第07讲 因式分解的意义与提公因式法（暑假预习讲义，4题型突破+过关检测）新七年级数学新教材沪教版五四制

第07讲 因式分解的意义与提公因式法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断是否是因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型3 公因式 题型4 提公因式法分解因式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 因式分解相关 因式分解（分解因式）、整式乘积、恒等变形、整式乘法、互逆变形、逆向变形、分解彻底 公因式与提公因式法相关 公因式、单项式公因式、多项式整体公因式、最大公约数、最低次幂、提取公因式、提公因式法、首项负号、漏项补1、一次提净、整体换元、检验回代 （一）知识目标 1. 理解因式分解的定义，能准确区分因式分解与整式乘法，判断式子变形是否为因式分解。 2. 掌握公因式判定“三定法”：定系数（最大公约数）、定相同字母、定最低指数；会识别单项式、多项式整体两类公因式。 3. 熟练掌握提公因式法完整步骤，规范完成各类多项式因式分解。 4. 理解首项为负时提负公因式的符号变化规则，掌握含多项式整体公因式的分解技巧。 （二）能力目标 1. 建立逆向代数思维，能利用整式乘法反向检验因式分解结果是否正确。 2. 观察、归纳多项式结构，快速定位公因式，做到提取干净、无遗漏、符号无误。 3. 会运用提公因式法简化求值、整除证明、代数式化简等实际题型。 （三）素养目标 渗透化归思想、整体思想、类比思想；养成做完必检验、步骤规范的解题习惯。 重点：因式分解概念辨析；找公因式；基础提公因式分解。 难点：首项负号提取变号；公因式提取后漏常数1；多项式整体公因式变形。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多个项的整式，它是整式中各项都含有的因式，称为公因式． 知识点02 提公因式法 1、公因式：一个多个项的整式中每一项都含有的因式叫做这个整式的公因式． 2、提取公因式法：一个多个项的整式各项都含有公因式，可把公因式提到外面， 将一个多个项的整式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 3、提取公因式的步骤： （1）找出整式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成与的乘积形式． 4、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 题型1 判断是否是因式分解 【例1】．（25-26七年级上·上海·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 【例2】．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 【技巧归纳】考法：给出4个变形，选出符合因式分解定义的选项。 【变式1-1】．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】．下列各式从左到右是因式分解的是_______． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【变式1-3】．下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4) 题型2已知因式分解的结果求参数 【例3】．若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 【例4】．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为________． 【例5】．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【变式2-1】．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2-2】．若，则下列结论正确的是（    ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 【变式2-3】．（25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【变式2-4】．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 题型3 公因式 【例6】．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【例7】．多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【例8】．（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）整式中各项的公因式是________． 【技巧归纳】考法：式子含(a−b)、(x+y)重复整体，整体提取。 【变式3-1】．下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-2】．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是________． 【变式3-3】．找出的公因式． 题型4 提公因式法分解因式 【例9】．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 【例10】．（25-26七年级上·上海虹口·期末）因式分解：_____． 【例11】．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【变式4-1】．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 【变式4-3】．（25-26七年级上·上海·课后作业）计算 一、单选题 1．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 2．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．与的最大公因式是（  ） A． B． C． D． 5．下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 6．若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 二、填空题 7．因式分解________． 8．已知整式可以因式分解为，则的值为______． 9．已知等式：，则________． 10．若，，则_________． 11．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是___________． 12．和的公因式为______________． 13．若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 14．如果因式分解的结果为，那么_________． 15．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是___________． 16．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 三、解答题 17．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 18．若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 19．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 20．因式分解： (1)； (2)． 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 22．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得：． ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k 的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为 ，k的值为 ． (3)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 因式分解的意义与提公因式法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断是否是因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型3 公因式 题型4 提公因式法分解因式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 因式分解相关 因式分解（分解因式）、整式乘积、恒等变形、整式乘法、互逆变形、逆向变形、分解彻底 公因式与提公因式法相关 公因式、单项式公因式、多项式整体公因式、最大公约数、最低次幂、提取公因式、提公因式法、首项负号、漏项补1、一次提净、整体换元、检验回代 （一）知识目标 1. 理解因式分解的定义，能准确区分因式分解与整式乘法，判断式子变形是否为因式分解。 2. 掌握公因式判定“三定法”：定系数（最大公约数）、定相同字母、定最低指数；会识别单项式、多项式整体两类公因式。 3. 熟练掌握提公因式法完整步骤，规范完成各类多项式因式分解。 4. 理解首项为负时提负公因式的符号变化规则，掌握含多项式整体公因式的分解技巧。 （二）能力目标 1. 建立逆向代数思维，能利用整式乘法反向检验因式分解结果是否正确。 2. 观察、归纳多项式结构，快速定位公因式，做到提取干净、无遗漏、符号无误。 3. 会运用提公因式法简化求值、整除证明、代数式化简等实际题型。 （三）素养目标 渗透化归思想、整体思想、类比思想；养成做完必检验、步骤规范的解题习惯。 重点：因式分解概念辨析；找公因式；基础提公因式分解。 难点：首项负号提取变号；公因式提取后漏常数1；多项式整体公因式变形。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多个项的整式，它是整式中各项都含有的因式，称为公因式． 知识点02 提公因式法 1、公因式：一个多个项的整式中每一项都含有的因式叫做这个整式的公因式． 2、提取公因式法：一个多个项的整式各项都含有公因式，可把公因式提到外面， 将一个多个项的整式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 3、提取公因式的步骤： （1）找出整式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成与的乘积形式． 4、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 题型1 判断是否是因式分解 【例1】．（25-26七年级上·上海·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据定义逐一判定即可得到答案，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A选项从左到右是整式乘法运算，结果为多项式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符题意； B选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； C选项等式右边仍然是和的形式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D选项等式左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意． 【例2】．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 【答案】① 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：①是因式分解，符合题意； ②是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：①． 【技巧归纳】考法：给出4个变形，选出符合因式分解定义的选项。 【变式1-1】．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 【变式1-2】．下列各式从左到右是因式分解的是_______． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 【变式1-3】．下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)是因式分解 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】（1）解：，是整式的乘法，不是因式分解； （2）解：，最后结果不是几个整式的积，不是因式分解； （3）解：，是因式分解； （4）解：，是因式分解． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键． 题型2已知因式分解的结果求参数 【例3】．若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到、的值． 【详解】解：， ， ，， ， ， 、的值分别为：4，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的意义；根据多项式乘多项式的法则，再根据对应项系数相等求解是解本题的关键． 【例4】．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为________． 【答案】4 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 【例5】．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【答案】另一个因式是， 【知识点】已知因式分解的结果求参数、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键． 按题目中所给解题思路，按步骤求解即可． 【详解】解：设另一个因式是，则， 可得，， ，解得， 另一个因式是，m的值是3． 【变式2-1】．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 【变式2-2】．若，则下列结论正确的是（    ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 则， 原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式． 故选：D． 【变式2-3】．（25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 【变式2-4】．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 题型3 公因式 【例6】．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】公因式 【分析】找到系数的最大公因数，再找到因式的公共部分即可． 【详解】解：由于3和9的公因数是3，和的公共部分为, 所以．和的公因式为. 故选A． 【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键． 【例7】．多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， 多项式的公因式是， 故选：D． 【例8】．（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）整式中各项的公因式是________． 【答案】/ 【知识点】公因式 【分析】本题考查了寻找多项式中的各项的公因式.先找出公因式的系数，即各项系数的最大公约数，然后再提取出相同字母，最后找相同字母的最低次幂. 【详解】解：由题意可知：各项系数的最大公约数为2，相同的字母为和x，和x的最小指数都为1， ∴整式中各项的公因式是， 故答案为：. 【技巧归纳】考法：式子含(a−b)、(x+y)重复整体，整体提取。 【变式3-1】．下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】将每一组因式分解，找公因式即可 【详解】A.，，有公因式，故不符合题意； B.，，没有公因式，符合题意； C.，，有公因式，故不符合题意； D. 与有公因式，故不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键 【变式3-2】．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是________． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可． 【详解】解：和的最大公因式是， 故答案为：． 【变式3-3】．找出的公因式． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：将看成一个整体， 所以的公因式为． 题型4 提公因式法分解因式 【例9】．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解， 通过提取公因式 ，将原式化简为 ，再结合负数的偶次幂为正的性质，得到结果． 【详解】解：． 故选：A． 【例10】．（25-26七年级上·上海虹口·期末）因式分解：_____． 【答案】4 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式完成分解即可． 【详解】解： = =． 【例11】．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式4-1】．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】根据因式分解的定义进行判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义， A选项等式右边不是整式乘积的形式，故A错； B选项属于整式乘法，故B错； C符合因式分解的定义，故C正确； D选项属于因数分解，故D错． 故答案为：C 【点睛】本题考查因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解．注意区分整式乘法和因式分解，这是易混点． 【变式4-2】．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【详解】解：． 【变式4-3】．（25-26七年级上·上海·课后作业）计算 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 对分子、分母提取公因式分解因式，最后约分． 【详解】解： ． 一、单选题 1．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 2．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 通过观察表达式，发现与相等，因此两项均含有公因式． 【详解】解：， ∴ 原式． ∵ 两项都含有因式， ∴ 公因式是． 故选：C． 3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解；逐项判断，即可求解． 【详解】解：A.，不是因式分解，故不符合题意； B.，符合因式分解的定义，故符合题意； C.，不是因式分解，故不符合题意； D.，不是因式分解，故不符合题意； 故选：B． 4．与的最大公因式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最大公因式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的，即可写出答案． 【详解】解：根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的， ∴与的最大公因式是． 故选：C． 5．下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可．熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：甲同学：∵ 原式 ， ∴ 正确； 乙同学：原式 ， ∴ 正确． 故甲乙均对． 故选：C． 6．若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式的整数解问题，灵活运用因式分解和整数的性质是解题的关键．由等式右边展开得 ，与左边比较系数，得 和 ．由于 、 为整数，枚举所有整数对 满足 ，计算 ，即可确定 的可能值． 【详解】， 比较系数，得 ，， 、 为整数，且 ， 所有整数对 为： ，； ，； ，； ，； ，； ，。 （其余对为重复值，略） 的可能值为 ． 选项不在可能值中，故不可能． 二、填空题 7．因式分解________． 【答案】 【分析】利用提公因式分解因式即可． 【详解】解：， ． 8．已知整式可以因式分解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解． 【详解】解：展开，与原式比较系数， 得， 解得 ， 则． 故答案为：． 9．已知等式：，则________． 【答案】 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求原式，将展开为，然后比较求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 10．若，，则_________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 先对所求代数式利用提公因式法进行因式分解，将其转化为含已知条件与的形式，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：， 当，时，原式， 故答案为：20． 11．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式，掌握公因式的定义是解题的关键． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：， 故多项式各项的公因式是． 故答案为：． 12．和的公因式为______________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解及公因式定义，熟记公因式的定义是解题的关键． 先将两个多项式因式分解，然后根据公因式定义：每个单项式中都有的因式，即可得到答案． 【详解】解：，， ∴和的公因式为， 故答案为：． 13．若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．通过将给定的因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，可求出 m 的值即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为． 14．如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 15．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是___________． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 16．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 三、解答题 17．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 18．若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．对展开得到m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 19．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【答案】（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可． 【详解】（1）左边不是多项式，不是因式分解； （2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； （3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解． ∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 20．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解； （2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 22．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得：． ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k 的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为 ，k的值为 ． (3)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ． 【答案】(1)， (2)， (3)，． 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可； （2）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值． （3）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、a的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ∴， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：∵二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （3）解：二次三项式有一个因式是，a是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $