专题11 图形的位似（八大题型24道题）- 《典例全解·题型通关》 -2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题11 图形的位似（八大题型24道题） 目录 知识点一位似图形相关概念辨析 1 知识点二位似图形的识别 3 知识点三判断位似中心 5 知识点四求两个位似图形的相似比 7 知识点五画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 9 知识点六求位似图形的对应坐标 13 知识点七在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 16 知识点八在坐标系中画位似中心或位似图形 18 知识点一位似图形相关概念辨析 1．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 3．如图，与是位似图形，点O为位似中心．求证：． 【答案】证明：∵与是位似图形，点O为位似中心， ∴，且三点共线，三点共线， 又∵， ∴， ∴， ∴； 同理可证明． 【分析】根据位似三角形的性质得到，且三点共线，三点共线，则可证明，得到，据此可证明；同理可证明． 【详解】 略 知识点二位似图形的识别 4．下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意． 5．如图，以点O为位似中心，将放大得到若，则与的面积之比为___________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，运用相似比的平方等于面积比求解即可． 【详解】由题，根据位似图形的性质可得：， 且放大得到， ∴△ABC∽△DEF，相似比为， 根据相似图形面积比等于相似比的平方， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形的性质及相似三角形的面积比，熟记面积比等于相似比的平方是解题关键． 6．如图所示，，相交于点，连接，，，，． (1)求证：． (2)直接回答与是不是位似图形． (3)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2)不是； (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似图形的定义．关键是利用已知角相等和对顶角相等证明三角形相似，再结合相似三角形的性质求解线段长度，同时掌握位似图形的判定条件． （1）要证明，已知一组角相等()，结合对顶角相等的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明； （2）根据位似图形的定义：位似图形是对应顶点的连线交于一点，且对应边互相平行或在同一直线上的相似图形，结合图形特征判断即可； （3）先由得到对应边成比例，进而推出，再利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解的长度． 【详解】（1）略 （2）解：根据位似图形的定义，位似图形需满足对应边互相平行或在同一直线上，而与的对应边与、与、与均不平行，不满足位似图形的条件， ∴与不是位似图形； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 知识点三判断位似中心 7．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 8．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 9．已知、为正三角形，连接并延长交于点，过点作交于点，作，交于点，连接． (1)证明：和是以点O为位似中心的位似图形； (2)证明：是正三角形． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； (2)证明：∵，是等边三角形， ∴是等边三角形． 【分析】（1）先证，得，再证明，得，继而证； （2）由及是等边三角形，从而得出结论． 【详解】（1）略； （2）略． 知识点四求两个位似图形的相似比 10．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（     ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【分析】先利用位似的性质得到，则四边形与四边形相似比为3，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵四边形是四边形关于O点为位似中心的位似图形， ∴， ∴四边形与四边形相似比为3， ∴四边形的面积四边形的面积． 11．古书《墨子·天志》中记载：“执规矩以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则两点之间的距离为______________． 【答案】 【分析】位似图形一定是相似图形，可以得出四边形是正方形，利用相似比得出正方形的边长，利用正方形的性质和勾股定理即可进行求解． 【详解】解：连接， ∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 即， ∵四边形与正方形是位似图形，， ∴四边形是正方形，， ，， ． 12．如图，与关于点位似，． (1)若，求的长． (2)若的面积为7，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由位似的定义：与相似，结合已知，即可得到相似比； 根据相似比求出的长度即可求解； （2） 由位似比等于相似比，结合相似三角形面积比等于相似比的平方结合已知条件即可求解． 【详解】（1）解：与是位似图形，，， 与的相似比为 ， 即， ． （2）解：根据题意，得： ， 即， ． 【点睛】本题考查了位似三角形定义，掌握相似三角形性质与位似图形的定义是解题的关键． 知识点五画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 13．作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 【答案】C 【详解】解：位似图形的对应边成比例，对应点的连线经过位似中心，对应线段互相平行，小明和小亮的图都符合位似的要求，但位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在两侧，因此只有小明和小亮合到一起才正确． 14．定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在中，，是以点为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点分别与对应），其中边的长为___________ 【答案】 【分析】根据条件可得，然后利用相似三角形的性质就可以求出结论． 【详解】解：如图所示， 由题意可得， ， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形相似，理解新定义，运用相似三角形的对应边成比例求解是关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：①如图，为所作， ②如图，为所作， (2)是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 知识点六求位似图形的对应坐标 16．在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（     ） A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的 【答案】C 【分析】以原点为位似中心，将图形扩大为原来的3倍，则图形上各点的横、纵坐标都要乘3；平移是坐标做加减，只改变横坐标或只改变纵坐标不是位似变换，乘是缩小为原来的，据此判断选项即可． 【详解】解：A、横、纵坐标分别加3属于平移变换，不是位似变换，此选项不符合题意； B、纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，不是原点为位似中心的位似变换，此选项不符合题意； C、横、纵坐标分别乘3，是以原点为位似中心扩大到原来的3倍的坐标变化，此选项符合题意； D、横、纵坐标分别变为原来的，图形会缩小为原来的，此选项不符合题意． 17．如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 即位似中心是：． 18．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，各个顶点的坐标分别为．以点O为位似中心，在第一象限内的直线的下方，作一个尽可能大的四边形，使其与四边形成位似关系．试找出由四边形的4个顶点分别组成的各个三角形中的一些特殊三角形，并求出该四边形的周长． 【答案】是等腰三角形，是等腰直角三角形，四边形的周长为． 【分析】设四边形与四边形的位似比为，以原点为位似中心的位似图形，对应点坐标满足原坐标乘位似比，据此得到，结合题意推出当时满足题意，利用两点间的距离公式求出对应的边长即可得到答案． 【详解】解：设四边形与四边形的位似比为 ∵， ∴， ∵在第一象限内的直线的下方，作一个尽可能大的四边形， ∴点的纵坐标都要不大于9， ∴， ∴， ∴当时满足题意， ∴满足题意的四边形的顶点坐标为， ∴，，， ，，， ∴， ∴是等腰三角形，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即是等腰直角三角形； ∵， ∴四边形的周长为． 知识点七在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 19．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】首先得到，，然后由位似的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 20．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点O．若，，则与面积的比值是________． 【答案】 4 【分析】先说明，再求出相似比，然后相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵与位似，且点O是位似中心， ∴． ∵点， ∴， ∴， 则与的相似比为2， ∴与的面积比是4． 21．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；并写出与的面积比为 ； (2)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【答案】(1) 点即为所求； (2) 作图如下： 【分析】本题考查了作图—位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答关键． （1）连接、、相交于点，即可； （2）取、、的中点、、，顺次连接各点得到，即可． 【详解】（1）解：连接、、相交于点， ∵， ∴， ∵与关于点位似， ∴与的面积比为； 故答案为： （2）解：取、、的中点、、，顺次连接各点得到． 知识点八在坐标系中画位似中心或位似图形 22．如图，△ABC中，点B，C是x轴上的点，且A（3，2），以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△ABC与A′B′C′的相似比是1：2，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣6，﹣4） B．（﹣1.5，﹣1） C．（1.5，1）或（﹣1.5，﹣1） D．（6，4）或（﹣6，﹣4） 【答案】D 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，且相似比是1：2， A（3，2）， ∴点A′的坐标是（3×2，2×2）或（3×（﹣2），2×（﹣2））， 即（6，4）或（﹣6，﹣4）， 故选：D． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中利用位似性质求位似图形上点的坐标，熟练掌握位似定义和性质是解决问题的关键． 23．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为，点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若的周长是，则的周长为________． 【答案】(1) 如图所示，即为所求， ，， (2) 【分析】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，求位似图形对应点坐标，位似图形的性质，正确找到对应点位置从而画出对应的位似图形是解题的关键． （1）把A、B、C的横纵坐标都分别乘以得到、、的横纵坐标，再描出、、，并顺次连接、、即可； （2）根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可． 【详解】（1） 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：与关于原点位似，且相似比为，的周长是， 的周长为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题11 图形的位似（八大题型24道题） 目录 知识点一位似图形相关概念辨析 1 知识点二位似图形的识别 2 知识点三判断位似中心 3 知识点四求两个位似图形的相似比 4 知识点五画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 5 知识点六求位似图形的对应坐标 6 知识点七在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 7 知识点八在坐标系中画位似中心或位似图形 8 知识点一位似图形相关概念辨析 1．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 2．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 3．如图，与是位似图形，点O为位似中心．求证：． 知识点二位似图形的识别 4．下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，以点O为位似中心，将放大得到若，则与的面积之比为___________． 6．如图所示，，相交于点，连接，，，，． (1)求证：． (2)直接回答与是不是位似图形． (3)若，，，求的长． 知识点三判断位似中心 7．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 8．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    9．已知、为正三角形，连接并延长交于点，过点作交于点，作，交于点，连接． (1)证明：和是以点O为位似中心的位似图形； (2)证明：是正三角形． 知识点四求两个位似图形的相似比 10．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（     ） A．9 B．18 C．24 D．27 11．古书《墨子·天志》中记载：“执规矩以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则两点之间的距离为______________． 12．如图，与关于点位似，． (1)若，求的长． (2)若的面积为7，求的面积． 知识点五画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 13．作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 14．定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在中，，是以点为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点分别与对应），其中边的长为___________ 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 知识点六求位似图形的对应坐标 16．在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（     ） A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的 17．如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 18．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，各个顶点的坐标分别为．以点O为位似中心，在第一象限内的直线的下方，作一个尽可能大的四边形，使其与四边形成位似关系．试找出由四边形的4个顶点分别组成的各个三角形中的一些特殊三角形，并求出该四边形的周长． 知识点七在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 19．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 20．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点O．若，，则与面积的比值是________． 21．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；并写出与的面积比为 ； (2)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 知识点八在坐标系中画位似中心或位似图形 22．如图，△ABC中，点B，C是x轴上的点，且A（3，2），以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△ABC与A′B′C′的相似比是1：2，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣6，﹣4） B．（﹣1.5，﹣1） C．（1.5，1）或（﹣1.5，﹣1） D．（6，4）或（﹣6，﹣4） 23．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为，点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若的周长是，则的周长为________． 学科网（北京）股份有限公司 $