3.2 第4课时 黄金分割（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“黄金分割”核心知识点，涵盖概念辨析、计算应用及黄金矩形等内容。通过基础达标题巩固黄金分割定义与比例关系，再以能力提升中的项目实践题衔接，搭建从理论理解到实际操作的学习支架。 资料特色在于融入生活实例与探究任务，如人体舒适气温计算、黄金矩形窗户设计等，引导学生用数学眼光观察现实，培养几何直观与创新意识。解答题与证明题强化推理能力，助力学生用数学思维分析问题，提升应用意识与表达能力。

第4课时 黄金分割 01基础达标 知识点 黄金分割及其应用 1. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（ ） A. AP：BP=AB：AP B. C. D. 2. 一条线段的黄金分割点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 矩形的长与宽分别为、，且下列数据能构成黄金矩形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 据有关测定，当气温处于人体正常体温()的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________(结果保留整数)． 5. 如图，点是线段的黄金分割点，且，若，求的长． 02能力提升 6. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 7. 小明家的房间高度为，他打算用“黄金分割”的知识在墙上挂一幅画以美化居室，从地面算起，这幅画应挂在约__________m才使人感到舒适（结果精确到0.001）． 8. c【项目主题】黄金分割数 【项目素材】如图1，将一条线段分割成长、短两条线段、，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 【实践操作】 （1）若设线段，的长为，则可表示为，， ，…，根据此方法可计算出黄金分割数为__________（结果保留根号）． 【实践探索】 （2）黄金分割在自然界、建筑、艺术等领域无处不在．我们把宽与长的比为的矩形叫黄金矩形，比如按照黄金比例定制的窗户令人赏心悦目，它给我们协调、匀称的美感！如图2是某同学为自家设计的子母窗户结构示意图，在一个黄金矩形里分割出一个正方形，那么右边窗户还是黄金矩形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 第4课时 黄金分割 01基础达标 知识点 黄金分割及其应用 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据黄金分割的概念排除选项即可． 【详解】由题意得： AP：BP=AB：AP，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，，故D正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟记黄金分割点的概念是解题的关键． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的概念，根据黄金分割点的定义即可判断一条线段上黄金分割点的个数． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，点把线段分成两条线段和， 如果，则称点为线段的黄金分割点， 一条线段上满足此条件的点有两个，它们关于线段的中点对称， ∴一条线段的黄金分割点有个． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金矩形的定义，黄金矩形的宽与长的比值为，题目已规定长为，宽为，只需计算各选项的，匹配比值即可得到答案． 【详解】解：∵黄金矩形的宽与长的比值为，本题中长为，宽为， ∴需满足. A 、 ，得，错误，不符合题意； B 、 ，得，错误，不符合题意； C 、 ，得，错误，不符合题意； D 、 ，得，符合黄金矩形定义，正确，符合题意． 【4题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接计算即可得． 【详解】解：根据黄金比的值得：． 故答案为23． 【点睛】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是要熟记黄金比的值为． 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到，由此可求出的长度，最后根据 可求的长． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ， ， ， 解得： ， 经检验： 是方程的解． ． 02能力提升 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，使人感到舒适的位置为房间高度从地面算起的黄金分割点，只需用房间高度乘以黄金比即可求出结果． 【详解】解：黄金分割中，黄金比为. 设所求高度为， 由题意得 故这幅画应挂在约 才使人感到舒适． 【8题答案】 【答案】（1） （2） 右边窗户是黄金矩形．证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，解一元二次方程即可得到黄金分割数； （2）根据黄金分割设出矩形的长和宽，然后表示出矩形的宽，再求出宽与长的比值即可得证． 【小问1详解】 解：若设线段，的长为，则可表示为， ， ， 即, ， 解得：，（舍去）， 根据此方法可计算出黄金分割数为． 【小问2详解】 解：右边窗户是黄金矩形． 证明：设， ∵矩形是黄金矩形， ，即 ． 四边形是正方形， ， ， ． ∴矩形是黄金矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $