3.2 第3课时 利用三边证相似（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“利用三边证相似”核心知识点，承接相似三角形已有判定方法，通过基础达标、能力提升、思维拓展三级递进设计，搭建从概念理解到综合应用的学习支架，帮助学生构建完整的相似判定知识体系。 资料以情境化题目（如象棋盘格点、方格纸构图）引导学生用数学眼光观察现实，通过证明推理与多解探究发展数学思维，分层练习与易错点提示助力学生精准掌握判定方法，有效提升推理能力与应用意识。

第3课时 利用三边证相似 01基础达标 知识点 三边成比例的两个三角形相似 1. 的三边长分别为1，，，的三边长分别为5，，，则和（ ） A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 无法判断是否相似 2. 在△ABC和△A′B′C′中，AB＝9 cm，AC＝5 cm，BC＝8 cm，A′B′＝4.5 cm，A′C′＝4 cm，B′C′＝2.5 cm，则有（ ） A. ∠A＝∠A′ B. ∠A＝∠B′ C. ∠A＝∠C′ D. ∠C＝∠B′ 3. 满足下列条件，能判定和相似的一组是（ ） A. ，，，，， B. ，，，，， C. ，，，，， D. ，，， 4. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 5. 已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 6. 在△ABC中，AB=6，AC=8，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，需添加的一个条件是__________________(写出一种情况即可)． 7. 如图，中，、分别在边、上，，，求证：与相似． 易错点 灵活选择相似三角形的判定方法 8. 如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 02能力提升 9. 已知的三边长分别为，9和，的一边长为5，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似 A. 4，5 B. 5，6 C. 6，7 D. 7，8 10. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ） A. （6，0） B. （6，3） C. （6，5） D. （4，2） 12. 如图，已知正方形，是的中点，是上一点，下列条件：①；②；③；④．其中能推出与相似的是__________（填序号）． 13. 如图，，求证：． 14. 如图，、分别是、的角平分线，且．图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并证明． 03思维拓展 15. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上． (1)　判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (2)　P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)． 第3课时 利用三边证相似 01基础达标 知识点 三边成比例的两个三角形相似 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，证明三边比例相等可得两个三角形相似．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴两个三角形相似，   故选： A． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理（三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角对应相等），逐项验证即可得到结论. 【详解】解：A、∵，，， ∴，不能判定相似，故A不符合题意. B、∵，，， ∴三边对应不成比例，不能判定相似，故B不符合题意. C、∵，，，但相等的角不是两组边的夹角，不满足判定条件，不能判定相似，故C不符合题意. D、∵在中，，， ∴， ∴，， ∴两角对应相等，可判定，故D符合题意. 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可． 【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为；  “车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2 ，  ∵ ∴马应该落在②的位置， 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大． 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，结合已知条件，利用三条边对应成比例，解题过程注意对应边． 【详解】解：当时，．理由如下： ∵， ∴可设（）， ∴，，， ∴， ∴，符合题意 故答案为： ． 【6题答案】 【答案】答案不唯一，如BC=10，EF=5 【解析】 【分析】根据已知利用相似三角形的判定方法即可得到所缺的条件． 【详解】解：∵在△ABC中，AB=6，AC=8， 在△DEF中，DE=4，DF=3 ∴AB：DF=AC：DE=2：1， ∴当∠A=∠D或BC=10，EF=5时，△ABC与△DEF相似． 故答案为：∠A=∠D或BC=10，EF=5 【7题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】先由，，得出，再由，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可证明与相似． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ， 即与相似． 易错点 灵活选择相似三角形的判定方法 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据相似三角形的判定定理，逐一判断每个选项中的阴影三角形与原三角形是否相似． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有一个公共角，且阴影三角形中有一个角为 有两个角对应相等， 两三角形相似 B、阴影三角形与原三角形有一个公共角，且阴影三角形中有一个角为 有两个角对应相等， 两三角形相似 C、，剪去部分为，则阴影三角形在边上的边长为 ，且为公共角， ，  即两边成比例且夹角相等， 两三角形相似 D、阴影三角形两边为，原三角形一边，另一边未知 无法判定对应边成比例， 两三角形不一定相似． 故选：D． 02能力提升 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出ABC的三边比为5：6：7，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似进行判断即可得答案． 【详解】∵的三边长分别为，9和， ∴三边的比为：9：：6：7， ∵的一边长为5， ∴当的另两边长分别为6、7时，这两个三角形相似． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似． 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 【11题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2． A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意； B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意； C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意； D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意． 故选B． 【12题答案】 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由四边形是正方形，可得，则可得当，根据有两角对应相等的三角形相似，可得与相似；当，可得，继而可得与相似； 当时，可得，不能判定与相似；当时，可得，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定与相似. 【详解】解：在正方形中，， ①，， ，符合题意； ②， ， ， ， 又， ，符合题意； ③设正方形的边长为， 是的中点， ， ， ， ，， ∴两边比例不相等，两个三角形不相似，不符合题意； ④， 又， ， 又， ，符合题意； 综上所述，其中能推出与相似的是①②④． 【13题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】先由三边成比例证明，推出，再通过角的差得到，接着由比例变形得到两边对应成比例，证明，从而得出． 【详解】证明：∵ ∴ ∴  ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴． 【14题答案】 【答案】图中共有对相似三角形，分别是：、、． 证明如下： ， ，，  、分别是、的角平分线， ，， ， 在和中， ，， ， ， 、分别是角平分线， ，， ， 在和中， ，， ． 【解析】 【分析】先由已知三边成比例证明，再利用角平分线的性质推出，进而证明，最后由角相等证明． 【详解】略 03思维拓展 【15题答案】 【答案】（1）相似 （2）答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D， △P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD． 【解析】 【详解】解：(1)　△ABC和△DEF相似． 根据勾股定理，得　，，BC=5； ，，． ∵　， ∴　△ABC∽△DEF． (2)　答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可． △P2P5D，△P4P5F，△P2P4D， △P4P5D，△P2P4P5，△P1FD． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $