为： 【变式1】已知反比例函数的图象经过点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得，解得． 故答案为：． 【变式2】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】求反比例函数值、由反比例函数值求自变量 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：0． 【变式3】若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．先将代入，求得该函数的解析式，再求得时，的值即可得到答案． 【详解】解：的图象经过点和， ， 该函数的解析式为， 当时，，即 故答案为：2． 【变式4】已知y与成反比例，且当时，，那么当时， ． 【答案】/ 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例关系，设，根据时，，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：． 题型05 求反比例函数的解析式 【典例1】若y与x成反比例关系，且时，，求y与x的函数表达式． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据题意，设反比例函数的解析式为，把，，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得：， ∴， ∴． 【变式1】一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式及通过解析式求函数值，解题的关键是掌握待定系数法． （1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入得 ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得 ． 【变式2】已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，掌握反比例数函数与正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数和反比例函数的定义，设函数关系式，再把当时；当时，，代入，即可求解． 【详解】解：∵与成反比例，与成正比列， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 即． 【变式3】函数（为常数）的图象过点． (1)求的值； (2)小明说：“该函数图象上的任意一点，若，则”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)不赞同，理由见解析 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键． （1）将代入求解即可． （2）取特殊值判断即可． 【详解】（1）解：根据题意将代入， 则， 解得：，． （2）解：不赞同 根据（1）可得，该函数图象上的任意一点，则， 当时，则有， 故小明说法不正确． 【变式4】已知，其中与成反比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)当时，求的值 【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程，求函数值，熟悉正比例函数的定义，根据题意列出方程组是解本题的关键． （1）设，，则，根据题意列出二元一次方程组，求出，即可得出答案； （2）把代入（1）所求函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：与成反比例， 设 与成正比例， 设 ， 当时，，当时，． ，解得 与x的函数表达式为； （2）解：当时，． 一、单选题 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，只需将函数整理为反比例函数的标准形式，即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的值是． 2．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 3．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的坐标特征，双曲线上任意一点的横纵坐标乘积满足，计算各选项点的横纵坐标乘积，找出乘积不等于的点即可． 【详解】∵ ， ∴ 双曲线上的点一定满足。 A. ，因此该点不在双曲线上，符合要求； B. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； C. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； D. ，因此该点在双曲线上，不符合要求． 4．（25-26九年级上·全国·周测）函数的图象上有两点，，且，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，解决问题的关键是得出． 根据反比例函数图象上点的坐标特征可得再根据可得，代入计算即可． 【详解】解：由题意，得，． 又，， ． 故选：C. 二、填空题 5．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】分别把点和点的坐标代入反比例函数的解析式，求出和的值，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）在反比例函数中，比例系数_____________，自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的标准形式确定比例系数，依据分式分母不为0的条件确定自变量的取值范围． 【详解】解：将给定的函数变形为，由此可得比例系数， 由于分式的分母不能为0，所以， 解得， 即自变量的取值范围是． 7．（2025·云南·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为________． 【答案】6 【分析】先设出反比例函数解析式，代入已知点求出的值，再将所求点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵该反比例函数的图象也经过点， ∴， 解得． 8．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】因为都在反比例函数的图象上，可知，把已知代入可求得的值，再通分后代入求解即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ， 且， ， ∴． 三、解答题 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： (1)三角形的面积是常数时，它的某一边的长是该边上的高的函数； (2)百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩（跑完全程的时间）的函数． 【答案】(1) 函数关系式为，是反比例函数 (2) 函数关系式为，是反比例函数 【分析】本题考查函数关系式的建立以及函数类型的判断： （1）根据三角形面积公式列函数关系式，再判断即可； （2）根据路程、速度和时间的关系列函数关系式，再判断即可． 【详解】（1）解：， ， 是常数且， 是常数且， 是的反比例函数． （2）解：， ， 是常数且， 是的反比例函数． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式计算即可； （3）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式解方程即可． 【详解】（1）解：是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则这个函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，； （3）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）下列各式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，需依据反比例函数（为常数，）的形式逐一判断选项． 【详解】解：A选项是正比例函数，不符合定义； B选项是一次函数，不符合定义； C选项是二次函数，不符合定义； D选项符合反比例函数的定义． 故选：D． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质，反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积恒等于k，据此计算乘积即可判断. 【详解】解：∵ ∴在反比例函数图象上的是. 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）若函数是反比例函数，则（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数形式为y（k为常数，）或（k为常数，）． 利用反比例函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：C． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数经过点，则的值是（   ） A．1 B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 将代入反比例函数解析式，通过解方程求解m的值即可． 【详解】解：∵点在函数上， ∴， 解得：． 因此，m的值为． 故选：B． 5．（2026·江苏宿迁·一模）已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像上点的坐标特征得，，，结合已知等式逐步推导，即可求出的值． 【详解】解：∵点，在图像上， ∴，， ∵点在图像上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）若是反比例函数，则_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是做题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：3． 7．（25-26九年级上·江苏南通·期中）点在反比例函数的图像上，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，将点代入反比例函数解析式，求解m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴代入解析式得：． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点，点都在反比例函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，代入点求得含参数的函数解析式是解题的关键； 利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点和点代入函数解析式，得到关于和的方程，再通过等量代换求出的值． 【详解】解：将点代入得，即， 将点代入得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 【详解】解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入得 ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得， ． 12．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在该函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． （1）将点代入函数解析式，即可求得m的值； （2）根据（1）中所求得到函数解析式，判断点是否满足该函数解析式即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得； （2）解：点在该函数图象上， 理由：由（1）得函数解析式为， 当时，，与点的纵坐标一致， ∴点在该函数图象上． 13．（25-26九年级下·湖南常德·期中）已知与成反比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，已知自变量的值，求函数值，正确求得解析式是解决本题的关键． （1）首先设，再把 ，代入，即可求得k，即可求得与的函数关系式； （2）把代入解析式，即可求得对应的的值． 【详解】（1）解：设， 因为当时，， 所以有， 解得 ， 所以． （2）解：当 时， ． 14．（25-26九年级上·天津南开·期末）已知，，完成以下填空． (1)y关于x的函数关系式为________； (2)①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2)①双曲，一、三；②；③6 【分析】（1）将代入即可； （2）①根据（1）中求得的函数解析式，确定函数图象及所经过的象限； ②根据三点的纵坐标，分别求出三点的横坐标，再比较大小即可； ③根据②求得的三点的横坐标，得出三点坐标，再求出这三点构成的三角形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴y关于x的函数关系式为， 故答案为：； （2）（2）①∵y关于x的函数关系式为， ∴y关于x的函数图象是双曲线， ∵， ∴它的图象在第一、三象限， 故答案为：双曲，一、三； ②解：在y关于x的函数图象上取点，和， 则，，， ， 所以， 故答案为：； ③解：由②，得，和， 的面积为． 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.1反比例函数的概念 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01反比例函数的定义 2知识清单 知识点02确定反比例函数的关系式 题型01根据定义判断是否是反比例函数 反比例函数的概念 题型02根据反比例函数的定义求参数 题型03求反比例函数的值 3.题型精讲 题型04由反比例函数值求自变量 题型05求反比例函数的解析式 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.结合具体情境，理解反比例函数的意义，掌握其概念及一般形式y=X(k为常 数，k0)。 教学目标 2.能根据实际问题中的条件，确定反比例函数的表达式，并体会其作为刻画现实世界 中特定数量关系的数学模型的作用。 3.进一步理解常量与变量的辩证关系和函数概念中蕴含的运动变化观点。 重点 1.探索并理解反比例函数的概念。 2.能根据已知条件确定反比例函数的表达式。 教学重难点 教学难点 1.讨论两个变量之间的相互关系，深入理解反比例函数中(k)为定值的特征。 2.通过对反比例函数的简单应用，初步形成数学建模意识和运动变化观点。 119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即 k y=k,或表示为y=x,其中k是不等于零的常数。 般地，形如y= :〈k为常数，K≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变 量x的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：)在y中，自变量是分式的分母，当下一0时，分式x无意义，所以自变量的取 值范围是x≠0，函数y的取值范围是y≠0.故函数图象与x轴、y轴无交点 k =x（k≠0)可以写成y=众14k≠02的形式，自变量x的指数是-1，在解决有关自变量指数 (2)y= 问题时应特别注意系数心≠0这一条件。 3)y=4 (k≠0)也可以写成y=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数人：从而得 到反比例函数的解析式. 【即学即练】 1.把=孟化为y-的形式： 一，其中k=一 2.下列函数：①y=2x-1:②y=-4 1 下：®6x:④y三：®y2其中，y是的反比例西数 的有 (填序号). 3.若y=(a-2)x是反比例函数，则a的值为 知识点02确定反比例函数的关系式 k y=- 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数x中，只有一个待定系数k,因 此只需要知道一对大'的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式 2/9 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： k (1)设所求的反比例函数为：y= xk≠0)： (2)把己知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程： (3)解方程求出待定系数k的值； y= (4)把求得的k值代回所设的函数关系式x中. 【即学即练】 k 1.已知反比例函数y=的图象经过点(3,4)，则k的值为 2.已知y-2与x+3成反比例，当x=3时，y=4. (1)求y与x的函数解析式： (2)当y=-2时，求x的值. 题型精讲 题型01根据定义判断是否是反比例函数 【典例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是() A.y=-4 B.y=4x C.y=4 x+2 D.y=4x 【变式1】下列函数是反比例函数的是() A.y=3x B.y=3x C.y=4'x D.y= 5 2 【变式习下列武子：Ovx；②y：®三k:四y=:同3其中能表示y是，的反比例 函数的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【凌武】列函：，2：②y-国，-：品：@w1@,=女：y是 ®士=1，其中)是，的反比例函数的有《) 319 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式4】判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ 2 ①0w=-3:②y=5-x:⑧y 5x:@④y=2a (a为常数且a≠0)： 解：其中 是反比例函数，而不是. 题型02 根据反比例函数的定义求参数 【典例1】若y=(m-2)x5是反比例函数，那么m的值是 【变式1】己知函数y=(m-1)x-2是反比例函数，则m的值为() A.1 B.-1 C.1或-1 D.任意实数 【变式2】若函数y=2x是反比例函数，则m的值是 【变式3】如果函数y=(m-1)x是反比例函数，那么m的值是 【变式4】已知y=(m+2m)小是关于x的反比例函数，则(m-2)2= 题型03求反比例函数的值 12 【典例1】已知反比例函数y=x的图象经过点P(4,m),则m= 【变式1】已知反比例函数y=-8 的图象经过点P(a,2),则。的值是一 【变式2】已知函数y= x·当x=-2时，y=一：当x=2时，y=一 【变式3】若反比例函数y（k≠0)的图象经过点4,2)和点BLm),则m的值为一 8 +2 【变式4】己知A(x,y)B(:,)两点都在反比例函数y=的图像上，若，=-2，则方无的值为- 题型04由反比例函数值求自变量 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 【典例1】若反比例函数y=-x的图象经过点(a,-3),则a的值为 8 【变式1】已知反比例函数y=~的图象经过点P(a,2),则a的值是一 【变式2】在平面直角坐标系0中，若函数y+0)的图象经过点a,3)和86,3》则g+6的值 为 【变式3】若函数y-k≠0)的图您经过点41,2)和Ba.-少，则n的值为 【变式4】己知y与(2x+3)成反比例，且当x=1时，y=5,那么当x=0时，y=一 题型05求反比例函数的解析式 【典例1】若y与x成反比例关系，且x=-1时，y=2,求y与x的函数表达式 【变式】一个反比例函数y-k+0)的图象经过点P42), (1)求该反比例函数的解析式. (2)当x=-1时，求y的值. 【变式2】已知y=+2,其中与x成反比例，与2x+1成正比例，且当x=1时，y=9;当x=-3时， y=-11,求y关于x的函数解析式， 变式3】函数y=(4为常数)的图象过点A(4,2),B(山，m (1)求k,m的值； (2)小明说：“该函数图象上的任意一点(a,b),若a<4,则b>2”,你赞同小明的说法吗？请说明理由. 【变式4】已知y=2-,其中y与x成反比例，2与x+2成正比例，当x=-1时，y=-2,当x=2时， y=10 (1)求y与x的函数表达式： (2)当x=4时，求y的值 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、 单选题 1. (25-26八年级下河南周口期中)反比例函数y=5元的k值是() 1 1 A.-5 B.-5 C.5 D.5 2.(25-26八年级下·河南周口阶段检测)下列关系式中，y是x的反比例函数的是（) A.y=3x B.y=- x C.y=3x+1 D.y=x' 6 3.(25-26八年级下甘肃天水期中)下列给出的各个点中，不在双曲线y=-二上的点为() A.(1,6) B.(2,-3) c.（-1,6) D.（-2,3) 4.(25-26九年级上全国周测)函数y=的图象上有两点4A(5,y)B(G⅓)，且%=-3，则片 的值为() A.12 B.6 C.-12 D.-6 二、填空题 3 5.(25-26九年级下陕西咸阳期中)已知点A(m,6)、B(-4,n)均在反比例函数y=的图象上，则m+n 的值为 2 6。（25:26八年级下全国课后作业)在反比例函数y=5元中，比例系数k三 自变量x的 取值范围是 7.(2025·云南模拟预测)已知反比例函数的图象经过点 -18,3 若该反比例函数的图象也经过点 (m,-1),则m的值为 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26九年级下陕西西安开学考试)点A(飞，小B(x,)都在反比例函数y=的图象上，若 五+ xx=4,则方方的值为 三、解答题 9.(25-26八年级下·全国课后作业)写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： ()三角形的面积S(cm)是常数时，它的某一边的长y(cm)是该边上的高x(cm)的函数： (2②百米赛跑中，某运动员的平均速度(ms)是他的成绩t(S)(跑完全程的时间)的函数。 10.(25-26八年级下·全国课后作业)已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8. (1)求这个函数的表达式： @球当=写时y的。 3 (3)当取何值时，y=2? 能力提升 一、单选题 1.(25-26九年级上河北保定期末)下列各式中，y是x的反比例函数的是() 5x A.y= B.y=2x+5 C.y=-3x2+8x D.y=3 2.(2526九年级上安微安庆期末)下列各点中，在反比例函数y=一图象上的是(） 12 A.(6,2) B.(3-4) C.（-2,-6) D.(4,-4) 3.(25-26九年级上北京课后作业)若函数y=3是反比例函数，则k=() A.1 B.-1 C.2 D.3 4.(25-26九年级上安微合肥期中)已知反比例函数y=(m≠0)经过点2026 -2026 则，的值是 m () 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.1 B.-1 C.2026 D.-2026 5.(2026江苏宿迁·一模)已知A(x,)、B(:,)C(s,y)三点，点AC在反比例函数y=元图像 上，点B在反比例函数图像上，若x+y2=1,x+乃=1，则x+y=（) A.-1 B.0 C.1 D.2 二、填空题 3 6.(25-26九年级上河南安阳阶段检测)若y=x是反比例函数，则m=一 7（25:26九年级上江苏南通期中)点(2，m)在反比例商数y=-10。 的图像上，则m的值是 8.（2526.上海期中)下列函数关系式：（1）’-3；（2）2：(3)y=2 5x 4)-1《⑤)y之其中表示y是的反比例函数的泉 (填入序号)· 9.(25-26九年级上山东聊城期末)在平面直角坐标系xOy中，点A(3,m),点B(m,2)都在反比例函数 y=(≠0)的图象上，则所的值为 10。(2025陕西商洛模拟预测)已知人、Q两点分别在反比例函数y=2” 「一天”之2z二自)白良二， 若点P与点Q关于y轴对称，则m的值为。 三、解答题 1,（25.26八年级下重庆期中)一个反比例函数y=k≠0)的图象经过点P亿，-3) ()求该反比例函数的解析式. (2)当y=3时，求x的值 12.(25-26九年级上河南周口期未)已知反比例函数y=m 的图象经过点(-2,4). (1)求m的值； (2)判断点(4，-2)是否在该函数的图象上，并说明理由. 13.(25-26九年级下湖南常德期中)已知y与x-1成反比例，且当x=4时，y=1. (I)求y与x的函数关系式： 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (2)当x=-2时，y的值是多少？ 14,（25-26九年级上天津南开期末)已知y=-2,2= x,完成以下填空 (I少关于x的函数关系式为 (2)①y关于x的函数图象是线，且经过第 一象限： ②在y关于x的函数图象上取点A(:,4),B(x2,-2)和C(飞，2)，请将x,x,x按从小到大的顺序排列， 并用“<”连接，其结果为 ③在②中，连接AB,AC,BC,则△ABC的面积为 9/9