专题21.2 二次函数的图象和性质（基础篇）（举一反三讲义）数学新教材沪科版九年级上册

本讲义聚焦二次函数的图象和性质核心知识点，从基础的y=ax²到y=a(x-h)²+k，系统梳理开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等性质，通过12种题型构建从图象画法到性质应用的学习支架。 资料以题型归纳与举一反三为特色，通过实例培养数学眼光与思维，如画图象题发展几何直观，求参数题锻炼推理意识，助力教师授课与学生课后查漏补缺，强化知识应用能力。

专题21.2 二次函数的图象和性质（基础篇）（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 画二次函数的图象】 2 【题型2 二次函数的开口方向、对称轴、顶点】 7 【题型3 二次函数的增减性】 9 【题型4 画二次函数的图象】 12 【题型5 判断二次函数的图象及性质】 17 【题型6 由二次函数的性质求参数】 19 【题型7 二次函数的图象】 21 【题型8 二次函数的性质】 24 【题型9 二次函数图象上点的坐标特征】 26 【题型10 二次函数的图象】 28 【题型11 二次函数的性质】 31 【题型12 二次函数图象上点的坐特征】 34 考点1 二次函数y＝ax2的图象和性质 知识点1 二次函数y＝ax2的图象和性质 1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c. 2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是(0，0)．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，|a|越大，抛物线的开口越小；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当a＜0时，抛物线的开口向_下，顶点是抛物线的最高点，|a|越大，抛物线的开口越小；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 知识点2 二次函数 y＝ax2（a≠0）的图象的画法 （1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值． （2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点． （4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧． 【题型1 画二次函数的图象】 【例1】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【答案】(1)图见解析；二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． (2)，低． (3)，，大，0． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键． （1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）根据函数的图象解答即可； （3）根据函数的图象解答即可． 【详解】（1）解：图象如图： 由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点． 故答案为：，低． （3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0． 故答案为：，，大，0． 【变式1-1】（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）； （2）； （3）． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了画二次函数图象，利用描点法画出这三个函数的图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：列表， 描点，连线画出函数图象如下： ．   【变式1-2】 （25-26九年级上·浙江·课后作业）如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … … … … (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 【答案】(1)抛物线，上，y轴，，减小，增大，0，小，0； (2)小 【分析】本题结合图象考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 先列表，描点、连线作出函数的图象． （1）根据画出的函数图象并结合其性质即可求解； （2）根据图象即可得到结论． 【详解】（1）列表： x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … 8 2 0 2 8 … … 2 0 2 … 描点、连线画出函数的图象如图： 二次函数和图象的形状是抛物线．开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是．在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当时，y有最小值为0． （2）解：由图象可知，如果，a越大，即越大．抛物线的开口越小． 【变式1-3】（2025九年级·全国·专题练习）已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【答案】(1) (2)1 (3)当时， 【分析】（1）由圆柱体积公式直接可得； （2）将代入（1）中公式即可； （3）观察图像可知，在第一象限内随的增大而增大，当时，． 【详解】（1）解：由圆柱的体积公式可得， 画图如下： （2）解：将代入（1）中公式可得， 故答案为：1． （3）解：由图像可知，当时，，在第一象限内随的增大而增大， ∴当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 【题型2 二次函数的开口方向、对称轴、顶点】 【例2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键； 利用二次函数的顶点坐标特征即可求解． 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点． 【详解】∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小； 函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大； ∴A、B、C均不是共同点； ∵两个函数均为形式， ∴对称轴都是轴，故D正确. 故选：D． 【变式2-2】（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【题型3 二次函数的增减性】 【例3】（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 【变式3-1】（2026·江西九江·一模）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，掌握的性质是解题的关键． 由抛物线在轴左侧的部分是下降的，则，然后解不等式即可解答． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大． 选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确． 选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确． 选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确． 选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误． 故选：D． 考点2 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象和性质 知识点3 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 几种二次函数图象间的平移规律 例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象． 【题型4 画二次函数的图象】 【例4】已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． (1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … (2)任意写出两条该函数图象具有的特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所画函数图象，写出两条该函数的性质即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 2 … … 0 0 … 函数图象如下所示： （2）解：由函数图象可知，该函数在时，有最小值；该函数在时，y随x增大而增大等等． 【变式4-1】（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线 【分析】此题考查的是二次函数的性质、抛物线与轴的交点等知识，掌握二次函数的性质是解决此题的关键． （1）利用描点法画出函数图象； （2）利用配方法将函数解析式化为顶点式，由的符号及配方结果直接确定抛物线的开口方向、顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解：作图如下： ； （2）二次函数的解析式为， 抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线． 【变式4-2】在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形． （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点； （2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可； （2）从开口大小和增减性两个方面作答即可. 【详解】（1）解：如图：   ， 与图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴， 与图象的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）； （2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样； 不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键. 【变式4-3】在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题． （1）抛物线向________平移________个单位得到抛物线； （2）抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________； （3）抛物线，当x________时，函数随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________． 【答案】图象见解析；（1）下，l ；（2）向下，轴，；（3），，大，大，1． 【分析】（1）先利用描点法画出两个函数的图象即可；根据两个函数图象即可得平移方式； （2）根据函数图象即可得出抛物线的开口方向、对称轴、以及顶点坐标； （3）根据函数图象即可得出函数的增减性和最值． 【详解】解：函数与的图象如图所示： （1）抛物线向下平移1个单位得到抛物线， 故答案为：下，1； （2）抛物线开口方向是向下，对称轴为轴，顶点坐标为， 故答案为：向下，轴，； （3）抛物线，当时，函数随x的增大而减小；当时，函数有最大值，其最大值是1， 故答案为：，，大，大，1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【题型5 判断二次函数的图象及性质】 【例5】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、形状、顶点坐标及增减性的相关知识逐一分析选项． 【详解】∵二次函数（）中，决定开口方向和形状，两个函数的相同 ∴开口方向相同，形状相同，故A、B选项结论正确． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴两个函数顶点坐标不同，故C选项结论不正确． ∵两个函数的对称轴均为轴，且开口向上 ∴当时，随着的增大而减小，故D选项结论正确． 故选：C． 【变式5-1】（25-26九年级上·重庆开州·期末）关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对于A：∵，∴开口向下，A错误； 对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确； 对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误； 对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误． 故选：B． 【变式5-2】（25-26九年级上·山西大同·期中）已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 分别计算各点的函数值，进而比较即可． 【详解】解：，，， 由于为常数，比较的大小即比较的大小． ， 因此． 故答案为：． 【变式5-3】（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 【题型6 由二次函数的性质求参数】 【例6】（2026·上海长宁·一模）已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据三个条件分别求m的取值范围：条件（1）要求抛物线开口向下，得；条件（2）要求对称轴在轴右侧，得；条件（3）要求抛物线在轴左侧下降，得，综合判断选项即可． 【详解】解：对于（1），抛物线的最高点就是它的顶点，则图象开口向下， ∴，即； 对于（2），抛物线的对称轴为直线， ∵的对称轴在轴的右侧， ∴，即； 对于（3），抛物线在轴左侧是下降的，则图象开口向上， ∴，即； 综上所述，，选项中只有符合． 故选：B． 【变式6-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的顶点坐标，解题的关键是抛物线的顶点在y轴的负半轴上，即横坐标为0，纵坐标小于0． 因为抛物线的顶点在y轴的负半轴上，所以可得，即可得到，又因为抛物线开口向上，所以，从而得解． 【详解】解：抛物线的顶点在y轴的负半轴上， ，解得． 抛物线开口向上， ， 的取值范围是． 故答案为：． 【变式6-2】如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则 ______． 【答案】 【分析】把代入求得，根据二次函数的顶点坐标为，把代入求得，把，代入，即可求得a值． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴， 解得， ∴， ∵一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点， ∴另一个交点为， 把代入，得， 把，代入，得 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质、一次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的图象性质和二次函数的图象性质解答． 【变式6-3】已知二次函数，当分别取时，函数值相等，则当取时，函数值为______． 【答案】2020 【分析】根据二次函数y=2x2+2020，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，可以得到x1和x2的关系，从而可以得到2x1+2x2的值，进而可以求得当x取2x1+2x2时，函数的值． 【详解】解：∵二次函数y=2x2+2020，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等， ∴2x12+2020=2x22+2020， ∴x1=-x2， ∴2x1+2x2=2（x1+x2）=0， ∴当x=2x1+2x2时，y=2×0+2020=0+2020=2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【题型7 二次函数的图象】 【例7】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； (4)见解析 【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象； （2）根据二次函数的性质可进行求解； （3）根据二次函数的平移可进行求解； （4）根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式7-1】若小明将如图所示的两条水平线，中的一条当成轴，且向右为正方向；两条铅垂线，中的一条当成轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数的图象，则坐标原点可能是（    ）    A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据得到顶点是，结合图像即可得到坐标原点； 【详解】解：∵， ∴二次函数顶点是， 由图像可得，顶点在上， ∴点是标原点， 故选C； 【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标及图像，解题的关键是熟练掌握的顶点是． 【变式7-2】二次函数的图象如图，则下列正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用图象，抛物线开口向下，得；利用对称轴在y轴左侧，得，即可解答. 【详解】由图象可知，抛物线开口向下，；对称轴在y轴左侧，； 故选D 【点睛】本题考查根据二次函数图象分析a和对称轴，属于基础题，难度低，熟练掌握二次函数相关知识点是解题关键. 【变式7-3】老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质． 1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小； 3：该函数的形状与函数的图象相同 甲同学写出几个二次函数表达式： ①②③④ 请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质___________． 【答案】②④/④② 【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：①，顶点为，在轴上；，开口向下，当时，随的增大而增大； 开口向上，但与的图象形状相同； ②，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象形状相同； ③，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象形状相同； ④，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象的形状相同； 所以，符合上述3个性质的是②④， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟记二次函数的图象和性质． 【题型8 二次函数的性质】 【例8】（2026·福建三明·二模）在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据二次函数的性质得到m的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：函数是开口向上的二次函数，其对称轴为直线， ∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m的值可以是1． 【变式8-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 【详解】解：， ， 解得：或 (舍去)， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ， 当时，有最大值，， 当时，有最小值， ， ∴函数的最大值与最小值的差为， 故选：D． 【变式8-2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较的大小关系是解题的关键．由抛物线经过点可得，同理可得，利用因式分解的知识得到，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：抛物线经过点， ， 同理可得：， ， 若，则，， ，即，故①正确； 若，则，， ，即，故②不正确； 若，则，， ，即，故③正确； 若，则，而无法判断的正负性，故无法判断与的大小关系，故④不正确； 综上所述，其中正确的是①③，有2个． 故选：B． 【变式8-3】设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 【题型9 二次函数图象上点的坐标特征】 【例9】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答本题的关键． 根据二次函数的图象上点的坐标特征得出结果即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，函数值随自变量的增大而增大， ∵关于直线的对称点为，，，， ∴， 故答案为：． 【变式9-1】（25-26九年级上·上海·课后作业）若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，根据对称性求出对称轴，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称， ∴； 故答案为：1． 【变式9-2】（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为_______． 【答案】13 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，轴上点的坐标特征，先把二次函数的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，再根据轴上点的坐标特征即可求解，利用配方法把二次函数的解析式转化为顶点式求出顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：13． 【变式9-3】（24-25九年级上·全国·期中）将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点的坐标．此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， ∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线， ∴将点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为， 故答案为：． 【题型10 二次函数的图象】 【例10】（25-26九年级上·上海·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是 (1)填空： ①抛物线的对称轴为直线______； ②图象与x轴的另一个交点坐标为______． (2)如果该函数图象经过点，求它的顶点坐标． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质， 对于（1），根据抛物线中对称轴为解答；再根据抛物线的对称性求出另一个交点； 对于（2），将两个点的坐标代入关系式，再根据顶点式求出顶点坐标． 【详解】（1）解：①， 抛物线的对称轴为直线 故答案为： ②抛物线的对称轴为直线，它与x轴的一个交点坐标是， 图象与x轴的另一个交点坐标为 故答案为： （2）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 它的顶点坐标为 【变式10-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向上 B．图象对称轴为直线 C．函数的最大值为3 D．图象与x轴没有交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、最值及与x轴的交点；通过解析式判断各选项. 【详解】解：∵ ， ∴，抛物线开口向下，故A错误； 对称轴为直线 ，故B错误； ∵开口向下，顶点坐标为 ，函数最大值为3，故C正确； 令 ，得 ，即 ，解得 ， ∴ 图象与x轴有两个交点，故D错误； 故选：C. 【变式10-2】如图，二次函数的图象与轴交于两点，有下列结论： ① ； ②点的坐标为； ③图象的对称轴为直线 ④当时，随的增大而减小 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象判断，根据顶点式判断对称轴，增减性即可得出结果． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故①正确； 无法确定、的坐标，故②错误； ∵， ∴抛物线的对称轴为：直线，故③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数顶点式，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式10-3】如图，已知抛物线与抛物线的图象相交于点A，过A作x轴的平行线分别交y1，y2于点B、C，若AC＝AB，则m的值是_______． 【答案】 【分析】解：设，则，求出的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，抛物线的对称轴为，建立等式求出， 的横坐标为，把代入得，， ，，代入求解即可． 【详解】解：设，则， 的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 抛物线的对称轴为， ， 解得， 的横坐标为， 把代入得，， ，， 代入得，，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是根据题意得出表示出的坐标． 【题型11 二次函数的性质】 【例11】已知抛物线（a是常数，且）．当直线与抛物线有两个交点A、B，且时，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据函数解析式求出图象的顶点坐标，根据二次函数的性质，得到抛物线与轴的坐标不在的下方，得，即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线，顶点为， 直线与抛物线有两个交点A、B， 抛物线开口向下，故， 对称轴为直线，， 抛物线与轴的交点不在的下方， 令，则， ， 解得， 的取值范围为． 【变式11-1】（2026·宁夏银川·三模）二次函数（a、h为常数，）的部分与的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（     ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】根据表格给出的值代入二次函数顶点式，求出和的值，得到完整解析式，再根据二次函数的图象与性质逐一判断各选项，找出说法错误的选项． 【详解】解：已知二次函数解析式为由表格可知，当时，；当时，，将两组值代入解析式得， 解得：， ∴该二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，选项A正确； 由顶点式可知，图象的对称轴为直线，选项B正确； ∵开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，因此“当时，的值随值的增大而减小”的说法错误，选项C不正确； 当时，，选项D正确． 【变式11-2】（2026八年级下·陕西西安·学业考试）抛物线，当时，的最大值与最小值的差为5，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．的值为 D．当时， 【答案】D 【分析】根据抛物线顶点式的性质，先判断开口方向和对称轴，再根据给定x的范围确定y的最大值和最小值的位置，结合二者差为求出的值，再逐一判断选项即可． 【详解】解：抛物线解析式为，且， 抛物线开口向上，故A选项错误； 抛物线对称轴为直线， 开口向上时，仅当时，随的增大而增大，故B选项错误； ，开口向上， 时，取得最小值， 分别计算端点的函数值： 当时，； 当时，； ， ， ∴， 由题意，最大值与最小值的差为， ，解得，故C选项错误； 当时，代入解析式得，故D选项正确． 【变式11-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线交y轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线______； （2）已知正方形边与x轴重合，点A的坐标为，，若此抛物线与正方形的边有交点，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，求二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质等知识，掌握这些知识是关键； （1）根据抛物线的顶点式即可得其对称轴； （2）分别考虑抛物线过点D、C时a的值，即可确定a的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）∵抛物线交y轴于点， ∴， 即， ∴， ∵点A的坐标为，，且四边形为正方形， ∴，， 当抛物线经过点D时，则， 解得：； 当抛物线经过点C时，则， 解得：； ∴当抛物线与正方形的边有交点时，则a的取值范围为； 故答案为：． 【题型12 二次函数图象上点的坐特征】 【例12】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论． 【详解】解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线． 对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大， 计算各点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 【变式12-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线的对称轴为直线，则k的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数的性质，关键是二次函数性质的熟练掌握．根据抛物线顶点式，对称轴为，结合给定条件求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 由题意得，故． 故答案为3． 【变式12-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据得对称轴为直线，结合，则与关于直线对称，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵点，都在二次函数的图象上，且， ∴与关于直线对称， ∴， ∴． 故答案为： 【变式12-3】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）对于题目：当时，关于x的二次函数有最大值4，求实数m的值． 嘉嘉说：m的值为2，淇淇说：m的值为，笑笑说：m的值为．下列说法正确的是（    ） A．笑笑的答案正确 B．嘉嘉与淇淇的答案合到一起才正确 C．笑笑与嘉嘉的答案合到一起才正确 D．他们三个的答案合到一起才正确 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键，注意分类讨论． 联系已知条件，根据对称轴的位置，需分情况讨论求解，可分，和这三种情况，分别进行讨论，求出相应的m的值，问题就可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ①时，时二次函数有最大值，此时， 解得，与矛盾，故m值不存在； ②当时，时，二次函数有最大值， 此时， 解得，(舍去)； ③当时，时二次函数有最大值，此时，， 解得， 综上所述，m的值为2或， 故选：B． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.2 二次函数的图象和性质（基础篇）（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 画二次函数的图象】 2 【题型2 二次函数的开口方向、对称轴、顶点】 3 【题型3 二次函数的增减性】 4 【题型4 画二次函数的图象】 6 【题型5 判断二次函数的图象及性质】 8 【题型6 由二次函数的性质求参数】 8 【题型7 二次函数的图象】 9 【题型8 二次函数的性质】 10 【题型9 二次函数图象上点的坐标特征】 10 【题型10 二次函数的图象】 11 【题型11 二次函数的性质】 12 【题型12 二次函数图象上点的坐特征】 13 考点1 二次函数y＝ax2的图象和性质 知识点1 二次函数y＝ax2的图象和性质 1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c. 2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是(0，0)．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，|a|越大，抛物线的开口越小；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，|a|越大，抛物线的开口越小；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 知识点2 二次函数 y＝ax2（a≠0）的图象的画法 （1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值． （2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点． （4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧． 【题型1 画二次函数的图象】 【例1】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【变式1-1】（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）； （2）； （3）． 【变式1-2】 （25-26九年级上·浙江·课后作业）如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … … … … (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 【变式1-3】（2025九年级·全国·专题练习）已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【题型2 二次函数的开口方向、对称轴、顶点】 【例2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 【变式2-2】（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型3 二次函数的增减性】 【例3】（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【变式3-1】（2026·江西九江·一模）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点2 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象和性质 知识点3 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 几种二次函数图象间的平移规律 例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象． 【题型4 画二次函数的图象】 【例4】已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． (1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … (2)任意写出两条该函数图象具有的特征． 【变式4-1】（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【变式4-2】在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形． （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点； （2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 【变式4-3】在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题． （1）抛物线向________平移________个单位得到抛物线； （2）抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________； （3）抛物线，当x________时，函数随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________． 【题型5 判断二次函数的图象及性质】 【例5】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 【变式5-1】（25-26九年级上·重庆开州·期末）关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 【变式5-2】（25-26九年级上·山西大同·期中）已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为_____．（用“”连接） 【变式5-3】（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【题型6 由二次函数的性质求参数】 【例6】（2026·上海长宁·一模）已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 【变式6-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围是_________． 【变式6-2】如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则 ______． 【变式6-3】已知二次函数，当分别取时，函数值相等，则当取时，函数值为______． 【题型7 二次函数的图象】 【例7】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【变式7-1】若小明将如图所示的两条水平线，中的一条当成轴，且向右为正方向；两条铅垂线，中的一条当成轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数的图象，则坐标原点可能是（    ）    A．点A B．点 C．点 D．点 【变式7-2】二次函数的图象如图，则下列正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-3】老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质． 1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小； 3：该函数的形状与函数的图象相同 甲同学写出几个二次函数表达式： ①②③④ 请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质___________． 【题型8 二次函数的性质】 【例8】（2026·福建三明·二模）在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【变式8-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【变式8-2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-3】设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型9 二次函数图象上点的坐标特征】 【例9】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是_____________． 【变式9-1】（25-26九年级上·上海·课后作业）若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 【变式9-2】（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为_______． 【变式9-3】（24-25九年级上·全国·期中）将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为______． 【题型10 二次函数的图象】 【例10】（25-26九年级上·上海·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是 (1)填空： ①抛物线的对称轴为直线______； ②图象与x轴的另一个交点坐标为______． (2)如果该函数图象经过点，求它的顶点坐标． 【变式10-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向上 B．图象对称轴为直线 C．函数的最大值为3 D．图象与x轴没有交点 【变式10-2】如图，二次函数的图象与轴交于两点，有下列结论： ① ； ②点的坐标为； ③图象的对称轴为直线 ④当时，随的增大而减小 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-3】如图，已知抛物线与抛物线的图象相交于点A，过A作x轴的平行线分别交y1，y2于点B、C，若AC＝AB，则m的值是_______． 【题型11 二次函数的性质】 【例11】已知抛物线（a是常数，且）．当直线与抛物线有两个交点A、B，且时，则a的取值范围为______． 【变式11-1】（2026·宁夏银川·三模）二次函数（a、h为常数，）的部分与的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（     ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 【变式11-2】（2026八年级下·陕西西安·学业考试）抛物线，当时，的最大值与最小值的差为5，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．的值为 D．当时， 【变式11-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线交y轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线______； （2）已知正方形边与x轴重合，点A的坐标为，，若此抛物线与正方形的边有交点，则a的取值范围是______． 【题型12 二次函数图象上点的坐特征】 【例12】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【变式12-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线的对称轴为直线，则k的值为______． 【变式12-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的值为______． 【变式12-3】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）对于题目：当时，关于x的二次函数有最大值4，求实数m的值． 嘉嘉说：m的值为2，淇淇说：m的值为，笑笑说：m的值为．下列说法正确的是（    ） A．笑笑的答案正确 B．嘉嘉与淇淇的答案合到一起才正确 C．笑笑与嘉嘉的答案合到一起才正确 D．他们三个的答案合到一起才正确 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $