3.5 第2课时 坐标系中的位似变换（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦坐标系中的位似变换，核心知识点包括用坐标表示位似、坐标系内图形的位似作图及位似中心确定。课堂导入可联系相似变换与坐标变换旧知，通过对比引入位似，搭建从具体坐标计算到抽象图形变换的学习支架。 资料特色在于分层设计（基础达标、能力提升、思维拓展）与易错点强调，结合网格、小孔成像等情境，培养几何直观、空间观念和推理能力。帮助学生用数学眼光观察坐标与图形关系，用数学思维推理相似比与面积关系，提升学习效率与应用意识。

第2课时 坐标系中的位似变换 01基础达标 知识点一 用坐标表示位似 1. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ） A. (2，1) B. (2，0) C. (3，3) D. (3，1) 2. 如图，在中，点的坐标为，以原点为位似中心，将位似缩小后得到．若点的坐标为，的面积为1，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 3. 如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(﹣2，﹣1)，B(﹣2，﹣3)，O(0，0)，△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1，﹣1)，B1(1，﹣5)，O1(5，1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为_______. 4. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点都在格点上，则点的坐标是____. 5. 如图，在直角坐标系中，正方形是正方形经过位似变换得到的，对角线，则位似中心的坐标是__________． 知识点二 坐标系内图形的位似作图 6. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 易错点 位似中的漏解 7. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，以点为位似中心，相似比为，把缩小，得到，则点的对应点的坐标为_____． 02能力提升 8. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上， OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是【 】 A. （－2，3） B. （2，－3） C. （3，－2）或（－2，3） D. （－2，3）或（2，－3） 9. 在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（ ） A. 3倍 B. C. D. 2倍 10. 线段AB、CD在平面直角坐标系中的网格位置，如图所示，O为坐标原点，A、B、C、D均在格点上，线段AB、CD是位似图形，位似中心的坐标是__________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形，都是正方形，点，的坐标分别是，． （1）写出点，的坐标__________； （2）分别写出直线，的解析式：__________； （3）你能判断正方形与正方形是否是位似图形？请说明理由． 12. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC和关于点E成中心对称， （1）在图中标出点E，且点E的坐标为______； （2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点的坐标为（a－6，b+2），请画出上述平移后的，此时的坐标为______，的坐标为______； （3）若和关于点F成位似三角形，则点F的坐标为______． 03思维拓展 13. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B(3,1),B′(6,2). (1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题： ①若点A(,3),则A′的坐标为______； ②△ABC与△A′B′C′的相似比为______； (2)若△ABC的面积为m,求△A′B′C′的面积.(用含m的代数式表示) 第2课时 坐标系中的位似变换 01基础达标 知识点一 用坐标表示位似 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标． 【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是， ∴， 又∵点A(6，3)、B(6，0)． ∴OB=6，AB=3， ∴OD=2，CD=1， ∴点C的坐标为：（2，1）， 故选A． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用对应点坐标的变化即可得出相似比；利用位似图形面积比等于相似比的平方进而得出答案． 【详解】解∶∵△ABC和△A'B' C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点A (3，6) ，A'( 1，2)， ∴△ABC与△A'B' C'的相似比等于3∶ 1． △△A'B'C'与△ABC的面积之比为9 ∶ 1． ∵△A'B'C'的面积为1， ∴△ABC的面积为9． 故选∶ D． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，熟练掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【3题答案】 【答案】(-5，-1) 【解析】 【分析】分别延长B1B、O1O、A1A，它们相交于点P，然后写出P点坐标即可. 【详解】解：如图，P点坐标为(﹣5，﹣1). 故答案为(﹣5，﹣1). 【点睛】本题主要考查了位似图形的位似中心的概念性质，掌握相关概念是解题关键 【4题答案】 【答案】（﹣2，） 【解析】 【详解】解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3， 又∵B（3，﹣2） ∴B′的坐标是[3×，﹣2×]，即B′的坐标是（﹣2，） 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】连接、，交于点，可得是位似中心，又由对角线，是的中点，即可求出位似中心的坐标． 【详解】解：连接、，交于点， 根据题意，在直角坐标系中，正方形是正方形经过位似变换得到的， ∴点是位似中心，故是的中点； ∵对角线， ， 的坐标为， 是的中点； 的坐标为，即位似中心的坐标是． 知识点二 坐标系内图形的位似作图 【6题答案】 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 如图，为所作． 【小问2详解】 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 易错点 位似中的漏解 【7题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】利用位似图形的性质可得对应点坐标乘以和-即可求解. 【详解】解：以点为位似中心，相似比为，把缩小，点的坐标是 则点的对应点的坐标为或，即或， 故答案为或． 【点睛】本题考查的是位似图形，熟练掌握位似变换是解题的关键. 02能力提升 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一 条直线上，那么这两个图形叫做位似图形．把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换．因此， ∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC． ∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴位似比为：． ∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）．故选D． 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【10题答案】 【答案】(0，0)或(，4) 【解析】 【分析】分①点A和点C为对应点，点B和点D为对应点；②点A和点D为对应点，点B和点C为对应点两种情况，根据位似中心的概念解答． 【详解】解：①当点A和点C为对应点，点B和点D为对应点时，延长CA、BD交于点O，则位似中心的坐标是（0，0）， ②当点A和点D为对应点，点B和点C为对应点时，连接AD、BC交于点P， 则点P为位似中心， ∵线段AB、CD是位似图形， ∴AB∥CD， ∴△PAB∽△PDC， ∴，即， ∴AP， ∴位似中心点P的坐标是(，4)，即(，4)， 综上所述，位似中心点的坐标是(0，0)或(，4)， 故答案为：(0，0)或(，4)． 【点睛】本题考查了位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键． 【11题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）正方形与正方形是位似图形 理由如下：正方形与正方形是相似图形 由（2）知，直线的解析式为 ，直线的解析式为，它们都经过原点 点， ，点，，  直线和直线均为轴，也经过原点  对应顶点的连线、、、相交于同一点 正方形与正方形是位似图形． 【解析】 【分析】（1）根据正方形边长与点的坐标，写出的坐标； （2）利用待定系数法求直线和的解析式； （3）先证明两正方形相似，再证明对应顶点连线交于同一点，即可判断为位似图形． 【小问1详解】 解： 四边形，都是正方形，点，， 正方形的边长为，正方形的边长为 由图可知点在轴上，轴，  ，， 同理，，， 点的坐标为，点的坐标为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为 将和代入， 得， 解得 ， ； 设直线的解析式为 将 ， 代入， 得 ， 解得  ． 【小问3详解】 略 【12题答案】 【答案】（1）图形见解析，（0，－1） （2）图形见解析，（－3，4），（－2，2） （3）（－3，0） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质，任何一对对应点连线的中点即为对称中心E； （2）将△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到△A2B2C2，根据平移的规律，可分别写出点A2和C2的坐标； （3）根据位似三角形的定义求出点厂的坐标点评 【小问1详解】 解：如图，连接，则的中点E即为所求； ∵点A（3，2），， ∴点E的坐标为（0，－1）； 故答案为：（0，－1） 【小问2详解】 解：∵点P（a，b）的对应点的坐标为（a－6，b+2）， ∴△ABC先向左平移6个单位，再向上平移2个单位得到， 如图，即为所求， ∵点A（3，2），C（4，0）， ∴的坐标为（－3，4），的坐标为（－2，2）； 故答案为：（－3，4），（－2，2）； 【小问3详解】 解：连接交于点F，点F即为所求， ∴点F（－3，0）． 故答案为：（－3，0） 【点睛】本题主要考查了中心对称、平移变换及位似变换的性质．中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，连接各组对应点的线段平行且相等．位似图形的性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 03思维拓展 【13题答案】 【答案】（1）①（5，6），②1：2；（2）4m 【解析】 【分析】（1）①观察点B点和B′点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A′的坐标（5，6）； ②利用对应点坐标的变化即可得出相似比； （2）利用位似图形面积比等于相似比的平方进而得出答案． 【详解】解：（1）①∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∵点B（3，1），B′（6，2），∴位似比为2， ∴若点A（，3），则A′的坐标（5，6）； ②△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2； 故答案为（5，6），1：2； （2）∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2  ∴， 而△ABC的面积为m， ∴△A′B′C′的面积=4m． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $