专题21.5 二次函数的应用（举一反三讲义）数学新教材沪科版九年级上册

本讲义聚焦二次函数的应用这一核心知识点，系统梳理从二次函数概念、解析式求法、最值计算到实际问题解决的脉络，通过投球、拱桥、销售等11类题型搭建学习支架，例题与变式题结合助力知识迁移。 资料以世界杯、跳水等真实情境为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过建立函数模型培养推理与运算能力的数学思维，用解析式表达问题体现数学语言。课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固，有效查漏补缺。

专题21.5 二次函数的应用（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 投球问题】 2 【题型2 拱桥问题】 8 【题型3 拱门问题】 15 【题型4 喷水问题】 21 【题型5 隧道问题】 26 【题型6 跳跃问题】 32 【题型7 销售问题】 39 【题型8 几何图形问题】 43 【题型9 表格问题】 47 【题型10 新情境问题】 55 【题型11 实物抽象出二次函数模型】 62 考点1 实际问题与二次函数 知识点 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证 结果是否符合实际． 2. 求二次函数最值 将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k；若对二次函数 使用配方法，则当时，y有最大（小）值． 3. 实际问题与二次函数的联系转化 【题型1 投球问题】 【例1】（2026·广东惠州·二模）粤正在广东全省21个市火热进行，惠州主场气氛爆棚，全民观赛氛围十分浓厚，如图是篮球运动员小帅在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，小帅投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米，求此抛物线的解析式．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）．          【答案】抛物线解析式为． 【分析】设抛物线解析式为，把代入解析式即可得解． 【详解】解：由题意得抛物线图象的顶点坐标为，且过点， 设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得． 答：抛物线解析式为． 【变式1-1】（2026·宁夏银川·三模）2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【答案】(1) (2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． (3)能 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 【变式1-2】（2026·山西朔州·三模）根据以下素材，探索完成任务． 羽毛球发球机的运动路线 素材一 如图1，某羽毛球场地的中线长为，球网设置在中线中点处，球网高度为．羽毛球训练机的出球口在中线端点正上方的点处，以为原点、中线所在直线为轴建立平面直角坐标系． 素材二 假设发出的羽毛球沿中线飞行，其运动高度关于水平距离的函数图象为抛物线，该抛物线在与水平距离为的点处达到最高，此时距地面高度为，羽毛球最终落在地面的点处． 素材三 如图3，若羽毛球落地弹起后，且在与水平距离为的点处达到最高，弹起后最高高度为． 问题解决： (1)任务一：求训练机发球后到落地前，羽毛球运动轨迹的函数表达式（不要求写自变量取值范围） (2)任务二：小明在球网的另一侧接球，若羽毛球在离地面距离不少于时为最佳击球高度，求最佳击球点与训练机的水平距离的取值范围 (3)任务三：当时，运动员在点处沿直线击球，想让球从网下穿过后落到点右侧的点，且球网下端离地面高度不低于，该操作能否实现？请说明理由． 【答案】(1)羽毛球运动轨迹的函数表达式 (2) (3)该操作能实现，理由： 如图，若羽毛球落地弹起后，且在与水平距离为的点处达到最高，弹起后最高高度为， 则点的坐标为， 设直线函数表达式， 将点，代入中，得 ， 解得， 则直线函数表达式， 当时，， ， 故该操作能实现． 【分析】（1）根据题意可知抛物线顶点，然后设顶点式，代入求出，得到函数解析式； （2）令解方程得到两个临界，结合球网在处和抛物线图象的性质，确定的范围； （3）由、两点坐标求直线解析式，然后把代入算高度，对比判断能否实现． 【详解】（1）解：根据题意可知，顶点的坐标为， 设羽毛球运动轨迹的函数表达式， 将点代入中，得， 则， 故羽毛球运动轨迹的函数表达式． （2）解：由题意可得， 解得，， ， 当时，的值随值的增大而减小， 需要， ， 小明在球网的另一侧接球，且球网的位置位于中线中点，即距离点处， 最佳击球点与训练机的水平距离的取值范围为． （3）略 【变式1-3】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为．弹球遇到挡板后会反弹，反弹后弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． (1)求抛物线L的解析式； (2)如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度为． ①求点A的横坐标； ②反弹后的小球是否经过点？请说明理由； (3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点E的横坐标的取值范围是______________． 【答案】(1) (2)①点A的横坐标为； ②反弹后的小球不经过点，理由如下： 由题意得，反弹后抛物线顶点的纵坐标为，二次项系数不变， ∴设反弹后抛物线的解析式为， ∵过点， ， ， ， 解得（不合题意，舍去），， ， 当时，， ∴反弹后的小球不经过点． (3) 【分析】（1）设抛物线顶点式，代入原点坐标求解系数，即可得到抛物线L的解析式； （2）① 令抛物线L解析式中，解一元二次方程，舍去零解得到点A的横坐标； ② 反弹后抛物线开口方向和大小与L相同，故二次项系数相同，已知反弹后最大高度即顶点纵坐标，结合过点A，设反弹后抛物线顶点式，联立顶点纵坐标条件与过点A的条件求出解析式，代入点验证是否成立； （3）的交点得到点D坐标，利用反弹的对称性确定反弹后抛物线的开口方向、二次项系数，结合最大高度设出反弹后抛物线的解析式，联立挡板方程求出反弹后抛物线与挡板的交点，根据反弹后仍落在挡板上的条件确定的范围． 【详解】（1）解：设抛物线L的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴抛物线L的解析式为； （2）①当时，， 即， ∴， 解得（舍去），， ∴点A的横坐标为； ②略 （3）由题意，联立得 解得（不合题意，舍去），， ∴点D的坐标为， 设反弹后的抛物线解析式为， ∵经过点， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴， 联立 解得（不合题意，舍去），， ∴反弹后弹球落点与挡板交点的横坐标为20， ∴挡板端点E的横坐标的取值范围是． 【题型2 拱桥问题】 【例2】（2026·广东河源·二模）某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度为，拱顶（点）与水面的距离为．以水面的中点为原点，所在的直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式． (2)今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛．灯笼悬挂点距离水面．请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的表达式为，将点B的坐标代入即可求出解析式； （2）代入（1）的解析式，求出x的值，由此解答； 【详解】（1）解：根据题意，得，拱顶（点）的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：把代入，得， 解得或， ∴两个灯笼悬挂点之间的水平距离为． 【变式2-1】（2026·河南开封·模拟预测）开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 【变式2-2】（2026·河北廊坊·二模）嘉嘉周末到公园游玩，路过一座石拱桥时发现拱桥外轮廓的形状为抛物线的一部分，拱桥下有半圆形出水孔，他画出示意图如图1，在一个单位长度代表1米长的平面直角坐标系中，x轴与地面平行，抛物线段为拱桥的外轮廓，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，半圆O为出水孔，D为中点，米，米． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，春节期间，为了装饰拱桥，在A与D，B与D之间分别拉两根绳子，在绳子和拱桥之间安装灯带，灯带都垂直于地面．在上方有两条长度相等的灯带，（E，G在抛物线上，F，H在线段上，且F在H左侧），点E比点G高n米． ①的值为________； ②，的水平距离为多少米（用含n的代数式表示）； ③试用n表示点E的横坐标x． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）①先得到点坐标，再根据正切的定义求解；②先求出直线的解析式，设，根据题意列式得到即可；③根据灯带都垂直于地面，可知，结合得到，再根据点E比点G高n米，作差求出即可． 【详解】（1）解：由题可知抛物线对称轴为，， 则可设抛物线的解析式为， ，解得， ； （2）解：① D为中点， ， ； ②设直线的解析式为，代入,， 得，解得， 则直线的解析式为， ∵F，H在线段上，且F在H左侧 ∴设， 又∵，，且点E比点G高n米， ∴点比点高n米， ， ∴，即，的水平距离为米； ③由②知，即， ∵灯带都垂直于地面，E，G在抛物线上， ∴， ∵点E比点G高n米， ， 解得， 即点E的横坐标． 【变式2-3】（2026·江苏盐城·二模）阅读下列素材，并完成任务： 背景 中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗． 素材1 已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为3米，水位线宽为6米． 素材2 如图1，现有一艘长为10米，宽米的货船（可近似看成长方体）正从拱桥下方通过，露出水面的横截面为长方形，米．（假设船体货物接触到拱桥时，可以通过拱桥） 素材3 船行走时一般不会导致水位的变化． (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，如果上方的货物横截面为，，米，请通过计算判断此时小船能否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？ (3)船面上方装有如图3所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形，其中，，且E、A、B共线，F、D、C共线，已知当同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米，请求出最多能装多少体积的货物？ 【答案】(1)以的中点为原点建立平面直角坐标系： ∵水位线与拱桥最高点的距离为3米，米， ∴抛物线的顶点为，，， 设抛物线解析式为， 将代入得：，解得：， ∴抛物线解析式为． (2)能通过拱桥，水面上升高度最多不能超过米 (3) 【分析】（1）根据题意作出对应的平面直角坐标系，再结合图象和已知条件利用待定系数法即可求出结果； （2）根据已知条件结合图象作出船只通过拱桥的临界点，通过计算得出临界点的坐标，再与比较得出结果；要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A和点E需恰好在抛物线上，设，则，将点代入抛物线解析式求出t的值，从而得出最终结果； （3）通过设未知数结合图象求出五边形的面积，再得出货物的体积，根据题意列出列出方程即可得出最终结果． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，如图， 令，则， 解得：，， ∴，， ∵米， ∴， 令，则， ∴, ∵， ∴能通过拱桥， 要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A和点E需恰好在抛物线上， 如图，设，则， 将点代入抛物线得： ， 解得：， ∴， ∴水面上升高度最多不能超过（米）． （3）解：如图，当船未装货物时，点G位于抛物线的顶点，即，设与y轴交点H， ∵米， ∴，， 令，则， ∴， 设船会下沉x米， ∴，， ∴ ， ∴， ∵同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米， ∴， 解得：， ∴． 【题型3 拱门问题】 【例3】（2026·山西阳泉·二模）综合与实践 问题情境： 为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1所示的充气“成功门”，充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有“全力以赴”“中考必胜”的励志标语． 数学建模： 如图2，已知充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面．以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式． 问题解决： (2)若充气“成功门”内两立柱，间的水平距离为，求立柱的高度． (3)活动最后一项为各班同学排成列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平间距保持，第一排靠近立柱的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶到地面垂直距离的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出顶点坐标为，设该抛物线的函数表达式为，把代入，求出的值即可得答案； （2）根据，间的水平距离为，得出点的横坐标为，把代入（1）中所求解析式，求出的值即可； （3）先求出列纵队的宽度为，可得第一排靠近立柱的同学的位置与点的水平距离为，把代入（1）中所求解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面，点为坐标原点， ∴抛物线顶点为，其坐标为， 设该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为． 把代入，得， 解得， ∴该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为． （2）解：∵两根同样高立柱，间的水平距离为，， ∴点的横坐标为， 当时，． 答：立柱的高度为． （3）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵各班同学排成列纵队依次通过“成功门”，且相邻两列纵队之间的水平间距保持， ∴列纵队的宽度为， ∴通过“成功门”时，第一排靠近立柱的同学的位置与点的水平距离为， ∵当时，． ∴班旗旗顶到地面垂直距离的最大值为． 【变式3-1】（24-25九年级下·陕西西安·阶段检测）3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设，把点A的坐标代入求解即可； （2）把代入（1）中所求表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ （2）解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 【变式3-2】（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形． 工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题． 方案分析：在图1中，具体结构与数据如下： ①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为． ②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽． 建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式； 问题解决： (2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）． ①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径； ②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)①圆形校徽的直径为；② 【分析】（1）根据题意，先得出各点得坐标，结合抛物线的性质，假设对应的函数表达式为，将点、代入求解即可； （2）①令对应的函数表达式为，由，可得方程，由点坐标可得，结合求解出对应的、，即可得出这个校徽的直径；②结合题意，判断出当时，对应的值之间的距离即为两个摄像头之间水平距离的最小值，故求解值即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知抛物线顶点恰好在轴上， 且点、、、、， 故假设对应的函数表达式为， 将点、代入 ， 得，解得， 故对应的函数表达式为． （2）解：①令对应的函数表达式为， 当时，对应的函数值为． ∴， 结合点，得， 故可得方程组，解得， ∴对应的函数表达式为， 故点， ∴． ②根据题意，要求摄像头离地面的高度不超过， 即， 当时，得， 解得， ∴两个摄像头之间水平距离的最小值为． 【变式3-3】（2025·河南新乡·二模）如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中为的中点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值； (3)如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔，若灯笼高度忽略不计，请设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：） 【答案】(1) (2)米 (3)以为中心，在、、、、、、、、、、的位置悬挂灯笼 【分析】（1）根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设点的坐标是，则有支撑杆的长度和是，整理成顶点坐标式为，根据二次函数的性质可知所需支撑杆长度和的最大值为； （3）因为灯笼到地面的垂直距离不低于，可得关于的一元二次方程，解一元二次方程得到时，两点之间的水平距离为，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼，据此写成方案，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线顶点的坐标是， 为的中点，，， ∴点的坐标是， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； （2）解：设点的坐标是，则由抛物线的对称性可得， 则，， 则支撑杆的长度和是， 整理得， ∴当时，所需支撑杆长度和的最大值为米； （3）解：由（1）知，抛物线的函数表达式是， 令， 整理得， 解得， ∴时，两点之间的水平距离为， 要让数量最多，相邻间隔取1米，最多可以悬挂灯笼的数量是个． 悬挂方案：以O为中心，在、、、、、0、1、2、3、4、5的位置悬挂灯笼． 【题型4 喷水问题】 【例4】（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 【变式4-1】（2026·陕西咸阳·一模）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 【答案】(1)水流的最高点到地面的距离为10米 (2)左、右两条水流最高点之间的距离为6米 【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可； （2）根据点关于轴对称的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流最高点到地面的距离为10米； （2）解：∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴左边抛物线的顶点为，其关于轴的对称点即为右边抛物线的顶点， ∴左、右两条水流最高点之间的距离为：米． 【变式4-2】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图1，2是水槽水龙头的侧面简易示意图，矩形为水槽侧面，宽，深，排水口位于的中点．在水槽边正上方安装水管，水龙头，水管，．按水龙头的安装要求，水流需直接对准排水口确保水快速排入管道，水流的形状近似看作线段．（参考数据：，，） (1)如图1建立平面直角坐标系，求点和点的坐标； (2)为方便儿童洗手，在点加装喷水装置如图2，从点喷出的水流形状近似可以看作抛物线．已知当水流与水槽边的距离为时，水流达到最高，最高高度为，求出抛物线的表达式； (3)加装喷水装置后，打开水龙头时水流是否会淋到水槽外，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)解：会淋到水槽外． 理由如下： ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴当时，， ∵矩形， ∴， ∵， ∴会淋到水槽外． 【分析】（1）过点向作垂线交于点，解，求出的长，进而求出点和点的坐标即可； （2）求出顶点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：过点向作垂线交于点，如图， ∵， ∴． 在中，， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵当水流与水槽边的距离为时，水流达到最高，最高高度为，， ∴抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线表达式为； （3）略 【变式4-3】（2026·广东河源·二模）综合与实践 主题 喷泉设计 背景 数学兴趣小组要设计一个类似图（1）的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出的水柱会落入下面的喷头处． 素材1 如图（2）是喷头A所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A，B在y轴上，通过调节，喷头A 喷出的水柱形状为抛物线 素材2 平台的高为5米（即米），轴，喷头A喷出的水柱落入喷头C 处，喷头C 喷出的水柱所在抛物线的形状与相同． 素材3 喷头C喷出的水柱落入喷头E处，平台的高为2米（即米），点F在x轴上，米，喷头 E喷出的水柱形状为抛物线，水最终落入圆柱形接水装置（纵截面为矩形）中，接水装置高米，底面直径米，在x轴上．    问题解决 (1)求点C 的坐标． (2)求抛物线的解析式． (3)要使喷头E喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置，求接水装置离的水平距离． 【答案】(1)点C的坐标为 (2) (3)1.8米 【分析】（1）先由轴，确定C 的纵坐标为5，再代入可求出点C的横坐标，即可得出点C的坐标； （2）根据抛物线的形状与相同，可设抛物线的解析式为 ，再代入，求解即可； （3）对于，令，得，解得或 (舍去)，进而可求出． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴点 C 的纵坐标为5； 由题意知抛物线 经过点C， ∴令 解得或 (舍去)， ∴点C的坐标为； （2）解：∵抛物线的形状与相同， ∴可设抛物线的解析式为 ， 由题意知，抛物线经过点 C，E， ∴将，分别代入 ，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：令， 解得或 (舍去).     ∵，，且喷头 E 喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置， ∴（米）． 【题型5 隧道问题】 【例5】（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，，抛物线的最高点离路面的距离为． (1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； (2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：这辆货车能安全通过，理由如下： 根据题意，把代入解析式，得． ∵， ∴这辆货车能安全通过． 【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入求出函数值和车的高度作比较即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点， 所以， 解得， ∴； （2）略 【变式5-1】（2026·陕西宝鸡·一模）如图1是某海洋馆的玻璃隧道，图2是它的截面示意图，玻璃隧道截面可近似看作抛物线和矩形构成．矩形的长米，宽米，小明以O为原点，所在水平线为x轴、所在直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，在抛物线上点处贴有一张“小心碰头”的温馨提示． (1)求隧道截面所在抛物线的函数表达式； (2)为保障游客观赏效果，清洁工人会对玻璃隧道进行定期清洁，某次清洁工人站在地面上清洁玻璃隧道时，能刷到的最大高度是其站立位置地面的正上方米处（抛物线上的段清洁工未清洁，即点E、F到x轴的距离均为米），此次清洁工人站在地面完成玻璃隧道清洁后，求未清洁部分最低两处的水平距离（即求E、F两点之间的距离）． 【答案】(1) (2)未清洁部分最低两处的水平距离为米 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意令代入抛物线求解，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设抛物线解析式为，点在抛物线的图象上， ∴， 解得，， ∴； （2）解：点E、F到x轴的距离均为米，则令， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴未清洁部分最低两处的水平距离为米． 【变式5-2】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过， 理由如下：如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）略 【变式5-3】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 【题型6 跳跃问题】 【例6】（2026·河南平顶山·二模）马年央视春晚上，一款表演机器人在舞台中央完成腾空跃起动作，其运动轨迹可近似看作抛物线．机器人从地面起跳点腾空，最高点距地面米，落地点与起跳点水平距离为米．如图，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)若舞台上一处灯光装置的坐标为，判断机器人在运动过程中是否会经过该灯光装置所在位置？ (3)若机器人在竖直高度不低于米的区域完成旋转表演，求机器人进行旋转表演的水平距离． 【答案】(1)； (2)不会； (3)． 【分析】由题意得抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上，设该抛物线的函数解析式为，然后把代入即可求解； 将代入抛物线解析式，然后比较即可； 令，则，解得，从而求出机器人进行旋转表演的水平距离． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上， 设该抛物线的函数解析式为， 把点代入得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：不会， 将代入抛物线解析式，得， ∴机器人不会经过该灯光装置所在位置； （3）解：令，则，解得， ∴水平距离为（米）， ∴机器人进行旋转表演的水平距离为米． 【变式6-1】（25-26九年级上·北京西城·期末）如图1，为了丰富学生的课余生活，某校九年级组织开展跳长绳活动．如图2，假设两名摇绳的学生握绳的手A，B之间的水平距离为，当手A，B与地面的距离均为时，绳子的最高点C与地面的距离为，此时绳子的形状可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，设该抛物线表示的二次函数为．当摇绳两端握绳的手同时向上平移时，绳子整体也相应向上平移且形状不变． (1)求该抛物线表示的二次函数； (2)如果参加跳长绳活动的学生身高均为，且相邻学生站位间隔均为，除摇绳的学生外，求最多有多少名学生能同时参加跳长绳活动； (3)由于还有1名学生没能同时参加跳长绳活动，在（2）的情况下，若加入这名学生，在不改变摇绳的学生手A，B之间的水平距离和绳长的情况下，只需将手A，B同时向上平移，直接写出h的最小值（精确到0.01）． 【答案】(1) (2)最多有9名学生能同时参加跳长绳活动 (3)0.05 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）由题意并结合图象可得二次函数的顶点坐标为，二次函数的解析式为，将代入可得，计算即可得出结果； （2）在中，当时，，求得或，从而可得与轴的两交点间的水平距离为，再求出间隔数，即可得出结果； （3）抛物线上移后，解析式为，求出总水平距离为，令，则，求出水平距离为，由题意可得，求解即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， 由图象可得：二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴该抛物线表示的二次函数为； （2）解：在中，当时，， 解得：或， ∴与轴的两交点间的水平距离为， ∵相邻学生站位间隔均为， ∴间隔数为，取整数部分， ∴人数为（人）， 故最多有9名学生能同时参加跳长绳活动； （3）解：抛物线上移后，解析式为， ∵需要容纳人， ∴总水平距离为， 令，则， 解得：或， ∴水平距离为， 由题意可得：， 解得：， ∴h的最小值为． 【变式6-2】（2026·内蒙古包头·二模）2024年8月6日，在巴黎奥运会女子10米跳台跳水决赛中，中国选手全红婵勇夺金牌．已知跳水运动员起跳后的运动轨迹可近似看作抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)某位运动员在第一次跳水中，从点A处起跳（如图），她的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，测得几组数据如表： 水平距离 3 3.5 4 竖直高度 10 11.25 k 则k，a的值各为多少； (2)若该运动员在跳水中，记她第一次跳水的入水点的水平距离为，求的值； (3)若该运动员在第二次跳水中，她的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系式，从该运动员起跳后到达最高点处时开始计时，已知点到水平面的距离为，竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间近似满足函数关系式．若该运动员在达到最高点后需要才能完成某个极具难度的动作，请通过计算说明，该运动员能否在落水前完成此动作． 【答案】(1)，； (2)米； (3)该运动员能在落水前完成此动作． 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再将代入计算即可． （2）求出当时，的值即可； （3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ， 将代入得； （2）解：， 当时：， 解得：，（不合题意，舍去）； 米； （3）解：， ， ， ， 当时，， 该运动员能在落水前完成此动作． 【变式6-3】（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图1，“跳一跳”曾是某社交软件上风靡一时的互动游戏，该游戏要求操作者通过控制“i”形小人（看成点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2所示．在平面直角坐标系中，矩形、矩形和矩形的边，，均在x轴上，，，，，“i”形小人从点B处起跳后沿抛物线运动，落在边的中点H处． (1)点B的坐标为______________，点H的坐标为______________； (2)求抛物线的解析式； (3)“i”形小人从点H处再次起跳后沿抛物线运动，且与形状相同． ①若与的最大高度相同，判断“i”形小人会落在平台上还是落在x轴上？说明理由，并求出落点的坐标； ②若“i”形小人再次起跳后沿抛物线落在平台上（包括边界），设的最大高度为，直接写出符合条件的整数的个数． 【答案】(1)， (2) (3)①“i”形小人会落在轴上，见解析；② 【分析】（1）先根据矩形的边长、，直接得出点的坐标；再依次计算、，结合矩形的高，得到、坐标，最后利用中点坐标公式求出点的坐标即可； （2）先由抛物线经过纵坐标相同的、两点，得出其对称轴为直线，即顶点式中；再将点坐标代入，解方程求出，回代即得抛物线的解析式； （3）①先由与形状相同且最大高度相同，得出是向右平移个单位得到的，进而得到的顶点坐标为，解析式为；再令求出等高落点的横坐标，对比平台左端点，判断出小人会落在轴上；最后令，解出符合条件的，得到落点坐标；②先设的解析式为，代入起跳点，得到；再令求出落点横坐标，结合平台的横坐标范围，解出的取值范围为；最后将的范围代入的关系式，求出的取值范围为，统计其中的整数个数即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴点的坐标为； ∵，，， ∴，， ∵矩形中，， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴点的坐标为，即； （2）解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 把，代入解析式，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：①“i”形小人会落在轴上，理由： ∵与形状相同，且最大高度相同， ∴的二次项系数与相同，顶点纵坐标也为，即可由向右平移得到， ∵的起跳点平移后对应的起跳点， ∴平移的距离为， ∴抛物线的顶点坐标为，即， ∴抛物线的解析式为， ∵，，， ∴，， 即的横坐标范围为， 令中，得 ， 解得，（起跳点，舍去）， ∵等高落点横坐标（左端点）， ∴“i”形小人会落在轴上； 令中，得， 解得，（舍去，小于对称轴）， ∴“i”形小人落点的坐标为； ②∵与形状相同， ∴可设（为最大高度）， ∵过起跳点， ∴，即， ∵小人需落在平台上（含边界），平台的横坐标范围为， ∴落点横坐标需满足，解得， 当时，； 当时，， ∴的取值范围为，其中整数为，，，，，，共个． 【题型7 销售问题】 【例7】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个． (1)当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元； (2)当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【答案】(1)50元或60元 (2)当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及一元二次函数的最值，解决本题的关键是根据题意建立等式 （1）设每个售价为元，表示出日均销售量计算即可； （2）设日均利润为元，将二次函数配方为顶点式求解最大值即可． 【详解】（1）解：设每个售价为元， 根据题意可得：， 整理得， 解得：，， 答：当每个售价为50元或60元时，所得日均总利润为2000元； （2）解：设日均利润为元， 则 ， ∵， 当时，取最大值，最大值为2250， 答：当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元． 【变式7-1】（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】(1)， (2) (3)销售单价定为90元时，商场可获得最大利润 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与的函数关系式为，然后由图像可把点代入进行求解即可； （2）根据（2）及利润=单个利润×总的销售量即可求解； （3）由（2）结合二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，由题意， 得，解得， 与的函数关系式为， 成本为60元，获利不超， ； （2）解：由题意，得： ； （3）解：由（2），得， ， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值900， 答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润． 【变式7-2】（2026·四川成都·模拟预测）某村大力发展特色农产品产业，大量栽种甜橙，同时搭建电商运营服务平台，开设网店销售农产品．甜橙丰收后，将一批甜橙采取现场销售和网络销售结合进行试销，统计后发现：同样多的甜橙，现场销售可获利800元，网络销售可获利1000元，网络销售比现场销售每件多获利5元． (1)现场销售和网络销售每件获利分别是多少元？ (2)根据甜橙试销情况分析，现场销售量（件）和网络销售量（件）满足如下关系式：，求当为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) 现场销售每件获利20元，网络销售每件获利25元 (2) 当时，总利润最大，最大利润是20600元. 【分析】（1）设现场销售每件获利元，则网络销售每件获利元，结合题意的数量关系列分式方程求解即可； （2）设农户销售甜橙获得的总利润为元，结合题意得到，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设现场销售每件获利元，则网络销售每件获利元， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴现场销售每件获利20元，网络销售每件获利25元； （2）解：设农户销售甜橙获得的总利润为元， ∴， ∵， ∴， 化简得，， 配方得：， ∵ ，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时，符合实际意义， ∴当为160时，农户销售甜橙获得的总利润最大，最大利润是20600元． 【变式7-3】（2026·广东深圳·三模）首届“粤超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销． (1)某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价； (2)经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a满足关系，请你选择其中一种销售方案为老板制定销售价格： 方案一：利润最大 方案二：固定利润率 该店销售A品牌足球的利润最大，单件售价a为多少元，最大利润为多少？ 尽量优惠顾客，该店销售A品牌足球获得固定利润率，单件售价a为多少元，及进货量． 【答案】(1)A品牌足球的单件进价为100元，B品牌足球的单件进价为80元 (2)选方案一，当单件售价元时，最大利润为5000元；方案二，，进货量为40 【分析】（1）设B品牌足球的单件进价为x元，根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）方案一，设销售A品牌足球的利润为W元，列出二次函数关系式，求最值即可；方案二，根据题意列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设B品牌足球的单件进价为x元， ，解得， 经检验，是原方程的解． ∴． 答：A品牌足球的单件进价为100元，B品牌足球的单件进价为80元． （2）解：方案一：A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足， 设销售A品牌足球的利润为W元， 则， 因为二次项系数小于0，所以抛物线图象开口向下，当元时，W取得最大值． 答：当单件售价元时，该店销售A品牌足球的利润最大，且最大利润为5000元． 方案二：由题意，， 解得， ∵A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足， ∴， 答：当单件售价元时，该店销售A品牌足球的利润率为，应进货40个． 【题型8 几何图形问题】 【例8】（2026·内蒙古通辽·二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，满足条件的花园面积能达到平方米 (3)当时，最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围； （2）把代入解方程并检验取值； （3）配方法求二次函数在定义域内的最值． 【详解】（1）解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得． （2）解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米． （3）解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米． 【变式8-1】在一幅长 ，宽 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，要求纸边的宽度不得少于，同时不得超过 ． (1)求出y关于x的函数解析式． (2)当挂图面积为，时，求金色纸边的宽． (3)此时金色纸边的宽应为多少时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值． 【答案】(1) (2) (3)当cm时，最大值为 【分析】（1）根据矩形的面积公式即可得出y关于x的函数解析式； （2）当挂图面积为时，即可求得宽； （3）根据二次函数的性质，即可求得最值． 【详解】（1）解：镶金色纸边后风景画的长为cm，宽为cm， ∴ ()． （2）解：当cm时，即， 解得 ∵ ∴ 答：当挂图面积为时，金色纸边的宽为1cm． （3）解：∵二次函数的对称轴为， ∴在上，y随x的增大而增大， ∴当cm时，取最大值，最大值为． 答：金色纸边的宽为cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，掌握二次函数最值是解题的关键． 【变式8-2】用一块边长为60㎝的正方形薄钢片制作一个长方体盒子：如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，如图(1),然后把四边折合起来，如图(2) （1）求做成的盒子底面积y(㎝2)与截去小正方形边长x(㎝)之间的函数关系式； （2）当做成的盒子的底面积为900㎝2时,试求该盒子的容积. 【答案】（1）y=4x2-240x+3600；（2）该盒子的容积为13500cm3. 【分析】（1）先表示出盒子的正方形底面的边长，然后根据正方形的面积公式即可得出x，y的函数关系式； （2）可将底面积代入（1）的式子中，求出高，然后根据底面积×高=容积，即可得出容积是多少． 【详解】（1）由题意可得y=(60-2x)2=4x2-240x+3600； （2）当y=900时(60-2x)2 =900 ∴60-2 x=±30 ∴x1=15 x2=45 ∵x2=45不符合题意∴x=15， ∴该盒子的容积为900×15=13500 （cm3）， 答：该盒子的容积为13500cm3. 故答案为（1）y=4x2-240x+3600；（2）该盒子的容积为13500cm3. 【点睛】本题考查正方形的面积公式的运用，一元二次方程的解法，长方体容器的容积的运用，解答时求出容器的高是解题的关键． 【变式8-3】（2026·安徽·二模）为落实《中共中央  国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校成立了劳技兴趣小组，某次活动如下：用两块全等、周长均为的矩形材料拼成如图所示的物件，其中矩形和矩形的对角线交点重合，，依次取，，，的中点，然后沿图中虚线剪去八个全等的小直角三角形，得到一个星状图形． (1)当两个矩形重叠部分的四边形面积为时，求星状图形的面积； (2)求星状图形周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：四边形为正方形，，接着求得的长度，接着利用求得答案； （2）设的中点为，，那么，通过勾股定理表示出，利用二次函数的性质，求得的最小值，从而求得答案． 【详解】（1）解：由题意得：四边形为正方形， 设图形的面积用表示，依题意，， ∵矩形和矩形，周长均为， ∴， ∴， ∵图中剪去八个全等的小直角三角形， ∴． （2）解：设的中点为，， ∵矩形和矩形，周长均为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∵图中剪去八个全等的小直角三角形， ∴星状图形的周长最小值． 【题型9 表格问题】 【例9】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离米和飞行高度米的数据，记录数据如下表： 照相机频闪时间/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … (1)根据表格中的数据描点，连线，发现与近似地满足二次函数关系，请写出与之间的函数表达式； (2)根据表格数据，可知水平距离与时间满足关系式．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； (3)乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 【答案】(1) (2)持续时间秒 (3)当水平距离为20米时，最大高度差为4米 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）令，解出x的值求解即可； （3）设高度差为h，，根据二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：设，将、、代入，得 ， ； （2）解：令，， ，， 将，代入得， 得，， 持续时间秒． （3）解：设高度差为， ， 当水平距离为20米时，最大高度差为4米． 【变式9-1】（24-25九年级上·河南·阶段检测）暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，强盛体育用品店开展乒乓球拍促销活动． (1)据市场调研发现，强盛体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6、7、8三个月的销售情况如下表： 销售时间 6月 7月 8月 销售量 500副 720副 每月的月销售增长率相同，求表格中的值． (2)强盛体育用品店乒乓球拍的进价为40元/副，每天的销售量（副）与销售单价（元）之间的关系为，请问该体育用品店的销售单价定为多少元可使每天的销售利润最大？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意列出函数式子是解题的关键． （1）设平均每月增长率为，根据6月和8月的增长情况列出方程求出增长率即可解答； （2）设每天销售利润为元，根据利润每一件利润数量列出函数式子，再根据取值范围分析求解即可． 【详解】（1）解：设平均每月增长率为， 根据题意得：， 解得：或（不合题意舍去）， ∴ ； （2）设每天销售利润为元， 根据题意得：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取最大值， 答：销售单价定为90元时，每天的销售利润最大． 【变式9-2】（2026·广东·二模）综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的距离与时间的关系进行了深入探究．该兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】 如图1所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从小球运动到点处开始，用相关仪器测量并记录小球在水平木板上的运动时间（单位：），运动距离（单位：）的数据． 【收集数据】 记录的相关数据如下： 运动时间 t/s 0 3 6 9 12 15 … 运动距离y/cm 0 27.75 51 69.75 84 93.75 … 【建立模型】 根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用二次函数近似的表示y与t的函数关系． (1)观察发现y关于t的二次函数图象经过原点，设y与t的函数关系式为 请求出该关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)若小球运动到 点处的同时，在其右侧 处的水平木板上有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，请研究小球能否追上该电动小车，并说明理由． 【答案】(1) (2)小球不能追上该电动小车，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法，选取表格中两组数据代入，解方程组即可求得的值； （2）分别表示出小球和电动小车的位置坐标，令两者位置相等，判断方程是否有实数解，若无实数解，则说明两者位置不会重合，小球无法撞上小车． 【详解】（1）解：依题意， ，且函数图象过、两点， 代入得： ， 将第一个方程乘以，得：，与第二个方程相减： ， ，解得， 将代入： ， ， ， ， 因此，函数关系式为： （2）解：设经过秒后，小球与电动小车的位置分别为、， 小球的位置：，   电动小车的位置：初始在处，以向右运动，故， 若小球追上小车，则， 即：， 整理得：， 两边乘以4：， 计算判别式： ， 由于方程无实数解，说明小球与电动小车的位置永远不会重合，因此小球不能追上该电动小车． 【变式9-3】（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 【答案】(1)解：描点、连线，图象如图所示： ①一次；；②二次； (2)①不会超出该路面范围；② 【分析】（1）①描点、连线，观察图象，可以发现v与t之间的函数图象可以近似地看为一条直线，为一次函数，由待定系数法求解即可； ②描点、连线，观察图象，可以发现y与t之间的函数图象可以近似地看为一条抛物线，为二次函数，由待定系数法求解即可； （2）①计算出新能源汽车行走的最大距离与比较大小即可； ②根据题意，刹车距离需要大于的距离加上以的速度行驶的电车行驶的距离，结合二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：①v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示， 设， 将点与点代入函数关系式中， 可得，解得， ∴， ∴v与t的函数关系式为． ②y与t之间的关系可以近似地用二次函数， 设， 将点，点，点代入函数关系式中， 可得，解得， ∴， ∴y与t之间的函数关系式为． （2）解：①不会超出该路面范围， ∵当新能源汽车完全停车时， ∴，即， ∴新能源汽车行走的最大距离为， ∵， ∴不会超过路面范围； ②∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，d最大为； ∴最小为． 【题型10 新情境问题】 【例10】（25-26九年级上·山西忻州·期末）综合与实践 问题情境：科学探究实验小组阅读科普读物发现：竖直上抛的小球离地面的高度是它运动时间的二次函数．周末，他们在保证安全的前提下，在综合实验楼前做了“从地面竖直向上发射小球”的实验；小球被发射时的速度为定值． 实验数据：根据实验小组多次测量可得，小球离地面的高度与小球运动的时间的部分数据如下表： 0 1 2 6 0 25 40 0 问题解决： (1)求小球离地面的高度与小球运动的时间的函数解析式． (2)求小球被发射后离地面的最大高度． (3)小宇在实验楼十层的观察点观察小球运动，已知观察点离小球发射点的竖直高度为．小宇说：“两次看到小球经过观察点的高度，并且这两次间隔的时间为．"请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小宇的说法正确，理由见详解 【分析】本题考查了二次函数的表达式求解，二次函数的最值及一元二次方程的应用． （1）由于h是t的二次函数，且时，，设二次函数为一般式，将表格中，代入，得到二元一次方程组，解出a、b，即可得函数表达式； （2）将二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，从而得到顶点的纵坐标即为最大高度； （3）小球经过观察点时，高度，因此将代入函数表达式，得到关于t的一元二次方程，求解方程得到t的两个值，计算其差值，若差值为3，则小宇的说法正确． 【详解】（1）解：∵h是t的二次函数，且当时，， ∴设， 将，代入中， 得，解得， ∴h与t的函数表达式为． （2）解：， ∵， ∴当时，h取得最大值，为45， ∴小球被发射后离地面的最大高度为． （3）解：小宇的说法正确， 理由：当时，， 解得：，， ∵， ∴小球两次经过观察点的高度，并且这两次间隔的时间为， ∴小宇的说法正确． 【变式10-1】（2026·山西太原·三模）综合与实践 问题情境：某游乐园想设计一款带喷泉的水上滑梯游乐设施，如图所示为设计示意图，为水上滑梯，滑梯顶端点离地面4米（即米），水平长度米，在滑梯上方设计喷泉，喷泉喷出的水柱呈抛物线，为不淋湿游客，保证在滑梯两端，处喷泉离滑梯的距离为米（即米），如图所示建立平面直角坐标系，喷泉最高点离轴米． (1)数学建模：请你结合已知安全间距与顶点位置条件，求出喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式． (2)解决问题：根据施工要求喷泉落地处需要修建防水排水凹槽，防止积水漫延侵蚀滑梯地基．请求出喷泉落地位置到滑梯立柱的水平距离，以此确定排水槽的位置． (3)游乐园采购部门依据水柱与滑梯的最大间距选配喷泉出水压力（间距决定水压上限，间距过小需减小水压防溅水），请写出全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离． 【答案】(1)水柱所在抛物线的表达式为 (2)喷泉落地位置D到滑梯立柱OA的水平距离为米 (3)当时， 【分析】（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线，，得出抛物线与y轴交点C的坐标为，设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）当时，求解方程，根据题意得出合适的解即可； （3）设直线的解析式为，利用待定系数法得出，然后设喷泉水柱与滑梯滑道的竖直距离为d，得出相应的函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，， ∵， ∴抛物线与y轴交点C的坐标为， ∵， ∴抛物线经过点； 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 由对称轴得， 将点代入得， 将代入上式得： 解得， ， ∴喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 整理得， 解得， 且 (舍去)， 答：喷泉落地位置D到滑梯立柱的水平距离为米； （3）解：设直线的解析式为， 将代入得： 解得， ∴直线的解析式为， 设喷泉水柱与滑梯滑道的竖直距离为d，则： ， ∴当时，d有最大值，最大值为 答：全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离为米． 【变式10-2】（2026·广东深圳·一模）【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），设水池2的边的长为（）（），面积为（）． 【问题解决】 (1)当时，则关于的函数关系式为______，关于的函数关系式为______； (2)在（1）的条件下，函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于、两点，在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)当水池1与水池2的面积相差2时，有唯一值，求的值． 【答案】(1)， (2)当时，面积差的最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意表示出，，然后利用矩形面积公式分别求解即可； （2）根据二次函数性质，求出最值即可； （3）根据面积相差2列出方程，由都有唯一值，求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：由图象得，在范围内，， 两个水池面积差， ，抛物线开口向下， 函数有最大值， ， 当时，函数有最大值， 答：当时，面积差的最大值为； （3）解：水池1与水池2的面积相差为2，， 或， 整理得，或， 有唯一值， 上述两个方程中，必有一个方程方程有两个相等的实数根，另一个方程无实数根， 若有两个相等的实数根， 则， 解得， 此时方程的判别式为，无实数根，符合题意； 若有两个相等的实数根， 则， 解得， 此时方程的判别式为，有两个实数根，此时共有三个值，不符合题意，舍去， 综上，． 【变式10-3】（25-26九年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情境：图1是某个仓库，图2是棱长为1米的立方体仓储品，图3是仓库横截面的示意图，已知墙体，米，水平距离米，仓库顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，它可以近似的用函数表示． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)将四件一样的图2中的仓储品按如图3所示的方式叠放在处，米，米．当叉车要搬运货物时，需要将其向上抬升0.1米．若利用叉车将仓储品沿x轴正方向移动了0.6米，求此时仓储品货物顶端离仓库顶部的最小距离．（该距离包括搬运货物抬升的高度） (3)如图4，在仓库中沿着x轴的正方向摆放4处图2中的立方体仓储品，每处立方体仓储品按问题（2）中的方式用叉车将货物抬升0.1米来搬运并叠放，叠放数量不同，其中米，米，，则叠放最多的一处可叠放______个立方体仓储品． 【答案】(1) (2)0.9米 (3)6 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）根据题意写出A，B 点的坐标，代入解析式求出b，c的值即可； （2）将仓储品沿x轴正方向移动0.6米后，，得抛物线的对称轴为直线，货物始终在对称轴的左侧，得出当时，货物顶端离仓库顶部的距离最小，将代入解析式求得对应的值，再计算出货物的高度，两者相减即可得出答案； （3）根据二次函数的性质得出处可叠放的立方体仓储品最多，米，将代入计算出对应的y值，进而可得出处可叠放的立方体仓储品个数． 【详解】（1）解：由题意，可知点，在上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：将仓储品沿x轴正方向移动0.6米后，， 由题意，得抛物线的对称轴为直线， ∴货物始终在对称轴的左侧， ∴当时，货物顶端离仓库顶部的距离最小， 将代入中， 得（米）， 此时仓储品货物顶端距离地面的高度为（米）， ∴仓储品货物顶端离仓库顶部的最小距离为（米）； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵米，米， ∴米， 同理，米， ∴（米）， ∵，米， ∴米， ∴米，米， ∵， ∴处可叠放的立方体仓储品最多， 将代入， 得， ， 即叠放最多的处可叠放6个立方体仓储品． 故答案为：6． 【题型11 实物抽象出二次函数模型】 【例11】（2026·安徽合肥·三模）综合与实践 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 实验数据：如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合实验数据，完成以下任务： (1)分别求出抛物线和的函数表达式； (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，当高度的长为，求此时宽度的长． (3)若要求电子显示屏的宽度不小于，问：它的高度的最大高度是多少？ 【答案】(1)的表达式为；的表达式为 (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）由题意可设，则，根据对称轴为直线，则的横坐标为，得出，，根据列出方程，解方程，即可求解； （3）由（2）可得，根据题意得出，，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 由对称性可得，抛物线的顶点为，即， 设表达式为：， 代入得，， 解得 ∴抛物线的表达式为； 由对称性可得，抛物线的顶点为， 设表达式为：， 代入得，， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：抛物线：；抛物线： 由题意可设，则， ∵对称轴为直线，则的横坐标为 ∴， ∴ 当时 解得或（舍去） ∴， （3）解：由（2）可得 ∵，即 解得： ∵，，当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为： 【变式11-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）图1为某景区大门，其截面示意图如图2所示，顶部外轮廓L及下方门洞均呈抛物线型（厚度不计），大门宽度，其中为两段垂直于水平地面的墙体，且，点B、C均在抛物线L、上，分别以所在直线为x轴、y轴建立图2所示的平面直角坐标系，已知抛物线L的函数表达式为（h为常数），抛物线L、的最高点在同一竖直直线上，且它们的最高点之间的距离为． (1)求的长及抛物线的函数表达式； (2)为两条抛物线之间的连接支柱，两根支柱均与地面垂直，点F、N均在抛物线L上，点E、M均在抛物线上，已知支柱的长度，求这两根支柱之间的水平距离．（墙体、支柱的宽度均忽略不计） 【答案】(1)的长为，的函数表达式为 (2)两根支柱水平距离为 【分析】（1）根据、都在抛物线上且，，得出抛物线的对称轴为，即可得出抛物线的表达式，再令，求出，根据与最高点在同一条竖直线上，且最高点距离为，求出的顶点坐标为，即可求解； （2）设支柱的横坐标为，根据支柱的长度，点F、N均在抛物线L上，点E、M均在抛物线上，支柱长度为上方抛物线的纵坐标减去下方抛物线的纵坐标，得出，解方程求出两根支柱的横坐标，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点式为， 由题意：、都在抛物线上且，即两点纵坐标相等， ∵， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线的表达式为：， 将代入，得：， ∴， 由题意，与最高点在同一条竖直线上，即对称轴也为，且最高点距离为， ∴的顶点坐标为， 设的表达式为， 将代入得：，解得：， ∴抛物线的表达式为：（或整理为）； （2）解：设支柱的横坐标为， ∵支柱的长度，点F、N均在抛物线L上，点E、M均在抛物线上， 支柱长度为上方抛物线的纵坐标减去下方抛物线的纵坐标， ∴， ∴， 化简得： ， 解得：，，即两根支柱的横坐标分别为和， ∴两根支柱的水平距离为：． 【变式11-2】（2026·山东济南·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合．某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用与安全设计． 【素材一】 以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为轴，锅的竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】 锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】   如图，建立基础模型 (1)求抛物线 (2)初始状态下的函数表达式为_______________________． 【任务二】 如图，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的蒸笼（支架纵截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． (3)平移后抛物线的函数表达式为_______________________． 【任务三】 安全空间评估 (4)在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图，点是锅盖上任意一点，平行于轴交进风口于点，求线段的最小值；若大于才能保证安全，根据计算结果，判断该距离是否满足安全要求？ 【答案】(1) (2) (3) (4)解：设， 则 ， 是m的二次函数， ， 开口向上， 对称轴为直线， 当时，， ， 该距离满足安全要求． 【分析】（1）先求出顶点坐标，设顶点式，利用待定系数法求解； （2）设初始状态下抛物线的解析式为，将B点坐标代入即可求解； （3）在锅口上放上高的蒸笼时，抛物线向上平移，由此可解； （4）设出P，M坐标，列出关于m的二次函数，结合m的取值范围求出，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，，， ，， 为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线可由基础抛物线上下平移得到， 设初始状态下抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 初始状态下的函数表达式为； （3）解：由题意知，平移后抛物线的函数表达式为：． 【变式11-3】（2026·河南驻马店·三模）转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系如图2所示．枝条上的点，，在抛物线形骨架上，点到主干的水平距离为，点在枝条抛物线形骨架的外端处，主干的高度为，已知抛物线形枝条的最高点到的水平距离为，离地面的高度为． (1)设抛物线形枝条上某处离地面的高度为，该处到主干的水平距离为，求与之间的函数解析式． (2)若枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为，求点离地面的高度． (3)为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当的长度超过时枝条会被折断），需测量安全监测距离（为枝条上某点到牵引绳的铅锤距离）．已知点，间的距离为，试判断该枝条会不会被折断，并说明理由． 【答案】(1) (2)点离地面的高度为 (3)该枝条不会被折断，理由如下： ∵，， ∴， ∵点到主干的水平距离为， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 这是一个开口向下的二次函数，顶点在处， 代入得：的最大值为， ∵， ∴该枝条不会被折断． 【分析】（1）根据题意得抛物线顶点的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求的解析式，求出点P的纵坐标，即可判断． （3）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，则，求出的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 由题意得，点在抛物线上，代入得：， 解得：， 所以，抛物线的解析式为，即：； （2）解：∵枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为， ∴， ∴ ， ∴点离地面的高度为； （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.5 二次函数的应用（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 投球问题】 2 【题型2 拱桥问题】 4 【题型3 拱门问题】 6 【题型4 喷水问题】 9 【题型5 隧道问题】 11 【题型6 跳跃问题】 13 【题型7 销售问题】 15 【题型8 几何图形问题】 16 【题型9 表格问题】 18 【题型10 新情境问题】 21 【题型11 实物抽象出二次函数模型】 24 考点1 实际问题与二次函数 知识点 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证 结果是否符合实际． 2. 求二次函数最值 将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k；若对二次函数 使用配方法，则当时，y有最大（小）值． 3. 实际问题与二次函数的联系转化 【题型1 投球问题】 【例1】（2026·广东惠州·二模）粤正在广东全省21个市火热进行，惠州主场气氛爆棚，全民观赛氛围十分浓厚，如图是篮球运动员小帅在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，小帅投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米，求此抛物线的解析式．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）．          【变式1-1】（2026·宁夏银川·三模）2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【变式1-2】（2026·山西朔州·三模）根据以下素材，探索完成任务． 羽毛球发球机的运动路线 素材一 如图1，某羽毛球场地的中线长为，球网设置在中线中点处，球网高度为．羽毛球训练机的出球口在中线端点正上方的点处，以为原点、中线所在直线为轴建立平面直角坐标系． 素材二 假设发出的羽毛球沿中线飞行，其运动高度关于水平距离的函数图象为抛物线，该抛物线在与水平距离为的点处达到最高，此时距地面高度为，羽毛球最终落在地面的点处． 素材三 如图3，若羽毛球落地弹起后，且在与水平距离为的点处达到最高，弹起后最高高度为． 问题解决： (1)任务一：求训练机发球后到落地前，羽毛球运动轨迹的函数表达式（不要求写自变量取值范围） (2)任务二：小明在球网的另一侧接球，若羽毛球在离地面距离不少于时为最佳击球高度，求最佳击球点与训练机的水平距离的取值范围 (3)任务三：当时，运动员在点处沿直线击球，想让球从网下穿过后落到点右侧的点，且球网下端离地面高度不低于，该操作能否实现？请说明理由． 【变式1-3】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为．弹球遇到挡板后会反弹，反弹后弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． (1)求抛物线L的解析式； (2)如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度为． ①求点A的横坐标； ②反弹后的小球是否经过点？请说明理由； (3)如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点E的横坐标的取值范围是______________． 【题型2 拱桥问题】 【例2】（2026·广东河源·二模）某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度为，拱顶（点）与水面的距离为．以水面的中点为原点，所在的直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式． (2)今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛．灯笼悬挂点距离水面．请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离．（结果保留根号） 【变式2-1】（2026·河南开封·模拟预测）开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【变式2-2】（2026·河北廊坊·二模）嘉嘉周末到公园游玩，路过一座石拱桥时发现拱桥外轮廓的形状为抛物线的一部分，拱桥下有半圆形出水孔，他画出示意图如图1，在一个单位长度代表1米长的平面直角坐标系中，x轴与地面平行，抛物线段为拱桥的外轮廓，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，半圆O为出水孔，D为中点，米，米． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，春节期间，为了装饰拱桥，在A与D，B与D之间分别拉两根绳子，在绳子和拱桥之间安装灯带，灯带都垂直于地面．在上方有两条长度相等的灯带，（E，G在抛物线上，F，H在线段上，且F在H左侧），点E比点G高n米． ①的值为________； ②，的水平距离为多少米（用含n的代数式表示）； ③试用n表示点E的横坐标x． 【变式2-3】（2026·江苏盐城·二模）阅读下列素材，并完成任务： 背景 中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗． 素材1 已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为3米，水位线宽为6米． 素材2 如图1，现有一艘长为10米，宽米的货船（可近似看成长方体）正从拱桥下方通过，露出水面的横截面为长方形，米．（假设船体货物接触到拱桥时，可以通过拱桥） 素材3 船行走时一般不会导致水位的变化． (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，如果上方的货物横截面为，，米，请通过计算判断此时小船能否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？ (3)船面上方装有如图3所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形，其中，，且E、A、B共线，F、D、C共线，已知当同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米，请求出最多能装多少体积的货物？ 【题型3 拱门问题】 【例3】（2026·山西阳泉·二模）综合与实践 问题情境： 为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1所示的充气“成功门”，充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有“全力以赴”“中考必胜”的励志标语． 数学建模： 如图2，已知充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面．以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式． 问题解决： (2)若充气“成功门”内两立柱，间的水平距离为，求立柱的高度． (3)活动最后一项为各班同学排成列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平间距保持，第一排靠近立柱的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶到地面垂直距离的最大值． 【变式3-1】（24-25九年级下·陕西西安·阶段检测）3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【变式3-2】（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形． 工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题． 方案分析：在图1中，具体结构与数据如下： ①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为． ②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽． 建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式； 问题解决： (2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）． ①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径； ②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）． 【变式3-3】（2025·河南新乡·二模）如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中为的中点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值； (3)如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔，若灯笼高度忽略不计，请设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：） 【题型4 喷水问题】 【例4】（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【变式4-1】（2026·陕西咸阳·一模）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 【变式4-2】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图1，2是水槽水龙头的侧面简易示意图，矩形为水槽侧面，宽，深，排水口位于的中点．在水槽边正上方安装水管，水龙头，水管，．按水龙头的安装要求，水流需直接对准排水口确保水快速排入管道，水流的形状近似看作线段．（参考数据：，，） (1)如图1建立平面直角坐标系，求点和点的坐标； (2)为方便儿童洗手，在点加装喷水装置如图2，从点喷出的水流形状近似可以看作抛物线．已知当水流与水槽边的距离为时，水流达到最高，最高高度为，求出抛物线的表达式； (3)加装喷水装置后，打开水龙头时水流是否会淋到水槽外，请说明理由． 【变式4-3】（2026·广东河源·二模）综合与实践 主题 喷泉设计 背景 数学兴趣小组要设计一个类似图（1）的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出的水柱会落入下面的喷头处． 素材1 如图（2）是喷头A所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A，B在y轴上，通过调节，喷头A 喷出的水柱形状为抛物线 素材2 平台的高为5米（即米），轴，喷头A喷出的水柱落入喷头C 处，喷头C 喷出的水柱所在抛物线的形状与相同． 素材3 喷头C喷出的水柱落入喷头E处，平台的高为2米（即米），点F在x轴上，米，喷头 E喷出的水柱形状为抛物线，水最终落入圆柱形接水装置（纵截面为矩形）中，接水装置高米，底面直径米，在x轴上．    问题解决 (1)求点C 的坐标． (2)求抛物线的解析式． (3)要使喷头E喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置，求接水装置离的水平距离． 【题型5 隧道问题】 【例5】（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，，抛物线的最高点离路面的距离为． (1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； (2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由． 【变式5-1】（2026·陕西宝鸡·一模）如图1是某海洋馆的玻璃隧道，图2是它的截面示意图，玻璃隧道截面可近似看作抛物线和矩形构成．矩形的长米，宽米，小明以O为原点，所在水平线为x轴、所在直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，在抛物线上点处贴有一张“小心碰头”的温馨提示． (1)求隧道截面所在抛物线的函数表达式； (2)为保障游客观赏效果，清洁工人会对玻璃隧道进行定期清洁，某次清洁工人站在地面上清洁玻璃隧道时，能刷到的最大高度是其站立位置地面的正上方米处（抛物线上的段清洁工未清洁，即点E、F到x轴的距离均为米），此次清洁工人站在地面完成玻璃隧道清洁后，求未清洁部分最低两处的水平距离（即求E、F两点之间的距离）． 【变式5-2】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【变式5-3】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【题型6 跳跃问题】 【例6】（2026·河南平顶山·二模）马年央视春晚上，一款表演机器人在舞台中央完成腾空跃起动作，其运动轨迹可近似看作抛物线．机器人从地面起跳点腾空，最高点距地面米，落地点与起跳点水平距离为米．如图，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)若舞台上一处灯光装置的坐标为，判断机器人在运动过程中是否会经过该灯光装置所在位置？ (3)若机器人在竖直高度不低于米的区域完成旋转表演，求机器人进行旋转表演的水平距离． 【变式6-1】（25-26九年级上·北京西城·期末）如图1，为了丰富学生的课余生活，某校九年级组织开展跳长绳活动．如图2，假设两名摇绳的学生握绳的手A，B之间的水平距离为，当手A，B与地面的距离均为时，绳子的最高点C与地面的距离为，此时绳子的形状可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，设该抛物线表示的二次函数为．当摇绳两端握绳的手同时向上平移时，绳子整体也相应向上平移且形状不变． (1)求该抛物线表示的二次函数； (2)如果参加跳长绳活动的学生身高均为，且相邻学生站位间隔均为，除摇绳的学生外，求最多有多少名学生能同时参加跳长绳活动； (3)由于还有1名学生没能同时参加跳长绳活动，在（2）的情况下，若加入这名学生，在不改变摇绳的学生手A，B之间的水平距离和绳长的情况下，只需将手A，B同时向上平移，直接写出h的最小值（精确到0.01）． 【变式6-2】（2026·内蒙古包头·二模）2024年8月6日，在巴黎奥运会女子10米跳台跳水决赛中，中国选手全红婵勇夺金牌．已知跳水运动员起跳后的运动轨迹可近似看作抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)某位运动员在第一次跳水中，从点A处起跳（如图），她的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，测得几组数据如表： 水平距离 3 3.5 4 竖直高度 10 11.25 k 则k，a的值各为多少； (2)若该运动员在跳水中，记她第一次跳水的入水点的水平距离为，求的值； (3)若该运动员在第二次跳水中，她的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系式，从该运动员起跳后到达最高点处时开始计时，已知点到水平面的距离为，竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间近似满足函数关系式．若该运动员在达到最高点后需要才能完成某个极具难度的动作，请通过计算说明，该运动员能否在落水前完成此动作． 【变式6-3】（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图1，“跳一跳”曾是某社交软件上风靡一时的互动游戏，该游戏要求操作者通过控制“i”形小人（看成点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2所示．在平面直角坐标系中，矩形、矩形和矩形的边，，均在x轴上，，，，，“i”形小人从点B处起跳后沿抛物线运动，落在边的中点H处． (1)点B的坐标为______________，点H的坐标为______________； (2)求抛物线的解析式； (3)“i”形小人从点H处再次起跳后沿抛物线运动，且与形状相同． ①若与的最大高度相同，判断“i”形小人会落在平台上还是落在x轴上？说明理由，并求出落点的坐标； ②若“i”形小人再次起跳后沿抛物线落在平台上（包括边界），设的最大高度为，直接写出符合条件的整数的个数． 【题型7 销售问题】 【例7】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个． (1)当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元； (2)当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【变式7-1】（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【变式7-2】（2026·四川成都·模拟预测）某村大力发展特色农产品产业，大量栽种甜橙，同时搭建电商运营服务平台，开设网店销售农产品．甜橙丰收后，将一批甜橙采取现场销售和网络销售结合进行试销，统计后发现：同样多的甜橙，现场销售可获利800元，网络销售可获利1000元，网络销售比现场销售每件多获利5元． (1)现场销售和网络销售每件获利分别是多少元？ (2)根据甜橙试销情况分析，现场销售量（件）和网络销售量（件）满足如下关系式：，求当为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？最大利润是多少？ 【变式7-3】（2026·广东深圳·三模）首届“粤超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销． (1)某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价； (2)经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a满足关系，请你选择其中一种销售方案为老板制定销售价格： 方案一：利润最大 方案二：固定利润率 该店销售A品牌足球的利润最大，单件售价a为多少元，最大利润为多少？ 尽量优惠顾客，该店销售A品牌足球获得固定利润率，单件售价a为多少元，及进货量． 【题型8 几何图形问题】 【例8】（2026·内蒙古通辽·二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【变式8-1】在一幅长 ，宽 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，要求纸边的宽度不得少于，同时不得超过 ． (1)求出y关于x的函数解析式． (2)当挂图面积为，时，求金色纸边的宽． (3)此时金色纸边的宽应为多少时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值． 【变式8-2】用一块边长为60㎝的正方形薄钢片制作一个长方体盒子：如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，如图(1),然后把四边折合起来，如图(2) （1）求做成的盒子底面积y(㎝2)与截去小正方形边长x(㎝)之间的函数关系式； （2）当做成的盒子的底面积为900㎝2时,试求该盒子的容积. 【变式8-3】（2026·安徽·二模）为落实《中共中央  国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校成立了劳技兴趣小组，某次活动如下：用两块全等、周长均为的矩形材料拼成如图所示的物件，其中矩形和矩形的对角线交点重合，，依次取，，，的中点，然后沿图中虚线剪去八个全等的小直角三角形，得到一个星状图形． (1)当两个矩形重叠部分的四边形面积为时，求星状图形的面积； (2)求星状图形周长的最小值． 【题型9 表格问题】 【例9】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离米和飞行高度米的数据，记录数据如下表： 照相机频闪时间/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … (1)根据表格中的数据描点，连线，发现与近似地满足二次函数关系，请写出与之间的函数表达式； (2)根据表格数据，可知水平距离与时间满足关系式．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； (3)乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 【变式9-1】（24-25九年级上·河南·阶段检测）暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，强盛体育用品店开展乒乓球拍促销活动． (1)据市场调研发现，强盛体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6、7、8三个月的销售情况如下表： 销售时间 6月 7月 8月 销售量 500副 720副 每月的月销售增长率相同，求表格中的值． (2)强盛体育用品店乒乓球拍的进价为40元/副，每天的销售量（副）与销售单价（元）之间的关系为，请问该体育用品店的销售单价定为多少元可使每天的销售利润最大？ 【变式9-2】（2026·广东·二模）综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的距离与时间的关系进行了深入探究．该兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】 如图1所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从小球运动到点处开始，用相关仪器测量并记录小球在水平木板上的运动时间（单位：），运动距离（单位：）的数据． 【收集数据】 记录的相关数据如下： 运动时间 t/s 0 3 6 9 12 15 … 运动距离y/cm 0 27.75 51 69.75 84 93.75 … 【建立模型】 根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用二次函数近似的表示y与t的函数关系． (1)观察发现y关于t的二次函数图象经过原点，设y与t的函数关系式为 请求出该关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)若小球运动到 点处的同时，在其右侧 处的水平木板上有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，请研究小球能否追上该电动小车，并说明理由． 【变式9-3】（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 【题型10 新情境问题】 【例10】（25-26九年级上·山西忻州·期末）综合与实践 问题情境：科学探究实验小组阅读科普读物发现：竖直上抛的小球离地面的高度是它运动时间的二次函数．周末，他们在保证安全的前提下，在综合实验楼前做了“从地面竖直向上发射小球”的实验；小球被发射时的速度为定值． 实验数据：根据实验小组多次测量可得，小球离地面的高度与小球运动的时间的部分数据如下表： 0 1 2 6 0 25 40 0 问题解决： (1)求小球离地面的高度与小球运动的时间的函数解析式． (2)求小球被发射后离地面的最大高度． (3)小宇在实验楼十层的观察点观察小球运动，已知观察点离小球发射点的竖直高度为．小宇说：“两次看到小球经过观察点的高度，并且这两次间隔的时间为．"请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【变式10-1】（2026·山西太原·三模）综合与实践 问题情境：某游乐园想设计一款带喷泉的水上滑梯游乐设施，如图所示为设计示意图，为水上滑梯，滑梯顶端点离地面4米（即米），水平长度米，在滑梯上方设计喷泉，喷泉喷出的水柱呈抛物线，为不淋湿游客，保证在滑梯两端，处喷泉离滑梯的距离为米（即米），如图所示建立平面直角坐标系，喷泉最高点离轴米． (1)数学建模：请你结合已知安全间距与顶点位置条件，求出喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式． (2)解决问题：根据施工要求喷泉落地处需要修建防水排水凹槽，防止积水漫延侵蚀滑梯地基．请求出喷泉落地位置到滑梯立柱的水平距离，以此确定排水槽的位置． (3)游乐园采购部门依据水柱与滑梯的最大间距选配喷泉出水压力（间距决定水压上限，间距过小需减小水压防溅水），请写出全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离． 【变式10-2】（2026·广东深圳·一模）【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），设水池2的边的长为（）（），面积为（）． 【问题解决】 (1)当时，则关于的函数关系式为______，关于的函数关系式为______； (2)在（1）的条件下，函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于、两点，在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)当水池1与水池2的面积相差2时，有唯一值，求的值． 【变式10-3】（25-26九年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情境：图1是某个仓库，图2是棱长为1米的立方体仓储品，图3是仓库横截面的示意图，已知墙体，米，水平距离米，仓库顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，它可以近似的用函数表示． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)将四件一样的图2中的仓储品按如图3所示的方式叠放在处，米，米．当叉车要搬运货物时，需要将其向上抬升0.1米．若利用叉车将仓储品沿x轴正方向移动了0.6米，求此时仓储品货物顶端离仓库顶部的最小距离．（该距离包括搬运货物抬升的高度） (3)如图4，在仓库中沿着x轴的正方向摆放4处图2中的立方体仓储品，每处立方体仓储品按问题（2）中的方式用叉车将货物抬升0.1米来搬运并叠放，叠放数量不同，其中米，米，，则叠放最多的一处可叠放______个立方体仓储品． 【题型11 实物抽象出二次函数模型】 【例11】（2026·安徽合肥·三模）综合与实践 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 实验数据：如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合实验数据，完成以下任务： (1)分别求出抛物线和的函数表达式； (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，当高度的长为，求此时宽度的长． (3)若要求电子显示屏的宽度不小于，问：它的高度的最大高度是多少？ 【变式11-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）图1为某景区大门，其截面示意图如图2所示，顶部外轮廓L及下方门洞均呈抛物线型（厚度不计），大门宽度，其中为两段垂直于水平地面的墙体，且，点B、C均在抛物线L、上，分别以所在直线为x轴、y轴建立图2所示的平面直角坐标系，已知抛物线L的函数表达式为（h为常数），抛物线L、的最高点在同一竖直直线上，且它们的最高点之间的距离为． (1)求的长及抛物线的函数表达式； (2)为两条抛物线之间的连接支柱，两根支柱均与地面垂直，点F、N均在抛物线L上，点E、M均在抛物线上，已知支柱的长度，求这两根支柱之间的水平距离．（墙体、支柱的宽度均忽略不计） 【变式11-2】（2026·山东济南·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合．某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用与安全设计． 【素材一】 以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为轴，锅的竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】 锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】   如图，建立基础模型 (1)求抛物线 (2)初始状态下的函数表达式为_______________________． 【任务二】 如图，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的蒸笼（支架纵截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． (3)平移后抛物线的函数表达式为_______________________． 【任务三】 安全空间评估 (4)在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图，点是锅盖上任意一点，平行于轴交进风口于点，求线段的最小值；若大于才能保证安全，根据计算结果，判断该距离是否满足安全要求？ 【变式11-3】（2026·河南驻马店·三模）转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系如图2所示．枝条上的点，，在抛物线形骨架上，点到主干的水平距离为，点在枝条抛物线形骨架的外端处，主干的高度为，已知抛物线形枝条的最高点到的水平距离为，离地面的高度为． (1)设抛物线形枝条上某处离地面的高度为，该处到主干的水平距离为，求与之间的函数解析式． (2)若枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为，求点离地面的高度． (3)为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当的长度超过时枝条会被折断），需测量安全监测距离（为枝条上某点到牵引绳的铅锤距离）．已知点，间的距离为，试判断该枝条会不会被折断，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $