第三章 章末核心考点与素养提升（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦图形的相似、平行线分线段成比例、相似三角形判定与性质、应用及位似等核心考点，通过具体问题导入，衔接图形基础与综合应用，搭建从概念理解到实际解题的学习支架。 资料分点突破系统覆盖考点，真题演练融入各地中考题，素养提升题含探究性问题，解析详细且配视频辅助。助力学生用数学眼光观察图形关系，用数学思维推理证明，提升数学语言表达能力，适合自主学习与教学评估。

章末核心考点与素养提升 01分点突破 考点一 图形的相似 1. 若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，取一张长为，宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边、应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 考点二 平行线分段线成比例 3. 如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，△ABC中，，，下列各式错误的是（ ） A. B. C. D. 考点三 相似三角形的判定与性质 5. 如图，∽，：：，其中，的长为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，，，，，，都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使与相似，则点应是，，，四点中的（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为_________． 8. 如图，正方形中，为的中点，于，延长交于点，延长交于点，交于，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是__________． 考点四 相似三角形的应用 9. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为__________． 考点五 位似 10. 如图，已知△OCD与△OAB是以点O为位似中心的位似图形，若C（1，2），D（3，0），B（9，0），则点A的坐标为（ ） A. （2，4） B. （3，6） C. （3，5） D. （4，5） 11. 在图的方格纸中，的顶点坐标分别为是的边上一点． （1）以原点为位似中心，在轴的左侧面画出的一个位似，使它与的相似比为2：1，并分别写出点的对应点的坐标； （2）画出将向右平移5个单位后的得，并写出点的坐标； （3）判断与能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图6中标出位似中心，并写出点的坐标． 02真题演练 （2025·湖南） 12. 下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方：②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在与中，，，那么；④已知及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形与位似，使位似比为2其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （2025·宁波） 13. 如图，点P在的边上，要判断，需添加一个条件，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. （2025·安徽） 14. 如图是赵师傅利用一块三角形的白铁皮剪成一块正方形铁皮备用．在△ABC中，BC＝120，高AD＝80，正方形EFGH的边GH在边BC上，E，F分别在边AB，AC上，则正方形EFGH的边长为（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 54 （2025·广东） 15. 如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论正确的是（ ） A. 垂直平分 B. C. D. （2026・郑州期末） 16. 如图，小明探究“利用镜子反射测量旗杆的高度”．小明作为观测者，在旗杆和小明之间的地面上平放一面镜子，在镜子上作一个标记，小明看着镜子来回移动，当看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，通过测量得到以下数据：小明的眼睛到地面的距离为，小明所站的位置到镜子上标记的距离是，旗杆的底部到小明的位置是，则旗杆的高度为__________m． （2025・兰州） 17. 如图，在中，于点O，交于点E，交于点F，连接，点H为线段上一点，连接、． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）当时，求证：． 03素养提升 18. 如图，中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）当点在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______，______°； ②如图2，当时，求的值； （2）如图3，当时，点在的延长线上，过点作交于点，若，求的值． 章末核心考点与素养提升 01分点突破 考点一 图形的相似 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于计算即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∵四边形的内角和等于， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两次对折得到小长方形的长和宽，再利用相似多边形对应边成比例的性质，列方程求解与的关系． 【详解】解：原长方形长为，宽为 由图可知，两次对折均平行于宽边进行， 小长方形的长为，宽为  小长方形与原长方形相似， ，即 整理得：  ， ． 考点二 平行线分段线成比例 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】∵∥∥，， ∴===， 故选D． 视频 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用，，得出，，以及平行四边形，进而得出比例式，再对每一项进行判断即可． 【详解】解：，， ，，，且四边形是平行四边形． ，，，． ． 所以A，B，D正确，C错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，解题关键是灵活运用定理列出比例式． 考点三 相似三角形的判定与性质 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：：：， ：：， ∽， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据三条边对应成比例，两三角形相似进行解答． 【详解】设小正方形的边长为，则的各边分别为、、， 只能是或时，△DEF各边是6，，． 此时与各边对应成比例，与相似， 故选：C 【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】设、分别与交于点、 ，则 ，可得到，在网格图中，利用锐角三角函数值得到，继而，可得到，证得，然后分别求出、，即可解答． 【详解】如图， 设、分别与交于点、 ，则 ， ∴ , ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 由图可知： ， ∴ ， 即与的相似比为 ， ∴与的周长比为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比． 【8题答案】 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据正方形性质，结合全等三角形、相似三角形的判定与性质，逐一验证四个结论． 【详解】解：在 和 中， ， 四边形是正方形， ，  ，结论①正确； ，   设正方形 的边长为 ∵为 中点， ∴ 由 可知  ， ，结论②正确； ③如下图示，过点作， ∴根据 ，有 ， 则： ， ∴ ， ， 即是：，故③正确． 在中， 于， ， ​ ，即，结论④正确． 综上所述，正确结论的序号是 ①②③④． 考点四 相似三角形的应用 【9题答案】 【答案】2.7 【解析】 【分析】根据，可得，进而得出即可． 【详解】解：如图，过作于，则， ∴，即， 解得， 故答案为：2.7 【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质． 考点五 位似 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似变换的性质得到，根据相似三角形的性质求出点的坐标，得到答案． 【详解】解：∵△OCD与△OAB是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵点D与点B点的坐标分别是：（3，0），（9，0） ∴△OCD与△OAB的相似比为1：3， ∵点C的坐标为（1，2）， ∴点的坐标为（3，6）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 【11题答案】 【答案】（1）图见详解；为（），为（） （2）图见详解；为（），为（） （3）图见详解；点M为（） 【解析】 【分析】（1）延长OA、OB，使得，，连接即可得到，然后写出点的坐标即可； （2）由平移的性质，即可画出图形，然后写出点的坐标即可； （3）连接、，并延长相交于点M，点M为所求的位似中心，写出点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 为所求三角形； 点的坐标为（），点的坐标为（）； 【小问2详解】 解：如图所示： 为所求三角形； 的坐标为（），的坐标为（）； 【小问3详解】 解：与是点为位似中心的位似图形，如图所示： 点M的坐标为（）； 【点睛】本题考查了位似变换作图，平移的性质，坐标与图形，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． 02真题演练 （2025·湖南） 【12题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质及位似比的概念解答即可． 【详解】①正确，两个相似多边形面积之比等于相似比的平方； ②正确，两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比； ③正确，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：在△ABC与△A′B′C′中，，∠A=∠A′，那么△ABC∼△A′B′C′； ④错误，因为已知△ABC及位似中心O，能够作两个三角形与△ABC位似，且位似比为2． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及到相似三角形的性质和位似比的有关概念，熟记性质概念是解题的关键． （2025·宁波） 【13题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解；A、由可以证明，不符合题意； B、由可以证明，不符合题意； C、由可以证明，不符合题意； D、由不可以证明，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似． （2025·安徽） 【14题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BEH∽△BAD，从而得出边长之比，得到，进而求出正方形的边长． 【详解】解：设正方形零件的边长为x 在正方形EFGH中，EF∥BC，EH∥AD ∴∠AEF=∠ABC，∠EAF=∠BAC；∠BHE=∠BDA，∠B=∠B ∴△AEF∽△ABC，△BEH∽△BAD ∴ ∴ ∴ 解得：x＝48 即：正方形零件的边长为48； 故选：C． 【点睛】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （2025·广东） 【15题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由“”可证，可得，可证，可得结论． 【详解】解：由题意可得，垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质及线段垂直平分线的性质、尺规作垂线，证明三角形相似是解题的关键． （2026・郑州期末） 【16题答案】 【答案】7.5 【解析】 【分析】根据题意可知，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：如图所示，作法线，标出相关字母， ∵镜子平行于地面， ∴反射角等于入射角，即 ， ∴ ， ，， ， ， ，即， 解得：． 经检验：是方程的解， ∴旗杆的高度为． （2025・兰州） 【17题答案】 【答案】（1）四边形GECF是菱形，理由见解析；（2）证明见解析过程． 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得GO=CO，由“AAS”可证△GFO≌△CEO，可得GF=EC，由菱形的判定可证四边形GECF是菱形； （2）通过证明△ADH∽△CHF可得，可得结论． 【详解】解：（1）四边形GECF是菱形， 理由：∵EG=EC，DE⊥AC， ∴GO=CO， ∵GF∥AD，AD∥BC， ∴GF∥BC， ∴∠FGO=∠ECO，∠GFO=∠CEO， ∴△GFO≌△CEO（AAS）， ∴GF=EC， ∴四边形GFCE是平行四边形， 又∵EG=EC， ∴平行四边形GFCE是菱形； （2）∵∠DHC=∠DAH+∠ADH=∠DHF+∠FHC，∠DHF=∠HAD， ∴∠ADH=∠FHC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAH=∠ACB， ∵四边形GFCE是菱形， ∴CE=CF，∠HCF=∠ACB， ∴∠HCF=∠DAH， ∴△ADH∽△CHF， ∴， ∴AH•CH=AD•EC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，证明△ADH∽△CHF是解题的关键． 03素养提升 【18题答案】 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意可证明和是等边三角形，根据等边三角形的性质可证明，得到，，即可求解； ②通过证明，可得； （2）由得到，设，推出，由（1）②可知，由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①，， 是等边三角形， ，， 由旋转得：，， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； ②， ， ，， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图3所示，， ， 设， ， 在中，， 由（1）②可知， ， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $