3.2 第1课时 利用两角证相似（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“利用两角证相似”，核心知识点包括相似三角形的概念、相似比及“两角分别相等的两个三角形相似”的判定。通过基础题巩固概念，逐步过渡到判定定理的应用，搭建从概念理解到综合运用的学习支架。 资料通过分层设计（基础达标、能力提升、思维拓展）适配不同学生需求，结合图形问题培养几何直观，详细解析助力推理意识形成，配套视频辅助理解，有效提升学生用数学语言表达和解决问题的应用意识。

3.2 探索三角形相似的条件 第1课时 利用两角证相似 01基础达标 知识点一 相似三角形的概念及相似比 1. 已知，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，且，若，则的长为__________． 3. 若，且，，，则与的相似比为__________，与的相似比为__________． 知识点二 两角分别相等的两个三角形相似 4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(　　) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. 如图，，垂足为点，，垂足为点，与交于点．若，，，则__________． 6. 如图，在中，，于，，，则__________cm． 7. 如图，在正方形中，点，，分别在，，上，且．求证：． 8. 如图，点在的边上，，，，求的长． 02能力提升 9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，F是BA延长线上一点, FD⊥BC于D,交AC于点E，则图中相似三角形共有几对（ ） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 10. 如图，在中，为边上一点，且，已知，，则__________． （2025・北京） 11. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________． 12. 如图，在边长为9的正三角形中，，，求的长． 13. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长． 03思维拓展 14. 如图，中，，于，是的平分线，交于，与交于点． （1）求证：； （2）请找出图中除外的另一组相似三角形，并证明． 3.2 探索三角形相似的条件 第1课时 利用两角证相似 01基础达标 知识点一 相似三角形的概念及相似比 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解角度． 【详解】解：∵在中，， ， ∴ ∵ ∴ ． 【2题答案】 【答案】4 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可得，直接代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【3题答案】 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据相似三角形的相似比为对应边的比，代入已知对应边的长度计算即可． 【详解】解： ， 相似比是与的对应边的比，与是对应边， ， 将， 代入，得； 同理，与的相似比，代入得． 知识点二 两角分别相等的两个三角形相似 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴△ABC∽△ACD， △ACD∽CBD， △ABC∽CBD， 所以有三对相似三角形． 故选C． 【5题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】利用两角对应相等的两个三角形相似证明，再根据相似比求出 的长度，最后在两个直角三角形中分别求出，相加得到． 【详解】解：   ​ 在中，  在 中，  ． 【6题答案】 【答案】15 【解析】 【分析】利用射影定理，直接建立 的关系求解． 【详解】解：根据射影定理： 在 中， ，于， ，， ． 【7题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定；由正方形的性质得，通过角的转换得，即可得证． 【详解】证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， 解得． 02能力提升 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】通过公共角，直角，对顶角的角度信息判断相似的三角形，最后根据相似三角形的传递性得到相似三角形的对数. 【详解】三角形ABC与三角形BDF中，有∠B公共，∠FDB=∠BAC=90°，则 三角形EFA与三角形EDC中，有∠FAE=∠EDC=90°，∠FEA=∠DEC，则 三角形EFA与三角形BDF中，有∠F公共，∠FAE=∠FDB=90°，则 所以根据相似的传递性四个三角形两两相似 故共有6对. 故答案为A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，务必清楚的是两个角对应相等的三角形相似. 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先判定，再根据三角形相似的性质直接求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ 即 ∴． （2025・北京） 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据//，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，//，， 在中，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵//， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． 【12题答案】 【答案】． 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质以及判定即可求出答案． 【详解】解： 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABD∽△DCE． 【13题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）4.9 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论； （2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM==13，AD=12， ∵F是AM的中点， ∴AF=AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴， 即， ∴AE=16.9， ∴DE=AE－AD=4.9． 视频 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 03思维拓展 【14题答案】 【答案】（1）证明：， ， ， ，， ， ，，， ， ． （2）证明：，或． 易证，可知． 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）证明 可得结论． 【小问1详解】 证明： 【小问2详解】 解：平分 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $