专题六 相似三角形的几种常见模型（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦相似三角形的八种常见模型，引导学生熟悉A字型、X字型等基本图形，通过分解具体问题连接相似三角形判定方法，为复杂问题解决搭建学习支架。 资料以模型化分类为特色，助力学生用数学眼光抽象图形本质、发展几何直观，通过分情况推理培养数学思维，结合实际问题提升模型意识与应用能力，习题覆盖全面且解析详尽，有效提升学习效率。

专题六 相似三角形的几种常见模型 熟悉如图所示的常见三角形相似的基本图形，在具体问题中要善于分解出这些基本图形，从而快速找到判定相似的方法． 模型一 A字型 1. 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，经过__________后，与相似．（ ） A. B. C. 或 D. 或 模型二 X字型 2. 如图，在平行四边形中，点在上，连接并延长，与的延长线交于点．若，，求的长． 模型三 旋转型 3. 如图，已知，，求证： （1）； （2）． 模型四 双垂直型 4. 如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则_______． 5. 如图，在中，，，，在边上取一点，使，过点作交于点，求的长． 模型五 三垂直型（一线等三角型） 6. 如图，在矩形中，，，若折叠该矩形，使得点与边的中点重合，折痕交于点，交于点，边折叠后与交于点． （1）的长为__________． （2）求的长． 模型六 子母型 7. 如图，在△ABC中，AC＝4，CD＝x，BC＝y，点D在BC边上． （1）当CD＝2，BC＝8时，判断△ABC与△DAC是否相似？请说明理由． （2）当∠CAD＝∠B时，求y关于x的函数关系式． 模型七 反射型 8. 如图所示，是正方形的边上的点，，，求的长． 模型八 “两高”型 9. 如图，已知BD、CE是△ABC的高，连结DE，求证：△ADE∽△ABC． 专题六 相似三角形的几种常见模型 熟悉如图所示的常见三角形相似的基本图形，在具体问题中要善于分解出这些基本图形，从而快速找到判定相似的方法． 模型一 A字型 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】先根据运动速度表示出和的长度，再利用为公共角，分两种对应边成比例的情况列方程求解． 【详解】解：设经过秒后，与相似 根据题意，点的速度为，点的速度为 则，  ∵， ∴ 在和中，是公共角 要使这两个三角形相似，只需夹的两边成比例即可，分两种情况讨论： 情况一： 当时， ​ 代入数据得：​ 解得： 情况二： 当 时， ​ 代入数据得：​ 解得： 综上所述，经过或后，与相似． 模型二 X字型 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行的性质，证明，再根据相似三角形对应边成比例，代入已知条件计算的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即 ∴ ∴  ∵ ， ∴  ∴． 模型三 旋转型 【3题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由可得，根据两个角对应相等的两个三角形相似，即可证明结论； （2）由（1）可得，根据两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证得． 【小问1详解】 证明： ， ，即． ，， ． 【小问2详解】 证明：， ， ， ． 模型四 双垂直型 【4题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据射影定理列式计算即可． 【详解】解：在中，， 由射影定理得，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再算出的长度，然后证明，最后根据相似三角形对应边成比例求出的长． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得． 模型五 三垂直型（一线等三角型） 【6题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，由折叠的性质和中点的性质得到 、，然后根据勾股定理得到关于的方程，求出方程的解即为的长； （2）由直角三角形中两个锐角互余、等角的余角相等得到，即可证明 ，根据相似三角形的性质即可求出的长． 【小问1详解】 解：设，则， ∵四边形为矩形， ， 由折叠的性质，得 ， 点是的中点， ， 在中，， ， 解得：, ． 【小问2详解】 解：由（1）得， 由折叠的性质，得 ， ，， ， ， ，即， 解得：． 模型六 子母型 【7题答案】 【答案】（1）相似，理由见解析；（2）y＝． 【解析】 【分析】（1）求出，再根据相似三角形的判定定理推出即可； （2）根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：（1）△ABC与△DAC相似， 理由是：∵CD＝2，BC＝8，AC＝4， ∴， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△DAC； （2）∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C， ∴△ABC∽△DAC， ∴， 整理得：y＝． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 模型七 反射型 【8题答案】 【答案】的长为 【解析】 【分析】根据已知条件可求出、的长度，根据正方形的性质得到 ，，根据两个角相等的两个三角形相似得到，最后根据相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】解： ， ∵四边形是正方形 ， 又 即的长为． 模型八 “两高”型 【9题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据相似三角形判定推出△ADB∽△AEC，推出，再根据∠A=∠A即可推出△ADE∽△ABC． 【详解】证明：∵BD、CE是高， ∴∠ADB=∠AEC=90°， ∵∠A=∠A， ∴△ADB∽△AEC， ∴，即 ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $