综合与实践 (二) 数形规律与方程思想（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦数形规律与方程思想，以三角形点阵点数和探究为载体，通过发现问题（点数和计算繁琐）、提出问题（前n行和为120）引导学生回顾数列求和基础，借助倒序相加法（数的角度）和图形拼接（形的角度）构建知识支架，衔接方程应用。 该资料以“问题链”驱动探究，通过数与形的双向分析培养几何直观，倒序相加法推导公式渗透推理意识，拓展应用中特殊点阵和摘石榴问题强化模型意识，习题设计从基础公式推导到实际问题解决，帮助学生用数学眼光观察规律、用数学思维构建逻辑、用数学语言表达现实，提升综合素养。

综合与实践（二） 数形规律与方程思想 1. 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点…第行有个点…． 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想．下表分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法．例如：求前10行的点数和，①， 由①式倒序：②． ①+②，得： ．所以，即前10行的点数和为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】 （1）请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前行的点数和． （2）前__________行的点数和是120． 【拓展应用】 （3）如图3，该点阵每行的点数从上到下依次为1，3，5，7，…，，，，…，7，5，3，1，这个点阵的点数和能是841吗？请说明理由． （4）一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 综合与实践（二） 数形规律与方程思想 【1题答案】 【答案】（1）； （2）15 （3） ①这个点阵的点数和能是841，理由见解析； ②11人 【解析】 【分析】（1）用倒序相加法推导前行点数和公式； （2）列方程求解点数和为120时的； （3）推导特殊点阵的点数和公式，判断是否存在整数解； （4）列方程求解摘石榴的人数． 【小问1详解】 解：设①，由①式倒序：②， ①+②，得：， ， ∴前行的点数和为； 【小问2详解】 解：∵前行的点数和为 ∴令 ∴ ∴ ∴ ∵为正整数 ∴ 故前行的点数和是． 【小问3详解】 解：这个点阵的点数和能是，理由： ∵该点阵每行的点数从上到下依次为1，3，5，7，⋯，，，，⋯，7，5，3，1， ， ， ， 解得或（舍去）， ， 故当时，这个点阵的点数和是； 【小问4详解】 解：设这群人共有人． ， 解得（舍去），． 故这群人共有人． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $