1.2 反比例函数的图象与性质(4)-- k的几何意义 教学设计 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数k的几何意义，通过点A求表达式、作垂线算面积，再取多点观察面积与k的关系，连接反比例函数表达式和图像性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于探索活动培养几何直观（数学眼光），推理证明面积关系发展推理意识（数学思维），例题练习用面积表达k值体现模型意识（数学语言），如比较矩形面积、判断面积关系等实例，帮助学生提升抽象与应用能力，为教师提供结构化资源，突出重难点。

盐城市北蒋实验学校九年级数学导学活动单 九年级数学·上册· 第1章·反比例函数 1.2 反比例函数的图象与性质(4)-- k的几何意义 【学习目标】 1、能借助图象理解反比例函数的系数k的几何意义. 2、能运用反比例函数的系数k的几何意义解决一些几何图形问题. 【学习重点】借助图象理解反比例函数的系数k的几何意义. 【学习难点】运用反比例函数的系数k的几何意义解决一些几何图形问题. 【学习过程】 一、情景创设： 已知点A（2，3）在反比例函数图象上 (1)求反比例函数的表达式； (2)过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别是点B，C，求四边形ABOC的面积； (3)该反比例函数图像上一点Q（2，3），过Q分别向x轴和y轴作垂线，求与坐标轴围成的部分面积； (4)请你在此函数图像上再取几个点，过这些点分别向x轴和y轴作垂线，求与坐标轴围成的部分面积； (5)请你观察求得的面积与反比例函数有什么样的关系？为什么？ 二、新课讲解 1、探索活动一：反比例函数系数k几何意义： 在一个反比例函数图象上任取两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，过点P分别作x轴， y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴，y轴的垂线，与 坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？ 2、探索活动二： (1)（2026•兰州校级）点P是反比例函数的图象上任一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则S△OPQ＝ ； (2)（2026•天山区校级一模）如图，P是反比例函数y的图象上的一点，过点P分别作 x轴、y轴的垂线，得图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式是　 　 ． (3)已知反比例函数的图象上有一个点P，过点P作PQ⊥x轴，若S△OPQ＝5，则k＝ . 3、知识点小结： (1)过反比例函数的图象上任意一点分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为. (2)连接原点与反比例函数图像上任意一点，并向坐标轴作垂线，形成的直角三角形面积为. 4、尝试练习： (1)（2026•吉林校级模拟）如图，在函数的图象上取三点A、B、C，由这三点分别向 x轴、y轴作垂线，设矩形AA1OA2、BB1OB2、CC1OC2的面积分别为SA、SB、SC，则下列 正确的是（　　） A．SA＜SB＜SC B．SA＞SB＞SC C．SA＝SC＝SB D．SA＜SC＜SB (2)（2024秋•陕西校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数 图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在 x轴上，若△ABC的面积为3，则k的值为　 　 ． (3)（2025秋•船营区校级期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内 的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴 于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为　 　 ． 5、例题讲解 (1)（2024秋•赫章县期末）如图，反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2．设点P在C1上，过点P作PA⊥x轴，垂足为A，交C2于点B，求△POB的面积． (2)（2025•鼓楼区校级一模）如图，点A、D分别在函数的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为矩形且矩形的面积为9，求k的值． (3)（2024•大观区校级三模）已知反比例函数与的图象如图所示，B为x轴正半轴上一动点，过点B作AC∥y轴，分别交反比例函数与的图象于点A，C，点D，E（点E在点D的上方）在y轴上，且DE＝AC，求四边形ACDE的面积. (4)（2024春•镇赉县校级期中）如图：A，B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点．AC平行于y轴，BC平行于x轴，求△ABC的面积． 1.2 反比例函数的图象与性质(4)-- k的几何意义(答案) 【学习目标】 1、能借助图象理解反比例函数的系数k的几何意义. 2、能运用反比例函数的系数k的几何意义解决一些几何图形问题. 【学习重点】借助图象理解反比例函数的系数k的几何意义. 【学习难点】运用反比例函数的系数k的几何意义解决一些几何图形问题. 【学习过程】 一、情景创设： 已知点A（2，3）在反比例函数图象上 (1)求反比例函数的表达式； (2)过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别是点B，C，求四边形ABOC的面积； (3)该反比例函数图像上一点Q（2，3），过Q分别向x轴和y轴作垂线，求与坐标轴围成的部分面积； (4)请你在此函数图像上再取几个点，过这些点分别向x轴和y轴作垂线，求与坐标轴围成的部分面积； (5)请你观察求得的面积与反比例函数有什么样的关系？为什么？ 二、新课讲解 1、探索活动一：反比例函数的系数的k几何意义： 在一个反比例函数图象上任取两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，过点P分别作x轴， y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴，y轴的垂线，与 坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？ 2、探索活动二： (1)（2026•兰州校级）点P是反比例函数的图象上任一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则S△OPQ＝ 1 ； (2)（2026•天山区校级一模）如图，P是反比例函数y的图象上的一点，过点P分别作 x轴、y轴的垂线，得图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式是　 　 ． (3)已知反比例函数的图象上有一个点P，过点P作PQ⊥x轴，若S△OPQ＝5，则k＝ ±10 . 3、知识点小结： (1)过反比例函数的图象上任意一点分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为. (2)连接原点与反比例函数图像上任意一点，并向坐标轴作垂线，形成的直角三角形面积为. 4、尝试练习： (1)（2026•吉林校级模拟）如图，在函数的图象上取三点A、B、C，由这三点分别向 x轴、y轴作垂线，设矩形AA1OA2、BB1OB2、CC1OC2的面积分别为SA、SB、SC，则下列 正确的是（　C　） A．SA＜SB＜SC B．SA＞SB＞SC C．SA＝SC＝SB D．SA＜SC＜SB (2)（2024秋•陕西校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数 图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在 x轴上，若△ABC的面积为3，则k的值为　 -6 　 ． (3)（2025秋•船营区校级期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内 的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴 于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为　 2 　 ． 解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，两个函数图象都在第一象限， ∴S矩形PCOD＝8，S△AOC＝S△BOD3， ∴四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD＝8﹣3﹣3＝2．故答案为：2． 5、例题讲解 (1)（2024秋•赫章县期末）如图，反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2．设点P在C1上，过点P作PA⊥x轴，垂足为A，交C2于点B，求△POB的面积． 解：设点P在C1上，过点P作PA⊥x轴，垂足为A，交C2于点B， ∴， 则△POB的面积为S△OAP﹣S△OAB＝8﹣5＝3． (2)（2025•鼓楼区校级一模）如图，点A、D分别在函数的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为矩形且矩形的面积为9，求k的值． 解：如图，∵点A、D分别在函数的图象上， ∴S矩形OCDE＝6，S矩形ABOE＝|k|， ∵ABCD为矩形且矩形的面积为9， ∴S矩形ABOE＝|k|＝9﹣6＝3． ∵反比例函数图象在第二象限，∴k＝﹣3． (3)（2024•大观区校级三模）已知反比例与的图象如图所示，B为x轴正半轴上一动点，过点B作AC∥y轴，分别交反比例函数与的图象于点A，C，点D，E（点E在点D的上方）在y轴上，且DE＝AC，求四边形ACDE的面积. 解：连接AD、OA、OC，∵AC∥y轴，DE＝AC， ∴四边形ACDE为平行四边形，∴S四边形ACDE＝2S△ADC， ∵AC∥y轴，∴S△ADC＝S△AOC， 由反比例函数系数k的几何意义得， ，，∴，∴S四边形ACDE＝2S△AOC＝7， (4)（2024春•镇赉县校级期中）如图：A，B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点．AC平行于y轴，BC平行于x轴，求△ABC的面积． 解：如图所示，设A点坐标为（x、），则B点坐标为（﹣x，）， ∴C点坐标为（x，），∴S矩形OECD＝x•||＝1， ∵A、B为函数y图象上两点，∴S△AOE＝S△BODk， ∴S△ABC＝S矩形OECD+S△AOE+S△BOD＝12． 1 学科网（北京）股份有限公司 $