21.2.1 第2课时 用直接开平方法和因式分解法解较复杂的一元二次方程（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦用直接开平方法和因式分解法解较复杂的一元二次方程，通过复习简单方程解法搭建学习支架，引导学生掌握变形后开平方法和因式分解法的具体步骤，衔接前后知识脉络。 资料采用基础达标与能力提升分层设计，基础题分知识点巩固方法，能力题结合等腰三角形、新定义运算等情境，培养学生抽象能力、运算能力和应用意识，解析详细助力理解，提升解题思维与实践能力。

第2课时 用直接开平方法和因式分解法解较复杂的一元二次方程 01基础达标 知识点一 变形后用开平方法解一元二次方程 1. 若，则x的值等于( ) A. x=±1 B. x＝±2 C. 0或2 D. 0或-2 2. 一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 解方程 （1）． （2）． 知识点二 用因式分解法解方程 4. 用因式分解法解下列方程，变形正确的是（ ） A. ，可得或 B. ，可得或 C. ，可得或 D. ，可得 5. 方程的解为___________． 6. 在下列各题的空格中填写适当的解法： （1）解方程，用________法较简便． （2）解方程，用________法较简便． 7. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 02能力提升 8. 已知关于x的方程的两根为和，则方程的两根是（ ） A. B. C. D. 9. 已知方程，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 或0 10. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（ ） A. 10 B. 10或8 C. 9 D. 8 11. 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______． 12. 解下列方程． （1）； （2）． 13. 若规定两个实数a、b通过运算※，得到3ab，即a※b＝3ab，如2※5＝3×2×5＝30． （1）（﹣）※x＝______； （2）若x※x﹣2※x﹣2※4＝0，求x的值． 第2课时 用直接开平方法和因式分解法解较复杂的一元二次方程 01基础达标 知识点一 变形后用开平方法解一元二次方程 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，再用直接开平方法解方程即可． 【详解】解： 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是正确的开方． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】将两边开平方，得，则另一个一元一次方程是． 故选：D． 【3题答案】 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】（1）移项，用直接开平方法解方程即可； （2）系数化为，用直接开平方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：，． 知识点二 用因式分解法解方程 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】解：A、， 整理得：， ， ， ， 或， 故本选项不符合题意； B、，可得或，故本选项符合题意； C、， 整理得：， ， 或， 故本选项不符合题意； D、，可得或，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键． 【5题答案】 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可通过移项、提取公因式进行因式分解，再利用因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：先移项，得， 提取公因式，得， 根据“若几个因式的积为0，则至少有一个因式的值为0”，可得或， 解得，， 故答案为：，． 【6题答案】 【答案】 ①. 因式分解 ②. 直接开平方 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的不同结构特征，选择合适的简便解法，通过观察方程左右两边的形式特点即可判断. 【详解】（1）对于方程，方程左边可提取公因式因式分解，分解后可直接得到方程的根，计算过程简便，因此用因式分解法较简便. （2）对于方程，方程左边是完全平方形式，右边为正的常数，符合直接开平方法的应用形式，两边直接开平方即可求解，因此用直接开平方法较简便. 【7题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）移项后提取公因式分解求解； （2）用平方差公式分解求解； （3）移项后因式分解，再提取公因式求解． 【小问1详解】 解：移项得： 提取公因式得： ∴或 解得：， 【小问2详解】 解：利用平方差公式展开得： 化简得： ∴或 解得：，． 【小问3详解】 解：移项得： 将右边因式分解得： 提取公因式得：  化简得： ∴或 解得：，． 02能力提升 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】对于方程，其两根互为相反数，根据相反数的性质得两根之和为，据此求出的值，再代入得到两根即可． 【详解】解：∵方程的两根互为相反数， ∴两根之和为，即． 整理得， 解得． 将代入两根表达式， 得，． ∴方程的两根为． 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入中，即可求出值． 【详解】解：， ∴或， 解得：， 当时，； 当时，． 故选D． 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先利用直接开平方法求解方程，再分两种情况解答即可． 【详解】解：解方程，得． 当腰长为4，底边长为2时，其周长为； 当腰长为2，底边长为4时，因为，所以此时不能构成三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 【11题答案】 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 【12题答案】 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法进行计算即可； （2）先将等式左边用完全平方公式因式分解，移项后再用平方差公式进行因式分解，最后进行计算即可． 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解： ， 即， 解得：，． 【13题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算法则进行运算即可； （2）根据新定义运算法则把原方程化为：，再解方程即可得到答案. 【小问1详解】 解： a※b＝3ab， （﹣）※x 故答案为： 【小问2详解】 解： x※x﹣2※x﹣2※4＝0， 即 解得： 【点睛】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”，理解新定义的运算法则是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $