第20章 章末考点整合与素养提升（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦二次根式章节，整合概念及性质、运算、规律探索等核心考点，通过分点突破搭建学习支架，从基础辨析到综合运算逐步递进，帮助学生构建完整知识脉络。 资料特色在于真题演练与素养提升结合，融入规律探索题培养创新意识，综合应用题发展运算能力与模型观念，助力学生用数学眼光观察问题、用数学思维解决问题，提升学习效率与学科素养。

章末考点整合与素养提升 01分点突破 核心考点一 二次根式的概念及性质 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 要使有意义，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 3. 化简二次根式结果是（ ） A. B. C. D. 4. 已知x，y满足关系式y＝﹣1，则yx的值为（　　） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2 5. 如果，那么的取值范围是__________． 核心考点二 二次根式的运算 6. 下列各数中与的积是有理数的是（　　） A. B. C. D. 7. 计算： （1） （2） （3） 核心考点三 二次根式中的规律探索问题 8. 古神话中的茅山道士会“穿墙术”，在二次根式中的一些带分数的等式也具有“穿墙术”．如，，，，按照以上规律猜想，若具有“穿墙术”，则__________（是正整数）． 02真题演练 （2025·扬州） 9. 将化为最简二次根式，其结果是（ ） A. B. C. D. （2025・黑龙江） 10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. （2025・山东） 11. 下列运算正确的是 A. B. C. D. （2025・北京） 12. 已知，，，．若为整数且，则的值为（ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 （2025・四川） 13. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. 0 C. D. （2025·天津） 14. 我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于 （ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 （2025・河北） 15. 已知：，则_________． （2025・兰州） 16. 已知a，b满足等式，则___________． （2025・广东） 17. 在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________． 2 1 6 3 （2025・金昌） 18. 计算： 03素养提升 （2025·南通） 19. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 20. 已知算式：，其中第四个根号下的被开方数□”模糊不清． （1）若“□”猜成50，求原式的值． （2）若“□”是正整数，且与可以合并，则原式存在最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 章末考点整合与素养提升 01分点突破 核心考点一 二次根式的概念及性质 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可. 【详解】A.=2，不是最简二次根式； B.是最简二次根式； C.=，不是最简二次根式； D.=，不是最简二次根式. 故选B. 【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义. 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】要使含二次根式的分式有意义，需同时满足二次根式的被开方数非负，分式的分母不为，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵ 式子有意义 ∴需满足  解不等式，得 解不等式，得 ∴的取值范围为且． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． 先判断a的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x，根据乘方法则计算，得到答案． 【详解】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0， 解得，x＝2， 则y＝1， ∴yx＝1， 故选B． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先将等号左侧根号内的多项式因式分解，再利用二次根式的性质与绝对值的性质列出不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：对根号内的多项式因式分解，得 ， 因此原等式可化为 ， 根据二次根式的性质，得 ， 根据绝对值的性质，当一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数小于等于，因此 ， 解不等式得 ． 核心考点二 二次根式的运算 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方差公式可知与的积是有理数的为； 【详解】； 故选D． 【点睛】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键． 【7题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）将二次根式分别相除后化简； （3）先化简括号内的根式，再用多项式乘法展开，合并同类项． 【小问1详解】 ​解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式  ． 【小问3详解】 解：​原式 ． 核心考点三 二次根式中的规律探索问题 【8题答案】 【答案】624 【解析】 【分析】观察已知等式，归纳得到等式中分母与根号前整数的变化规律，根据规律代入计算即可得到的值． 【详解】解：观察已知等式：，分母， ，分母， ，分母， ，分母， 归纳可得规律：若，则 . 当时， . 02真题演练 （2025·扬州） 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的化简方法即可得． 【详解】解：原式， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键． （2025・黑龙江） 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】要使式子在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底数也不能为零，满足上述条件即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 必须同时满足下列条件： ，，， 综上：且， 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子同时出现则必须同时满足． （2025・山东） 【11题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的四则运算法则，根据运算法则逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：A、∵ 与 不是同类二次根式，不能合并，∴选项A错误，不符合题意； B、∵ ，∴选项B错误，不符合题意； C、∵ ，符合二次根式乘法法则，∴选项C正确，符合题意； D、∵ ，∴选项D错误，不符合题意． （2025・北京） 【12题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；先根据题干中的数据估算的大小，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知： ∴， ∴； 故选B． （2025・四川） 【13题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2， ∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0， ∴ = = =-2 故选A. 【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． （2025·天津） 【14题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式和二次根式的性质，先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再得出选项即可． 【详解】解：， ∴属于型无理数， 故选B． （2025・河北） 【15题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】∵ ∴a=3,b=2 ∴6 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． （2025・兰州） 【16题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b，然后根据积的乘方逆运算法则解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质和积的乘方，属于常考题型，熟练掌握非负数的性质、能逆用积的乘方法则求解是关键． （2025・广东） 【17题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：， 设第二行中间数为x，则，解得， 设第三行第一个数为y，则，解得， ∴2个空格的实数之积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键． （2025・金昌） 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】分别根据绝对值的代数意义、二次根式的乘法、分母有理化以及负整数指数幂的运算法则对各项进行化简，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： = =． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 03素养提升 （2025·南通） 【19题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 【20题答案】 【答案】（1） （2）原式存在最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）直接利用二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）由题意可知：最小为，得到原式有最大值，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：原式存在最大值． ∵与可以合并，“□”是正整数，， ∴“☐”表示的数的最小值为2， ∴原式有最大值， 最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $