21.2.1 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解简单的一元二次方程（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的直接开平方法和因式分解法，引导学生从平方根意义切入，通过判断方程是否有解等基础题衔接旧知，逐步掌握解法应用条件与具体步骤，搭建从概念到技能的学习支架。 资料分层设计基础达标、能力提升、思维拓展练习，融入转化思想等数学思维，结合直角三角形边长计算等实际问题，培养学生运算能力、推理意识与应用意识，助力学生理解解法本质，提升问题解决能力。

21.2 一元二次方程的解法 21.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解简单的一元二次方程 01基础达标 知识点一 直接开平方法的应用条件 1. 利用平方根的意义解下列方程，其中无解的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是__________． 知识点二 直接开平方法和因式分解法 3. 方程的根是（ ） A. B. ， C. D. ， 4. 我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到或，进而得到原方程的根为，．这种解法体现的数学思想是（ ） A. 转化思想 B. 函数思想 C. 数形结合思想 D. 公理化思想 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. （1）方程的解是__________； （2）若关于的方程的一个根与一元二次方程的较大根相同，则的值为__________． 7. 解方程： （1）； （2）； （3）． 02能力提升 8. 若关于的一元二次方程有解，则必须满足（ ） A. 、同号 B. 是的整数倍 C. D. 、同号或 9. 给出运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 10. 方程的解是________． 11. 已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____． 12. 若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则式子的值是_____． 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 对于任意的两个实数、，定义运算“”：．若，求的值． 15. 已知直角三角形的两边长满足，求这个直角三角形第三边的长． 03思维拓展 16. 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[3.1]＝3，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣9]＝﹣9，函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝x2的解为（　　） A. 0或 B. 0或或 C. ﹣或﹣ D. 0或 21.2 一元二次方程的解法 21.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解简单的一元二次方程 01基础达标 知识点一 直接开平方法的应用条件 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查的是直接开平方法解一元二次方程，根据平方根的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、由原方程得到，所以该方程有解，不符合题意； B、由原方程得到，所以该方程无解，符合题意； C、由原方程得到，所以该方程有解，不符合题意； D、由原方程得到，所以该方程有解，不符合题意． 故选：B． 【2题答案】 【答案】n≥0 【解析】 【分析】根据平方的非负性可得结果． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， 而， ∴n≥0， 故答案为：n≥0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握根的判别方法是解题的关键． 知识点二 直接开平方法和因式分解法 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，移项后开平方即可得到方程的根． 【详解】解：∵ 移项得 ∵ 的平方根为 ∴ ，． 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题判断解方程过程中体现的数学思想，解题思路是观察题干中的解法，分析其将问题进行了怎样的转化，进而得到结论． 【详解】解：∵ 题干中将一元二次方程通过因式分解，转化为两个一元一次方程求解，把复杂的高次方程问题转化为已经掌握解法的低次方程问题， ∴ 这种解法体现的数学思想是转化思想． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的方法求解方程即可. 【详解】解： 可得 故选C. 【点睛】本题主要考查因式分解求解方程，关键要注意分式分解的方法十字交叉法. 【6题答案】 【答案】 ①. ， ②. 3 【解析】 【分析】（1）直接开平方法解一元二次方程，先将方程整理为等于常数的形式，再开方求解； （2）先解一元二次方程得到其较大根，再将该根代入给定方程，即可求出的值． 【详解】解：（1）解 系数化为，得 开平方，得 即 （2）解 移项，得 因式分解，得 解得，可得该方程的较大根为 由题意，是方程的根，将代入方程得 整理得． 【7题答案】 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用提公因式进行因式分解后，直接计算即可； （3）先移项，合并后利用直接开平方法解方程即可． 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解： ， 解得：，； 【小问3详解】 解： 解得：，． 02能力提升 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】将原方程整理变形，根据平方数的非负性得到，据此判断，满足的条件即可. 【详解】解：对原方程移项得 ， ， 两边同除以得 ， 方程有实数解，且任意实数的平方非负， ， ，同号或. 【9题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题为新定义运算题，考查直接开平方法解一元二次方程，先根据题目给出的运算规则得到的表达式，再解一元二次方程即可得到结果. 【详解】解： 函数，根据规定，此处 又 化简得 开平方得，． 【10题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】首先移项，利用因式分解法将原式分解因式得出即可． 【详解】x2=2x， x2-2x=0， x（x-2）=0， 解得：x1=0，x2=． 故答案为x1=0，x2=． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，因式分解法的依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零.因式分解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程. 【11题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0， ∴m2﹣2m=0且m≠0， 解得，m=2， 故答案是：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件． 【12题答案】 【答案】﹣10 【解析】 【分析】利用方程特点得到关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根互为相反数，所以m+1+2m﹣4＝0，解方程得到方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为2或﹣2，所以x2＝＝4，然后利用整体的方法计算代数式的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1， ∴关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为2或﹣2， ∴x2＝＝4， ∴＝2﹣3×＝2﹣3×4＝﹣10． 故答案是：﹣10． 【点睛】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 【13题答案】 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用平方差公式计算方程的左边，然后移项后利用直接开平方法计算； （2）移项化简后，利用因式分解法进行计算即可． 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解： 即， 解得：，． 【14题答案】 【答案】的值为或4 【解析】 【分析】根据定义的分段运算，分和两种情况讨论，分别列方程求解，再检验解是否符合前提条件． 【详解】解：根据题意，运算“※”的定义为： 已知 ，我们需要分情况讨论与的大小关系： 情况一：当时 根据定义，  由   ，得方程： 解得或 因为前提条件是 ，且（不合题意，舍去）， （符合题意） 所以此情况下， 情况二：当时 根据定义，  由  ，得方程： 解得 因为前提条件是，且（符合题意） 所以此情况下， 综合以上两种情况，的值为或． 【15题答案】 【答案】或5. 【解析】 【分析】首先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值;然后由x、y是直角三角形的两边,结合实际,进一步确定出x、y的值;再利用勾股定理求得第三边即可,注意分析较长边是否为斜边 【详解】根据题意，得，所以.因为三角形的边长是正数，所以.若第三边为斜边，则第三边的长为；若第三边为直角边，则第三边的长为，所以这个直角三角形第三边的长为或5. 【点睛】本题考查了勾股定理,非负数的性质:几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0;解题关键在于求出x,y的值 03思维拓展 【16题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象确定出的可能值，进而求出x的值确定出方程的解即可． 【详解】 结合图象可得：可能值为0或1或2 由，得到 由，得到或（舍去） 由，得到或（舍去） 综上，或或 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，读懂新定义下函数是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $