3.2 第2课时 利用两边及其夹角证相似（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”核心知识点，通过复习两角对应相等的相似判定方法导入，构建相似三角形判定知识体系的学习支架，衔接前后知识点脉络。 资料设置基础达标、能力提升、思维拓展分层习题及易错点专项训练，结合图形情境培养学生推理意识与几何直观，解析详细助学生理解判定条件，提升应用意识，适合自主学习与教师教学评估。

第2课时 利用两边及其夹角证相似 01基础达标 知识点两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1. 如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（ ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 3. 如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，、交于点，且，，，当__________时，；当__________时，． 6. 如图，在中，AB=AC,D、E、B、C在同一条直线上，且.求证：∽. 易错点 误认为两边对应成比例，且有一角对应相等的两个三角形相似 7. 下列能够判定的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 02能力提升 8. 在等腰和等腰中，与是顶角，下列说法一定正确的是（ ） A. 时，两三角形相似 B. 时，两三角形相似 C. 时，两三角形相似 D. 无论怎样，两三角形都相似 9. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（　　） A. 5 B. 8.2 C. 6.4 D. 1.8 10. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，在直角坐标系中有两点、，如果点在轴上（与不重合），当点的坐标为______时，使得由点、、组成的三角形与相似． 12. 如图，四边形为正方形，是中点，在上，，那么请判断与是否相似，并写出你的理由． 13. 如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上． （1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由； （2）求∠BAC的度数． 03思维拓展 14. 如图，，，，，，点在上由点向点方向移动，当点移到离点多远时，和相似？ 第2课时 利用两边及其夹角证相似 01基础达标 知识点两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由，，得到，即可求解， 本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB， A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12． A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键． 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理即可判断． 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，只有是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握“根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键． 【5题答案】 【答案】 ①. 54 ②. 【解析】 【分析】直接根据相似三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵，，，， ，即， 解得； 当时， ，即， 解得． 【6题答案】 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由条件可得到∠ABD=∠ACE，结合AB2=BD•CE和AB=AC，可得到，即可证得结论． 【详解】证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB2=BD•CE， ∴，即， ∴△ABD∽△ECA． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形的判定方法是解题关键，注意利用等腰三角形的性质来找角相等． 易错点 误认为两边对应成比例，且有一角对应相等的两个三角形相似 【7题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定方法，找准对应边和对应夹角即可判断． 【详解】解：A、∵ ，是与的夹角，是与的夹角，且，∴ 满足判定定理，可判定，符合题意； B、成比例两边的夹角不是和，不满足判定定理，不能判定相似，不符合题意； C、成比例两边的夹角不是和，不满足判定定理，不能判定相似，不符合题意； D、边的对应比例错误，不满足判定定理，不能判定相似，不符合题意． 02能力提升 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质和相似三角形的判定，利用等腰三角形两底角相等，结合相似三角形“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理判断选项即可． 【详解】解：∵ 和 都是等腰三角形， 和 是顶角， ∴ ，． A、若 ，则 ，三个角对应相等，因此两三角形相似，正确，符合题意； B、， 是 的底角，无法得到三个角对应相等，两三角形不一定相似，错误，不符合题意； C、， 是 的底角，无法得到三个角对应相等，两三角形不一定相似，错误，不符合题意； D、显然错误，不符合题意． 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】∵在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点， ∴CD=10，BC=6，DE=3． ∵△CBF∽△CDE， ∴BF：DE=BC：DC， ∴BF=6÷10×3=1.8． 故选D． 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 【11题答案】 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质； 根据题意可知，若点、、组成的三角形与相似，则有或，分情况利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵、， ∴，，， ∵点在轴上， ∴， ∵点、、组成的三角形与相似， ∴或， 当时，有， ∴， ∴，即， 当时，有， ∴， ∴， ∴或， 综上，当点的坐标为或或时，由点、、组成的三角形与相似， 故答案为：或或． 【12题答案】 【答案】与相似，理由略 【解析】 【分析】设正方形的边长为，根据已知条件分别表示出、、，然后求出、的值，最后利用两边对应成比例且其夹角相等证相似即可． 【详解】解：与相似，理由如下： 设正方形的边长为， 是中点， ， ， ， ， ， ， 又， ． 【13题答案】 【答案】（1）相似；（2）135°． 【解析】 【详解】试题分析：（1）△PBA与△ABC相似，利用勾股定理计算出AB的长，利用两边对应成比例且一个夹角对应相等的两个三角形相似可证明结论成立； （2）由（1）可知：∠BAC=∠BPA，因为∠BPA易求，问题得解． 试题解析：解：（1）△PBA与△ABC相似．理由如下： ∵AB=，BC=5，BP=1，∴．∵∠PBA=∠ABC，∴△PBA∽△ABC； （2）∵△PBA∽△ABC，∴∠BAC=∠BPA．∵∠BPA=90°+45°=135°，∴∠BAC=135°． 点睛：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，相似三角形的判定与性质，本题中分别求AB，BC，BP三边长是解题的关键． 03思维拓展 【14题答案】 【答案】或12或时，与相似 【解析】 【分析】设，则 ，由题意得出，根据相似三角形的判定得出当或时，与相似，代入求出即可． 【详解】解：设，则 ， ，， ， ∴当或时，与相似， ，，， 或 解得：或或， 经检验：或或是方程的解， ∴或或时，与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $