第04讲 整式乘法（暑假预习讲义，10题型突破+过关检测）新七年级数学新教材沪教版五四制

第04讲 整式乘法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 计算单项式乘单项式 题型2 计算单项式乘整式及求值 题型3 单项式乘整式的应用 题型4 计算整式乘整式 题型5（x+p）（x+q）型乘法 题型6 已知乘积不含某项求字母的值 题型7 化简求值 题型8 图形面积 题型9 整式乘法中的规律性问题 题型10 整式乘法混合运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 单项式×单项式、单项式×整式、整式×整式、乘法分配律、去括号、合并同类项 【知识目标】 1. 熟练掌握单项式乘单项式、单项式乘整式、整式乘整式的运算法则，规范书写计算步骤。 2. 区分三种幂运算的差异，熟练进行整式乘法混合运算，能将运算结果化为最简整式。 【能力目标】 1. 经历“特殊数字计算→抽象字母推导→一般法则归纳”的过程，培养符号推理、归纳概括能力。 2. 依托乘法分配律理解整式乘法本质，掌握转化思想，将复杂的多项式乘法转化为基础的单项式乘法。 3. 精准处理运算中的负号、系数、指数及单独字母，规避计算失误，提升代数运算的严谨性。 【素养目标】 建立代数运算模型观念，体会类比、化归的数学思想，养成先判符号、分步运算、最后合并同类项的规范解题习惯。 重点 三类整式乘法运算法则 单项式×单项式：系数相乘，同底数幂指数相加，单独字母连同指数直接保留； 单项式×整式：运用乘法分配律，单项式乘整式的每一项，再将所得积相加； 整式×整式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，所有积相加后合并同类项。 难点 整式乘法运算中，避免漏乘、符号出错，规范合并同类项； 掌握混合运算顺序：先幂运算，再整式乘法，最后加减、合并同类项。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 要点归纳： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 【方法总结】解题四步规范：①定符号；②系数相乘；③同底数幂指数相加；④只出现一次的字母连同指数直接保留。 知识点02 单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点归纳： （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【方法总结】解题技巧：①分配律全覆盖，单项式必须乘整式每一项，无遗漏；②每项自带符号参与运算，同号得正、异号得负；③积的项数与原整式项数一致，做完自查。 知识点03整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点归纳： 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【方法总结】解题万能技巧：逐项遍历法：用前一个整式的每一项，依次乘后一个整式的所有项，按顺序书写、不跳步，公式： 题型1：计算单项式乘单项式 【例1】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【技巧归纳】先统一计算所有系数的符号，再算数字、字母，分步计算不混乱。 【变式1-1】．（25-26七年级上·上海·期中）计算：_______． 【变式1-2】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 【变式1-3】．（23-24七年级上·上海长宁·期中）计算： 题型2计算单项式乘整式及求值 【例2】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）计算： _________________． 【例3】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：______． 【例4】．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 【例5】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）已知：，求的值． 【技巧归纳】给整式每一项画线标记，逐项依次相乘，完成后核对项数，杜绝漏乘。 【变式2-1】．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：____． 【变式2-2】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【变式2-3】．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算： 【变式2-4】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算： 【变式2-5】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 题型3单项式乘整式的应用 【例6】．数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 【变式3-1】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）如果、都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个五次式，那么的次数（       ） A．一定是7 B．一定是5 C．一定是2 D．无法确定 【变式3-2】.（22-23七年级上·上海青浦·期中）在代数式中，与y的值各减少，则该代数式的值减少了（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】．（24-25七年级上·上海·期中）如图， 已知正方形的边长为a， 长方形的边长为， 边长为b． 则以D为圆心，为半径的弧与所围成的阴影部分的面积是______．（用含有a、b和的代数式表示） 题型4计算整式乘整式 【例7】．（2025·上海·模拟预测）计算：_______． 【例8】.（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）与相等的代数式是（   ） A． B． C． D． 【例9】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【易错警示】：两项乘两项，展开后必先得到4项，合并同类项后项数才会减少。 【变式4-1】．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）若M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则（   ） A．一定是关于x的十二次整式 B．一定是关于x的三十五次整式 C．一定是关于x的低于十二次的整式 D．无法确定其关于x的次数 【变式4-2】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知二次三项式的一个因式是，则常数______． 【变式4-3】．（25-26七年级上·上海·寒假作业）[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 题型5（x+p）（x+q）型多项式乘法 【例10】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 【例11】．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算：__________． 【例12】．（22-23七年级·上海·暑假作业）根据，直接计算下列题： (1)； (2)． 【变式5-1】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）若，则____________． 【变式5-3】．先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 题型6已知乘积不含某项求字母的值 【例13】．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）要使多项式与的乘积中不出现一次项，那么下列各式正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【例14】．（25-26七年级上·上海·期末）若的展开式中不含x的一次项，则_____． 【例15】．（24-25七年级上·上海·期中）若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值． 【变式6-1】．（2024七年级上·上海·专题练习）把多项式分解因式得时，m、n的值分别可能是(   ) A． B． C． D． 【变式6-2】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）若的乘积中不含和项，则_______，_______． 【变式6-3】．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 题型7化简求值 【例16】．（24-25七年级上·上海·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【例17】．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 __． 【例18】．（23-24七年级上·上海·期末）化简求值：，其中，． 【变式7-1】．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（　　） A．19 B．﹣19 C．69 D．﹣69 【变式7-2】．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）已知：，，化简的结果是______． 【变式7-3】．（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 题型8 图形面积 【例19】．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例20】．（25-26七年级上·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共______张 【例21】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，在长方形中放入一个边长为8的正方形和两个边长为6的正方形．若阴影部分的面积满足，则长方形的面积为_________． 【变式8-1】．（23-24七年级上·上海黄浦·期中）如图所示的图形面积为（    ） A．（x＋1）2﹣12 B．（x＋1）2﹣x2 C．x（x＋1） D．（x＋1）2﹣2x 【变式8-2】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）（1）请你写出图1所表示的代数恒等式：___________ （2）试在图2的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于． 【变式8-3】．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料：在学习乘法公式时，我们知道可以通过不同方法计算几何图形面积得到一些代数恒等式，例如，通过图①中面积计算可以得到完全平方公式：． (1)仿照图①结论，根据图②，写出一个恒等式________________； (2)利用第（1）题中得到的结论，解决如下问题：若，，则________； (3)小杰用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，那么________； (4)事实上，通过不同方法计算几何体的体积也可以得到类似的结论，例如图④展示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体得到的立体图形后重新拼成一个长方体，根据图中的变化关系，写出一个恒等式： ． 题型9 整式乘法规律性问题 【例22】．（24-25七年级上·上海·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律：                  1               1    1           1     2    1       1     3     3    1    1     4    6      4   1 1     5    10    10    5   1             …… …… 则的展开式中所有项的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 【变式9-1】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列各式 计算：__________． 【变式9-2】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（，，， ，…）的展开式的系数规律（按 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_________． 【变式9-3】．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想： ．（n为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①______． ②______（n为正整数）． ③_______． 题型10整式乘法混合运算 【例23】．（23-24七年级上·上海普陀·期中）下列计算中，正确的是（　　） A．a3•a3＝2a3 B．（2a3）2＝2a6 C．a3+2a3＝3a6 D．a3•2a3＝2a6 【例24】．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知，，．求的值为__________． 【易错警示】 1. 同时包含幂运算、单乘多、多乘多运算时，运算顺序颠倒； 2. 去多重括号时，负号逐层变号出错； 3. “不含某一项”题型解题失误：未整理标准式，直接赋值计算。 【变式10-1】．（22-23七年级上·上海长宁·期中）若，，，则___________． 【变式10-2】．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）计算： 【变式10-3】．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）计算：． 一、单选题 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知等式（m，n为整数），则k的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 6．如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 二、填空题 7．计算：____________． 8．计算：_________． 9．计算：____________． 10．若，则m — n的值为_______． 11．如果，那么的值为______． 12．已知代数式的积中不含x的一次项，则________． 13．若展开、合并后的一次项系数为，则的值为_________． 14．与一个关于x的二项式相乘，乘积中不出现一次项，则a的值为________． 15．在的运算结果中，项的系数是，那么的值是_________． 16．已知，那么代数式的值等于______． 17．观察下列各式： 则的结果为 ______________ ． 三、解答题 18．已知，求的值． 19．计算： (1)； (2) 20．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 21．已知关于x的整式与相乘的积不含x的二次项和三次项，求． 22．已知代数式化简后，不含有项和常数项． (1)求，的值． (2)求的值． 23．你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题． (1)分别化简下列各式： 　　； 　　； 　　； 　　． (2)请你利用上面的结论计算：= ． 24．某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (2)当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 整式乘法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 计算单项式乘单项式 题型2 计算单项式乘整式及求值 题型3 单项式乘整式的应用 题型4 计算整式乘整式 题型5（x+p）（x+q）型乘法 题型6 已知乘积不含某项求字母的值 题型7 化简求值 题型8 图形面积 题型9 整式乘法中的规律性问题 题型10 整式乘法混合运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 单项式×单项式、单项式×整式、整式×整式、乘法分配律、去括号、合并同类项 【知识目标】 1. 熟练掌握单项式乘单项式、单项式乘整式、整式乘整式的运算法则，规范书写计算步骤。 2. 区分三种幂运算的差异，熟练进行整式乘法混合运算，能将运算结果化为最简整式。 【能力目标】 1. 经历“特殊数字计算→抽象字母推导→一般法则归纳”的过程，培养符号推理、归纳概括能力。 2. 依托乘法分配律理解整式乘法本质，掌握转化思想，将复杂的多项式乘法转化为基础的单项式乘法。 3. 精准处理运算中的负号、系数、指数及单独字母，规避计算失误，提升代数运算的严谨性。 【素养目标】 建立代数运算模型观念，体会类比、化归的数学思想，养成先判符号、分步运算、最后合并同类项的规范解题习惯。 重点 三类整式乘法运算法则 单项式×单项式：系数相乘，同底数幂指数相加，单独字母连同指数直接保留； 单项式×整式：运用乘法分配律，单项式乘整式的每一项，再将所得积相加； 整式×整式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，所有积相加后合并同类项。 难点 整式乘法运算中，避免漏乘、符号出错，规范合并同类项； 掌握混合运算顺序：先幂运算，再整式乘法，最后加减、合并同类项。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 要点归纳： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 【方法总结】解题四步规范：①定符号；②系数相乘；③同底数幂指数相加；④只出现一次的字母连同指数直接保留。 知识点02 单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点归纳： （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【方法总结】解题技巧：①分配律全覆盖，单项式必须乘整式每一项，无遗漏；②每项自带符号参与运算，同号得正、异号得负；③积的项数与原整式项数一致，做完自查。 知识点03整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点归纳： 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【方法总结】解题万能技巧：逐项遍历法：用前一个整式的每一项，依次乘后一个整式的所有项，按顺序书写、不跳步，公式： 题型1：计算单项式乘单项式 【例1】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】根据单项式乘以单项式的法则求解即可． 【详解】解：． 【技巧归纳】先统一计算所有系数的符号，再算数字、字母，分步计算不混乱。 【变式1-1】．（25-26七年级上·上海·期中）计算：_______． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法运算，直接根据单项式与单项式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-2】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】先进行积的乘方运算，再进行单项式的乘法运算即可解答． 【详解】解：原式 ． 【变式1-3】．（23-24七年级上·上海长宁·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可求解． 【详解】解： 题型2计算单项式乘整式及求值 【例2】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）计算： _________________． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【详解】解： ． 【例3】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为． 【例4】．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例5】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）已知：，求的值． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】先由单项式乘以多项式运算法则化简，再由积的乘方运算的逆运算恒等变形，最后将代入代数式，由含乘方的有理数加法运算计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【技巧归纳】给整式每一项画线标记，逐项依次相乘，完成后核对项数，杜绝漏乘。 【变式2-1】．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：____． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2-2】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式即可. 【详解】解：原式 . 【变式2-3】．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则．根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式2-4】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查整式的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 根据多项式乘以单项式法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式2-5】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： 当时， 原式 题型3单项式乘整式的应用 【例6】．数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ． 故选：A． 【变式3-1】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）如果、都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个五次式，那么的次数（       ） A．一定是7 B．一定是5 C．一定是2 D．无法确定 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了整式的加减，单项式乘以单项式利用单项式乘单项式，单项式的加减运算来判断即可． 【详解】解：∵是一个七次单项式，是一个五次多项式， ∴单项式A、B一个是5次单项式，一个是2次单项式， ∴的次数是5次． 故选：B． 【变式3-2】.（22-23七年级上·上海青浦·期中）在代数式中，与y的值各减少，则该代数式的值减少了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】x与y的值各减少，则原式可变为 从而可作出判断． 【详解】x与y的值各减少，则： 原式     故选：D． 【点睛】本题主要考查的是代数式求值，列出x与y的值各减少后的代数式是解题的关键． 【变式3-3】．（24-25七年级上·上海·期中）如图， 已知正方形的边长为a， 长方形的边长为， 边长为b． 则以D为圆心，为半径的弧与所围成的阴影部分的面积是______．（用含有a、b和的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 题型4计算整式乘整式 【例7】．（2025·上海·模拟预测）计算：_______． 【答案】 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 【例8】.（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）与相等的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴与相等的代数式是． 故选：D． 【例9】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【易错警示】：两项乘两项，展开后必先得到4项，合并同类项后项数才会减少。 【变式4-1】．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）若M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则（   ） A．一定是关于x的十二次整式 B．一定是关于x的三十五次整式 C．一定是关于x的低于十二次的整式 D．无法确定其关于x的次数 【答案】A 【详解】解：由M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则一定是关于x的十二次整式； 故选A． 【变式4-2】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知二次三项式的一个因式是，则常数______． 【答案】 【详解】解：依题意，设另一个因式为， 则， 展开右边：， 则， ∴，， 解得， 则， ∴， 故， 故答案为：． 【变式4-3】．（25-26七年级上·上海·寒假作业）[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由题意，得，， ， 由得，代入得， 解得， ， ． （2）解：由（1）得． 题型5（x+p）（x+q）型多项式乘法 【例10】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∵， ∴ ， 比较系数得：，． 故选：B． 【例11】．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【例12】．（22-23七年级·上海·暑假作业）根据，直接计算下列题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】根据题目给出一个新算法直接进行求值计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，本题类似于给出一个新算法根据新算法直接进行求值． 【变式5-1】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了因式分解，根据已知条件，将 p 和 q 代入多项式，然后利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：∵，， ∴ 多项式为， ∴． 即因式分解结果为． 故选：B． 【变式5-2】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）若，则____________． 【答案】 【详解】解： ， ， ， 可得： 、， 解得： 故答案为：． 【变式5-3】．先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2) (3)①；② 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答； （2）根据（1）中呈现的规律，列出公式； （3）根据（2）中的公式代入计算． 【详解】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项； （2）解：公式为： （3）解：① ； ② ． 题型6已知乘积不含某项求字母的值 【例13】．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）要使多项式与的乘积中不出现一次项，那么下列各式正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【详解】解：， ∵多项式与的乘积中不出现一次项， ∴， 故选：A． 【例14】．（25-26七年级上·上海·期末）若的展开式中不含x的一次项，则_____． 【答案】 【详解】解：的展开式中，的一次项由与相乘、与相乘得到， 即的一次项系数为：， 因不含的一次项， 故， 解得． 故答案为． 【例15】．（24-25七年级上·上海·期中）若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值． 【答案】； 【详解】解：原式， 的展开式中不含x的二次项和一次项， ， 解得． 【变式6-1】．（2024七年级上·上海·专题练习）把多项式分解因式得时，m、n的值分别可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ =x(x2-x+nx-n) = x3+(n-)x2-nx ∴= x3+(n-)x2-nx， ∴n-=0，-n=m， ∴n=，m=-， 故选：B． 【变式6-2】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）若的乘积中不含和项，则_______，_______． 【答案】 【详解】解： ， ∵其结果中不含和项， ∴， 解得： ． 【变式6-3】．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】1 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：，， ∴． 题型7化简求值 【例16】．（24-25七年级上·上海·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 【例17】．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 __． 【答案】9 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：9． 【例18】．（23-24七年级上·上海·期末）化简求值：，其中，． 【答案】， 【详解】 ， 当，时，原式． 【变式7-1】．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（　　） A．19 B．﹣19 C．69 D．﹣69 【答案】B 【详解】解：∵2（5﹣a）（6+a）＝100， ∴﹣a2+5a﹣6a+30＝50， ∴a2+a＝﹣20， ∴a2+a+1＝﹣20+1＝﹣19， 故选：B． 【变式7-2】．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）已知：，，化简的结果是______． 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【变式7-3】．（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 【答案】， 【详解】解： 当，时， 原式 题型8 图形面积 【例19】．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：长为，宽为的大长方形， ∴大长方形的面积为， ∵类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张数为， 故选：C ． 【例20】．（25-26七年级上·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共______张 【答案】10 【详解】解：一个长为，宽为的矩形，那么其面积为， 三张卡片的面积分别是， 那么分别需要2张，3张，5张，共需要10张， 故答案为：10． 【例21】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，在长方形中放入一个边长为8的正方形和两个边长为6的正方形．若阴影部分的面积满足，则长方形的面积为_________． 【答案】90 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为：，宽为：，故 的长为：，宽为：，故； 的长为：，宽为：，故． ∵， 解得 故答案为：90． 【变式8-1】．（23-24七年级上·上海黄浦·期中）如图所示的图形面积为（    ） A．（x＋1）2﹣12 B．（x＋1）2﹣x2 C．x（x＋1） D．（x＋1）2﹣2x 【答案】A 【详解】解：如图， 由图可知：原图形的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积 ＝（x＋1）2﹣12， 故选：A． 【变式8-2】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）（1）请你写出图1所表示的代数恒等式：___________ （2）试在图2的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于． 【答案】（1）；（2）见解析． 【详解】解：（1）矩形的面积可以用长乘以宽得：， 矩形的面积也可以用4个小正方形和5个小矩形的面积和得：， ∴图1所表示的代数恒等式：； 故答案为：； （2）∵， ∴可画如下图： 【变式8-3】．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料：在学习乘法公式时，我们知道可以通过不同方法计算几何图形面积得到一些代数恒等式，例如，通过图①中面积计算可以得到完全平方公式：． (1)仿照图①结论，根据图②，写出一个恒等式________________； (2)利用第（1）题中得到的结论，解决如下问题：若，，则________； (3)小杰用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，那么________； (4)事实上，通过不同方法计算几何体的体积也可以得到类似的结论，例如图④展示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体得到的立体图形后重新拼成一个长方体，根据图中的变化关系，写出一个恒等式： ． 【答案】(1) (2)16 (3)6 (4) 【详解】（1）解：由图2得：正方形的面积可表示为， 正方形的面积也可表示为， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ， 故答案为：16； （3）解：由题意得：， ， ， ， 故答案为：6； （4）解：∵原几何体的体积， 新几何体的体积， ， 故答案为：． 题型9 整式乘法规律性问题 【例22】．（24-25七年级上·上海·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律：                  1               1    1           1     2    1       1     3     3    1    1     4    6      4   1 1     5    10    10    5   1             …… …… 则的展开式中所有项的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故选：B． 【变式9-1】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列各式 计算：__________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（，，， ，…）的展开式的系数规律（按 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_________． 【答案】 【详解】解：由，可知，展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是． 【变式9-3】．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想： ．（n为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①______． ②______（n为正整数）． ③_______． 【答案】(1) (2)①，②，③ 【详解】（1）解：， ， ∴； 故答案为：； （2）解：①把，代入可得； ②把代入可得， ∴， ∴， ∴； ③把代入可得， ∴． 故答案为：，，． 题型10整式乘法混合运算 【例23】．（23-24七年级上·上海普陀·期中）下列计算中，正确的是（　　） A．a3•a3＝2a3 B．（2a3）2＝2a6 C．a3+2a3＝3a6 D．a3•2a3＝2a6 【答案】D 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项法则、单项式乘单项式乘法法则解决此题． 【详解】解：A．根据同底数幂的乘法，，故A错误，不符合题意． B．根据积的乘方与幂的乘方，，故B错误，不符合题意． C．根据合并同类项法则，，故C错误，不符合题意． D．根据单项式乘单项式的乘法法则，，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【例24】．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知，，．求的值为__________． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得是解题的关键． 根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得即可求解． 【详解】解：已知，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【易错警示】 1. 同时包含幂运算、单乘多、多乘多运算时，运算顺序颠倒； 2. 去多重括号时，负号逐层变号出错； 3. “不含某一项”题型解题失误：未整理标准式，直接赋值计算。 【变式10-1】．（22-23七年级上·上海长宁·期中）若，，，则___________． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】先将和表达出来，最后代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 【变式10-2】．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法有关法则是解题的关键．根据整式乘法法则依次计算即可． 【详解】解： ． 【变式10-3】．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： 一、单选题 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，掌握运算法则是解题关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，同底数幂分别相乘，计算即可. 【详解】解：． 故选：A ． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：D． 3．若，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 5．已知等式（m，n为整数），则k的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘．将左边展开后比较系数，得到关于m、n的方程组，结合整数条件分析可能的k值． 【详解】解：展开左边：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴的值不可能是7 故选：D． 6．如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 【答案】C 【详解】由图知（图形画法不唯一），长方形面积：， ∴需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故选：C． 二、填空题 7．计算：____________． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 8．计算：_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，熟知单项式乘以单项式的计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9．计算：____________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为： 10．若，则m — n的值为_______． 【答案】3 【详解】解：∵（x+3）（x+n）=x2+nx+3x+3n=x2+（n+3）x+3n， ∴， 解得：m=-2，n=-5， 则m-n=-2+5=3， 故答案为：3． 11．如果，那么的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 12．已知代数式的积中不含x的一次项，则________． 【答案】 【详解】解： ， ∵该代数式的积中不含x的一次项， ∴，解得， 故答案为：． 13．若展开、合并后的一次项系数为，则的值为_________． 【答案】5 【详解】解： ， 展开、合并后的一次项系数为， ， 解得：， 故答案为：5． 14．与一个关于x的二项式相乘，乘积中不出现一次项，则a的值为________． 【答案】 【详解】解： ∵乘积中不出现一次项， ∴一次项系数为零，即， 解得． 故答案为：． 15．在的运算结果中，项的系数是，那么的值是_________． 【答案】10 【详解】解：， ， 运算结果中的系数是， ， 解得， 故答案为：10． 16．已知，那么代数式的值等于______． 【答案】5 【分析】根据可得，，由此代入即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了因式分解的应用以及代数式求值，熟练掌握整体代入求值是解决本题的关键． 17．观察下列各式： 则的结果为 ______________ ． 【答案】 【详解】解：由题意可得， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 18．已知，求的值． 【答案】． 【分析】此题考查了单项式乘以单项式，以及同底数幂的乘法法则．已知等式左边利用单项式乘以单项式法则计算，根据单项式相等的条件即可求出m与n的值，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 19．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ， ∴的值为； （2）∵， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 21．已知关于x的整式与相乘的积不含x的二次项和三次项，求． 【答案】 【详解】解： ， 关于x的整式与相乘的积不含x的二次项和三次项， ， ，则， ． 22．已知代数式化简后，不含有项和常数项． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1)0.5； (2) 【详解】（1）解： ， ∵代数式化简后，不含有项和常数项．， ∴，， ∴，； （2）∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中． 23．你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题． (1)分别化简下列各式： 　　； 　　； 　　； 　　． (2)请你利用上面的结论计算：= ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； ； ； ； （2）． 24．某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (2)当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 【答案】(1)，； (2)420平方米，930平方米； (3)88500元 【详解】（1）解：（平方米） （平方米） （2）当米，米时 （平方米） （平方米） （3）（元） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $